理論力學(xué)第二章力系的簡化

1、12 21 匯交力系的合成匯交力系的合成 22 力偶系合成力偶系合成 23 平行力系的簡化平行力系的簡化 24 重心重心 25 空間一般力系的簡化空間一般力系的簡化3匯交力系：各力作用線匯交于一點的力系 匯交力系平面匯交力系空間匯交力系作用在剛體上的力為滑移矢量滑移矢量匯交力系共點力系沿作用線移動沿作用線移動4一、合成的幾何法AF2F1F4F3F2F1FF3F4BCDEAF2AF1F4F35由力的三角形法則，得1234FFFFF分力矢1234FFFF、 、 、和合力矢F構(gòu)成了封閉四邊形稱為力多邊形，由力多邊形求合力的方法稱為力多邊形法則。F2F1FF3F4BCDAF2F1FF3F4BCDA力多

2、邊形法則：各分力矢依一定次序首尾相接，形成一力矢折線鏈，合力矢是封閉邊，其方向為第一個力矢的起點指向最后一個力矢的終點。6可推廣到一般，求 個力組成的匯交力系的合力。n空間匯交力系是否可以用力的多邊形法則求合力？結(jié)論：結(jié)論：匯交力系合成的結(jié)果是一個合力匯交力系合成的結(jié)果是一個合力作用線：作用線通過匯交點作用線：作用線通過匯交點大小方向：由力多邊形封閉邊確定大小方向：由力多邊形封閉邊確定1niiFF用矢量式表示：圖7二、合成的解析法kFjFiFFiziyixi1niiFFniiziyixkFjFiF1（匯交力系合力矢為各分力矢的矢量和）niizniniiyixkFjFiF111設(shè)合力解析表示為：

3、kFjFiFFzyx8得：1nyiyiFF1nxixiFF1nziziFF合力投影定理合力投影定理： 合力在任一軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。合力的大?。汉狭Φ姆较颍?22ixiyizFFFFcosixFFcosiyFFcosizFF合力的作用線過匯交點9三、匯交力系的合力矩定理匯交力系12,nF FF合力為F合力對點O的力矩矢為： OMFrF由于iFF得： OiMFrF12nrFrFrF 其中： iOirFMF所以得：所以得： 1nOOiiMFMF10匯交力系的合力矩定理： 匯交力系的合力對任一點的力矩矢等于各分力對匯交力系的合力對任一點的力矩矢等于各分力對同一點之力矩矢的矢量

4、和；合力對任一軸之矩等于同一點之力矩矢的矢量和；合力對任一軸之矩等于各個分力對同一軸之矩的代數(shù)和各個分力對同一軸之矩的代數(shù)和。 1nOOiiMFMF 1nzziiMFMF 平面匯交力系的合力對平面內(nèi)任一點的矩等于平面匯交力系的合力對平面內(nèi)任一點的矩等于各個分力對同一點矩的代數(shù)和。各個分力對同一點矩的代數(shù)和。平面匯交力系的合力矩定理： 1nOOiiMFMF11例1：力F作用于支架上的點C如圖所示，設(shè)F100N, 試求力F分別對點A,B之矩。解：解：mNFFFMFMFMyAxAA-2360cos360sin2)()()(oomNFFMFMFMyBxBB-15060cos30)()()(o12力偶系

5、的合成1、空間力偶系的合成空間力偶系：12,nM MM 空間力偶系可合成為一力偶。合力偶的力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。圖13222ixiyizMMMMcosixMMcosiyMMcosizMM合力偶大?。汉狭ε挤较颍?、平面力偶系的合成iMMiMM14一、力的平移定理力的平移定理：力的平移定理：作用于剛體上的力均可從原來的作用點平移至同一剛體內(nèi)任意一點，為不改變原力對剛體的作用效應(yīng)，必須附加一力偶，該附加力偶的力偶矩等于原力對新作用點的矩。15工程實例書P28解釋 圖16二、空間一般力系向一點簡化空間一般力系：各力的作用線不在同一平面內(nèi)，且 既不匯交一點又不相互平行的力系。O123,nF

6、 F FF剛體內(nèi)任選一點O，力系向O點簡化O點稱為簡化中心圖17圖181）根據(jù)力的平移定理，將各力平行移到O點，1、簡化的一般結(jié)果2）空間一般力系12( ,)nFFF12(,)nM MM空間匯交力系空間力偶系其中：()iOiMMF3）空間匯交力系簡化結(jié)果：合力過匯交點iiFFF空間力偶系簡化結(jié)果：合力偶()iOiMMMF19主矢量：力系中各力的矢量和。iFF主矩：力系中各力對簡化中心矩的矢量和。()OOiMMF主矢和簡化中心的選擇無關(guān)，主矩和簡化中心的選擇有關(guān)。思考：主矢和合力是否相同？思考：主矢和合力是否相同？結(jié)論：結(jié)論：空間一般力系向任一點簡化，一般可得到一個力 和一個力偶，該力通過簡化中

7、心，其大小和方向 等于力系的主矢，該力偶的力偶矩矢等于力系對 簡化中心的主矩。20空間一般力系簡化實例圖212、主矢和主矩的計算222222()()()xyzixiyizFFFFFFF1）主矢的計算cos,cos,cosiyixizFFFFFF2）主矩的計算()()()()()()OxOixxiOyOiyyiOzOizziMMFMFMMFMFMMFMF222OOxOyOzMMMMcos,cos,cosOyOxOzOOOMMMMMM22三、空間一般力系簡化的最后結(jié)果1、若 ,則該力系平衡（下章專門討論）。0,0OFMOM2、若 ,則力系可合成一個合力偶，其矩等于原力系對于簡化中心的主矩 。此時簡

8、化結(jié)果與簡化中心的位置無關(guān)。（簡化中心的位置變，但力都為0，主矢與簡化中心無關(guān)，但主矩大小變）0,0OFM233、若 ，則力系可合成為一個合力，合力通過簡化中心O點，合力大小和方向由力系的主矢確定。 此時與簡化中心有關(guān)（換個簡化中心，主矩不為零。）0,0OFM244、若 0,0OFMOFM1）力系可合成為一個合力，合力大小方向由主矢確定，作用線不過簡化中心O,偏離的距離OdMF圖25空間一般力系的合力矩定理：OM 空間力系向O點簡化后得主矢 和主矩 , 若 ，即垂直，可進(jìn)一步合成為一個作用在新簡化中心O點的合力 （書P30圖）F0OMFFOOMFOOFM）(又由于()OOiMMF iOOFMF

9、M)（ iZZFMFM 上投影，有的任一軸向通過點將zOFMO26合力矩定理的一般形式(1).力系如有合力，則合力對任一點的矩等于力系中各力對同一點的矩的矢量和。(2).力系如有合力，則合力對任一軸的矩等于力系中各力對同一軸的矩的代數(shù)和。 iOOFMFM)（ iZZFMFM27/ /OFM2）力螺旋： 由一力和在該力垂直的平面內(nèi)的一力偶組成的力系。力、力偶和力螺旋是力學(xué)的基本量。右旋力螺旋：（力與力偶矩矢同向） 圖a。左旋力螺旋：（力與力偶矩矢反向） 圖bFMO（a）MO（b）F力系合成為一力螺旋28OFM主矢 和主矩成任意角度3）圖29 分解為OFM1）力系可合成為一個合力，情況如4,1）/

10、 /OFM2）力螺旋，情況如4，2） 30力系合成為一力螺旋。力螺旋中力的大小方向由主矢確定，力偶矩矢大小為 。垂直時中心軸不過簡化中心，平移的距離為/cosOOMM(sin)OOdMFMF中圖為垂直情況，右圖為平行情況。中心軸：與力作用線相重合的直線31力螺旋工程實例圖32力螺旋工程實例圖3334四、平面力系簡化的最后結(jié)果則力系平衡。 0,0OFM 1、若 則力系可合成為一合力偶。 力偶的力偶矩由主矩確定 。0,0OFM 2、若 則力系可合成為一合力。合力過簡化中心，合力大小方向由主矢確定。 0,0OFM 3、若簡化結(jié)果和簡化中心無關(guān)。簡化結(jié)果和簡化中心有關(guān)。35 ，力系可合成為一合力。合力

11、不過簡化中心，平移的距離為d=Mo / F , 合力的大小和方向由主矢確定 。 0,0OFM 4、若=MOOFO AOMFFO AOMFFFF合力作用線方程由平面內(nèi)力對點之矩的解析表達(dá)式：( )OyxOMFF xF yM-其中：O是合力作用線上任意一點36五、力系簡化的應(yīng)用1、固定端約束物體的一部分固嵌于另一物體中所構(gòu)成的約束。 按照作用在物體上的主動力的不同可分為：平面固定端約束和空間固定端約束。371）平面固定端約束圖38 當(dāng)主動力為一平面力系時，物體在固嵌部分所受的力系也應(yīng)是一個平面力系。同理根據(jù)平面力系的簡化結(jié)果向某一點簡化，得到一個力和一個力偶，大小方向都未知的力用一對正交力表示，力

12、偶由平面力偶表示。FAxFAy392）空間固定端約束 當(dāng)主動力為一空間力系時，物體在固嵌部分所受的力系也應(yīng)是一個空間力系。但可根據(jù)空間力系的簡化結(jié)果向某一點簡化，得到一個力和一個力偶，由于力和力偶矩矢的大小和方向都未知，可投影到三個坐標(biāo)軸上，用分量來表示。40圖41圖42圖432、分布平行力系的簡化dF q (x)dx取O點為簡化中心，將力系向O點簡化。主矢量： 0lFq x dx主 矩： 0lOMxq x dx OdMxq x dxF MO，力系可進(jìn)一步簡化為一合力，其作用線距O點的距離為： 00OlldMFxq x dxq x dx441）均布載荷Fql2dl2）三角形載荷012Fq l2

13、3dl45例2 在長方形平板的O，A，B，C點上分別作用著有四個力：F1=1 kN，F(xiàn)2=2 kN，F(xiàn)3=F4=3 kN（如圖），試求以上四個力構(gòu)成的力系對O點的簡化結(jié)果，以及該力系的最后合成結(jié)果。461.求主矢F建立如圖坐標(biāo)系OxyxixFF234cos 60cos 30FFF -0.598 kNyiyFF124sin 60sin 30FFF-0.768 kN22 0.794 kNxyFFF 主矢的大小472. 求主矩MO OOMMF2342cos6023sin300.5kN mFFF- 0.51mOMdF由于主矢和主矩都不為零，所以最后合成結(jié)果是一個合力FR。如右圖所示。cos0.614x

14、FF iF ,52.1F i , cos , 0.789yFFjF37.9F j, 主矢的方向合力FR到O點的距離RFFF48例3已知立方體邊長為a，F(xiàn)1 = F2 = F3 = P ，F(xiàn)4 = F5 = ,求該力系的簡化結(jié)果。2P49解：1.求主矢：1452222xFFFFP -5422022yFFF-230zFFF-2.求主矩：34202xMF aFa -2143202yMF aFaFaF a -422zMFaPa - -50 空間平行力系，當(dāng)它有合力時，合力的作用點C 就是此空間平行力系的空間平行力系的中心中心。而物體重心問題可以看成是空間平行力系中心的一個特例。 一、空間平行力系的中心

15、、物體的重心一、空間平行力系的中心、物體的重心511 1、平行力系的中心、平行力系的中心由合力矩定理可得：RzFzRyFyRxFxiiCiiCiiC 52 如果把物體的重力都看成為平行力系，則求重心問題就是求平行力系的中心問題。 由合力矩定理： iiCxPxP二、重心坐標(biāo)公式二、重心坐標(biāo)公式：53 根據(jù)平行力系中心位置與各平行力系的方向無關(guān)的性質(zhì)，將力線轉(zhuǎn)成與y軸平行，再應(yīng)用合力矩定理對x 軸取矩得：PzPzzPPziiCiiC ,綜合上述得重心坐標(biāo)公式重心坐標(biāo)公式為：PzPzPyPyPxPxiiCiiCiiC ,54PPzzPPyyPPxxiCiCiC, 物體分割的越多，每一小部分體積越小，

16、求得的重心位置就越準(zhǔn)確。在極限情況下，(n- ，常用積分法求物體的重心位置。55PdVzzPdVyyPdVxxVCVCVC,iiiVP 設(shè) i 表示第i個小部分每單位體積的重量，Vi第i個小體積，則代入上式并取極限，可得：上式為重心重心C 坐標(biāo)的精確公式坐標(biāo)的精確公式。 VdVP式中，對于均質(zhì)物體， =恒量，上式成為：VdVzzVdVyyVdVxxVCVCVC,同理對于薄平面和細(xì)長桿均可寫出相應(yīng)的公式。56若以Pi= mig , P=Mg 代入上式可得質(zhì)心公式MzmzMymyMxmxiiCiiCiiC ,57 同理：可寫出均質(zhì)體，均質(zhì)板，均質(zhì)桿的形心（幾何中心）坐標(biāo)分別為：VzVzVyVyVx

17、VxiiCiiCiiC,:立體AzAzAyAyAxAxiiCiiCiiC,:平板lzlzlylylxlxiiCiiCiiC,:細(xì)桿58在極限情況下，當(dāng)時在極限情況下，當(dāng)時 重心坐標(biāo)重心坐標(biāo) 的一般公式為：的一般公式為： 0,iPnPdVzzPdVyyPdVxxVCVCVC,VdVzzVdVyyVdVxxVCVCVC,對于均質(zhì)物體，對于均質(zhì)物體， =恒量，上式成為恒量，上式成為：591.1.積分法積分法- -簡單幾何形狀物體的重心簡單幾何形狀物體的重心 如均質(zhì)物體有對稱面，或?qū)ΨQ軸，或?qū)ΨQ中心，則如均質(zhì)物體有對稱面，或?qū)ΨQ軸，或?qū)ΨQ中心，則該物體的重心必相應(yīng)地在這個對稱面，或?qū)ΨQ軸，或?qū)υ撐矬w的

18、重心必相應(yīng)地在這個對稱面，或?qū)ΨQ軸，或?qū)ΨQ中心上。稱中心上。 重心的求法重心的求法： 60dRdLLCx dLxLsinRxC例例 1：求半徑為求半徑為R，頂角為，頂角為2 的均質(zhì)圓弧的重心。的均質(zhì)圓弧的重心。O cosxR 2cos2RdR-612.2.用組合法求重心用組合法求重心 （1 1）分割法）分割法 若一個物體由幾個簡單形狀的物體組合而成，而這若一個物體由幾個簡單形狀的物體組合而成，而這些物體的重心是已知的，那么整個物體的重心即可用下些物體的重心是已知的，那么整個物體的重心即可用下式求出。式求出。iiiCiiiCiiiCPzPzPyPyPxPx62例例2 2：試求試求形截面重心的位置

19、，其尺寸如圖所示。形截面重心的位置，其尺寸如圖所示。 解：解：取圖示坐標(biāo)，將該圖形分割取圖示坐標(biāo)，將該圖形分割為三個矩形。為三個矩形。4515300111-yxA305400122yxA515300133yxA重心坐標(biāo)為重心坐標(biāo)為 321332211AAAAxAxAxxC321332211AAAAyAyAyyCmm27mm263cm4 . 6 212211SSySySAyAyiiC由解解：cm248 cm4 21 ,80cm212 221)R(y,y,RSS 求：該組合體的重心？已知：64例：例：試求試求形截面重心的位置，其尺寸如圖所示。形截面重心的位置，其尺寸如圖所示。 解：解：取圖示坐標(biāo)，

20、將該圖形分割取圖示坐標(biāo)，將該圖形分割為三個矩形。為三個矩形。4515300111-yxA305400122yxA515300133yxA重心坐標(biāo)為重心坐標(biāo)為 321332211AAAAxAxAxxC321332211AAAAyAyAyyCmm27mm265（2 2）負(fù)面積法（負(fù)體積法）負(fù)面積法（負(fù)體積法） 若在物體或薄板內(nèi)切去一部分（例如有空穴或孔的物若在物體或薄板內(nèi)切去一部分（例如有空穴或孔的物體），則這類物體的重心，仍可應(yīng)用與分割法相同的公式體），則這類物體的重心，仍可應(yīng)用與分割法相同的公式來求得，只是切去部分的體積或面積應(yīng)取負(fù)值。來求得，只是切去部分的體積或面積應(yīng)取負(fù)值。 例例: :偏心

21、塊偏心塊, ,已知已知: :100mm,r=17mm,b=13mm。求重心。求重心。解：解：取圖示坐標(biāo)。將偏心取圖示坐標(biāo)。將偏心塊看成由三部分組成。塊看成由三部分組成。 663421121RyRA3)(4)(21222brybrA-0323-yrA于是，偏心塊重心的坐標(biāo)為于是，偏心塊重心的坐標(biāo)為 321332211AAAAyAyAyyC22222174021002302)3304(10023400-mm01.40673.3.用實驗方法測定重心的位置用實驗方法測定重心的位置 （1 1）懸掛法）懸掛法 68（2 2）稱重法）稱重法 設(shè)汽車是左右對稱的，則重心必在對稱面內(nèi)，只需設(shè)汽車是左右對稱的，則

22、重心必在對稱面內(nèi)，只需測定重心測定重心C 距地面的高度距地面的高度zC和距后輪的距離和距后輪的距離xC。 測定測定xC，將汽車后輪放在地面上，前輪放在磅秤上，將汽車后輪放在地面上，前輪放在磅秤上，車身保持水平。這時磅秤上的讀數(shù)為車身保持水平。這時磅秤上的讀數(shù)為F1。 01-lFPxClPFxC于是得于是得 0)(FAM69測定測定zC, ,將汽車的后輪抬到任意高度將汽車的后輪抬到任意高度H, ,這時磅秤的讀數(shù)為這時磅秤的讀數(shù)為F2 2lPFxC由幾何關(guān)系知由幾何關(guān)系知 cosll sincoshxxCClHsinlHl22cos-rzhC-整理后得整理后得 22121HlHPFFrzC-同理得

23、同理得其中其中70平行力系：作用線互相平行的力系 平行力系平面平行力系空間平行力系首先研究由兩個力構(gòu)成的平行力系71一、兩平行力的合成1、兩同向平行力的合成 CKFFBFABAFAFBEDF1F2ABF1F2即合力的大小等于原有兩力之和。A11FFF , B22FFF ABFFF 1122FFFF1212FF(FF ) 12FF1）大小72CKFFBFABAFAFBEDF1F2ABF1F22）作用線位置由三角形的相似，ACKADA和BCKBEB，可得:ACADACAD EBCKDACBEBCBDAEBCKEB 73CKFFBFABAFAFBEDF1F2ABF1F2因為 12DAF , EBF , ADEB 2211FADFACAD EBCBDAEBFEBF 2112ACCBABABFFFFF 212FACAB ,FF 112FCBABFF 74結(jié)論結(jié)論： 兩同向平行力的合成結(jié)果是一個力，這個力的大小等于原兩力大小之和，作用線與原兩力平行，并內(nèi)分原兩力的作用點為兩段，使這兩段的長度與原兩力的大小成反比，合力的指向與原兩力相同。75思考：思考：1、如果12F ,F反向不等值，分析力系簡化。112FBCABFF - -為反向平行力12F ,F 12FF