第三章 (幾何變換之一)

1、二維圖形幾何變換的原理二維圖形幾何變換的原理yxP yxP1.平移變換（translation） xT yTxxTyPPyT平移變換yxTyyTxx幾何關(guān)系yxTTyxyx矩陣形式（5-7）（5-8）2.比例變換（scale）xSySyx相對(duì)于原點(diǎn)原點(diǎn)的比例變換相對(duì)于重心重心的比例變換yx重心yxSyySxx幾何關(guān)系yxSSyxyx00 矩陣形式（5-10）（5-9）10yxSSyxSS 1yxSSyxSS 1yxSSyxSS 3.旋轉(zhuǎn)變換（rotation）sincos ryrx（5-11）cossinsincos)sin(sinsincoscos)cos(rrryrrrx（5-12）cos

2、sinsincosyxyyxx將式（5-11）代入式（5-12）得：（5-13）PP幾何關(guān)系（5-14） cossinsincos yxyx矩陣形式y(tǒng)x旋轉(zhuǎn)變換4）齊次坐標(biāo)表示),.,(21nxxx)/,.,/,/(21nxxx ),.,(21nxxx),.,(21nxxx1101000111yxTTyxyx100000011yxSSyxyx1000cossin0sincos11yxyx6. 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)或無(wú)窮遠(yuǎn)區(qū)域的齊次坐標(biāo)表示0),.,(21nxxx yyxx關(guān)系幾何 1100010001 11yxyxyx形式矩陣yyxx關(guān)系幾何 1100010001 11yxyxyx形式矩陣oyx對(duì)稱變換（

3、1）yxo對(duì)稱變換（2）yyxx 1100010001 11yxyxyx關(guān)系幾何形式矩陣形式矩陣關(guān)系幾何xyyx 110000101011xyyxyxoxy對(duì)稱變換（3）xyoy=x對(duì)稱變換（4）xyyx幾何關(guān)系 110000101011xyyxyx矩陣形式xyoy=-x對(duì)稱變換（5）x 錯(cuò)切變換（1）yxayyctgx 有ctga 令yyayxx 代入得yyxxx 幾何關(guān)系 11000100111yayxayxyx矩陣形式 錯(cuò)切變換（2）yxy 11000100111ybxxbyxyx矩陣形式幾何關(guān)系yyyxx byyctgx 有ctgb 令yyayxx 代入得1010001001yxT10

4、00000yxSSS1010001002yxT 1000000 112233yxSSyxyx 1010001 11001122yxyxyx 1010001 11003344yxyxyx任意點(diǎn)比例變換示意圖平移 111yx平移比例 21STTT TyxSTTyxyxyx 1 11111211144(x2,y2)(x3,y3)(x0,y0)Oxy(x1,y1)(x4,y4)相對(duì)于任意點(diǎn)(x0,y0)的旋轉(zhuǎn)變換 1000cossin0sincos 112233yxyx 1010001 11001122yxyxyx 1010001 11003344yxyxyx任意點(diǎn)旋轉(zhuǎn)變換示意圖平移 100yx平移旋

5、轉(zhuǎn)1010001001yxT1000cossin0sincos R1010001002yxT 21RTTT TyxRTTyxyxyx 1 11111211144 3 3）對(duì)稱平行于）對(duì)稱平行于X X軸的任意直線軸的任意直線 cccyyyyyyxx2)( 12001000111cyyxyx其中變換矩陣：120010001cyT4 4）對(duì)稱平行于）對(duì)稱平行于Y Y軸的直線軸的直線yyxxxxxxccc2)( 10201000111cxyxyx其中變換矩陣： 102010001cxT5 5）對(duì)稱于任一點(diǎn)）對(duì)稱于任一點(diǎn)(x(xc c,y,yc c) )的變換的變換ccyyyxxx22變換方程寫(xiě)成齊次坐

6、標(biāo)矩陣形式為： 12201000111ccyxyxyx其中變換矩陣：122010001ccyxT對(duì)稱于任一點(diǎn)(xc,yc)的變換，可以看做分別相對(duì)于直線軸xxc和直線軸 yyc的兩次對(duì)稱變換，是兩者的綜合：6 6）對(duì)稱于任一軸的變換）對(duì)稱于任一軸的變換 100100011bT1000cossin0sincos2T做對(duì)稱于Y軸的對(duì)稱變換，其變換矩陣為：1000100013T最后反向旋轉(zhuǎn)和反向平移將直線置回原處，其變換矩陣分別為：1000cossin0sincos1000)cos()sin(0)sin()cos(4T100100015bT所以，對(duì)稱于任一軸ymxb的變換矩陣為：1)sin(cosc

7、ossin20sincoscossin20cossin2cossin22222254321bbbTTTTTT當(dāng)m為直線斜率，b為截距時(shí)有：sinsin90sincos90cos11)90cos(2mcossin90coscos90sin1)90sin(2mm所以222211sincosmm21cossinmm替換變換矩陣中的和得：11)1 (1201112012222222bmmbmbmmmmmmmm1m-1T222上述變換用代數(shù)方程表示為：2221)(211mmbyxmmxbmmbyxmmy22211)(12 smlqdcpbayxTyxyxD1112 旋轉(zhuǎn)、比例旋轉(zhuǎn)、比例錯(cuò)切、對(duì)稱錯(cuò)切、對(duì)

8、稱透視投影ndycxymbyaxx二維仿射變換二維仿射變換是具有如下形式的二維坐標(biāo)變換： 用戶坐標(biāo)系與設(shè)備坐標(biāo)系的變換關(guān)系可以二維仿射變換模用戶坐標(biāo)系與設(shè)備坐標(biāo)系的變換關(guān)系可以二維仿射變換模型予以描述，如何推導(dǎo)？型予以描述，如何推導(dǎo)？平移平移變換變換已知空間一點(diǎn)的坐標(biāo)是P(x,y,z），沿X、Y及Z軸方向分別平移tx 、ty、tz ，后，得新坐標(biāo)P(x,y,z）的表示式為：zyxtzztyytxx矩陣形式為： 101000010000111zyxtttzyxzyx比例比例變換變換相對(duì)于原點(diǎn)的比例變換的表示式為：zyxszzsyysxx 100000000000011zyxssszyxzyx矩陣

9、表示為：矩陣表示為： 1000010000cossin00sincos11zzzzzyxzyx（1 1） 繞繞Z Z軸旋轉(zhuǎn)變換軸旋轉(zhuǎn)變換 三維圖形繞Z軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，圖形上各頂點(diǎn)z坐標(biāo)不變，x、y坐標(biāo)的變化相當(dāng)于在XY二維平面內(nèi)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。所以繞Z軸旋轉(zhuǎn)變換的表達(dá)式為：zzyxyyxxzzzzcossinsincos（2 2） 繞繞X X軸旋轉(zhuǎn)變換軸旋轉(zhuǎn)變換 xxxxzyzzyyxxcossinsincos 10000cossin00sincos0000111xxxxzyxzyx（3 3） 繞繞Y Y軸旋轉(zhuǎn)變換軸旋轉(zhuǎn)變換 三維圖形繞Y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，圖形上各頂點(diǎn)y坐標(biāo)不變，x、z坐標(biāo)的變化相當(dāng)于在XZ二維

10、平面內(nèi)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。所以繞Y軸旋轉(zhuǎn)變換的表達(dá)式為：yyyyzconxzyyzxxsinsincos矩陣表示為： 10000cos0sin00100sin0cos11yyyyzyxzyx繞任意軸旋轉(zhuǎn)變換繞任意軸旋轉(zhuǎn)變換coscoscos321nnn繞該軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換其旋轉(zhuǎn)矩陣的獲取方法為：通過(guò)繞該軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換其旋轉(zhuǎn)矩陣的獲取方法為：通過(guò)平移及旋轉(zhuǎn)給定軸使其與某一坐標(biāo)軸重合，繞坐標(biāo)軸平移及旋轉(zhuǎn)給定軸使其與某一坐標(biāo)軸重合，繞坐標(biāo)軸完成指定的旋轉(zhuǎn)，然后再用逆變換使給定軸回到其原完成指定的旋轉(zhuǎn)，然后再用逆變換使給定軸回到其原始位置。各次變換矩陣乘起來(lái)即形成復(fù)合變換。始位置。各次變換矩陣乘起來(lái)即形成復(fù)合變

11、換。(1) (1) 將將P(xP(xc c,y,yc c,z,zc c) )平移到坐標(biāo)原點(diǎn)；變換矩陣為：平移到坐標(biāo)原點(diǎn)；變換矩陣為：10100001000011ccczyxT(2) (2) 將將I I軸繞軸繞Y Y軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) y y角角，同YZ平面重合，其變換矩陣為：10000cos0sin00100sin0cos2yyyyT(3) (3) 將將I I軸繞軸繞X X軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) x x角角，同Y軸重合，其變換矩陣為：10000cossin00sincos000013xxxxT(4) (4) 將將P(x,y,zP(x,y,z）點(diǎn)繞）點(diǎn)繞Y Y軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)角角，其變換矩陣為：10000cos0s

12、in00100sin0cos4T（5 5）繞）繞X X軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)- - x x角角，其變換矩陣為：10000cossin00sincos000015xxxxT（6 6）繞）繞Y Y軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)- - y y角角，其變換矩陣為：10000cos0sin00100sin0cos6yyyyT（7 7）將）將P(xP(xc c,y,yc c,z,zc c) )平移回原位置平移回原位置，其變換矩陣為：10100001000017ccczyxT復(fù)合變換矩陣為：TT1T2T3T4T5T6T7（8）中間變量的計(jì)算方法）中間變量的計(jì)算方法變換過(guò)程式中，sinx、siny、cosx、cosy為中間變量，應(yīng)使用已

13、知量n1、n2、n3表示出來(lái)?？紤]I軸上的單位向量n n，它在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影值即為n1、n2、n3。取Y軸上一單位向量將其繞X軸旋轉(zhuǎn)-x角，再繞Y軸旋轉(zhuǎn)-y角，則此單位向量將同單位向量n n重合，其變換過(guò)程為： 10000cos0sin00100sin0cos10000cossin00sincos0000110101321yyyyxxxxnnn1sinsinsinyxxyxconcon即n1=sinx siny，n2= cosx，n3= sinx cosy。同時(shí)考慮到n12+n22+n32=1，可解得：2cosnx23212cos1sinnnxx232133sincosnnnnxy2321

14、11sinsinnnnnxy x(xxc)(n12(1n12)cos (yyc)( n1n2(1cos)n3sin) (zzc)( n1n3(1cos)n2sin)xc y=(xxc)( n1n2(1cos)n3sin) (yyc)( n22(1n22)cos) (zzc)( n2n3(1cos)n1sin)yc z=(xxc)( n1n3(1cos)n2sin) (yyc)( n2n3(1cos)n1sin) (zzc)( n32(1n32)cos)zc 對(duì)稱變換對(duì)稱變換 100001000010000111zyxzyx相對(duì)于XZ平面的對(duì)稱變換只需改變y坐標(biāo)的正負(fù)號(hào), 其變換的矩陣表示為： 100001000010000111zyxzyx空間一點(diǎn)P(x,y,z)對(duì)XY坐標(biāo)平面對(duì)稱變換時(shí)，只需改變z坐標(biāo)的正負(fù)號(hào)，其它兩坐標(biāo)不變，其變換的矩陣表示為：相對(duì)于YZ平面的對(duì)稱變換只需改變x坐標(biāo)的正負(fù)號(hào), 其變換的矩陣表示為： 100001000010000111zyxzyx如果需要相對(duì)于任一平面作對(duì)稱變換時(shí)，可以將此平面轉(zhuǎn)換成與某一坐標(biāo)平面相重合，并運(yùn)用上述簡(jiǎn)單的對(duì)稱變換，然后再將平面反變換回原來(lái)的位置即可。錯(cuò)切錯(cuò)切變換變換第一列中元素c和e不為