第六章參數(shù)估計(jì)

1、第六章第六章 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)：用樣本統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)總體的參數(shù)參數(shù)估計(jì)的兩條途徑：v點(diǎn)估計(jì)：v區(qū)間估計(jì)： 用由樣本數(shù)據(jù)所計(jì)算出來的單個(gè)數(shù)值對總體參數(shù)直接估計(jì)，例如利用樣本平均數(shù)的值估計(jì)總體平均數(shù)參數(shù)。 所謂的區(qū)間估計(jì)就是在一定的概率保證下指出總體參數(shù)的可能范圍，這個(gè)可能的范圍稱為置信區(qū)間，相應(yīng)的概率保證保證稱為置信水平或置信度。如：某一研究發(fā)現(xiàn)豬仔出生重平均數(shù)的置信水平為95%的置信區(qū)間為（1.02kg，1.38kg）第一節(jié) 點(diǎn)估計(jì)（Point Estimation） 點(diǎn)估計(jì)就是用樣本特征數(shù)來估計(jì)相應(yīng)的總體特征數(shù)，如用樣本平均數(shù)，中位數(shù)或眾數(shù)來估計(jì)總體平均數(shù) 估計(jì)同一個(gè)參數(shù)的樣本統(tǒng)計(jì)量（

2、常稱為估計(jì)量estimator）可能有好幾個(gè)，如何決定哪個(gè)最好？一個(gè)好的估計(jì)量應(yīng)滿足三個(gè)條件：3.相容(consistent)1.無偏(unbiased)2.有效(efficient)無偏估計(jì)量（unbiased estimator）v如果一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的理論平均數(shù)等于總體參數(shù)，這個(gè)統(tǒng)計(jì)量就被稱為無偏估計(jì)量。1、 是的無偏估計(jì)值。2、s2是2的無偏估計(jì)值y有效估計(jì)量（efficient estimator）v在樣本含量相同的情況下，如果一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的方差小于另一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的方差，則前一個(gè)統(tǒng)計(jì)量是更有效的估計(jì)量。v從一個(gè)整體總體中，抽取含量為n的樣本，樣本平均數(shù)的方差為 v當(dāng)n充分大時(shí)，中位數(shù)m的方差為

3、n22y2n22m相容估計(jì)量（consistent estimator）v若統(tǒng)計(jì)量的取值，任意接近于參數(shù)值的概率隨樣本含量n的無限增加而趨于1，則該統(tǒng)計(jì)量稱為參數(shù)的相容估計(jì)量。（樣本越大，估計(jì)量越好）v樣本平均數(shù)是總體平均數(shù)的相容估計(jì)量。v樣本方差也是總體方差的相容估計(jì)量。第二節(jié) 區(qū)間估計(jì) (Interval Estimation)1.區(qū)間估計(jì)的基本方法區(qū)間估計(jì)的基本方法定義：根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量，以一定的可靠程度推斷總體參數(shù)所在的區(qū)間范圍。1-（置信區(qū)間）就是區(qū)間估計(jì)的可靠程度。一般求法：依據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量的分布來求這里，我們主要討論總體分布為這里，我們主要討論總體分布為正態(tài)正態(tài)的情形的情形. 若樣本

4、容量很大，即使總體分布未知，應(yīng)用若樣本容量很大，即使總體分布未知，應(yīng)用中心極限定理，可得總體的近似分布，于是中心極限定理，可得總體的近似分布，于是也可以近似求得參數(shù)的區(qū)間估計(jì)也可以近似求得參數(shù)的區(qū)間估計(jì).例一v已知原來成年對蝦的平均體長0=10.0cm，標(biāo)準(zhǔn)差為=0.40cm。改善飼養(yǎng)方法后，隨機(jī)抽取10個(gè)對蝦，測得體長平均數(shù)為10.23cm。問改善飼養(yǎng)方法后對蝦體長變化是否顯著？顯著性水平=0.052. 平均數(shù)平均數(shù) 的置信區(qū)間的置信區(qū)間2.1 已知時(shí)， 的置信區(qū)間1)/y( 22unuP1)/ y/ y( 22nunuP所以 的 1 的置信區(qū)間為)/ y ,/ y(22nunu或?qū)懗蒼u/

5、 y2說明：說明：（1）置信區(qū)間不唯一，在置信度固定的條件下，置）置信區(qū)間不唯一，在置信度固定的條件下，置信區(qū)間越短，估計(jì)精度越高信區(qū)間越短，估計(jì)精度越高.（2）在置信度固定的條件下，）在置信度固定的條件下，n 越大，置信區(qū)間越越大，置信區(qū)間越短，估計(jì)精度越高短，估計(jì)精度越高.（3）在樣本量）在樣本量n固定時(shí)，置信度越大，置信區(qū)間越固定時(shí)，置信度越大，置信區(qū)間越長，估計(jì)精度越低長，估計(jì)精度越低.例2v與北京“全聚德”烤鴨店訂立的合同上要求鴨子盡量2.0公斤/只，按只付錢。養(yǎng)鴨戶送來100只，平均1.88公斤/只，烤鴨店說太輕了。帶回去又養(yǎng)了幾天，平均2.12公斤/只。烤鴨店又說太肥了。鴨子合格

6、的平均重量范圍應(yīng)該是多少?顯著性水平為0.05樣本含量不同，要求范圍不同v每次送4只鴨子，要求的重量范圍是1.802.20kg/只v每次送16只鴨子，要求的重量范圍是1.902.10kg/只v每次送100只鴨子，要求的重量范圍是1.962.04kg/只v每次送400只鴨子，要求的重量范圍是1.982.02kg/只2.2 未知時(shí)， 的置信區(qū)間1)/y( 22tnstP1)/ y/ y( 22nstnstP所以 的 1的置信區(qū)間為)/ y ,/ y(22nstnst或?qū)懗蒼st/ y2ns-yt 用的統(tǒng)計(jì)量是未知時(shí)，研究平均數(shù)所例3v晚稻良種汕優(yōu)63的千粒重027.5g?，F(xiàn)育成一高產(chǎn)品種協(xié)優(yōu)輻81

7、9，在9個(gè)小區(qū)種植，得其千粒重為：32.5, 28.6, 28.4, 24.7, 29.1, 27.2, 29.8, 33.3, 29.7(g)（1）（原來的問題）試問新育成品種的千粒重與汕優(yōu)63有無顯著差異？（2）求置信水平為95的新育成品種千粒重的置信區(qū)間？5 .27: ; 5 .27:100AHH）解：（036. 2/y ,587. 2 ,55.29y0nsts所以拒絕域?yàn)闀r(shí)，自由度為 ,306. 2 819,05. 02t千粒重沒有顯著差異。即新品種與汕優(yōu)所以，我們不否定63 ,0H0.05 195 2所以，）置信水平（266.273587. 2306. 2255.29y2nst244

8、.313587. 2306. 2255.29y2nst。，的置信區(qū)間為（所以新品種千粒重244).31 266.2795注意注意： （a） 置信區(qū)間也可以用來進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。以上述例子為例，因?yàn)?5的置信區(qū)間是（27.266, 31.244)，它包含了零假設(shè)中待檢驗(yàn)的27.5，所以我們沒有理由拒絕 H0：27.5。 （b） 利用置信區(qū)間進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的基本方法：如果置信區(qū)間包含了H0中的數(shù)值，則不拒絕H0；如果置信區(qū)間不包含H0中的數(shù)值，則拒絕H0。 （c） 置信區(qū)間和假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)論是一致的。3. 方差方差2 和標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間的置信區(qū)間分布。的它服從自由度為，所采用的統(tǒng)計(jì)量是研究2222

9、1 ) 1( nsn1)1( 22/2222/1snP（因此，1)1)1( 22/12222/2（變形得到，snsnP。（，（的置信區(qū)間是所以，22/1222/22)1 )1 snsn。（，（的置信區(qū)間是相應(yīng)地，22/122/) 1s ) 1s nn4. 平均數(shù)差平均數(shù)差 1 1 2 2 的置信區(qū)間的置信區(qū)間已知標(biāo)準(zhǔn)差i)1 (時(shí)未知，但標(biāo)準(zhǔn)差21i)2(時(shí)未知，但標(biāo)準(zhǔn)差21i)3(已知標(biāo)準(zhǔn)差i) 1 () 1 , 0()(yy 2221212121Nnnu樣本統(tǒng)計(jì)量1)(yy( 222212121212unnuP所以，1)yyyy( 22212122121222121221nnunnuP變形

10、得到，)yyyy(1 22212122122212122121nnunnu，置信區(qū)間為的所以)11(2) 1() 1()yy( , )11(2) 1() 1()yy( 1 2121222211221212122221122121nnnnsnsntnnnnsnsnt置信區(qū)間為的得到利用和上面類似的推導(dǎo)22121222211212121)11(2) 1() 1()(yy nntnnnnsnsn樣本統(tǒng)計(jì)量時(shí)未知，但標(biāo)準(zhǔn)差21i)2(自由度為n1n22的t分布)yy( ,)yy( 22212/2122212/2121nsstnsstnnn時(shí)，上式可簡化為當(dāng)22212122122212122121)yy

11、( ,)yy( 1 nsnstnsnst置信區(qū)間為的得到利用和上面類似的推導(dǎo)分布，其中的服從自由度為樣本統(tǒng)計(jì)量 )(yy 2221212121tdfnsns時(shí)未知，但標(biāo)準(zhǔn)差21i) 3(2221211212212 , 1)1(11nsnsnsknknkdf例例4 對兩批黃連中小檗堿的含量進(jìn)行比較，分別隨機(jī)抽取出4個(gè)150g的樣品，在同樣條件下測定含量為：（1）（原來的問題）試檢驗(yàn)這兩批黃連小檗堿含量的總體方差是否有顯著差異？ 樣本1數(shù)據(jù)（Y1）樣本2數(shù)據(jù)（Y2）8.90 8.91 8.96 8.85 8.98 8.82 8.96 8.90 （2）試求兩批黃連小檗堿含量差值1 2的95的置信區(qū)間

12、，并回答兩批黃連小檗堿含量是否有顯著差異？（提示：利用求得的置信區(qū)間進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)）62 , 4 0018. 0 ,87. 8y ,0012. 0 ,95. 8y2121222211nnnnnss自由度且，求得解：首先根據(jù)樣本數(shù)據(jù)013. 040018. 00012. 0447. 287. 895. 8yy 22212/21nsst所以，147. 040018. 00012. 0447. 287. 895. 8yy22212/21nsst），置信區(qū)間為（的因此，147. 0 013. 095 210: , 0: 21210AHH設(shè)檢驗(yàn)現(xiàn)利用置信區(qū)間進(jìn)行假含量存在顯著差異。認(rèn)為兩批黃連的小檗堿所以

13、我們否定，中的不包含的置信區(qū)間（因?yàn)?,0)147. 0 ,013. 00021HH5. 配對數(shù)據(jù)配對數(shù)據(jù)的置信區(qū)間的置信區(qū)間的標(biāo)準(zhǔn)差。為的平均值，為分布，其中的它服從自由度為為研究配對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)量ididdsddtnnsd 1 ,/ ) , 2/2/21nstdnstdddd（的置信區(qū)間為配對數(shù)據(jù)所以，的置信區(qū)間和標(biāo)準(zhǔn)差比方差比212221 . 6分布。的和它服從自由度為，樣本統(tǒng)計(jì)量比較兩樣本方差時(shí)使用Fnnss11 /21222221211)1, 1(/)1, 1( 212/22222121212/1nnFssnnFP因此，1)1, 1(1)1, 1(1 212/122212221212/

14、2221nnFssnnFssP即，1) 1, 1() 1, 1(1 122/22212221212/2221nnFssnnFssP即，NoImage)1, 1( ,) 1, 1(1( 1 122/2221212/22212221nnFssnnFss的置信區(qū)間為的所以) )1, 1( ,)1, 1( 1 2122/1212/2121snnFsnnFss的置信區(qū)間為的相應(yīng)地，的置信區(qū)間？的堿含量的方差比為例，求兩批黃連小檗，以本節(jié)例例9545222144.15)3 , 3()1, 1( 025.0212/FnnF解：44.15)3 , 3()1, 1(025.0122/FnnF0432.044.1510018.00012.0)1, 1(1212/2221nnFss293.1044.150018. 00012. 0) 1, 1(122/2221nnFss）的置信區(qū)間為（的所以，293.10 ,0432. 0952221參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)的關(guān)系v統(tǒng)計(jì)的置信區(qū)間不同：區(qū)間估計(jì)通常