MERS傳播的數(shù)學(xué)模型的建立及分析

1、-2021 高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承 諾 書(shū)我們仔細(xì)閱讀了?全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽章程?和?全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽參賽規(guī)則?以下簡(jiǎn)稱為“競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則，可從全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽下載。我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)場(chǎng)后參賽隊(duì)員不能以任何方式包括、電子、網(wǎng)上咨詢等與隊(duì)外的任何人包括指導(dǎo)教師研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的資料包括網(wǎng)上查到的資料，必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則的行為，我們將受

2、到嚴(yán)肅處理。我們授權(quán)全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組委會(huì)，可將我們的論文以任何形式進(jìn)展公開(kāi)展示包括進(jìn)展網(wǎng)上公示，在書(shū)籍、期刊和其他媒體進(jìn)展正式或非正式發(fā)表等。 我們參賽選擇的題號(hào)是從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫(xiě)： A 我們的參賽報(bào)名號(hào)為如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的話：所屬學(xué)校請(qǐng)?zhí)顚?xiě)完整的全名： 工業(yè)學(xué)院 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1.王×× 2.盧×× 3.唐××指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)：論文紙質(zhì)版與電子版中的以上信息必須一致，只是電子版中無(wú)需簽名。以上容請(qǐng)仔細(xì)核對(duì)，提交后將不再允許做任何修改。如填寫(xiě)錯(cuò)誤，論文可能被取消評(píng)獎(jiǎng)資格。

3、 日期： 2021 年 7 月 27 日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)展編號(hào)：2021 高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編 號(hào) 專 用 頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)展編號(hào)：賽區(qū)評(píng)閱記錄可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)展編號(hào)：MERS傳播的數(shù)學(xué)模型的建立與分析摘要本文針對(duì)MERS的傳播建立了傳統(tǒng)的SIR倉(cāng)室數(shù)學(xué)模型。針對(duì)問(wèn)題一，對(duì)一提供的早期模型，認(rèn)為“傳染概率的說(shuō)法欠妥，傳染期限L確實(shí)定缺乏醫(yī)學(xué)上的支持，使模型的說(shuō)服力降低。模型中借鑒的參數(shù)來(lái)預(yù)測(cè)的疫情走勢(shì)，不失為一種方法。但在不同國(guó)家因政策，地域的不同，病毒的傳播

4、和控制呈現(xiàn)不同的特點(diǎn)，使不同國(guó)家不同城市之間的可比性降低。而且由于MERS和SARS的治病機(jī)理不同，傳染率和死亡率不同，患病人數(shù)規(guī)模不同，所以對(duì)MERS的傳播分析，不能簡(jiǎn)單的套用一所用的模型。針對(duì)問(wèn)題二，我們?cè)赪HO(World Health Orgnazation)的官方上查找到了國(guó)MERS疫情從2021 年5月20日至2021 年7月5日的詳細(xì)數(shù)據(jù)1。對(duì)MERS的傳播建立傳統(tǒng)的SIR倉(cāng)室模型，采用最小二乘法擬合參數(shù)，利用MATLAB編程求解，畫(huà)出參數(shù)感染率的參數(shù)散點(diǎn)圖和參數(shù)移出率的散點(diǎn)圖對(duì)第三個(gè)問(wèn)題，本文研究對(duì)MERS疫情對(duì)國(guó)入境旅游收入的影響，建立了灰色預(yù)測(cè)GM1，1模型。關(guān)鍵字：SIR

5、倉(cāng)室模型 常微分方程參數(shù)擬合 灰色預(yù)測(cè)1.問(wèn)題重述MERSMiddle East Respiratory Syndrome病毒是一種新型的冠狀病毒，這種病毒已經(jīng)被命名為中東呼吸綜合征冠狀病毒，大多數(shù)MERS病毒感染病例發(fā)生在沙特。2021 年，MERS在國(guó)又有新一輪的爆發(fā)和蔓延，給國(guó)的經(jīng)濟(jì)開(kāi)展和人民生活帶來(lái)了較大影響。對(duì)MERS的傳播建立數(shù)學(xué)模型，具體要求如下：1對(duì)所提供的一個(gè)SARS傳播的早期模型，請(qǐng)對(duì)其評(píng)價(jià)是否適用MERS。2收集MERS的國(guó)疫情數(shù)據(jù)，建立MERS傳播的數(shù)學(xué)模型，說(shuō)明優(yōu)于1中的模型的原因；特別要說(shuō)明怎樣建立一個(gè)真正能夠預(yù)測(cè)以及能為預(yù)防和控制提供可靠、足夠的信息的模型。對(duì)于衛(wèi)

6、生部門所采取的措施做出評(píng)論，如：提前或延后n天采取嚴(yán)格的隔離措施，對(duì)疫情傳播所造成的影響做出估計(jì)。3收集MERS對(duì)國(guó)旅游方面影響的數(shù)據(jù)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型并進(jìn)展預(yù)測(cè)。2.模型假設(shè)1.假設(shè)一個(gè)MERS康復(fù)者不會(huì)二度感染，他們已退出傳染體系，因此將其歸為“退出者；2.模型不考慮所研究這段時(shí)間的自然出生率和死亡率，MERS引起的死亡人數(shù)歸為“退出者；3.假設(shè)在疾病傳播期所考察地區(qū)總?cè)藬?shù)視為常數(shù)；4.假設(shè)每個(gè)病人單位時(shí)間有效接觸的人數(shù)為常數(shù)；5. 假設(shè)國(guó)在MERS疫情流行期間和完畢之后，旅游業(yè)數(shù)據(jù)的變化只與MERS疫情的影響有關(guān)，不考慮其它隨機(jī)因素的影響。3.變量說(shuō)明：表示易感染人群 (suscept

7、ible)占總?cè)藬?shù)的比例；表示感染人群(infected)占總?cè)藬?shù)的比例；：表示移出人群占總?cè)藬?shù)的比例；：表示感染者對(duì)易感染者有效感染的感染率；：表示移出率，即移出者的增加率：表示第個(gè)單位時(shí)間的旅游業(yè)的收益；表示在個(gè)單位時(shí)間時(shí)的累積旅游業(yè)的收益；：稱為系統(tǒng)開(kāi)展灰數(shù)；：稱為生控制變量4.對(duì)早期模型的評(píng)價(jià)1的模型主要采用“數(shù)據(jù)擬合和“借鑒參數(shù)的方法對(duì)疫情走勢(shì)進(jìn)展預(yù)測(cè)。在數(shù)據(jù)擬合方面，該模型中有兩個(gè)疑點(diǎn)：1、感染期限L確實(shí)定。由于被嚴(yán)格隔離、治愈、死亡等原因，感染者在*一時(shí)段后不再具有對(duì)易感人群的傳染力，故對(duì)病毒的傳染加上感染期限是合理的。但在對(duì)該參數(shù)確實(shí)定上，作者為了較好地?cái)M合各階段的數(shù)據(jù) ,通過(guò)

8、人為調(diào)試來(lái)確定L的取值，缺乏醫(yī)學(xué)上的支持，使模型的說(shuō)服力減弱，合理性和可靠性大大降低。2、文中認(rèn)為“K代表*種環(huán)境下一個(gè)人傳染他人的平均概率。但從模型的公式中可以看出，參數(shù)K的實(shí)際意義是一個(gè)病人平均每天傳染其他人的個(gè)數(shù)。兩者之間有實(shí)質(zhì)的區(qū)別，文中的說(shuō)法顯然不妥。從預(yù)測(cè)思想來(lái)看，該模型是借鑒先發(fā)地區(qū)、的有關(guān)參數(shù)對(duì)的疫情進(jìn)展預(yù)測(cè)的。由于、的疫情和控制都在之前，已經(jīng)過(guò)了頂峰期，到5月8日為止每日新增病例已降至10來(lái)例，根本處于后期控制階段。而當(dāng)時(shí)的疫情剛過(guò)了頂峰期，正處于社會(huì)劇烈調(diào)整時(shí)期，數(shù)據(jù)較為凌亂，略有下降趨勢(shì)，但不明顯?？梢?jiàn)在當(dāng)時(shí)，采取這種借鑒是無(wú)奈之舉。但是由于城市之間的政策，風(fēng)俗習(xí)慣等不同

9、，城市之間的可比性不強(qiáng)，借鑒存在很大的局限性。如在，由于對(duì)傳播機(jī)制認(rèn)識(shí)缺乏，中途又出現(xiàn)高度感染的特殊情況。另外使用借鑒法無(wú)法對(duì)首發(fā)城市進(jìn)展預(yù)測(cè)。MERSS和SARS又有許多不同, 例如，MERS的病死率約為40.7%，傳染性沒(méi)有SARS強(qiáng)，但SARS的病死率為14%-15%，低于MERS，傳染性則強(qiáng)于MERS。MERS和SARS治病機(jī)理不同，傳染率死亡率不同，病毒潛伏時(shí)間也不同，所以不能簡(jiǎn)單的套用所給模型來(lái)分析和預(yù)測(cè)MERS的傳播。5.模型的建立與求解51 問(wèn)題2的模型建立與求解5.1.1 問(wèn)題2的模型思路對(duì)于傳染病感染區(qū)，由于為了防止傳染病的更大的擴(kuò)散，一方面政府會(huì)對(duì)人口的流動(dòng)做出限制，另一

10、方面?zhèn)€人由于對(duì)傳染病的警覺(jué)也不會(huì)進(jìn)入感染區(qū)，所以，感染區(qū)人口流動(dòng)很小。即可把它看作一個(gè)封閉區(qū)，則可以建立SIR倉(cāng)室模型2,里面的總?cè)藬?shù)不變，里面的人分類為：易感染者:即正常人，但可能會(huì)被感染。感染者：已經(jīng)感染這種病的人，可以傳染給周圍的人。移出者：包括感染者中死亡的人，感染者中自愈的人和先天對(duì)這種病毒有免疫的人，他們將不在受這種傳染病的影響。5.1.2 問(wèn)題2的模型建立根據(jù)傳染病的感染而致的各類人口比例的變化可以建立微分方程。這里用表示易感染人群 (susceptible)的比例關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，同樣用表示感染人群(infected)的比例關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，用表示移出人群的比例關(guān)于時(shí)間的函數(shù)。方程

11、一：根據(jù)感染人群比例增長(zhǎng)相等，可建立如下方程：這里表示感染者對(duì)易感染者有效感染的感染率，即單位時(shí)間單位病人傳染的人數(shù)與易感者之比值；表示移出率，即單位時(shí)間移出者占染病者的比率；表示感染者比例關(guān)于時(shí)間的函數(shù)；表示易感染人者比例關(guān)于時(shí)間的函數(shù)。方程二：根據(jù)易感染者比例減少相等，可建立如下方程：方程三：根據(jù)移出者的增長(zhǎng)相等，建立如下方程：這里表示移出者比例關(guān)于時(shí)間的函數(shù)。方程四：易感染者比例，感染者比例和移出者比例之和恒為1：綜上：5.1.3問(wèn)題2的模型求解5.2.1問(wèn)題2的模型微分方程初始值確定 我們統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)是從2021 年5月20日到2021 年7月7日的數(shù)據(jù)見(jiàn)表一，共計(jì)49天，對(duì)于移除者比例

12、，在病情開(kāi)場(chǎng)沒(méi)有死亡人數(shù)，也沒(méi)有治愈人數(shù)，所以移除者比例的初始條件，對(duì)于感染者比例，根據(jù)數(shù)據(jù)看出開(kāi)場(chǎng)只有1人，所以感染者比例的初始條件，對(duì)于易感染者的初始條件可有算出，即。表一 對(duì)MERS疫情每天數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)日期當(dāng)天確診病例人數(shù)累計(jì)確診病例人數(shù)當(dāng)天死亡人數(shù)累計(jì)死亡人數(shù)20/05/2021 330021/05/2021 030022/05/2021 030023/05/2021 030024/05/2021 030025/05/2021 140026/05/2021 150027/05/2021 050028/05/2021 270029/05/2021 6130030/05/2021 31600

13、31/05/2021 8240001/06/2021 4281102/06/2021 7350103/06/2021 5401204/06/2021 13531305/06/2021 7601406/06/2021 16760407/06/2021 16920408/06/2021 6983709/06/2021 161141810/06/2021 1212631111/06/2021 613221312/06/2021 1314511413/06/2021 314831714/06/2021 515342115/06/2021 415712216/06/2021 516222417/06/2

14、021 216452918/06/2021 316702919/06/2021 016713020/06/2021 216903021/06/2021 317203022/06/2021 317503023/06/2021 417903024/06/2021 017913125/06/2021 118013226/06/2021 118123427/06/2021 018103428/06/2021 018103429/06/2021 018103430/06/2021 018103401/07/2021 118203402/07/2021 218413503/07/2021 01840350

15、4/07/2021 118503505/07/2021 018503506/07/2021 018503507/07/2021 01851365.2.2問(wèn)題2的模型參數(shù)擬合 對(duì)于模型上的參數(shù)感染率和移出率受很多因素影響，很顯然不是一個(gè)常數(shù)。但是對(duì)于不是常數(shù)的參數(shù)很難擬合，所以，我們把所采集的數(shù)據(jù)見(jiàn)表一分為適當(dāng)個(gè)組，把每個(gè)組的參數(shù)看作常數(shù)，這樣就很方便擬合出每個(gè)組的參數(shù)，最后再綜合各個(gè)組擬合的參數(shù)，把參數(shù)擬合成關(guān)于自變量時(shí)間的函數(shù)當(dāng)然這里的組數(shù)分得越多則參數(shù)擬合得更加準(zhǔn)確。這樣就完整擬合出了每個(gè)時(shí)刻的參數(shù)值。對(duì)于每個(gè)組的參數(shù)擬合，根據(jù)參數(shù)感染率的定義單位時(shí)間單位病人傳染的人數(shù)與易感者之比值而易感

16、染人數(shù)遠(yuǎn)大于單位病人傳染人數(shù)，所以。移出率單位時(shí)間移出者占染病者的比率同樣可以得知，所以可以定兩個(gè)參數(shù)的圍都在0到1之間，這里可以用嘗試參數(shù)值去逼近最正確參數(shù)，具體步驟如下：Step1：因?yàn)槟Ｐ偷膮?shù)感染率和移出率圍都在0到1之間，這里我們先用0.1的梯度把參數(shù)分成0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9九個(gè)值，兩個(gè)參數(shù)共組成81組值。Step2：把分成的每組參數(shù)值代入模型的微分方程組，用matlab中的函數(shù)可算出一個(gè)數(shù)值解。Step3：用上面求出來(lái)的函數(shù)計(jì)算出的值和實(shí)際值作差計(jì)算平方和即最小二乘法，找出所有組參數(shù)值中最小的二乘數(shù)，即那組的感染率和移出率就是在梯度

17、0.1下的最正確參數(shù)值。Step4：畫(huà)出已經(jīng)計(jì)算出來(lái)的函數(shù)圖，與實(shí)際數(shù)據(jù)的函數(shù)圖比照，如果相差太遠(yuǎn)這進(jìn)展下一步，反之轉(zhuǎn)到Step7。Step5：為了更加靠近最終的參數(shù)最正確值，這里再在上次擬合出來(lái)的參數(shù)值左右一個(gè)梯度的圍再以上次梯度的0.1倍進(jìn)展參數(shù)再分組。例如：假設(shè)上次算出來(lái)的最正確感染率=0.5移出率=0.2，這次的參數(shù)圍就是，這次就用0.01的梯度把參數(shù)分為20組參數(shù)。Step6：回到Step2。Step7：到了這里我們已經(jīng)算出了一組數(shù)據(jù)的最正確參數(shù)值。然后重復(fù)以上步驟，算出每組數(shù)據(jù)的最正確參數(shù)值。Step8：根據(jù)各組數(shù)據(jù)的最正確參數(shù)值畫(huà)出參數(shù)值得散點(diǎn)圖，擬合成適應(yīng)函數(shù)。到這里，全部參數(shù)

18、擬合完畢。算法流程圖如圖一所示：開(kāi)場(chǎng)把參數(shù)分組將每一組參數(shù)值代入微分方程組，求方程組的數(shù)值解由每組參數(shù)算出函數(shù)的值與實(shí)際值比擬，記錄最小二乘數(shù)反響的兩個(gè)參數(shù)畫(huà)出函數(shù)圖，與實(shí)際函數(shù)圖比照再次將參數(shù)分組，代入微分方程組，求數(shù)值解記錄這組數(shù)據(jù)的額參數(shù)值每組數(shù)是否找到了參數(shù)相差不大相差很大否完畢圖1 算法流程圖根據(jù)以上算法用matlab編程程序見(jiàn)一，可以畫(huà)出參數(shù)感染率的參數(shù)散點(diǎn)圖見(jiàn)圖2和參數(shù)移出率的散點(diǎn)圖見(jiàn)圖3。程序沒(méi)有寫(xiě)出來(lái)，沒(méi)有結(jié)果5.3問(wèn)題3的模型建立與求解5.3.1問(wèn)題3的模型建立對(duì)于問(wèn)題3，MERS疫情對(duì)國(guó)入境旅游游客人數(shù)的影響，這里建立了一階一元灰色預(yù)測(cè)模型GM(1，1)，對(duì)旅游入境旅游游

19、客人數(shù)進(jìn)展預(yù)測(cè)。以單位是表示的時(shí)間序列就為：這里表示第個(gè)單位時(shí)間的國(guó)入境旅游游客人數(shù)令：即通過(guò)上面公式7累積形成新的列：這里表示表示在個(gè)單位時(shí)間時(shí)的國(guó)累積入境旅游的游客人數(shù)則可以建立GM(1,1)模型：這里稱為系統(tǒng)開(kāi)展灰數(shù)，稱為生控制變量。5.3.2問(wèn)題3的模型求解 確定參數(shù)： 可利用一階微分方程的解法求得其解，然后將7式代入，使用最小二乘法，便可以得出：其中： 生成列可以按以下公式計(jì)算出：其中，。計(jì)算預(yù)測(cè)：根據(jù)采集的數(shù)據(jù)見(jiàn)表2，可以通過(guò)以上公式11可以用matlab算出參數(shù)，然后用matlab解出微分方程。表 2 2021 年國(guó)旅游各月份的游客數(shù)月份游客萬(wàn)人月份游客萬(wàn)人1月524月672月5

20、65月303月616月20通過(guò)matlab程序見(jiàn)2，可以畫(huà)出出在第個(gè)月的國(guó)入境旅游的游客人數(shù)的函數(shù)圖表3。表3 預(yù)計(jì)游客人數(shù)結(jié)果月份12345678游客人數(shù)萬(wàn)人79.6960.1754.9845.6937.9631.5426.2121.786、模型的分析、推廣與改良要真正建立能夠預(yù)測(cè)以及能為預(yù)防和控制提供可靠，足夠的信息的模型。要怎樣做，以及困難。事實(shí)上，真正情況要比我們的模型復(fù)雜的多，比方，由于初期傳播機(jī)理不明，醫(yī)護(hù)人員為收到好的保護(hù)，很多受到傳染。而傳播率事實(shí)上也是按照*種趨勢(shì)變化的，他與人們的警覺(jué)心理等因素有關(guān)。要建立這樣的模型，我們認(rèn)為：1、要不斷的研究傳染病理，完善模型。2、建立實(shí)時(shí)

21、反響機(jī)制，不斷修改模型參數(shù)，以求更準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)以后的數(shù)據(jù)。3、盡量以實(shí)際的研究數(shù)據(jù)建模，力求準(zhǔn)確反映事件的實(shí)質(zhì)。這樣，當(dāng)人為修改參數(shù)進(jìn)展模擬預(yù)測(cè)時(shí)，可以為采取什么措施效果最好做出較準(zhǔn)確的建議。4、研究各種措施實(shí)際對(duì)疾病傳播的影響。要做到這些，也恰恰是建模的難點(diǎn)，因?yàn)楫?dāng)涉及到新的傳染病的時(shí)候，以上數(shù)據(jù)或參數(shù)都必須通過(guò)長(zhǎng)期的研究或擬合才能得到的。比方措施對(duì)疾病傳播的影響，是要統(tǒng)計(jì)大量實(shí)際數(shù)據(jù)才能獲得的。以上也可以看作我們模型的改良方向。7、參考文獻(xiàn)1世界衛(wèi)生組織. ./csr/disease/coronavirus_infections/MERS-CoV-cases-rok-21Jul

22、15.*ls*?ua=12 周寧 林，基于灰色微分方程的傳染病預(yù)測(cè)，.ki./Article/CJFDTotal-LLYY202104016.htm，2021 .07.298、附錄1：2：y= dsolve('Dy=81.9185-0.1852*y','y(1)=52','t') y = 819185/1852 - (722881*e*p(-(463*t)/2500)*e*p(463/2500)/1852 >> *=81.9185-0.5*0.1852*(

23、819185/1852 - (722881*e*p(-(463*t)/2500)*e*p(463/2500)/1852)+(819185/1852 - (722881*e*p(-(463*(t-1)/2500)*e*p(463/2500)/1852) >> * >> t=1 2 3 4 5 6 7 8t =     1    

24、; 2     3     4     5     6     7     8>> *=81.9185-0.5*0.1852*(819185/1852 - (722881*e*p(-(463*t)/2500)*e*p(463/2500)/1852)

25、+(819185/1852 - (722881*e*p(-(463*(t-1)/2500)*e*p(463/2500)/1852)* =   79.6419   66.1775   54.9894   45.6928   37.9679   31.5490   26.2152   21.7832y= dsolve(&#

26、39;Dy=81.9185-0.1852*y','y(1)=52','t') y = 819185/1852 - (722881*e*p(-(463*t)/2500)*e*p(463/2500)/1852t=1 2 3 4 5 6 7 8t =     1     2     3

27、     4     5     6     7     8>> *=81.9185-0.5*0.1852*(819185/1852 - (722881*e*p(-(463*t)/2500)*e*p(463/2500)/1852)+(819185/1852 - (722881*e*p(-(463*(t-1)/2500)*e*p(463/2500)/1852)* =   79.6419   66.1775   54.9894   45.6928   37.9679   3