(完整版)數(shù)值分析第五版答案(全)

1、1第一章 緒論1設(shè) x 0 , x的相對誤差為解：近似值 x* 的相對誤差為而 ln x 的誤差為 e ln x*，求 lnx 的誤差。* e* x* x = er x* x*1ln x* ln x e* x*進(jìn)而有 (ln x*)2設(shè) x 的相對誤差為 2% ，求 xn 的相對誤差。n xf '(x)解：設(shè) f (x) xn ，則函數(shù)的條件數(shù)為 Cp | | p f (x)n1又Q f '(x) nxn 1, Cp | x nx | n n又Q r (x*) n) Cp r(x*)且 er (x*) 為 2r (x*) n) 0.02n3下列各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到的近似數(shù)，

2、即誤差限不超過最后一位的半個單位，試指出它們是幾位有效數(shù)字： x1* 1.1021 , x2* 0.031 , x*3 385.6 , x*4 56.430 ,x5* 7 1.0.解： x1* 1.1021 是五位有效數(shù)字；x*2 0.031 是二位有效數(shù)字；x*3 385.6 是四位有效數(shù)字；x4* 56.430 是五位有效數(shù)字；x*5 7 1.0. 是二位有效數(shù)字。4利用公式 (2.3)求下列各近似值的誤差限： (1) x1* x2* x*4 ,(2) x1* x*2x3* ,(3) x*2/ x*4.其中 x1* , x*2, x3* , x4* 均為第 3題所給的數(shù)。解：(x1)210

3、*13(x2*)210 3*11(x3*)210 1*13(x4*)210 3*11(x5*)10 12(1) ( x1*(x1*)1 102x2 x4 )*(x*2)412310(x4)31 10 321.05 10(2) (x1* x*2x3* )x1x2 (x3 )x2x31.1021 0.03110 1x1 x3 (x2 )10.031 385.610 41.1021 385.6100.215(3) (x*2/ x*4)x2* ( x*4 ) x*4 (x*2) *21，問度量半徑 R 時允許的相對誤差限是多少？x*40.0311 3 1 310 3 56.430 10 3 2210

4、556.430 56.4305 計算球體積要使相對誤差限為43解：球體體積為 VR33RVgV'則何種函數(shù)的條件數(shù)為Cpr(V*) Cpgr(R*) 3 r(R*)又Q r (V*) 1%1故度量半徑 R 時允許的相對誤差限為?( ?)11= 13?1% = 30106設(shè)Y0 28，按遞推公式 Yn Yn 1 100 783n=1,2, )計算到 Y100 。若取 783 27.982 ( 5 位有效數(shù)字)，試問計算 Y100 將有多大誤差？1解：QYn Yn 17831001Y100 Y997831001Y9878398 100Y971 78397 100Y99Y98Y1Y0 1 7

5、830 100依次代入后，有 Y100 Y0 1001 783100即 Y100 Y0783，若取 78327.982 , Y100Y0 27.982(Y10*0)(Y0)(27.982)1 10 32Y100 的誤差限為 1100 210 3 。7求方程 x256x 1 0 的兩個根，使它至少具有4 位有效數(shù)字( 783 27.982 )。11故方程的根應(yīng)為x1,2 28 783x128 783 28 27.98255.982x1 具有 5 位有效數(shù)字x2 28 783 12 28 78328 27.9820.01786355.982x2 具有 5 位有效數(shù)字8當(dāng) N 充分大時，N怎樣求N1

6、112 dx ？ x112 dx1 x2arctan( N1)arctan Narctan( N1),arctan N則 tan1,tanN.N1N 1 1x2 dx( 211)6 , (3 2 2)3, (3 21 2)3 ， 99 70 2。1arctan(tan( )tan tan arctan1 tan gtanN1N arctan1 (N 1)Narctan 2N 2 N 19正方形的邊長大約為了100cm，應(yīng)怎樣測量才能使其面積誤差不超過1cm2 ？解：正方形的面積函數(shù)為 A( x) x2(A*) 2A*g (x*) .當(dāng) x* 100時，若 ( A*) 1,12則 ( x*) 1

7、0 2 2故測量中邊長誤差限不超過 0.005cm 時，才能使其面積誤差不超過 1cm21210設(shè) Sgt 2 ，假定 g是準(zhǔn)確的，而對 t 的測量有 0.1秒的誤差，證明當(dāng) t 增加時 S的2絕對誤差增加，而相對誤差卻減少。12解：Q Sgt2,t 022(S*) gt2 g (t*)當(dāng)t* 增加時， S* 的絕對誤差增加(S*)r (S*)S*2gt2g (t*)1 * 212g(t*)2(t*)2t當(dāng)t* 增加時，(t*) 保持不變，則 S* 的相對誤差減少。11序列 yn若 y0 2滿足遞推關(guān)系 yn 10yn 1 1 (n=1,2, ),1.41(三位有效數(shù)字) ，計算到 y10 時

8、誤差有多大？這個計算過程穩(wěn)定嗎？解：Q y0 2 1.41(y0*) 1 10 202又Q yn 10yn 1 1y1 10y0 1 (y1*) 10 (y0*)又Q y2 10y1 1(y2*)10 (y1*)(y2*)2102 (y0*)(y10*)1010 121 10821010 (y0*)10 21計算到 y10 時誤差為108 ，這個計算過程不穩(wěn)定。212計算 f ( 2 1)6，取 2 ，利用下列等式計算，哪一個得到的結(jié)果最好？解：設(shè)y (x 1)6 ，若x* * 1 2， x* 1.4 ，則 x*210 1 。若通過11 6 計算 y 值，則 ( 2 1)6計算 值，則(x*1

9、1)76 * * * 7 y x (x* 1)7gx若通過yx(3 2 2)3計算 y值，則(3 2x*)2 g x*6*3 2x* y* g xyx若通過1 (33 計算 y 值，則2 2)31*4(3 2x*)41* 7 y (3 2x* )7gxyx通過3 計算后得到的結(jié)果最好。(3 2 2) 313 f (x) ln(x x2 1),求 f (30)的值。若開平方用 6位函數(shù)表，問求對數(shù)時誤差有多 大？若改用另一等價公式。 ln(x x2 1) ln(x x2 1) 計算，求對數(shù)時誤差有多大？解Q f(x) ln(x x2 1), f (30) ln(30 899)設(shè) u 899, y

10、 f (30)則u4y * u u*1* g u* 0.01673若改用等價公式ln(x x2 1) ln( x x2 1)則 f (30) ln(30 899)此時，y * u u* 1* u 59.98337第二章 插值法1當(dāng) x 1, 1,2時， f(x) 0, 3,4 ,求 f ( x)的二次插值多項式。 解：x0 1, x11, x2 2,f ( x0) 0, f (x1)3, f ( x2) 4;(xx1)(xx2)(x0x1)( x0x2)(xx0)(xx2)(x1x0)( x1x2)(xx0)(xx1)(x2x0)( x2x1)l0(x)l1(x)l2(x)則二次拉格朗日插值多

11、項式為1( x 1)(x 2)21(x 1)(x 2)613 (x 1)(x 1)2L2 (x)yklk(x)k03l0 (x) 4l2(x)142 (x 1)(x 2)3( x 1)(x 1)5 2 37xx6 232給出 f (x) ln x 的數(shù)值表X0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144用線性插值及二次插值計算 ln0.54 的近似值。 解：由表格知，x0 0.4, x1 0.5, x2 0.6, x3 0.7, x4 0.8;f ( x0)0.916291, f (x1)0.693147f ( x

12、2)0.510826, f (x3)0.356675f ( x4)0.223144若采用線性插值法計算 ln0.54 即 f (0.54) ， 則 0.5 0.54 0.6l1(x)x x1x2x210(x0.6)l2(x)xx110(x0.5)x2x1L1(x)f ( x1)l1( x)f (x2)l2 (x)6.93147( x 0.6) 5.10826( x 0.5)L1 (0.54)0.6202186 0.620219若采用二次插值法計算 ln0.54 時，(xx1)(xx2)(x0x1)(x0x2)(xx0)(xx2)(x1x0)( x1x2)(xx0)(xx1)(x2x0)(x2x

13、1)l0(x)l1(x)l2(x)50( x 0.5)(x 0.6)100(x 0.4)( x 0.6)50(x 0.4)( x 0.5)L2(x) f (x0)l0(x) f (x1)l1(x) f (x2)l2(x)50 0.916291(x 0.5)(x0.6) 69.3147(x 0.4)(x 0.6) 0.510826 50( x 0.4)(x 0.5)(1/ 60) o,若函數(shù)表具有 5 位有效數(shù)字， 研L2 (0.54)0.61531984 0.6153203給全 cos x,0o x 90o的函數(shù)表， 步長 h 1究用線性插值求 cosx 近似值時的總誤差界。解：求解 cos

14、x近似值時，誤差可以分為兩個部分，一方面， x 是近似值，具有 5位有效數(shù) 字，在此后的計算過程中產(chǎn)生一定的誤差傳播；另一方面，利用插值法求函數(shù) cosx 的近似 值時，采用的線性插值法插值余項不為0，也會有一定的誤差。因此，總誤差界的計算應(yīng)綜合以上兩方面的因素。當(dāng) 0o x 90o 時，令 f (x) cos x取 x00,h (610) 610 180 10800令 xix0 ih, i 0,1,.,5400則 x5400 2 90當(dāng) x xk, xk 1 時，線性插值多項式為x xk 1x xkL1(x)f ( xk)xxk 1f ( xk 1) xkxxkxk 1 xk 1xk插值余項

15、為R( x) cos x L1(x)( )( x xk)( x xk 1)又Q 在建立函數(shù)表時，表中數(shù)據(jù)具有5 位有效數(shù)字，且 cosx 0,1，故計算中有誤差傳播過程。( f * (xk )10R2(x)*x(f *(xk) x xkxk 1xk 1( f * (xk 1)( f *(xk )(xxkxk 1xk 1x xk 1xk 1 xk*1( f *(xk) (xk 1 x x xk ) h( f *(xk )總誤差界為R R1(x) R2 (x)1*( cos )(x xk)(x xk 1)( f (xk)21*2 (x xk)(xk 1 x) (f*(xk)112*( h) 2(

16、f * (xk )228151.06 10 810 520.5010610 54設(shè)為互異節(jié)點，求證：n kk1) xkjl j(x) xk(k 0,1,L ,n);j0nk(2) (xj x)kl j(x) 0 (k 0,1,L ,n); j0證明(1) 令 f (x) xk若插值節(jié)點為 xj , j0,1,L , n ，則函數(shù) f(x) 的n次插值多項式為 Ln(x)xkjlj(x) 。j0f ( n 1) ( ) 插值余項為 Rn(x) f(x) Ln(x)n 1(x)(n 1)!又 Q k n,f(n 1)( ) 0Rn (x) 0nxkjlj (x) xk (k 0,1,L ,n);j

17、0n(2) (xj x)klj (x)j0nn( Ckjxij( x)k i)lj(x) j 0 i0nnCki( x)k i( xijlj(x) i 0 j0又Q 0 i n 由上題結(jié)論可知nxkjl j(x) xi j0n原式Cki ( x)k i xii0(x x) k0得證。5設(shè) f (x)2C2 a,b 且 f ( a)f (b)0,求證：max f ( x)18(ba)2 maxf ( x).axb8a x b解：令 x0a, x1b，以此為插值節(jié)點，則線性插值多項式為xx1x x0L1(x) f (x0)1 f ( x10x0 x1x x0= f(a) x b f(b)x a a

18、 b x a又Q f (a) f(b) 0 L1(x) 01插值余項為 R(x) f (x) L1(x)f (x)(x x0)( x x1)2f(x)又Q ( x1f (x)( x x0 )( x x1)2x0 )(x x1)12(x4(x114(bx0 ) (x1x0)2a)1 2maxaxbf ( x)18(b6在 4 x斷誤差不超過2x)a)2 max a x bf ( x).4上給出 f (x) ex的等距節(jié)點函數(shù)表， 若用二次插值求 ex 的近似值，要使截10 6 ，問使用函數(shù)表的步長 h 應(yīng)取多少？解：若插值節(jié)點為 xi 1,xi和xi 1 ，則分段二次插值多項式的插值余項為1R2

19、(x)f ( )(x xi 1)(x xi )( x xi 1)3!1(x xi 1)( x6R2(x)xi)(x xi 1) m4 axx4f ( x)設(shè)步長為h，即 xi 1 xih, xi 1 xi hR2(x)3e4h3.277若 yn 2n,求 4 yn及4yn.，解：根據(jù)向前差分算子和中心差分算子的定義進(jìn)行求解。nyn2 n4yn(E1)4yn4( j04( j04( j01)j1)j1)j4j4j4jE4 j yny4 n j24 j yn(2 1)4 ynyn2n4yn11(E 2 E 2)4yn1(E 2)4(E 1)4 yn24Eynyn 22n 28 如果 f (x )

20、是 m 次多項式，記 f (x)f ( x h) f ( x) ，證明 f (x) 的 k 階差分kk f(x)(0 k m)是 m k次多項式，并且m1f (x) 0l 為正整數(shù))。解：函數(shù) f (x) 的 Taylor 展式為12f ( x h) f ( x) f ( x)h f (x)h21 f (m)( x)h m!1(m 1)!( m 1) m 1( ) h其中 (x, x h)又Q f (x)是次數(shù)為 m 的多項式(m 1)( ) 0 f (x) f (x h) f (x)f (x)h 1 f ( x)h221m!(m)(x)hmf (x)為 m 1階多項式f (x) ( f (x

21、)22 f (x) 為 m 2階多項式依此過程遞推，得 k f ( x ) 是 m k 次多項式mf(x) 是常數(shù) 當(dāng) l 為正整數(shù)時， m 1 f (x) 09證明 ( fkgk ) fk gk gk 1 fk證明( fkgk ) fk 1gk 1 fkgkfk 1gk 1 fkgk 1 fkgk 1 fk gk gk 1(fk 1 fk) fk(gk 1 gk) gk 1 fk f k gkf k gk gk 1 f k得證n1f0g0gk 1 f kk0n110證明fk gk f ngnk0證明：由上題結(jié)論可知fk gk( fkgk ) gk 1 fkn1 f k gkk0n1( ( f

22、k gk) gk 1 fk)k0n 1n1(fkgk)gk 1 fkk 0k 0Q ( fkgk) fk 1gk 1 fk gkn1 ( fk gk )k0( f1g1 f0g0) ( f2g2 f1g1) L (fngn fn1gn1) fngn f 0g0j0n1fk gk fn gnk0n1f 0g0gk 1 fkk0得證。n111證明2y jyny0n1n1證明 2y j( y j1yj)j0j0( y1y0)( y2y1)L( yn yn 1)yny0得證。12若 f ( x)a0 a1xLn1an 1xanxn有n 個不同實根 x1, x2,L , xnknxkjnknxkjj 1

23、 f (xj)j 1 an n(xj )n(x)(xx2)( x x3)L (xxn) (x x1)( x x3)L (xxn)n證明：j1xkj0,0 k n2;f (xj )n01,k n1證明： Qf (x) 有個不同實根 x1,x2 ,L ,且 f (x )n1a0 a1 x L an 1 xanxf(x)an(x x1 )( x x2)L (xxn)令 n( x)(x x1)( x x2)L (xxn)nxn(x x1)( x x2)L (x xn 1)n(xj) ( xj x1)(xj x2)L ( xj xj 1)(xj xj 1)L (xj xn)令 g( x) xk,g x1

24、,x2,L , xnnj1kxkjn(xj)nk nx j則 g x1, x2,L , xn1 2 n j 1 n(xj )nknxkjj 1 f (xj)g x1 , x2 ,L , xn ann xkj0,0 k n 2;1j 1 f (xj )n01, k n 1得證。13證明 n 階均差有下列性質(zhì)：1)若 F(x) cf (x) ，則 F x0,x1,L ,xn cf x0 , x1,L ,xn ;2)若 F(x) f (x)g(x) ，則 F x0, x1,L ,xnf x0,x1,L , xn g x0 , x1,L ,xn .證明：1)Q f x1,x2,L , xnf(xj)j

25、 0 (xj x0)L (xj xj 1)( x j xj 1)L (x j xn)F x1, x2,L , xnF(xj)j 0 (x j x0)L (xj xj 1)( xj x j 1)L (x j xn)cf (x j)j 0 (x j x0)L (xj xj 1)( xj xj 1)L (x j xn)c( n (xx )L(xx f ()x(xj)x)L(xx )j 0 (xjx0)L(xjx j 1)( x jxj1)L(xjxn)cf x0 ,x1,L ,xn得證。(2)Q F(x) f(x)g(x)F x0,L , xn得證。j 0 (xjx0)L(xj xj 1)( xjx

26、j1)L(xjxn)nf (xj) g(xj)j 0 (x jx0)L(xjxj 1 )( xjxj1)L(xjxn)nf(xj)j 0 (xjx0)L(xjxj 1)( x jxj1)L(xjxn)ng(xj)0(xjx0)L(xjxj 1)( xjx j 1)L(xjxn)f x0,L,xngx0 ,L ,xn4x 3x1,求F20 ,21,L ,27 及 F20,21,L ,n)+jF(xj)14 f ( x) x728 。解： Q f ( x) x7 x4 3x 1 若 xi 2i,i 0,1,L ,8則 f x0, x1,L , xnf (n) ( )n!f x0, x1,Lx7(7

27、) ( )7!7!7!f (8) ( )f x0, x1 ,L , x808!15證明兩點三次埃爾米特插值余項是R3(x) f (4)( )(x xk)2(x xk 1)2/4!,(xk,xk 1)解：若 x xk , xk 1 ，且插值多項式滿足條件H3(xk) f (xk),H3(xk) f (xk)H3(xk1) f(xk1),H3(xk1) f (xk1) 插值余項為 R(x) f (x) H3(x) 由插值條件可知 R( xk) R(xk 1) 0 且 R(xk) R(xk 1) 022R(x) 可寫成 R(x) g(x)(x xk)2(x xk 1)2 其中 g(x)是關(guān)于 x 的

28、待定函數(shù)， 現(xiàn)把 x看成xk,xk 1上的一個固定點，作函數(shù)(t) f (t) H3(t) g(x)(t xk)2(t xk1)2 根據(jù)余項性質(zhì)，有( xk ) 0, ( xk 1) 022(x) f (x) H3(x) g(x)(x xk )2(x xk 1)2 f ( x) H 3 (x) R( x)022(t) f (t) H3(t) g(x)2(t xk)(t xk1)2 2(t xk 1)(t xk)2( xk) 0(xk 1) 0由羅爾定理可知，存在(xk,x)和(x,xk 1) ，使( 1) 0, ( 2 ) 0即 (x)在 xk,xk 1上有四個互異零點。根據(jù)羅爾定理，(t)

29、在 (t) 的兩個零點間至少有一個零點，故 (t)在(xk,xk 1)內(nèi)至少有三個互異零點， 依此類推， (4)(t)在(xk,xk 1)內(nèi)至少有一個零點。記為(xk, xk 1)使(4)( ) f (4)( ) H3(4)( ) 4!g(x) 0又Q H3(4) (t) 0f (4) ( )g(x) ,(xk, xk 1)4!其中 依賴于 xR(x)(4) ( )4!22 (x xk ) (x xk 1)分段三次埃爾米特插值時，若節(jié)點為xk (k 0,1,L , n) ，設(shè)步長為 h ，即xk x0 kh,k 0,1,L , n在小區(qū)間 xk,xk 1 上f (4) ( )2 2R(x) (

30、x xk)2(x xk 1)2 4!R(x) 1 f(4)( )(x xk)2(x xk 1)2 4!1(x xk )2 (xk 1 x)2 max f (4) (x) 4!1 x xk xk 1 x 2 24!(21 1 44 h max f 4! 24 a x b h4384 a x bmax f (4) ( x)maxxbf (4) (x)(4) (x)16 求一個次數(shù)不 高 于 4次的多P(0)P (0)0P(1)P (1) 0, P(2)0解：利用埃米爾特插值可得到次數(shù)不高于4 的多項式x0 0, x1 1y0 0, y1 1m0 0,m1 1H3(x)1yjj(x)1mj j (x

31、)j0j00(x)(1 2xx0)(xxx1 )2x0x1x0x1(12x)(x1)21(x)(1 2xx1)(xxx0 )2x1x0x1x0(32x)x20(x)x(x1)23 x21( x) (x 1)x2項 式 P ( x )， 使 它 滿 足22H 3(x) (3 2x)x2 (x 1)x22x2設(shè) P( x)2H 3( x) A( x x0) 2( xx1)2其中， A為待定常數(shù)Q P(2)P(x)x3 2x2 Ax2 (x 1)2A14從而 P (x)1 2 2x2 ( x 3)2417設(shè) f(x) 1/(1 x2)，在 5 x 5上取 n 10 ，按等距節(jié)點求分段線性插值函數(shù) I

32、h(x)，計算各節(jié)點間中點處的 Ih(x)與 f(x) 值，并估計誤差。解：若 x0 5, x10 5則步長 h 1,xi x0 ih ,i 0,1,L ,10f(x)在小區(qū)間 xi, xi 1上，分段線性插值函數(shù)為Ih(x)x xi 1 f (xi)xi xi 1x xixi 1 xif ( xi 1)11(xi 1 x)1 xi2 (x xi)1 xi12當(dāng)x4.5時，f ( x)0.0471, I h( x)0.0486當(dāng)x3.5時，f ( x)0.0755, I h (x)0.0794當(dāng)x2.5時，f ( x)0.1379, I h ( x)0.1500當(dāng)x1.5時，f ( x)0.3

33、077, Ih (x)0.3500當(dāng)x0.5時，f ( x)0.8000, I h ( x)0.7500誤差maxxi x x i 1f (x)Ih(x)h2max8 5 x 5f()各節(jié)點間中點處的Ih(x)與 f (x) 的值為又Q f (x)11 x2f (x)f (x)2x22 (1 x2)2 6x2 2 (1 x2) 3f ( x)24x 24 x3(1 x2 )4令 f ( x) 0得 f ( x)的駐點為 x1,21和 x3 01f (x1,2) 2, f (x3) 2max f ( x)5x518求 f (x) x2在a,b 上分段線性插值函數(shù) I h (x) ，并估計誤差 解

34、：在區(qū)間 a,b 上， x0 a, xn b,hi xi 1 xi,i 0,1,L ,n 1, h max hi0i n 12Q f ( x ) x 2函數(shù) f (x) 在小區(qū)間 xi,xi 1 上分段線性插值函數(shù)為Ih(x)x xi 1 f (xi)xi xi 1x xixi 1 xif (xi 1)1 2 2xi (xi 1 x) xi 1 (x xi ) hi誤差為max f (x) Ih (x)xi x xi 1Q f ( x) x 2f (x) 2x, f ( x)ma xaxb f ( x) I h (x)a x b1max8 a bf ( ) ghi 22h2419求 f (x)

35、 x4在a,b 上分段埃爾米特插值，并估計誤差。解： 在 a,b 區(qū)間上， x0 a, xn b, hi xi 1 xi, i 0,1,L , n 1,令 h max hi0 i n 1Q f (x) x4, f (x) 4x3函數(shù) f(x)在區(qū)間 xi,xi 1上的分段埃爾米特插值函數(shù)為Ih (x) (x xi 1 )2(1 2xi xix xxii)f(xi)xi 1xxixi 1xixxi 1xixi 1xxi()2(x)2(1(xi12xxi xi 1xi 1)f(xixi) f (xi)1)xi)2(xxi1)f (xi 1)4hxi3(xxi 1)2( hi2x 2xi )4 xi

36、 13 (x hi3 4x3 4x2i (x hixi)2(hixi 1)2 (x2x 2xi 1)xi)4xi13(xhi2xi )2(xxi 1)誤差為f (x) Ih( x)f (4) (4!1 max24 a x b)(xf (4) (又Q f ( x)(4)f (x)4!xi )2(x xi 1)224max f ( x) I h (x)hi4h4max0i n116Xj0.250.300.390.450.53Yj0.50000.54770.62450.67080.7280a x b1620給定數(shù)據(jù)表如下：試求三次樣條插值，并滿足條件：(1)S (0.25) 1.0000, S (0

37、.53) 0.6868;(2)S (0.25) S (0.53) 0.解：h0x1x00.05h1x2x10.09h2x3x20.06h3x4x30.08hj 1hj 1hjhjhj 1hj1414f x0,x141f(x1) f(x0)x1 x00.9540f x1,x2 0.8533 f x2,x3 0.7717f x3,x40.7150(1) S (x0) 1.0000,S ( x4 ) 0.6868 6d0( f x1,x2 f0) 5.5200h0d16 f x1,x2 f x0,x1h0 h14.3157d2d33.26402.4300f x2,x3 f x1,x26h1 h2f

38、x3,x4 f x2,x3d46h63 ( f4 f x3,x4 )2.1150由此得矩陣形式的方程組為21M05.5200592M14.31571414322M23.264055342M32.4300771 2M42.1150求解此方程組得M02.0278,M 11.4643M 21.0313,M 30.8070,M 40.6539Q 三次樣條表達(dá)式為S(x) M j( xj 1 x)36hjMj(x xj )36hj(yj2M j hj x j 1 x 6)hj( yj 1Mj 1hj2)x x j xhjxj(j0,1,L , n 1)將 M 0,M1,M 2,M 3,M 4代入得6.7

39、593(0.30x)34.8810( x0.25)310.0169(0.30x)10.9662( x0.25)x 0.25,0.302.7117(0.39x)31.9098( x30.30)36.1075(0.39x)6.9544( x0.30)x 0.30,0.392.8647(0.45x)32.2422( x30.39)310.4186(0.45x)10.9662( x0.39)x 0.39,0.451.6817(0.53x)31.3623( x0.45)38.3958(0.53x)9.1087( x0.45)S(x)x 0.45,0.53(2) S (x0) 0,S (x4) 0d0 2

40、 f0 0,d1 4.3157, d23.2640d32.4300, d4 2 f4 00 4 02914325037M00M12M252M32由此得矩陣開工的方程組為4.31573.26402.4300求解此方程組，得M 0 0,M 11.8809M20.8616,M 31.0304,M4 0又 Q 三次樣條表達(dá)式為S(x) Mj (xj 1 x)3j6hjM jh j2 xj 1 x(yj M6jhj )xj h1j xMj(x xj )31(yj16hjMj 1hj2)x xj6 ) hj將 M 0,M1,M 2,M3,M 4代入得6.2697( x 0.25)3x 0.25,0.301

41、0(0.3 x) 10.9697( x 0.25)S(x)3.4831(0.39x 0.30,0.393x)31.5956(x 0.3)3 6.1138(0.39 x) 6.9518( x 0.30)21若2.3933(0.45x 0.39,0.45x)332.8622( x 0.39)3 10.4186(0.45 x) 11.1903( x 0.39)2.1467(0.530.45,0.53x)38.3987(0.53 x)9.1(x0.45)f ( x)C2a,b ,S(x) 是三次樣條函數(shù)，證明：b(1) a f (x)aba f (x)b2S ( x) dxa2bS ( x) dx 2

42、 S (x) f (x) S ( x) a2dx2dx(2) 若 f (xi)S(xi)(i0,1,L ,n) ，式中 xi為插值節(jié)點，且a x0 x1 Lxn b ，則baS (x) f (x) S (x) adxS (b) f (b) S (b) 證明：S (a) f (a) S (a)b(1)aabf (x)S(x)dx2b2f (x)dxaS ( x)dx2b2f (x)2dxS (x)2 dx222abf (x)S (x)dx abaS (x) f (x) S(x) adx從而有b2f (x) 2 dx abS ( x)2dx2f (x) S ( x) dx ab2 a S (x)a

43、f (x) S ( x) dxb(2)S(x) f( x) S( x) dxbS (x)d f( x) S(x)bbS(x)f ( x)S (x)f ( x)S(x) dS (x)S(b)f (b)S(b)S (a)f (a)bS (a) S(x)f (x)S ( x) dxS(b)f (b)S(b)S (a)f (a)n1S (a) S(xkxk 1xk 1)g xk 1 f (x)S ( x) dxk02xkSf (b)S(b)S (a)f (a)n1xkxk 1)g f (x) Sxk 1(b)S (a)S(k(x)k02xkS(b)f (b)S(b)S (a)f (a)S (a)B1(

44、f ,x) 及 B3(f ,x)。第三章 函數(shù)逼近與曲線擬合1 f(x) sin 2 x，給出 0,1上的伯恩斯坦多項式解：Q f ( x) sin , x 0,12伯恩斯坦多項式為Bn( f,x)nkf ( )Pk( x)n其中 Pk (x)k n kx (1 x)2當(dāng) n 1 時，1P0(x) 10(1 x)P1( x) xB1(f ,x) 1f (0) P0(x)f (1)P1(x)(1 x)sin( 2 0)x sin2n3時，P0(x)1(130x)3P1(x)1x(120x )2 3 x(1P2(x)31x2(1x) 3x 2(1P3(x)3x33 xxx)3x)2B3( f,x)k0kf (k )Pk(x)n0 3x(122x)2 gsin3x2(1332x (1 x)23 3 6 2 3 xx 2233x(1 x)25333x21.