(完整版)高中物理天體運動多星問題

1、雙星模型、三星模型、四星模型天體物理中的雙星， 三星，四星，多星系統(tǒng)是自然的天文現(xiàn)象，天體之間的相互作用 遵循萬有引力的規(guī)律，他們的運動規(guī)律也同樣遵循開普勒行星運動的三條基本規(guī)律。雙星、 三星系統(tǒng)的等效質(zhì)量的計算， 運行周期的計算等都是以萬有引力提供向心力為出發(fā)點的。 雙 星系統(tǒng)的引力作用遵循牛頓第三定律： F F ，作用力的方向在雙星間的連線上，角速度 相等，【例題 1】天文學(xué)家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運行的兩顆恒星稱為雙星。雙星系 統(tǒng)在銀河系中很普遍。 利用雙星系統(tǒng)中兩顆恒星的運動特征可推算出它們的總質(zhì)量。已知某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點分別做勻速圓周運動，周期均

2、為T，兩顆恒星之間的距離為 r ，試推算這個雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量。（引力常量為G）【解析】：設(shè)兩顆恒星的質(zhì)量分別為m1、m2，做圓周運動的半徑分別為 r 1、r 2，角速度分別為 1、 2 。根據(jù)題意有12r1 r2 r根據(jù)萬有引力定律和牛頓定律，有Gm1m2 2 m1w12r1 r2m1m22G 2m1 w2 r1r聯(lián)立以上各式解得m2rr12m1 m2根據(jù)解速度與周期的關(guān)系知123 2r T2G聯(lián)立式解得m1 m2【例題 2】神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統(tǒng)的運動規(guī)律.天文學(xué)家觀測河外星系大麥哲倫云時，發(fā)現(xiàn)了 LMCX3 雙星系統(tǒng)，它由可見星 A

3、和不可見的暗星 B 構(gòu)成，兩 星視為質(zhì)點，不考慮其他天體的影響 .A、 B 圍繞兩者連線上的 O 點做勻速 圓周運動，它們之間的距離保持不變，如圖 4-2 所示 .引力常量為 G，由觀 測能夠得到可見星 A 的速率 v 和運行周期 T.(1) 可見星 A所受暗星 B的引力 Fa可等效為位于 O點處質(zhì)量為 m的星體(視為質(zhì)點 )對它的引 力，設(shè) A 和 B 的質(zhì)量分別為 m1、m2，試求 m用( m1、 m2表示 ).(2) 求暗星 B 的質(zhì)量 m2與可見星 A 的速率 v、運行周期 T 和質(zhì)量 m1之間的關(guān)系式；(3) 恒星演化到末期， 如果其質(zhì)量大于太陽質(zhì)量 ms的 2倍，它將有可能成為黑洞

4、 .若可見星 A 的速率 v=2.7 ×105 m/s，運行周期 T=4.7 ×4 1s0，質(zhì)量 m1=6ms，試通過估算來判斷暗星 B 有 可能是黑洞嗎？(G=6.67×10-11 N ·m2/kg 2， ms=2.0 ×1030 kg)解析：設(shè) A、B 的圓軌道半徑分別為由題意知， A、B 做勻速圓周運動的角速度相同，設(shè)其為 。由牛頓運動定律，有 FAm12r1，F(xiàn)B m2 r2 ， FA FB設(shè) A、 B 間距離為 ，則 r r1由以上各式解得 r m1 m2m2由萬有引力定律，有 FA G m1m2 2r2，代入 得 FA3 m1m2G

5、(m1 m2)2r12m1m令 FA G 12 ，通過比較得 mr123 m2(m1 m2 )22)由牛頓第二定律，有m1m2G2r2vm1r1而可見星 A 的軌道半徑 r1vT2將 代入上式解得3 m2(m1 m2 )2v3T2G3)將 m1 6ms 代入上式得(6ms3m22m2)2v3T2G3 m2設(shè) m2 nms(n 0) ，將其代入上式得m23(6ms m2nms 3.5ms62(1)2n代入數(shù)據(jù)得 2 2 3.5ms(6ms m2)2(6msm23m2n(6nnms 3.5ms1)2可見，3 m2(6ms2m2)的值隨 的增大而增大，試令 n 2 ，得0.125ms 3.4msnm

6、s6 2 s(1)2n可見，若使以上等式成立，則必大于 2，即暗星 B 的質(zhì)量 ms 必大于 2ms ，由此可得出結(jié)論：暗星 B 有可能是黑洞?！纠} 3】天體運動中，將兩顆彼此相距較近的行星稱為雙星，它們在萬有引力作用下間距 始終保持不變， 并沿半徑不同的同心軌道作勻速園周運動， 設(shè)雙星間距為 L，質(zhì)量分別為 M1、 M2，試計算（ 1）雙星的軌道半徑（ 2）雙星運動的周期。15.解析：雙星繞兩者連線上某點做勻速圓周運動，即：M 1M 2L2M1 2L1 M 2 2 L2 .L1 L2 L由以上兩式可得：L1M2L， L2M2 LM1 M 2 M1 M 2又由M1M2L2M1T2L1 .得：

7、 TM2)例題 4】我們的銀河系的恒星中大約四分之一是雙星. 某雙星由質(zhì)量不等的星體S1和 S2C 做勻速圓周運動 . 由構(gòu)成 , 兩星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上某一定點r1,S1和 S2的距離為 r ,已知引力常量為天文觀察測得其運動周期為 T, S1到C點的距離為G. 由此可求出 S2 的質(zhì)量為A. 42r 2(r r1)A. GT 2234 r1B.21GT 2C.42r3GT2224 r r1D. 2 1GT 2答案 ： D解析 雙星的運動周期是一樣的 ,選 S1為研究對象 , 根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得Gm1m24212 2 m1r1 42 , 則r2T 242r2

8、rm2=4 r r1 . 故正確選項 D 正確 . GT 2例題 5】如右圖， 質(zhì)量分別為m和M 的兩個星球 A和B在引力作用下都繞 O點做勻速周運動，星球 A 和 B 兩者中心之間距離為L。已知A 、 B 的中心和 O 三點始終共線， A 和 B 分別在 O 的兩側(cè)。引力常數(shù)為G。 求兩星球做圓周運動的周期。 在地月系統(tǒng)中， 若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球 A 和 B ，月球繞其軌道中心運行為的周期記為T1。但在近似處T2。已知地球和月球的質(zhì)量分別為理問題時，常常認(rèn)為月球是繞地心做圓周運動的，這樣算得的運行周期 5.98 ×1024kg 和 7.35 1

9、5;022kg 。求 T2與 T 1兩者平方之比。(結(jié)果保留 3 位小數(shù))答案】 T2 G(ML3 m)G(M m)1.01解析】 A 和B繞 O做勻速圓周運動，它們之間的萬有引力提供向心力，則A和B的向心力相等。且 A 和 B 和 O 始終共線，說明A和 B有相同的角速度和周期。因此有m 2r M 2R，r R L ，連立解得對 A 根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得mMR L ，rm M m MGMm2 2 M2 m( ) LL2T M mL3化簡得 T 2G(M m)L3化簡得2 GM24 225.98 1024 7.35 10225.98 10241.01將地月看成雙星，由得 T1 21

10、 G(M m)將月球看作繞地心做圓周運動，根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得GM2m m(2 )2 LL2 T例題 6】【 2012?江西聯(lián)考】如右圖，三個質(zhì)點 a、b、c 質(zhì)量分別為 m1、m2、M(M>m1，M> m2)。在 c 的萬有引力作用下， a、 b在同一平面內(nèi)繞 c 沿逆時針方向做勻速圓周運動，它們的周期之比 Ta Tb=1k；從圖示位置開始，在 周的過程中，則 ( )A a、b 距離最近的次數(shù)為 k 次b 運動一Ba、b 距離最近的次數(shù)為 k+1 次C a、b、c 共線的次數(shù)為 2kD a、b、c 共線的次數(shù)為 2k-2答案】 D解析】 在 b 轉(zhuǎn)動一周過程中， a、

11、b 距離最遠(yuǎn)的次數(shù)為 k-1 次，a、b距離最近的次數(shù)為 k-1次，故 a、b、c 共線的次數(shù)為 2k-2 ，選項 D正確。例題 7】宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng), 通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用. 已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式一種是三顆星位于同一直線上 , 兩顆星圍繞中央星在同一半徑為 R 的圓軌道上運行 ; 另 一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上 , 并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運 行. 設(shè)每個星體的質(zhì)量均為 m.(1) 試求第一種形式下 , 星體運動的線速度和周期 .(2) 假設(shè)兩種形式下星體的運動周期相同 , 第二種形式

12、下星體之間的距離應(yīng)為多少 ?答案 (1)5GmR2R4 R35Gm12(2) (152)3R解析 (1) 對于第一種運動情況 , 以某個運動星體為研究對象 , 根據(jù)牛頓第二定律和萬有 引力定律有 :F1=Gm2R2F2Gm22(2R)2v2F1+F2=mv / R運動星體的線速度:v5GmR2R周期為 T, 則有 T=2RT=45Gm(2) 設(shè)第二種形式星體之間的距離為r , 則三個星體做圓周運動的半徑為Rr /2cos30, 由力的合由于星體做圓周運動所需要的向心力靠其它兩個星體的萬有引力的合力提供 成和牛頓運動定律有：F 合 =2Gm2cos30F 合=m42T2R所以 r=(12)31R5例題 8】( 2012?湖北百校聯(lián)考)宇宙中存在由質(zhì)量相等的四顆星組成的四星系統(tǒng)，四星系統(tǒng)離其他恒星較遠(yuǎn)，通?？珊雎云渌求w對四星系統(tǒng)的引力作用 . 已觀測到穩(wěn)定的四星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式 : 一種是四顆星穩(wěn)定地分布在邊長為 a 的正方形的四個頂點上， 均圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，其運動周期為 ；另一種形式是有三顆星位 于邊長為 a 的等邊三角形的三個項點上， 并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行， 其運動周 期為 ，而第四顆星剛好位于三角形的中心不動 . 試求兩種形式下，星體運動的周期之比T1T2 .【答案】 T1 =