高中數(shù)列求和方法集錦

1、數(shù)列求和的常用方法數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容， 又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的根底。 在高考和各種數(shù)學(xué)競(jìng)賽中都占有重要的地位。 數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大局部數(shù)列的求和都需要一定 的技巧。下面，簡(jiǎn)單介紹下數(shù)列求和的根本方法和技巧。第一類：公式法利用以下常用求和公式求和是數(shù)列求和的最根本最重要的方法。1、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式nain(n 1)dn(a1 an)Sn22、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Snnaq 1) a1 (1 qn)a1a.q1 q(q1)3、常用幾個(gè)數(shù)列的求和公式1、Sn1 n(n 1)22、Snnk2k 1122232n26n(n1)(2n1)3、Sn

2、nk3k 11323331評(píng)n1)2第二類:乘公比錯(cuò)項(xiàng)相減等比這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法， 這種方法主要用于求數(shù)列an bn的前n項(xiàng)和，其中an，bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列。解：1、假設(shè)q=0,那么 Sn =0n、假設(shè)q=1,那么Sn12 3假設(shè)q豐0且q豐1,那么Sn 12q3q2n 1nqqSn q2q23q3nqn式：1q)Sn1 q q23 qq例1 ：求數(shù)列nqn 1 q為常數(shù)的前n項(xiàng)和。1nn(n 1)2nnqn、nq )SnSnn、nq )nn1 qnq(1 q) r 1 1 n(n 1) (n 1)(n 2)廠0(q 0)綜上所述：1Snn(n 1)(

3、q1)2丄nn1 q2 nq (q 0且 q 1) (1q)21 q解析：數(shù)列nqn1是由數(shù)列n與qn 1對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積構(gòu)成的，此類型的才適應(yīng)錯(cuò)位相減，課本中的的等比數(shù)列前 n項(xiàng)和公式就是用這種方法推導(dǎo)出來(lái)的，但要注意應(yīng)按以上三種情況進(jìn)行分類討論，最后再綜合成三種情況。第三類：裂項(xiàng)相消法這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用。裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)通項(xiàng)分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終到達(dá)求和的 目的通項(xiàng)分解裂項(xiàng)如：1、乘積形式，如：1、an1 丄 1n(n 1) n n 1(2n)2(2n 1)(2 n 1)12n1)3、an1n(n 1)( n 2)4、ann 212n2(n1

4、) nn(n 1)n(n 1)2、根式形式，如：11 /an. n 1n.n 1n例2 :求數(shù)列111 1 22 33 4111解：2併* § 1壯，的前n項(xiàng)和Snn(n 1)n(n 1) n n 1SnSn 1例3:求數(shù)列1 12 4 3 5的前n項(xiàng)和Snn(n 2)111 11 1那么：Sn-(1)(-)( )232 4n n 2111 1Sn-(1)22n 1 n 2311Sn4 2n2 2n 4解：由于:解析：要先觀察通項(xiàng)類型，在裂項(xiàng)求和時(shí)候，尤其要注意：究竟是像例2求數(shù)列an解:1、f(0)1 f()n2 f()nn 1、/八f () f (1)倒序相加nn 1n 21f(

5、1)f()f()f() f(0)nnnn 12 n2 彳1nnn的的前a n 1n項(xiàng)和Tn。anan1R都有 f(x) f (1 x) 2。那么，由條件：對(duì)任意 x2an 22222( n 1)_1=1(1 丄n(n 2)2 n n 2例3 一樣剩下四項(xiàng)。第四類：倒序相加法這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列反序，再把它與原2 一樣剩下首尾兩項(xiàng)，還是像數(shù)列相加，就可以得到 n個(gè)(a1 an)。例4 :假設(shè)函數(shù)f (x)對(duì)任意x R都有f (x) f (1 x) 2。r 、12n 1、/八1an f(0) f() f()f( ) f (1)，數(shù)列an是等差數(shù)列嗎？

6、是證明你的結(jié)論;n nnan n 1 an 1 n 2an 1 a n 1從而：數(shù)列an是a12,d1的等差數(shù)列。2、an an1 (n1)(n2)(n 1)1(n2)n2n 4T=1 1 n 23故: Tn= n 2n 4解析：此類型關(guān)鍵是抓住數(shù)列中與首末兩端等距離的兩項(xiàng)之和相等這一特點(diǎn)來(lái)進(jìn)行倒序相加的。此例題不僅利用了倒序相加法，還利用了裂項(xiàng)相消法。在數(shù)列問(wèn)題中，要學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用不同的方法加 以求解。第五類：分組求和法 有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，假設(shè)將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi), 或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可?？煞譃閹讉€(gè)等差、等比1例5:求數(shù)列+ n 2n1的前n項(xiàng)和S

7、nn(n 1)解：令an1n(n 1)bn n2* 1Sn1bj (a2b2)3b3)(anbn)Sn(a1a2 a3an) (b1 b2b3bn)Sn(1Sn(11 12 211)1)(1 22 3 22n 2n 1)(13 222n1)令Tn222* 12Tn2223n 2n式一式:(12)Tn22232nn 2nTn(122 232* 12n)Tn2n2n)Tn(n 1) 2n故：Sn(1七)(n 1)2n(n 1) 2n1例6:求數(shù)列xn -2 x (x 1)綜上所述：的前n項(xiàng)和Snx1分析：將a- xn 2用完全平方和公式展開(kāi)，再將其分為幾個(gè)數(shù)列的和進(jìn)行求解。x解: an (xn1

8、) =(xn)22 xn 1xXSn x22(Ifx2(1)4xxSn (x24 xx2n)(2 24)2X2nx2n2 (丄)2nX首項(xiàng)x公比x2等比數(shù)列常數(shù)列I、令 Tnx2x42nx 1時(shí)，Tnx2x2n = 112n2n = xX2 (-)2nx2) (-)2 (-)4(-)2nx xx首項(xiàng)1 2丄2，公比x丄2等比數(shù)列x=2 2x x!n2x2n 2x2 x112 x2 xn、令Mn222 2n川、令GnC)2xC)4x(丄)2nxx1時(shí)，Gn(丄)2x(丄)4x(丄)x2n111 nx1時(shí)，Gn1 2()x1 4L)x1()x2n(丄)2x(l)2nx(丄)2x1/2n 221xx

9、2 x2n 222n 2xx xx 1時(shí),1x4x2x2n(丄)2xx212- xTnx212 x2n 22xx22n 2xxx2x21 =22nx (x 1)22 x x (x 1)2nx 1 x 1 時(shí)，Sn Tn Mn Gn2n 22x x2n2nx 1x (x 1)這個(gè)題，除了注意分組求和外，還要注意分類討論思想的應(yīng)用。第六類：拆項(xiàng)求和法在這類方法中，我們先研究通項(xiàng)，通項(xiàng)可以分解成幾個(gè)等差或等比數(shù)列的和或差的形式，再代入公式 求和。例7:求數(shù)列9，99, 999, 的前n項(xiàng)和Snan 10n 1可轉(zhuǎn)化為分析：此數(shù)列也既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列啟發(fā)學(xué)生先歸納出通項(xiàng)公式 個(gè)等比數(shù)列與一個(gè)常數(shù)列。分別求和后再相加。解：由于:an 10n 1那么：Sn99999(1011)(1011021010n1 10n101 109,1c1=1 -2-241ann ,2解：由于:nSnS