第二章 符號計算

1、1 第二章第二章 符號計算符號計算2 MATLAB 不僅具有數值運算功能，還開發(fā)不僅具有數值運算功能，還開發(fā)了在了在MATLAB環(huán)境下實現符號計算的工具包環(huán)境下實現符號計算的工具包Symbolic Math Toolbox，安裝時選擇此工具安裝時選擇此工具包才能使用符號計算功能包才能使用符號計算功能。 在在MATLAB中，數值和數值變量用于數值的中，數值和數值變量用于數值的存儲和各種數值計算，而存儲和各種數值計算，而符號常數、符號變符號常數、符號變量、符號函數、符號表達式量、符號函數、符號表達式（符號數學表達（符號數學表達式、符號方程和符號矩陣），嚴格按照代數、式、符號方程和符號矩陣），嚴格按

2、照代數、微積分等課程中的規(guī)則、公式進行運算，并微積分等課程中的規(guī)則、公式進行運算，并盡可能給出解析表達式結果。盡可能給出解析表達式結果。 解算數學表達式、方程時，不是在離散解算數學表達式、方程時，不是在離散化的數值點上進行，而是憑借一系列恒化的數值點上進行，而是憑借一系列恒等式和數學定理，通過推理和演繹，獲等式和數學定理，通過推理和演繹，獲得解析結果。得解析結果。符號計算建立在數值完全準確表達和推符號計算建立在數值完全準確表達和推演嚴格解析的基礎之上，因此所得結果演嚴格解析的基礎之上，因此所得結果是完全準確的。是完全準確的。4 例：例： solve(a*x2+b*x+c=0)ans = -(b

3、 + (b2 - 4*a*c)(1/2)/(2*a) -(b - (b2 - 4*a*c)(1/2)/(2*a) 例：例： solve(x2+2*x+2=0)ans = - i - 1 i - 1符號運算的功能符號運算的功能 符號表達式、符號矩陣的創(chuàng)建符號表達式、符號矩陣的創(chuàng)建 符號線性代數符號線性代數 因式分解、展開和簡化因式分解、展開和簡化 符號代數方程求解符號代數方程求解 符號積分符號積分 符號微分方程符號微分方程 運算對象可以是沒賦值的符號變量運算對象可以是沒賦值的符號變量 可以獲得任意精度的解可以獲得任意精度的解 符號運算的特點符號運算的特點7舉例舉例:計算計算22cos ( ) s

4、in ( )xx8 數值運算中必須先對變量賦值數值運算中必須先對變量賦值，然后才能參與運算。然后才能參與運算。 符號運算無須事先對獨立變量符號運算無須事先對獨立變量賦值賦值，運算結果以標準的符號形式，運算結果以標準的符號形式表達。表達。9 數值計算是先給出求解區(qū)間上的離散點，然后在數值計算是先給出求解區(qū)間上的離散點，然后在離散點上計算結果，計算的結果在該點上是準確的。離散點上計算結果，計算的結果在該點上是準確的。但是在處理導數，極限等問題時遇到問題。例如但是在處理導數，極限等問題時遇到問題。例如sin(x)/x。 符號計算建立在公式化簡，恒等式代換，數學定符號計算建立在公式化簡，恒等式代換，數

5、學定理運用上，最終求出來符號解理運用上，最終求出來符號解(可以是公式也可以是可以是公式也可以是數值數值)。求出的結果準確可信。求出的結果準確可信。2.1 符號對象和符號表達式符號對象和符號表達式 基本符號對象：數字，參數，變量，表達式。基本符號對象：數字，參數，變量，表達式。 凡進行過數值計算的人都知道：數值表達式所用凡進行過數值計算的人都知道：數值表達式所用的變量必須事先被賦過值，否則該表達式無法計的變量必須事先被賦過值，否則該表達式無法計算。算。 Symbolic Math Toolbox 沿用數值計算的這種模式，沿用數值計算的這種模式，規(guī)定規(guī)定：在進行符號計算時，首先要定義基本的符：在進

6、行符號計算時，首先要定義基本的符號對象，然后利用這些基本符號對象去構成新的號對象，然后利用這些基本符號對象去構成新的表達式，進而從事所需的符號運算。表達式，進而從事所需的符號運算。11生成符號對象的基本規(guī)則生成符號對象的基本規(guī)則: 任何基本符號對象都必須借助專門的任何基本符號對象都必須借助專門的符號符號函數命令函數命令sym或或syms定義。定義。 在運算中，凡是由包含符號對象的表達式在運算中，凡是由包含符號對象的表達式所生成的衍生對象也都是符號對象。所生成的衍生對象也都是符號對象。2.1.1 符號對象的創(chuàng)建和衍生符號對象的創(chuàng)建和衍生定義格式如下定義格式如下: sym(Num) %創(chuàng)建一個符號

7、數字創(chuàng)建一個符號數字Num sc=sym(Num) %創(chuàng)建一個符號常數創(chuàng)建一個符號常數sc，該常數值準確，該常數值準確 %等于等于Num說明說明: 其中其中Num代表一個具體的數字。代表一個具體的數字。 Num必須處于（英文狀態(tài)下的）單引號內。必須處于（英文狀態(tài)下的）單引號內。 數值常量作為函數命令數值常量作為函數命令sym()的輸入參量，就建立了一的輸入參量，就建立了一個符號常量，看上去的一個數值量，但它已是一個符個符號常量，看上去的一個數值量，但它已是一個符號對象。號對象。 符號數字符號數字13a=pi+sqrt(5)sa=sym(pi+sqrt(5)Ca=class(a)Csa=clas

8、s(sa)vpa(sa-a)例例2.1-1a = 5.3777sa = pi+sqrt(5)Ca = doubleCsa = symans = .138223758410852e-16 定義基本符號對象的指令：定義基本符號對象的指令：sym, syms sym的常用使用格式：的常用使用格式：sym(arg) 把數字、字符串或表達式把數字、字符串或表達式arg轉換為符號對轉換為符號對象象f=sym(arg) 把數字、字符串或表達式把數字、字符串或表達式arg轉換為符號轉換為符號對象對象ff=sym(argv, Flagv) 按按Flagv指定的要求把字符串指定的要求把字符串argv定義為符號對象

9、定義為符號對象符號參數和符號變量符號參數和符號變量15 syms的常用使用格式：的常用使用格式：syms argv 定義符號對象定義符號對象argv syms argv Flagv 定義符號對象并指定符號對象的定義符號對象并指定符號對象的屬性為屬性為Flagvsyms(argv1,argv2, argvk ) 定義定義argv1，argv2，argvk為基本符號對象為基本符號對象syms argv1 argv2 argvk 上述格式的簡潔形式上述格式的簡潔形式syms argv1 argv2 argvk Flagv 定義定義argv1,argv2，argvk 為具有為具有Flagv指定屬性的基

10、本符號對象指定屬性的基本符號對象符號參數和符號變量符號參數和符號變量16 positive: 表示那些符號對象取正實數；表示那些符號對象取正實數； real:表示那些符號對象限定為實數；表示那些符號對象限定為實數； unreal:表示那些符號對象為不限定的復數。表示那些符號對象為不限定的復數。Flagv: positive, real, unreal17syms和和sym區(qū)別之一區(qū)別之一 syms可以同時定義多個符號變量，可以同時定義多個符號變量，sym一一次定義一個符號變量；次定義一個符號變量； sym可以在定義時，同時把變量賦給另外一可以在定義時，同時把變量賦給另外一個符號變量！如個符號變

11、量！如p=sym(q)18 syms是定義符號變量，是定義符號變量，sym是將數字、字符、是將數字、字符、（字符串）或者表達式轉換為符號對象。（字符串）或者表達式轉換為符號對象。 比如：比如：syms x y %定了符號變量定了符號變量x、y，以后，以后x、y就可以直接使用了，有他們參與運算出來的結果也就可以直接使用了，有他們參與運算出來的結果也是符號變量。是符號變量。 當然上面的也可以當然上面的也可以x=sym(x), y=sym(y) 。sym(a+b) %將將a+b轉化為符號表達式轉化為符號表達式syms和和sym區(qū)別之二區(qū)別之二19 兩者有不同的使用場合兩者有不同的使用場合 比如符號變

12、量涉及的個數比較少，但是使用頻率比比如符號變量涉及的個數比較少，但是使用頻率比較高，那么就是使用較高，那么就是使用syms；但是如果個數多，但；但是如果個數多，但是使用頻率比較少則使用是使用頻率比較少則使用sym。syms和和sym區(qū)別之三區(qū)別之三20符號表達式中符號變量（自由變量）的確定符號表達式中符號變量（自由變量）的確定 確定自由符號變量的規(guī)則：在專門指定變量確定自由符號變量的規(guī)則：在專門指定變量名的符號運算中，解題一定圍繞指定變量名名的符號運算中，解題一定圍繞指定變量名進行進行。在沒有指定變量名的符號運算中，在沒有指定變量名的符號運算中，MATLATB將按照與小寫字母將按照與小寫字母x

13、的的ASCII碼距離碼距離自動識別出自由符號變量。自動識別出自由符號變量。21符號表達式中符號表達式中符號變量（自由變量）符號變量（自由變量）的確定的確定 為符號操作和計算的需要，為符號操作和計算的需要，MATLAB提供一個提供一個findsym和和symvar指令，可實現對表達式中所有自指令，可實現對表達式中所有自由符號變量或指定數目的獨立自變量的自動認定。由符號變量或指定數目的獨立自變量的自動認定。 a*x2+b*x+c=0 一共一共4個參數，圍繞誰求解？個參數，圍繞誰求解？findsym(EXPR)或者或者symvar(EXPR)確認表達式確認表達式EXPR中所有中所有“自由自由”符號符

14、號“變量變量”findsym(EXPR,N)或者或者symvar(EXPR,N)從表達式從表達式EXPR中確認出靠中確認出靠x最近的最近的N個獨立自個獨立自 變量。變量。22 注意注意： EXPR可以是符號矩陣。此時，該指令對自由變可以是符號矩陣。此時，該指令對自由變量的確認是對整個矩陣進行的，而不是對矩陣元量的確認是對整個矩陣進行的，而不是對矩陣元素逐個進行的。素逐個進行的。 在在MATLAB符號計算中，符號計算中，x是首先符號變量，其是首先符號變量，其后的次序排列規(guī)則：與后的次序排列規(guī)則：與x的的ASCII碼值之差的絕對碼值之差的絕對值小的字母優(yōu)先；差絕對值相同時，值小的字母優(yōu)先；差絕對值

15、相同時，ASCII碼值大碼值大的字母優(yōu)先。的字母優(yōu)先。 注意字母的大小寫。在此認為大寫字母離小寫注意字母的大小寫。在此認為大寫字母離小寫x的的距離總大于所有小寫字母離距離總大于所有小寫字母離x的距離。的距離。 自動識別符號變量時，字母的優(yōu)先次序為自動識別符號變量時，字母的優(yōu)先次序為x,y,w,z,v等。等。23例例2.1-22.1-2syms u v w z %定義定義4個符號參數和變量個符號參數和變量Eq=u*z2+v*z+w; %構成符號表達式構成符號表達式Eqresult_1=solve(Eq) %采用自動識別變量解方程采用自動識別變量解方程 %*z2+v*z+w=0findsym (E

16、q,1) %自動識別出符號變量，結果為自動識別出符號變量，結果為wresult_2=solve(Eq,z) %對于指定變量對于指定變量z解方程解方程符號表達式、符號函數與符號方程符號表達式、符號函數與符號方程 由符號常量、符號參數、符號變量、符號函數用由符號常量、符號參數、符號變量、符號函數用運算符或專用函數連接而成的符號對象。符號表運算符或專用函數連接而成的符號對象。符號表達式有兩種：達式有兩種：符號函數和符號方程符號函數和符號方程。區(qū)別在于后。區(qū)別在于后者有等號。者有等號。 syms n x t w c; f1=n*xn/x classf1=class(f1) f2=sym(log(t)2

17、*t) clasf2=class(f2) e1=sym(a*x2+b*x+c=0) class1=class(e1)25符號表達式、符號函數與符號方程符號表達式、符號函數與符號方程 隱含的生成方式隱含的生成方式提示：提示：Matlab中很少使用雙引號中很少使用雙引號 ”,更多地使用更多地使用 。符號矩陣符號矩陣 元素是符號對象（符號變量和符號常量）的稱作元素是符號對象（符號變量和符號常量）的稱作符號矩陣。符號矩陣。m1=sym(ab bc cd;de ef fg;h l j)class1=class(m1) m2=sym(1 12;23 34)class2=class(m2)m3=sym(a

18、b;c d)class3=class(m3)符號矩陣的創(chuàng)建符號矩陣的創(chuàng)建 數值矩陣數值矩陣A=1,2;3,4 A=a,b;c,d 不識別不識別用用matlab函數函數sym創(chuàng)建矩陣創(chuàng)建矩陣（symbolic 的縮寫的縮寫)命令格式命令格式：A=sym( ) 符號矩陣內容同數值矩陣符號矩陣內容同數值矩陣 需用需用sym指令定義指令定義 用用 標識標識例如例如：A = sym(a , 2*b ; 3*a , 0) A = a, 2*b 3*a, 0 這就完成了一個符號矩陣的創(chuàng)建。這就完成了一個符號矩陣的創(chuàng)建。注意：符號矩陣顯示每一行的兩端都有方注意：符號矩陣顯示每一行的兩端都有方 括號，這是與括號

19、，這是與 matlab數值矩陣的數值矩陣的 一個區(qū)別一個區(qū)別。2.1.2 符號計算中的符號計算中的算符算符 基本運算符基本運算符 算符算符“+”、“-”、“ * ”、“ ”、“ / ”、“ ”： 矩陣的加、減、乘、左除、右除、求冪運算。矩陣的加、減、乘、左除、右除、求冪運算。 算符算符 “.* ”、“. ”、“./ ”、“. ”：“元素對元素對元素元素”的數組乘、左除、右除、求冪運算。的數組乘、左除、右除、求冪運算。 算符算符“ ”、“ . ” ：矩陣的共軛轉置、非共軛：矩陣的共軛轉置、非共軛轉置轉置。 關系運算符關系運算符 算符算符“ = ”、“ = ” ：對算符兩邊的對象進：對算符兩邊的對

20、象進行行“相等相等”、“不等不等”的比較。當事實為的比較。當事實為“真真”時，比較結果用時，比較結果用1表示；當事實為表示；當事實為“假假”時，比時，比較結果則用較結果則用0表示表示。2.1.3 符號計算中的基本函數符號計算中的基本函數 借助于重載技術，把具有相同函數計算功能借助于重載技術，把具有相同函數計算功能的文件采用同一個函數名加以保存，從形式的文件采用同一個函數名加以保存，從形式上看，數值運算函數和符號計算的函數沒有上看，數值運算函數和符號計算的函數沒有什么區(qū)別。什么區(qū)別。 符號計算函數庫分符號計算函數庫分3個層次，一般我們掌握個層次，一般我們掌握基本函數即可。基本函數即可。 需要注意

21、函數對數據類型的要求，比如需要注意函數對數據類型的要求，比如plot不能用符號類參數。不能用符號類參數。312.1.4 符號對象的識別符號對象的識別 class(var) isa(var,Obj) whos問題：問題：a=1;b=2;c=3;d=4;Mn=a,b;c,dMc=a,b;c,d %Mc是符號矩陣嗎？是符號矩陣嗎？Ms=sym(Mc)察看例程察看例程2.1-52.2 符號數字及表達式操作符號數字及表達式操作 2.2.1.數值數字與符號數字之間的轉換數值數字與符號數字之間的轉換 sym(num, r)即即sym(num) sym(num, d) 在符號運算中，在符號運算中，“雙精度數字

22、雙精度數字”都會自動地按都會自動地按sym(num, r)格式轉換為符號數字。格式轉換為符號數字。 注意：注意：sym(num)和和sym(num)的差別：在的差別：在sym(num)中中num可能是一長串數字表達式組合，可能是一長串數字表達式組合，sym(num)并并不計算出來；不計算出來；sym(num)是將是將num數字以雙精度表示數字以雙精度表示結果符號化，也就是是否立即計算的問題。結果符號化，也就是是否立即計算的問題。 如如a=sym(1/3+1/7+sqrt(5)和和b=sym(1/3+1/7+sqrt(5) 數值、符號、字符是數值、符號、字符是MATLAB中的三種不同的數中的三種

23、不同的數據類型。據類型。 MATLAB為每種數據類型提供了各自特定的生成為每種數據類型提供了各自特定的生成指令和操作指令。指令和操作指令。 為實現不同數據類型的交互，為實現不同數據類型的交互，MATLAB提供了一提供了一系列的轉換指令。系列的轉換指令。 數值型數值型符號結果符號結果符號常數符號常數 符號量（表達式）符號量（表達式）數值數值字符串（表達式）字符串（表達式）ASCII碼碼vpavpadoubledoublesymcharsymdoublecharstr2num str2double sscanfint2str num2str mat2str sprintfv將數值矩陣轉化為符號矩陣

24、將數值矩陣轉化為符號矩陣 函數調用格式函數調用格式：sym(A)A=1/3,2.5;1/0.7,2/5A = 0.3333 2.5000 1.4286 0.4000sym(A)ans = 1/3, 5/210/7, 2/5 符號矩陣與數值矩陣的轉換符號矩陣與數值矩陣的轉換v將符號矩陣轉化為數值矩陣將符號矩陣轉化為數值矩陣函數調用格式函數調用格式： double(A)A = sym(1/3, 5/2;10/7, 2/5)double(A)ans = 0.3333 2.5000 1.4286 0.4000 2.2.3 符號表達式符號表達式的操作的操作 符號運算中有許多操作指令。符號運算中有許多操作

25、指令。collect（合并同類項）（合并同類項）expand（對指定項展開）（對指定項展開）factor（進行因式或因子分解）（進行因式或因子分解）horner（轉換成嵌套形式）（轉換成嵌套形式）numden（提取公因式）（提取公因式）simplify（恒等式簡化）（恒等式簡化）pretty（習慣方式顯示）（習慣方式顯示）37 其中最常用的是其中最常用的是simple(EXPR)：運用包括：運用包括simplify在內的各種指令把在內的各種指令把EXPR轉換成最簡短形式。轉換成最簡短形式。 注注：EXPR可以是符號表達式或矩陣。在這種情況可以是符號表達式或矩陣。在這種情況下，這些指令將對該矩陣

26、的元素逐個進行操作。下，這些指令將對該矩陣的元素逐個進行操作。 f=sym(1/x3+6/x2+12/x+8)(1/3)f =(12/x + 6/x2 + 1/x3 + 8)(1/3) g=simple(f)g =(2*x + 1)3/x3)(1/3)。例：簡化32381261xxxf382.2.4 表達式中的表達式中的置換操作置換操作 公因子法簡化表達式公因子法簡化表達式 通用置換指令通用置換指令 39 符號計算結果顯得煩冗的一個重要原因是：有符號計算結果顯得煩冗的一個重要原因是：有些子表達式會多次出現在不同地方。些子表達式會多次出現在不同地方。 RS=subexpr(S, w) 從從S中自

27、動提取公因子，記它為中自動提取公因子，記它為w，并采用，并采用w重寫重寫S為為RS。 把復雜表達式中所含的多個相同子表達式用一把復雜表達式中所含的多個相同子表達式用一個符號代替，使表達簡潔。個符號代替，使表達簡潔。 置換原則：只有比較長的子表達式才被置換。置換原則：只有比較長的子表達式才被置換。公因子法簡化表達式公因子法簡化表達式 40 syms x f=(x+1)2+(x+1)3 f =(x + 1)2 + (x + 1)3 RS=subexpr(f, w) w = x + 1 RS =w3 + w2【例2.2-3】對符號矩陣進行特征向量分解。 clear allsyms a b c d W

28、V,D=eig(a b;c d)RVD,W=subexpr(V;D,W) 42 通用置換指令通用置換指令RES=subs(ES,old,new)用用new置換置換ES中的中的old后產生后產生RES ，重寫，重寫ES為為RES。RES=subs(ES, new) 用用new置換置換ES中的自由變量中的自由變量后產生后產生RES ，重寫，重寫ES為為RES。【例2.2-4】2.3 符號微積分符號微積分 與數值計算相比，一般說來，符號計算需要消與數值計算相比，一般說來，符號計算需要消耗更多的計算機資源，但這并不意味著符號計耗更多的計算機資源，但這并不意味著符號計算可有可無。在某些場合，符號計算處理

29、問題算可有可無。在某些場合，符號計算處理問題反比數值計算更為簡明快捷。反比數值計算更為簡明快捷。 符號極限符號極限 符號微分符號微分 符號序列的求和符號序列的求和 符號積分符號積分 Taylor級數展開級數展開符號極限符號極限 極限是微積分的基礎。在極限是微積分的基礎。在MATLAB中，極限的求解中，極限的求解由由limit函數實現。函數實現。 limit(F,x,a) 計算符號表達式計算符號表達式F在在xa條件下的極限條件下的極限 limit(F, a) 計算符號表達式計算符號表達式F中默認自變量趨向于中默認自變量趨向于a條件下條件下 的極限的極限 limit(F)計算符號表達式計算符號表達

30、式F在默認自變量趨向于在默認自變量趨向于0時的極限時的極限 limit(F,x,a,right)和和limit(F,x,a,left) 計算符號表達式計算符號表達式 F在在xa條件下的右極限和左極限條件下的右極限和左極限 例例2.3-1；符號微分符號微分 求導數、高階導數、偏導數是數學分析的重要求導數、高階導數、偏導數是數學分析的重要內容。由機器實現求導的內容。由機器實現求導的MATLAB指令如下：指令如下： dfdvn=diff(f,v,n) 注意：注意： f是矩陣時，求導對元素逐個進行，但自變量定義在是矩陣時，求導對元素逐個進行，但自變量定義在整個矩陣上。整個矩陣上。 v缺省時，自變量會自

31、動缺省時，自變量會自動由由findsym確認；確認；n缺省時，缺省時，默認默認n=1。 注意注意：在數值計算中，指令：在數值計算中，指令diff是用來求差分的。是用來求差分的。 例例2.3-2；例；例2.3-4nndvvfd)(符號序列的求和符號序列的求和 通式求和通式求和 問題問題 s=symsum(f,v,a,b) 求通式求通式f在指定變量在指定變量v取遍取遍a,b中所有整數時的和。中所有整數時的和。 注意：注意： f是矩陣時，求和對元素逐個進行，但自變量定義是矩陣時，求和對元素逐個進行，但自變量定義 在整個矩陣上。在整個矩陣上。 v確省時，確省時，f中的自變量中的自變量由由findsym

32、自動辨識；自動辨識；b可可 以取有限整數，也可以取無窮大。以取有限整數，也可以取無窮大。 a,b可同時缺省，此時默認求和的自變量區(qū)間為可同時缺省，此時默認求和的自變量區(qū)間為 0,v-1。 例例2.3-8bavvf)(符號積分符號積分 積分有不定積分、定積分和重積分等。積分有不定積分、定積分和重積分等。 與數值積分相比，符號積分指令簡單，適應性與數值積分相比，符號積分指令簡單，適應性強，但可能占用機器時間很長。強，但可能占用機器時間很長。 intf=int(f,v) 給出給出f對指定變量對指定變量v的（不帶積分常數的（不帶積分常數的）不定積分的）不定積分 intf=int(f,v,a,b)給出給

33、出f對指定變量對指定變量v的定積分的定積分 例例2.3-9；例；例2.3-102.4 微分方程的符號解法微分方程的符號解法 求微分方程符號解的一般指令求微分方程符號解的一般指令S=dsolve(eq1, eq2, ,eqn,cond1,cond2,condn,v)S=dsolve(eq1,eq2,eqn,cond1,cond2,condn,v)輸入量包括微分方程，初始條件，指定獨立變量。輸入量包括微分方程，初始條件，指定獨立變量。微分方微分方程是必不可少的內容，其余視需要而定，可有可無。程是必不可少的內容，其余視需要而定，可有可無。輸入量以字符串形式編寫。輸入量以字符串形式編寫。如果不指定如果

34、不指定v，則默認以，則默認以t為自為自變量變量(獨立變量獨立變量)。 例如：求例如：求dx/dt=y,dy/dt=-x的解。的解。 s=dsolve(Dx=y,Dy=-x)例例2.4-1解微分方程解微分方程求解函數：求解函數：dsolve 注意：當注意：當y是是“因變量因變量”時，用時，用“Dny”表示表示“y的的n階導數階導數”。當。當t為獨立變量時，為獨立變量時，Dy表示表示dy/dt。其中其中的的D表示微分表示微分，D2、D3表示二階、三階導表示二階、三階導數數。任何。任何D后面跟的是因變量。后面跟的是因變量。 方程方程d2y/dx2=0表示表示為為D2y=0; 可以給定可以給定初始條件

35、初始條件，如果沒有初始條件，解中，如果沒有初始條件，解中有系數。初始條件寫成有系數。初始條件寫成y(a)=b,Dy(c)=d等形式。等形式。 輸出量輸出量S是構架對象，如果是構架對象，如果y是因變量，那么關是因變量，那么關于它的解在于它的解在S.y中。中。50求( )5*( )6* ( )( ),( )2*, (0)2,(0)1ty ty ty tf tf teyy 的解。dsolve(D2y+5*Dy+6*y=2*exp(-t),Dy(0)=-1,y(0)=2)( )5*( )6* ( )( ),( )10*cos( ), (0)2,(0)0y ty ty tf tf ttyy求的解。dso

36、lve(D2y+5*Dy+6*y=10*cos(t),Dy(0)=0,y(0)=2)2.5 符號變換和符號卷積符號變換和符號卷積 Fourier變換及其反變換變換及其反變換 Fw=fourier(ft,t,w)求時域函數求時域函數ft的的fourier變換變換Fw ft=ifourier(Fw,w,t)求頻域函數求頻域函數Fw的的Fourier反變換反變換ft例例2.5-1；例；例2.5-2; Laplace變換及其反變換變換及其反變換 Fs=laplace(ft,t,s)求時域函數求時域函數ft的的laplace變換變換Fs ft=ilaplace(Fs,s,t)求頻域函數求頻域函數Fs的的

37、laplace反變換反變換ft例例2.5-4； Z變換及其反變換變換及其反變換ztrans(fn,n,z)和和iztrans(Fz,z,n)符號卷積符號卷積dthfty)()()(已知,求)()(tetut輸入下的響應syms T t taout=exp(-t);ht=exp(-t/T)/T;uh_tao=subs(ut,t,tao)*subs(ht,t,t-tao);yt=simple(simple(int(uh_tao,tao,0,t)% yt =-(exp(-t)-exp(-t/T)/(T-1) 例2.5-7)(1)(/teTthTt2.6 符號矩陣分析和代數方程解符號矩陣分析和代數方程

38、解det(A)求行列式的值求行列式的值diag(A)取對角元構成向量，或據向量構成對角陣取對角元構成向量，或據向量構成對角陣eig(A)特征值分解。特征值分解。例：求矩陣例：求矩陣A=a11 a12;a21 a22的行列式、逆和特征根。的行列式、逆和特征根。syms a11 a12 a21 a22;A= a11 a12 ;a21 a22Da=det(A)Ia=inv(A)EA=eig(A)符號矩陣分析符號矩陣分析符號代數方程符號代數方程的求解的求解 一般代數方程組的解一般代數方程組的解 一般代數方程包括線性一般代數方程包括線性(Linear)、非線性、非線性(Nonlinear)和超越方程和超越方程(Transcedental equation)等，求解指令等，求解指令是是solve。S=solve(eq1,eq2,，eqn,v1,v2,vn)求方程組求方程組eq1,eq2關于指定變量關于指定變量v1,v2的解的解（推薦格式）（推薦格式）eq1,eq2或是符號表達的方程，或是字符串表或是符號表達的方程，或是字符串表達式，達式，v1,v2是字符串表達的求解變量名。是字符串表達的求解變量名。S=solve(exp1,exp2,，expn,v1,v2,vn) 求方程組關于指定變量的解（可用格式）求方