第三章插值與擬合

1、L/O/G/O第三章第三章 插值與擬合插值與擬合 在科學(xué)研究與工程技術(shù)中，常常需要從一組測量數(shù)據(jù)出發(fā)，尋找變量之間函數(shù)關(guān)系的近似表達(dá)式，這就是函數(shù)逼近問題，插值和擬合都是函數(shù)逼近的重要方法。 本章主要講解關(guān)于插值和擬合的相關(guān)知識，包括對應(yīng)的原理，計算公式的構(gòu)造和誤差估計等等。 應(yīng)用舉例:胡克定律-彈簧在力F的作用下伸長x，在一定范圍內(nèi)服從胡克定律，F(xiàn)與x成正比，即F=kx，k為倔強(qiáng)系數(shù)，現(xiàn)在實驗中測得以下一組x，F(xiàn)的數(shù)據(jù)，并在(x，F(xiàn))坐標(biāo)下作圖。可以看出，當(dāng)F達(dá)到一定數(shù)值后，就不服從胡克定律。 試由數(shù)據(jù)確定 k，并給出不服從胡克定律時的近似公式。1 .216 .206 .198 .186 .

2、157 .116 . 69 . 35 . 1)(1715131297421)(kgFcmx0246810121416180510152025F (kg)x (cm)觀察一下數(shù)據(jù)分布圖，該分布滿足什么趨勢？第一節(jié)第一節(jié) 插值問題插值問題 在生產(chǎn)實踐的許多領(lǐng)域里，例如機(jī)械工業(yè)、造船、汽車制造，常常有這樣的問題：給了一批離散樣點(diǎn)，要求作出一條光滑曲線（乃至于曲面），使其通過或盡可能的靠近這些樣點(diǎn)，以滿足設(shè)計要求或者據(jù)此進(jìn)行機(jī)械加工這就是插值問題。 插值法歷史悠久。據(jù)考證在公元六世紀(jì)時，我國的劉焯（zhuo）已把等距二次插值應(yīng)用于天文計算。十七世紀(jì)時，Newton和Gregory（格雷格里）建立的等距

3、節(jié)點(diǎn)上的一般插值公式，十八世紀(jì)時，Lagrange給出了更一般的非等距節(jié)點(diǎn)插值公式。 劉焯（544-610）隋天文學(xué)家。字士元。著力研習(xí)九章算術(shù)、周髀、七曜歷書等；著有稽極10卷，歷書10卷。提出新法，編有皇極歷，在歷法中首次考慮太陽視差運(yùn)動的不均勻性，創(chuàng)立用三次差內(nèi)插法來計算日月視差運(yùn)動速度，推算出五星位置和日、月食的起運(yùn)時刻，這是中國歷法史上的重大突破。插值問題的基本概念 設(shè)函數(shù)y=f (x)在區(qū)間a,b上有定義， 且它在該區(qū)間上的n+1個互異點(diǎn) 的函數(shù)值已知，即 如果選取簡單函數(shù)P(x)作為y=f (x)的 近似表達(dá)式，并滿足以下條件： （3-1）bxxxxan210iiyxf)(ni,

4、 1 , 0 iiyxP)(ni, 1 , 0 這樣的函數(shù)近似問題就稱為插值問題。 稱為插值條件；滿足插值條件的近似函數(shù)P(x)就稱為f (x)的插值函數(shù)，而y=f (x)稱為被插值函數(shù)；互異點(diǎn)x0,x1,.,xn被稱為插值節(jié)點(diǎn)(簡稱節(jié)點(diǎn))，x稱為插值點(diǎn)；區(qū)間a,b稱為插值區(qū)間。 這樣對f (x)在區(qū)間a,b的各種運(yùn)算就用對插值函數(shù)P(x)的運(yùn)算取而代之。iiyxP)(ni, 1 , 0 代數(shù)插值的幾何意義，即通過n+1個點(diǎn) 做代數(shù)曲線近似代替原曲線y=f (x)。), 2 , 1 , 0)(,(niyxii)(xfyO)(xPy xx1ynxny1插值函數(shù)是否存在？插值函數(shù)是否唯一？如何表示

5、插值函數(shù)？如何估計被插值函數(shù)與插值函數(shù)間的誤差？構(gòu)造插值函數(shù)需要關(guān)心下列問題：插值多項式存在的唯一性定理2-1 在n+1個互異節(jié)點(diǎn)(xi，f (xi)上滿足插值條件 的次數(shù)不高于n次的插值多項式 nnnxaxaxaaxP2210)(iiyxP)(ni, 1 , 0 （3-2）存在且唯一。)()()(22101121211000202010nnnnnnnnnnxfxaxaxaaxfxaxaxaaxfxaxaxaa未知量a0 , a1 , .an的系數(shù)行列式稱為范德蒙（Vandermonde）行列式（3-3）證明：根據(jù)插值條件,（3-2）式中的系數(shù)a0 , a1 , .an應(yīng)滿足以下n+1階線性方

6、程組 由于節(jié)點(diǎn)互異，即 ，所以 ，由克萊姆法則可知方程組（3-3）有唯一的一組解a0 , a1 , .an ，也就是插值多項式（3-2）存在且唯一。0V)(jixxji0212110200)(111jinjinnnnnnxxxxxxxxxxxV（3-4）第二節(jié)第二節(jié) 拉格朗日插值多項式拉格朗日插值多項式 拉格朗日插值多項式是一種在形式上不同于（3-2）的插值多項式，這種多項式的明顯優(yōu)點(diǎn)是無需求解方程組，只要給出了n+1個互異節(jié)點(diǎn)及對應(yīng)的函數(shù)值，便能直接寫出這種形式的插值多項式。 拉格朗日插值多項式的構(gòu)造方法 已知函數(shù)y =f (x)在 n+1個節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值為 ，現(xiàn)要作一個n次插值多項式 ，并

7、使在節(jié)點(diǎn)xi處滿足nxxx10), 2 , 1 , 0)(nixfyii)(xLn)(xLn), 2 , 1 , 0()(niyxLiin將構(gòu)成n+2個方程的聯(lián)立方程組，而未知量只有n+1個，根據(jù)非齊次線性方程組有解的充要條件必有)(2210 xLxaxaxaannn0111)(1211211002002nnnnnnnnnyxxxyxxxyxxxxLxxx在方程組（3-3）上加上一個方程 利用范德蒙行列式的計算公式，經(jīng)整理后可得到的表達(dá)形式如下： 其中 叫做拉格朗日插值多項式的插值基函數(shù)，顯然它滿足njiijijxlji, 2 , 1 , 0,;10)()(xli)()()()()()()(1

8、1101110niiiiiiiniiixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl)()()()(1100 xlyxlyxlyxLnnn（3-5）（3-6）兩個節(jié)點(diǎn)帶公式得線性插值也可以直接列方程組求解，即)(,(),(,(1100 xfxxfx)()()()()()(101001011xfxxxxxfxxxxxLxaaxL101)()(xfy)(1xL（3-7）線性插值多項式 二次插值多項式)()()()(02010212xfxxxxxxxxxL)()()()()()(21202101012102xfxxxxxxxxxfxxxxxxxx（3-8）)(xfy)(2xL三個節(jié)點(diǎn))(,(),(,(

9、),(,(221100 xfxxfxxfx插值多項式的余項（截斷誤差）用n次插值多項式進(jìn)行計算所產(chǎn)生的誤差叫做插值多項式的余項或截斷誤差，記作Rn （3-9）)()()(xPxfxRnn定理2-2設(shè)函數(shù)y=f (x)在插值區(qū)間上具有直到n+1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，x0，x1，.，xn是互異節(jié)點(diǎn)，則插值多項式(3-2)的余項為插值余項的估計： IxnfxxnfxRnnniinn),()!1()()()!1()()(1) 1(0) 1(niiniinnxxnMxxnfxR00) 1()!1()()!1()()()() 1(),(maxxfMnbax式中（3-10）（3-11） (3-10)式稱為多項式插值

10、的余項公式，由于無法求出公式中 的準(zhǔn)確值，所以實際計算中用它來估計誤差仍有困難。因此，只在理論分析中應(yīng)用。實際應(yīng)用中通常采用(3-11)式來作為多項式插值的余項 估計式。 試用線性插值和拋物線插值兩種方法分別計算ln11.75，并估計截斷誤差。xi1011121314yi2.30262.39792.48492.56492.6391例1. 已知y=lnx線性插值：選11,12兩點(diǎn)帶公式計算4849. 2)1112()11(3979. 2)1211()12()(1xxxL4409. 1087. 0 x4632. 2)75.11(1L余項0007. 0)75.11(75.11ln1Lx0008. 0

11、)1275.11)(1175.11(! 2111)(21xRniiniinnxxnMxxnfxR00) 1()!1()()!1()()(0006. 0)(2xRniiniinnxxnMxxnfxR00) 1()!1()()!1()()(5649. 2)1213)(1113()12)(11(4849. 2)1112)(1312()11)(13(3979. 2)1311)(1211()13)(12()(2xxxxxxxL二次插值：選11,12,13三點(diǎn)帶公式計算4638. 2)75.11(2L余項0001. 0 x例2:已知e-x在x=1,2,3的值如下，試用二次Lagrange插值求e-2.1的

12、近似值，并進(jìn)行誤差估計。x123e-x0.3678794410.1353352830.049787068解：二次插值多項式為3212) 23)(13 () 2)(1() 32)(12 () 3)(1() 31)(21 () 3)(2()(exxexxexxxL因 ，故誤差的余項2121 . 2)32)(12()31 . 2)(11 . 2()31)(21 ()31 . 2)(21 . 2() 1 . 2(eeLe1 21)(max eexx00607001. 0)31 . 2)(21 . 2)(11 . 2(! 3) 1 . 2(12eR120165644. 0)23)(13()21 . 2)

13、(11 . 2(3eniiniinnxxnMxxnfxR00) 1()!1()()!1()()(第三節(jié)牛頓插值多項式第三節(jié)牛頓插值多項式 當(dāng)使用拉格朗日插值多項式為了提高精度增加插值節(jié)點(diǎn)時，插值多項式就得重新構(gòu)造，整個公式改變之后，之前的計算結(jié)果不能繼續(xù)使用，計算工作必須全部從頭做起。為了克服這一缺點(diǎn)，下面介紹另一種插值多項式牛頓插值多項式，它的使用比較靈活，當(dāng)增加插值節(jié)點(diǎn)時，只要在原來的基礎(chǔ)上增加部分計算工作量，而原來的計算結(jié)果仍可利用，這為實際計算帶來了方便。差商的定義定義 已知函數(shù)f (x)在n+1個互異節(jié)點(diǎn)xi (i=0,1,2,.n)上的函數(shù)值分別為f (xi)(i=0,1,2,.n

14、)稱為f (x)關(guān)于節(jié)點(diǎn) 的一階差商。稱為f (x)關(guān)于節(jié)點(diǎn) 的二階差商。iiiiiixxxfxfxxf111)()(,1,iixxiiiiiiiiixxxxfxxfxxxf212121,21,iiixxx則把一般地，稱為f (x)關(guān)于節(jié)點(diǎn) 的k階差商。當(dāng)k=0時稱為 關(guān)于節(jié)點(diǎn) 的零階差商，記為 。ikikiiikiiikiiixxxxxfxxxfxxxf11211,kiiixxx,1)(ixfix ixf（3-12）性質(zhì)1 函數(shù)f (x)關(guān)于節(jié)點(diǎn)x0,x1,.,xk的k階差商f x0,x1,.,xk可以表示為函數(shù)值f (x0), f (x1),.,f (xk)的線性組合，即kiikikxxf

15、xxxf0110)()(,例3：021021210,xxxxfxxfxxxf)()()()()()(120222101120100 xxxxxfxxxxxfxxxxxf差商的性質(zhì)kxxxf,10kjkjjjjjjjjxxxxxxxxxxxf01110)()()()(分析 ：用歸納法證明證明：（1）當(dāng)k =1時, 010110)()(,xxxfxfxxf 011100)()(xxxfxxxf 時成立，即有假設(shè)當(dāng)1 nknjnjjjjjjjnxxxxxxxxxfxxxf111121)()()()(，101110110)()()()(njnjjjjjjjnxxxxxxxxxfxxxf，011021,

16、xxxxxfxxxfnnn111110)()()(1)(njnjjjjjjnjxxxxxxxxxxxf#)()()()(1011110njnjjjjjjjjxxxxxxxxxxxf)()()()()()()(110201001100nnnnnnnxxxxxxxfxxxxxxxfxx)()()(1)()(11100njjjjjjnjxxxxxxxxxxxf,10nxxxf由差商定義性質(zhì)3 設(shè)f (x)在包含互異節(jié)點(diǎn)x0,x1,.,xk的閉區(qū)間a,b上有n階導(dǎo)數(shù)，則n階差商與n階導(dǎo)數(shù)之間有如下關(guān)系banfxxxfnn,!)(,)(10（3-13）性質(zhì)2 差商與其所含節(jié)點(diǎn)的排列次序無關(guān)。iiiiii

17、iiiiiiixxxfxxxfxxxfxxfxxf,12212111利用差商的遞推定義，差商可以用列差商表的方法來計算：造差商表（差商的計算）33221100fxfxfxfx3,22,11,0 xxfxxfxxff x0,x1,x2,x33,2,12,1,0 xxxfxxxf牛頓插值多項式及其余項由差商定義得出滿足插值條件Nn(x)=f (xi)(i=0,1,2,n)的插值多項式Nn(x)。設(shè)xi (i=0,1,2,.n)為n+1個插值節(jié)點(diǎn)，且 ，則由差商定義有bax,), 2 , 1 , 0(nixxi000)()(,xxxfxfxxf移項整理可得再利用二階差商的定義和性質(zhì)2可得移項得將此式

18、帶入（3-14）,得)(,)()(000 xxxxfxfxf110010,xxxxfxxfxxxf)(,110100 xxxxxfxxfxxf)(,)(,)()(10100100 xxxxxxxfxxxxfxfxf（3-14）重復(fù)以上過程可得記即n次牛頓插值多項式，由得其對應(yīng)余項為)()(,)()(,)(,)()(101011010102100100nnnnxxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxf)()(,)(,)()(110100100nnnxxxxxxxxxfxxxxfxfxN)()(,)(010nnnxxxxxxxxfxR)()()(xRxNxfnn（

19、3-15）由插值多項式的存在和唯一性定理，可得所以當(dāng)f (x)在(a,b)上有n+1階導(dǎo)數(shù)時，兩者的余項也相等，即由此可得這就是差商的性質(zhì)3。)()!1()()(,)(1) 1(10 xnfxxxxfxRnnnnn),(,)!1()(,) 1(0banfxxxfnn)()(xLxNnn（3-16）例4：已知一組觀察數(shù)據(jù)為試用此組數(shù)據(jù)構(gòu)造3次牛頓插值多項式N3(x)，并計算N3(1.5)的值。解：先按數(shù)據(jù)表造出差商表i0123xi1234yi0-5-6343213650915521相應(yīng)的牛頓插值多項式只需將表中加下劃線的數(shù)字代入公式即可或整理得) 2)(1( 2) 1( 50)(3xxxxN)

20、3)(2)(1(xxx34)(233xxxN625. 235 . 145 . 1) 5 . 1 (233N) 25 . 1)(15 . 1 ( 2) 15 . 1 ( 50) 5 . 1 (3N) 35 . 1)(25 . 1)(15 . 1 (625. 2例5：已知f (x)=sh(x)數(shù)值表如下：用Newton插值公式求f (0.596)的近似值。xk0.400.550.650.800.90f(xk)0.410750.578150.696750.888111.02652解：先造差商表1.38411.18601.27571.11600.43360.35880.28000.2140.1970.

21、0340.800.900.650.550.400.888111.026520.696750.578150.41075將x=0.596代入得：由牛頓公式得四次插值多項式為：N4=0.41075+1.1160(x-0.40)+0.2800(x-0.40)(x-0.55)+0.197(x-0.40)(x-0.55)(x-0.65)+0.034(x-0.40)(x-0.55)(x-0.65)(x-0.80)63192. 0)596. 0()596. 0(4 Nf插值的上機(jī)算法1.Lagrange插值法(1).輸入 ,令 （輸入節(jié)點(diǎn)數(shù)值,插值式賦初值0）(2).對 計算 （計算基函數(shù)） （累加求插值式）

22、),.,(,n210iyxii0 xLn)(,.,n210i nij0jjijixxxxxl,)(iinyxlxLxL)()()(2.Newton插值法(1).輸入 （輸入節(jié)點(diǎn)數(shù)值,插值式階數(shù)）(2).對 計算 f x0,x1,.,xk （計算各階差商）(3).計算 Nn(x)=f (x0)+f x0,x1(x-x0)+. +f x0,x1,.,xn(x-x0)(x-x1).(x-xn-1) （累加求插值式）);,.,(,n210iyxniik21in321k,.,.,多項式插值拉格朗日插值牛頓插值三種插值方法的比較nnnxaxaxaaxP2210)()()()()(1100 xlyxlyxl

23、yxLnnn)()()()()()()(11101110niiiiiiiniiixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl)()(,)(,)()(110100100nnnxxxxxxxxxfxxxxfxfxN多項式插值多項式插值拉格朗日插值多拉格朗日插值多項式項式牛頓插值多項牛頓插值多項式式優(yōu)點(diǎn)方法簡單，易于理解無需計算形式便于記憶增加節(jié)點(diǎn)時原有的項不變?nèi)秉c(diǎn)節(jié)點(diǎn)很多時，計算量大節(jié)點(diǎn)增加時，整個公式改變先計算差商，再寫公式差分和等距節(jié)點(diǎn)公式差分與差商的區(qū)別等距節(jié)點(diǎn)),.,2 , 1 , 0(0niihxxihxxii)(1iiiyyy11iiiyyy)()(12iiiiyyyyiiiiiyyy

24、yy1212步長向前差分向后差分二階差分L/O/G/O第四節(jié)第四節(jié) 分段插值分段插值龍格現(xiàn)象 用插值多項式逼近被插值函數(shù)時，為了達(dá)到減小余項絕對值的目的，采用提高插值多項式最高次數(shù)的方法：例6：給定函數(shù) 在區(qū)間-1，-1上取插值節(jié)點(diǎn)為建立插值公式22511)(xxfninixi, 2 , 1 , 0,21niiinxlxfxL1)()()(-1010.00.51.01.52.0 XY 圖上的實線表示被插值函數(shù)，虛線表示插值函數(shù)；從圖看出在x=-0.96及x=0.96附近，插值函數(shù)L10(x)對于被插值函數(shù)f(x)的誤差很大，這種現(xiàn)象稱為龍格(Runge)現(xiàn)象。當(dāng)取n=10時，將插值與被插值函數(shù)

25、作圖如下： 我們從分析插值余項的變化來分析這種現(xiàn)象的產(chǎn)生原因。余項公式：niinnxxnfxR0) 1()()!1()()( 許多函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的絕對值隨著導(dǎo)數(shù)階數(shù)的增加而迅速增加，因而余項的絕對值隨之迅速增加。xxf1)(1)(1!) 1()(nnnxnxf例6： 另一點(diǎn)是插值節(jié)點(diǎn)差值的增加，對于固定的x，互異節(jié)點(diǎn)中只有少數(shù)與x鄰近的節(jié)點(diǎn)與它的差的絕對值較小。隨著節(jié)點(diǎn)的增加，與其差的絕對值也會隨之增大。 綜合以上兩點(diǎn)我們發(fā)現(xiàn)用提高插值函數(shù)階數(shù)來減小插值的余項的方法是不可行的。實際中使用的是一、二、三次插值。分段低次插值 人們從龍格現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)高次插值并不能減小誤差，從而尋找能減小誤差的另外的插

26、值方法，分段插值就是其中一種。 將給定的插值區(qū)間a,b做分割，在分割后的每一段小區(qū)域內(nèi)使用低次插值，稱為分段插值。分段線性插值分段二次插值折線代替曲線分段拋物線代替曲線分段線性插值分段線性插值的幾何意義：用折線代替曲線把給定的插值區(qū)間a,b作分割a = x0 x1. xn= b，在每個小區(qū)間xj,xj+1上作f (x)以xj,xj+1為節(jié)點(diǎn)的線性插值，則在每一個對應(yīng)的小區(qū)間xj,xj+1(h= xj+1-xj)上插值函數(shù)可以寫為x0 xnxj區(qū)間a,b上的整個插值函數(shù)用折線方程可表示為njjjhyxlxI0)()(1111)(jjjjjjjjhyxxxxyxxxxxI拉式分段線性插值由線性插值

27、余項公式，當(dāng)x xj,xj+1時有)(! 2)()(1)2(jjxxxxfxR所以)(2)(1jjxxxxMxR2121)(8)(412jjjjxxMxxMbxaxfM , )(max分段線性插值算法簡單，只要分段區(qū)間充分小就能保證誤差要求。其顯著優(yōu)點(diǎn)是它的局部性質(zhì)，修改了某節(jié)點(diǎn)(xj,f (xj)的值后，僅相鄰的兩個區(qū)間xj-1,xj xj,xj+1受影響，缺點(diǎn)是插值節(jié)點(diǎn)處不光滑。 于是，當(dāng)區(qū)間分割加密，h= xj+1-xj0時，分段線性插值收斂于f (x)。（3-17）例7：對下列數(shù)據(jù)作分段線性插值，并計算 f (1.2) 和 f (3.3)。xi-3-1239f (xi) 1251612

28、解:1111)(jjjjjjjjhyxxxxyxxxxxI,1jjxxx 2 , 12 . 10667. 211212 . 152122 . 1)2 . 1 (hI 9 , 3 3 . 3 3 . 612633 . 36693 . 3) 3 . 3 (hI因為同理22511)(xxf例8：設(shè) ，-1 x 1，將區(qū)間-1,1 10等份，用分段線性插值近似計算f (-0.96)。解：(1)插值節(jié)點(diǎn)為xj=-1+ j/5 (j=0,1,10)，h= 1/5因為-0.96-1,-0.8，取此區(qū)間為線性插值區(qū)間，其上的插值函數(shù)為801. x所以 f (-0.96) Ih (-0.96) = 0.0425

29、31111)(jjjjjjjjhyxxxxyxxxxxI2 . 01) 8 . 0(2 . 08 . 0) 1()(xfxfxIh) 1(2941. 0)8 . 0(1923. 0 xx樣條插值簡介 如果既需要建立低次插值函數(shù)以保證穩(wěn)定性，又要插值函數(shù)具有良好的光滑性，就需要采用樣條函數(shù)（spline function），樣條函數(shù)是指一類分段光滑，并且在各段的交接處也具有一定光滑性的函數(shù)。 樣條最初是指工程繪圖人員為了將一系列指定點(diǎn)連接成一條順滑的曲線所采用的附有彈性的細(xì)木條或鋼條，由這些樣條構(gòu)成的曲線在連接處能夠具有連續(xù)的曲率。 1946年，美國學(xué)者肖恩博格（Schoenberg）首先提出了

30、樣條函數(shù)這一概念。隨后，樣條函數(shù)在外形設(shè)計等領(lǐng)域取得了成功的應(yīng)用，并與計算機(jī)輔助設(shè)計領(lǐng)域緊密結(jié)合，形成了一個新的交叉學(xué)科。 在計算機(jī)科學(xué)的計算機(jī)輔助設(shè)計和計算機(jī)圖形學(xué)中，樣條通常是指分段定義的多項式參數(shù)曲線。由于樣條構(gòu)造簡單，使用方便，擬合準(zhǔn)確，并能近似曲線擬合和交互式曲線設(shè)計中復(fù)雜的形狀，樣條是這些領(lǐng)域中曲線的常用表示方法。 第五節(jié)第五節(jié) 函數(shù)擬合的最小二乘法函數(shù)擬合的最小二乘法插值多項式的缺陷：測量數(shù)據(jù)帶有誤差，影響了插值多項式的逼近精度數(shù)據(jù)點(diǎn)增加時，計算量與得到的插值多項式的次數(shù)都增加 從給定實驗數(shù)據(jù)出發(fā)，尋求已知函數(shù)的一個逼近函數(shù)，使逼近函數(shù)從總體上與已知函數(shù)的偏差按某種方法度量能達(dá)到

31、最小而又不一定過全部數(shù)據(jù)點(diǎn)。 函數(shù)擬合的幾何意義就是求一條曲線，使數(shù)據(jù)點(diǎn)均在離此曲線上方或不遠(yuǎn)處。最小二乘法原理 用近似曲線 擬合數(shù)據(jù)(xi, f (xi)(i=0,1,2,.,m)，使得它在xi處的函數(shù)值與測量數(shù)據(jù)的偏差滿足)(xmiiixfxR02)()(min即偏差的平方和最小，這就是最小二乘原理，這種擬合曲線的方法叫最小二乘法。（3-18）多項式最小二乘擬合 nnnxaxaxaaxP2210)( 用多項式 擬合數(shù)據(jù)(xi, f (xi) (i=0,1,2,.,m)，擬合數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的偏差表示如下：miininiimiiixfxaxaxaaxfx02221002)()()(由最小二乘原理

32、，得miiixfxR02)()(miininiixfxaxaxaa022210)( 利用微積分里面對函數(shù)求極值的方法， 使R對系數(shù)ai(i=1,2,.,n)的一階導(dǎo)數(shù)為零，即), 2 , 1 , 0( 0niaRimiininiixfxaxaxaaaR02210001)(2:mimiininiixfxaxaxaa002210)()(對a0求導(dǎo)，得化簡得多項式擬合系數(shù)的確定方法miiininiixxfxaxaxaaaR0221010)(2:mimiiininiiixxfxaxaxaxa00132210)()(繼續(xù)對a3到an求導(dǎo)，得到n+1階方程組同理，對a1求導(dǎo)mimiinininninimi

33、miiininiimimiininiixfxxaxaxaxfxxaxaxaxfxaxaxaa002110001210002210)()()(m+1個點(diǎn)n+1個方程注意：此處m和n不相等寫成矩陣形式：iniiiinnininininiiiiniiiyxyxyaaaxxxxxxxxxxx1022113221利用矩陣的乘法規(guī)則，將上面的式子化為mnmnnnmnnmmmnnnmnnnmyyyxxxxxxxxaaaxxxxxxxxxxxxxxxxx212102101021211020021021011111111111將前面的方程組改寫為nmmmnnxxxxxxxxxA212110200111naaa1

34、0yAAATT這個方程稱為正規(guī)方程組，或法方程組myyyy21定義如下幾個矩陣：（3-19）下面以線性擬合為例，直線方程為將R看成是a0,a1的二元函數(shù)，即xaaxP101)(mimiiiiinxfxaaxfxPaaR00210210)()()(),(0, 010aRaRmiiimiimiimiimiixfxaxaxxfaxam0102000100)()()()()() 1(由二元函數(shù)取極值的必要條件：得線性擬合系數(shù)的確定用解方程的方法計算系數(shù)a0和a1miiinxfxPQ02)()(線性擬合的均方誤差 22220) 1()(iiiiiiixmxyxyxxa 2221) 1()() 1(iii

35、iiixmxyxmyxa例9：已知測量數(shù)據(jù)試用最小二乘法求經(jīng)驗直線。xi2468yi2112840建立法方程組yAAATT81614121A4028112y10aa402811286421111816141218161412110aa536811202020410aa即53612020812041010aaaa解得55. 65 .1210aa得出最后的擬合直線5 .1255. 6xy可以化為線性擬合的幾種情況xbaxfln)(baxxf)(bxaxxf)(Xx lnbXaxf)(xbaxflnln)(lnbXCxF)(bxaxf)(1baXxF)(bxaexf)(bxaxf ln)(lnbxCxF)(最小二乘擬合方法的求解步驟1.用給定的數(shù)據(jù)作圖2.根據(jù)數(shù)據(jù)圖初步判斷擬合函數(shù)的形式3.根據(jù)擬合函數(shù)的形式求解更一般地，對數(shù)據(jù)