點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)第二章拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射2-1,2

1、- -哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué)- - - -理理 學(xué)學(xué) 院院- - - -林林 錳錳- -點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué) 第二章第二章 拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射本章教學(xué)基本要求本章教學(xué)基本要求 掌握度量空間及度量空間的連續(xù)映射的概念掌握拓掌握度量空間及度量空間的連續(xù)映射的概念掌握拓?fù)渑c拓?fù)淇臻g的概念撲與拓?fù)淇臻g的概念,并在此空間上建立起來(lái)的連續(xù)映并在此空間上建立起來(lái)的連續(xù)映射射,同胚的概念，熟悉幾個(gè)拓?fù)淇臻g的例子掌握鄰域與同胚的概念，熟悉幾個(gè)拓?fù)淇臻g的例子掌握鄰域與鄰域系的概念及性質(zhì)；掌握連續(xù)映射的兩種定義；掌鄰域系的概念及性質(zhì)；掌握連續(xù)映射的兩種定義；掌握證明開(kāi)集與鄰域的證明方法握證明

2、開(kāi)集與鄰域的證明方法 掌握閉集和閉包等相關(guān)掌握閉集和閉包等相關(guān)概念概念.重點(diǎn)：重點(diǎn)：拓?fù)淇臻g拓?fù)淇臻g, ,同胚映射同胚映射, ,拓?fù)涞慕⒑妥C明拓?fù)涞慕⒑妥C明. . 難點(diǎn)：難點(diǎn)：拓?fù)淇臻g拓?fù)淇臻g,同胚映射同胚映射Department of Mathematics2.1 度量空間與連續(xù)映射度量空間與連續(xù)映射一一. 度量空間度量空間1. 度量空間的定義度量空間的定義 0),( , 0),( )1yxyxyx ),( ),( )2xyyx ),(),(),( )3zyyxzx 則稱則稱是集合是集合X的一個(gè)的一個(gè)度量度量 并稱并稱 為為度量空間度量空間.),( X 對(duì)于任意兩點(diǎn)對(duì)于任意兩點(diǎn)x，yX，

3、實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)(x，y)稱稱為從點(diǎn)為從點(diǎn)x到點(diǎn)到點(diǎn)y的距離的距離 定義定義2.1. 設(shè)設(shè) 為集合為集合, 為一映射為一映射,如果如果對(duì)于任何對(duì)于任何x，y，zX，有，有:XRXX : Department of Mathematics例例2.1 對(duì)于實(shí)數(shù)集合對(duì)于實(shí)數(shù)集合R ,定義定義：RRR如下：如下：對(duì)于任意對(duì)于任意x，yR，令，令(x，y)=|x-y| 是是R的一個(gè)度量，因此偶對(duì)的一個(gè)度量，因此偶對(duì)(R，)是一個(gè)度是一個(gè)度量空間量空間,通常稱為通常稱為實(shí)數(shù)空間實(shí)數(shù)空間.例例2.2 n維歐氏空間維歐氏空間,對(duì)于實(shí)數(shù)集合對(duì)于實(shí)數(shù)集合R的的n重笛卡兒積重笛卡兒積,定義定義： ,對(duì)于任意的對(duì)于任意的R

4、RRnn ),(21nxxxx nnRyyyy ),(21 niiiyxyx12)(),( 定義定義: 則則是是 上的一個(gè)度量上的一個(gè)度量nRDepartment of Mathematics例例2.3 離散的度量空間離散的度量空間 設(shè)設(shè)(X,)是一個(gè)度量空間是一個(gè)度量空間如果對(duì)于每一個(gè)如果對(duì)于每一個(gè)xX，存在一個(gè)實(shí)數(shù)存在一個(gè)實(shí)數(shù) , 使得使得 ,對(duì)對(duì)任意的任意的 都成立都成立, 稱稱(X,)是離散的是離散的，或者稱或者稱是是X的一個(gè)的一個(gè)離散度量離散度量.0 x xyx ),(yxXyx , . , 1; , 0),(yxyxyx 是一個(gè)離散度量是一個(gè)離散度量例如例如: 離散的度量空間或許是

5、我們以前未曾接觸過(guò)離散的度量空間或許是我們以前未曾接觸過(guò)的一類空間，但今后會(huì)發(fā)現(xiàn)它的性質(zhì)是簡(jiǎn)單的的一類空間，但今后會(huì)發(fā)現(xiàn)它的性質(zhì)是簡(jiǎn)單的Department of Mathematics2. 度量空間的其他概念度量空間的其他概念 定義定義2.2. 設(shè)設(shè)(X,)是一個(gè)度量空間，是一個(gè)度量空間，xX對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)0，集合，集合:稱為一個(gè)以稱為一個(gè)以x為中心以為中心以為半徑的為半徑的球形鄰域球形鄰域. ),(|),( yxXyxB 定理定理2.1. 度量空間度量空間(X,)的球形鄰域具有性質(zhì)：的球形鄰域具有性質(zhì)：1) 對(duì)任意對(duì)任意xX,至少有一個(gè)至少有一個(gè) .且且)(xB )(

6、xBx 2) 對(duì)對(duì)xX的任意兩個(gè)的任意兩個(gè) ,)(),(21xBxB )()()( .),(21xBxBxBxtsxB 3) 若若 ,則存在則存在 .),( xBy ),(),( xByB Department of Mathematics定義定義2.3. 設(shè)設(shè)A是度量空間是度量空間X的一個(gè)子集如果的一個(gè)子集如果A中中的每一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)球形鄰域包含于的每一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)球形鄰域包含于A（即對(duì)于每（即對(duì)于每一個(gè)一個(gè)aA，存在實(shí)數(shù)，存在實(shí)數(shù)0使得使得B(a,) )，則稱，則稱A是度量空間是度量空間X中的一個(gè)中的一個(gè)開(kāi)集開(kāi)集A 例例2.4 實(shí)數(shù)空間實(shí)數(shù)空間R中的開(kāi)區(qū)間中的開(kāi)區(qū)間 (a,b)為開(kāi)集為開(kāi)集

7、. 例例2.5 度量空間度量空間 中的開(kāi)球?yàn)殚_(kāi)集中的開(kāi)球?yàn)殚_(kāi)集.X例例2.6 a,b=xR|axb(a.b=xR|axb，a,b)xR|axb都不是都不是R中的開(kāi)集中的開(kāi)集Department of Mathematics 定理定理2.2. 度量空間度量空間(X,)的開(kāi)集具有以下性質(zhì)：的開(kāi)集具有以下性質(zhì)：(1)集合集合X本身和空集本身和空集 都是開(kāi)集都是開(kāi)集. (2) 有限個(gè)開(kāi)集的交是一個(gè)開(kāi)集有限個(gè)開(kāi)集的交是一個(gè)開(kāi)集 . (3)任意一個(gè)開(kāi)集族（即由開(kāi)集構(gòu)成的族）任意一個(gè)開(kāi)集族（即由開(kāi)集構(gòu)成的族） 的并是一個(gè)開(kāi)集的并是一個(gè)開(kāi)集 定義定義2.4. 設(shè)設(shè)x是度量空間是度量空間X中的一個(gè)點(diǎn)，中的一個(gè)點(diǎn)

8、，U是度量是度量空間空間X的一個(gè)子集如果存在一個(gè)開(kāi)集的一個(gè)子集如果存在一個(gè)開(kāi)集V滿足滿足: ,則稱則稱U是點(diǎn)是點(diǎn)x的一個(gè)鄰域的一個(gè)鄰域.UVx Department of Mathematics二二. 度量空間中的連續(xù)映射度量空間中的連續(xù)映射定義定義2.4.設(shè)設(shè)X和和Y是兩個(gè)度量空間，是兩個(gè)度量空間，f : XY，以及，以及 Xx 0如果對(duì)于如果對(duì)于 的任意一個(gè)球形鄰域的任意一個(gè)球形鄰域 ,存在存在 的某一球形鄰域的某一球形鄰域 ,使得使得:)(0 xf),(0 xfB0 x),(0 xB),(),(00 xfBxBf 則稱映射則稱映射f 在點(diǎn)在點(diǎn) 處是處是連續(xù)連續(xù)的的.0 x 如果映射如果映

9、射f 在在X的每一個(gè)點(diǎn)的每一個(gè)點(diǎn)xX處連續(xù)，則處連續(xù)，則稱稱f 是一個(gè)是一個(gè)連續(xù)映射連續(xù)映射 Department of Mathematics 設(shè)設(shè)X和和Y是兩個(gè)度量空間，是兩個(gè)度量空間，f : XY，以及，以及則下述條件則下述條件(1)和和(2)分別等價(jià)于條件分別等價(jià)于條件 和和 ：Xx 0定理定理2.3)1( )2( 的每一個(gè)鄰域的原象是的每一個(gè)鄰域的原象是 的一個(gè)鄰域的一個(gè)鄰域.)1( )(0 xf0 x(2) f 是連續(xù)的是連續(xù)的 Y中每一個(gè)開(kāi)集的原象是中每一個(gè)開(kāi)集的原象是X中的一個(gè)開(kāi)集中的一個(gè)開(kāi)集)2( (1) f 在點(diǎn)在點(diǎn) 處是連續(xù)的處是連續(xù)的. 0 x 從這個(gè)定理可以看出：度量

10、空間之間的一個(gè)從這個(gè)定理可以看出：度量空間之間的一個(gè)映射是否是連續(xù)的，或者在某一點(diǎn)處是否是連續(xù)映射是否是連續(xù)的，或者在某一點(diǎn)處是否是連續(xù)的的,本質(zhì)上只與度量空間中的開(kāi)集有關(guān)本質(zhì)上只與度量空間中的開(kāi)集有關(guān) Department of Mathematics一一. 拓?fù)淇臻g的定義拓?fù)淇臻g的定義2.2 拓拓 撲撲 空空 間間 與與 連連 續(xù)續(xù) 映映 射射(3) 若若 . 則則 11 AA (2) 若若A, B . 則則AB (1) ,X則稱則稱 是是X的一個(gè)的一個(gè)拓?fù)渫負(fù)?,稱稱(X, )為為拓?fù)淇臻g拓?fù)淇臻g.稱稱 中的元素為拓?fù)淇臻g中的元素為拓?fù)淇臻g(X, ) 中的中的開(kāi)集開(kāi)集. 定義定義2.5設(shè)

11、設(shè)X是一個(gè)集合是一個(gè)集合 是是X的冪集的冪集P(X)的子集的子集 如果如果 滿足滿足: Department of Mathematics說(shuō)明說(shuō)明常見(jiàn)的拓?fù)涑Ｒ?jiàn)的拓?fù)淅?.1平庸空間平庸空間設(shè)設(shè)X是一個(gè)集合令是一個(gè)集合令 ,則則 是拓?fù)涫峭負(fù)?,( X ),( X空間空間,稱為稱為平庸拓?fù)淇臻g平庸拓?fù)淇臻g. 拓?fù)淇臻g的開(kāi)集和度量空間的開(kāi)集有區(qū)別拓?fù)淇臻g的開(kāi)集和度量空間的開(kāi)集有區(qū)別設(shè)設(shè) 是一個(gè)度量空間是一個(gè)度量空間, 則稱則稱 為由度量為由度量 誘導(dǎo)的拓?fù)湔T導(dǎo)的拓?fù)? 是由度量是由度量空間空間 誘導(dǎo)誘導(dǎo)的拓?fù)淇臻g的拓?fù)淇臻g. ),( X),( XVXV是是 ),( X),( X Departm

12、ent of Mathematics例例2.2離散空間離散空間設(shè)設(shè)X是一個(gè)集合令是一個(gè)集合令 =P (X)，即由，即由X的所有子的所有子集構(gòu)成的族容易驗(yàn)證，集構(gòu)成的族容易驗(yàn)證， 是是X的一個(gè)拓?fù)?，稱之的一個(gè)拓?fù)?，稱之為為X的的離散拓?fù)潆x散拓?fù)?；可知，在離散空間（；可知，在離散空間（X, ）中，）中，X的每一個(gè)子集都是開(kāi)集的每一個(gè)子集都是開(kāi)集 練習(xí)練習(xí)2.1設(shè)設(shè)Xa，b，c),(),(),( ,1cbabaa 是否是否X的拓?fù)涞耐負(fù)? 例例2.3有限補(bǔ)空間可數(shù)補(bǔ)空間有限補(bǔ)空間可數(shù)補(bǔ)空間 的的一一個(gè)個(gè)有有限限子子集集是是XUXUC 的的一一個(gè)個(gè)可可數(shù)數(shù)子子集集是是XUXUC Department

13、of Mathematics二二. 鄰域與鄰域系鄰域與鄰域系 定義定義2.6設(shè)設(shè)(X， )是一個(gè)拓?fù)淇臻g，是一個(gè)拓?fù)淇臻g，xX如果如果U是是X的一個(gè)子集，滿足條件：存在一個(gè)開(kāi)集的一個(gè)子集，滿足條件：存在一個(gè)開(kāi)集V使得使得 , 則稱則稱U是點(diǎn)是點(diǎn)x的一個(gè)的一個(gè)鄰域鄰域 UVx 如果如果U是包含著點(diǎn)是包含著點(diǎn)x的一個(gè)開(kāi)集，那么的一個(gè)開(kāi)集，那么它一定是它一定是x的一個(gè)鄰域，于是我們稱的一個(gè)鄰域，于是我們稱U是點(diǎn)是點(diǎn)x的一個(gè)開(kāi)鄰域的一個(gè)開(kāi)鄰域說(shuō)明說(shuō)明點(diǎn)點(diǎn)x的所有鄰域構(gòu)成的的所有鄰域構(gòu)成的x的子集族稱為的子集族稱為點(diǎn)點(diǎn)x的鄰域系的鄰域系,記為記為xUDepartment of Mathematics定理

14、定理2.4拓?fù)淇臻g拓?fù)淇臻gX的一個(gè)子集的一個(gè)子集U是開(kāi)集的充分必是開(kāi)集的充分必要條件是要條件是U是它的每一點(diǎn)的鄰域，即只要是它的每一點(diǎn)的鄰域，即只要xU，U便便是是x的一個(gè)鄰域的一個(gè)鄰域 定理定理2.5設(shè)設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g是一個(gè)拓?fù)淇臻gxX, 為為x的的鄰域系鄰域系,則則: xU(1) 對(duì)于任何對(duì)于任何xX， ,如果如果 則則xU xU,xUU (2) 如果如果 ,則則UV . xUVU ,xU(3) 如果如果 ,并且并且 , 則則: .xUU VU xUV (4) 如果如果 ,則存在則存在 .滿足滿足:xUU xUV (a) , (b) 對(duì)于任何對(duì)于任何yV,有有UV yUV Departm

15、ent of Mathematics三三. 拓?fù)淇臻g中的連續(xù)映射和同胚映射拓?fù)淇臻g中的連續(xù)映射和同胚映射定義定義2.7設(shè)設(shè)X和和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f : XY，以及，以及 如果對(duì)于如果對(duì)于 的任意一個(gè)鄰域的任意一個(gè)鄰域 , 有有: ,則稱則稱 在點(diǎn)在點(diǎn) 處是連續(xù)的處是連續(xù)的.)(0 xf)(0 xfUU 0 x0)(1xUUf Xx 0f 如果映射如果映射f 在在X的每一個(gè)點(diǎn)的每一個(gè)點(diǎn)xX處連續(xù)，則處連續(xù)，則稱稱f 是拓?fù)淇臻g是拓?fù)淇臻gX上的一個(gè)上的一個(gè)連續(xù)映射連續(xù)映射 定理定理2.6 f 是連續(xù)的是連續(xù)的 充分必要條件是充分必要條件是Y中開(kāi)集的中開(kāi)集的原象是原象是X中的開(kāi)集中

16、的開(kāi)集Department of Mathematics定理定理2.7設(shè)設(shè)X，Y和和Z都是拓?fù)淇臻g則都是拓?fù)淇臻g則(1)恒同映射：恒同映射： : XX是一個(gè)連續(xù)映射；是一個(gè)連續(xù)映射； Xi(2)如果如果f : XY和和g:YZ都是連續(xù)映射，都是連續(xù)映射， 則則 gof : XZ也是連續(xù)映射也是連續(xù)映射 (3)常值映射：常值映射： : 是一個(gè)連續(xù)映射；是一個(gè)連續(xù)映射； YyX 0C(4)從離散空間到任何空間的映射都是連續(xù)的從離散空間到任何空間的映射都是連續(xù)的(5)從從X到平凡空間的任何映射都是連續(xù)的到平凡空間的任何映射都是連續(xù)的Department of Mathematics定義定義2.8設(shè)設(shè)

17、X和和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g如果是兩個(gè)拓?fù)淇臻g如果 f ：XY是一個(gè)一一映射，并且是一個(gè)一一映射，并且 f 和和 ：YX都是連續(xù)的，都是連續(xù)的，則稱則稱 f 是一個(gè)是一個(gè)同胚映射同胚映射或同胚或同胚1 f定理定理2.8設(shè)設(shè)X，Y和和Z都是拓?fù)淇臻g則都是拓?fù)淇臻g則(1)恒同映射：恒同映射： : XX是一個(gè)同胚映射；是一個(gè)同胚映射； Xi(3)如果如果f : XY和和g:YZ都是同胚映射，都是同胚映射， 則則 gof : XZ也是同胚映射也是同胚映射 (2)如果如果f ：XY是一個(gè)同胚，則是一個(gè)同胚，則 ： YX 也是一個(gè)同胚；也是一個(gè)同胚； 1 fDepartment of Mathematics定義

18、定義2.9設(shè)設(shè)X和和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g如果存在一個(gè)是兩個(gè)拓?fù)淇臻g如果存在一個(gè)同胚同胚f ：XY，則稱拓?fù)淇臻g，則稱拓?fù)淇臻gX與拓?fù)淇臻g與拓?fù)淇臻gY是同胚的，是同胚的，或稱或稱X與與Y同胚，或稱同胚，或稱X同胚于同胚于Y定理定理2.9設(shè)設(shè)X，Y和和Z都是拓?fù)淇臻g則都是拓?fù)淇臻g則（1）X與與X同胚；同胚；（2）如來(lái)）如來(lái)X與與Y同胚，則同胚，則Y與與X同胚；同胚；（3）如果）如果X與與Y同胚，同胚，Y與與Z同胚，同胚， 則則X與與Z同胚同胚Department of Mathematics四四. 子空間的概念子空間的概念 定義定義2.10設(shè)設(shè)(X， )是一個(gè)拓?fù)淇臻g，是一個(gè)拓?fù)淇臻g，令令 ,則則 是是A上的拓?fù)渖系耐負(fù)?拓?fù)淇臻g拓?fù)淇臻g 稱為稱為 的的子空間子空間. VAVA),(AA XA ),( XA 定理定理2.10設(shè)設(shè)X，Y，Z都是拓?fù)淇臻g如果都是拓?fù)淇臻g如果Y是是X的的一個(gè)子空間，一個(gè)子空間，Z是是Y的一個(gè)子空間，則的一個(gè)子空間，則Z是是X的一個(gè)的一個(gè)子空間子空間說(shuō)明說(shuō)明拓?fù)淇臻g拓?fù)淇臻g 的任何子集都可以看作拓的任何子集都可以看作拓?fù)鋼淇臻g空間,即子空間即子空間),( X),(AX Department of Mathematics 定理定理2.11 設(shè)設(shè) 是拓?fù)淇臻g是拓?fù)淇臻g,(1) 若若B是是X中的開(kāi)集中的開(kāi)集,則則B也是也是A中的開(kāi)集中的