數(shù)值分析(13)Hermite插值

1、數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析n 假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù)y=f(x)是是 在在a,b上有一定光滑性的函數(shù)上有一定光滑性的函數(shù), ,在在a,b 上有上有n+1個(gè)互異點(diǎn)個(gè)互異點(diǎn)xoxn, f(x)在這些點(diǎn)上取值在這些點(diǎn)上取值yo.yn. .求一個(gè)確定的函數(shù)求一個(gè)確定的函數(shù)p(x)在上面在上面n+1個(gè)點(diǎn)上滿個(gè)點(diǎn)上滿足足p(xi)=yi i=0,1,n.這是最簡(jiǎn)單的插值問(wèn)題這是最簡(jiǎn)單的插值問(wèn)題, ,如果除如果除了知道了知道f(x)在插值節(jié)點(diǎn)上的取值外在插值節(jié)點(diǎn)上的取值外, ,還知道還知道f(x)在插值在插值節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)xi上的上的 1min階導(dǎo)數(shù)，如何來(lái)構(gòu)造插值函數(shù)呢階導(dǎo)數(shù)，如何來(lái)構(gòu)造插值函數(shù)呢? ? Her

2、miteHermite插值就是既滿足插值節(jié)點(diǎn)插值就是既滿足插值節(jié)點(diǎn)xi的函數(shù)值條件又的函數(shù)值條件又滿足微商條件的插值函數(shù)。滿足微商條件的插值函數(shù)。 第四節(jié)第四節(jié) 帶導(dǎo)數(shù)條件的帶導(dǎo)數(shù)條件的HermiteHermite插值插值數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析 Hermite插值也叫帶指定微商值的插值插值也叫帶指定微商值的插值,它要構(gòu)造一個(gè)插值函數(shù)它要構(gòu)造一個(gè)插值函數(shù),不但在給定節(jié)點(diǎn)上取不但在給定節(jié)點(diǎn)上取函數(shù)值函數(shù)值,而且取已知微商值，使插值函數(shù)和被而且取已知微商值，使插值函數(shù)和被插函數(shù)的密和程度更好插函數(shù)的密和程度更好 。數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析01012()000()111()( )1,

3、(),(),()(),(),()(),(),()(0,1,2, )nnmmmnnniHf xnxxxxf xfxfxf xermfxfxf xfxitfxm ine 插插值值的的一一般般提提法法如如下下給給出出函函數(shù)數(shù)在在個(gè)個(gè)互互異異節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)上上的的函函數(shù)數(shù)值值及及若若干干導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)值值，設(shè)設(shè)插插值值節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)為為。給給出出其其中中是是：正正整整數(shù)數(shù)。111niiNnmNH x 以以上上總總共共有有個(gè)個(gè)插插值值條條件件，要要求求構(gòu)構(gòu)造造不不低低于于次次插插值值函函數(shù)數(shù) （ ）滿滿足足以以上上插插值值條條件件。數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析001 02110 110140H xxHHxHHH 求求

4、一一個(gè)個(gè)四四次次插插值值多多項(xiàng)項(xiàng)式式（ ），使使 時(shí)時(shí)， （ ）， （ ）； 時(shí)時(shí)， （）， （）， （）例例012121211,()()(0,1,2, )21( )()0 1 2()niiiinniiniiHermitenxxxyf xyfxinnHxHxyinHxy 插插值值中中，最最基基本本而而重重要要的的情情形形是是只只要要求求一一階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的條條件件。給給出出個(gè)個(gè)互互異異節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)上上的的函函數(shù)數(shù)值值和和導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)值值和和構(gòu)構(gòu)造造不不低低于于次次插插值值多多項(xiàng)項(xiàng)式式，要要求求滿滿足足插插值值條條件件， ， ，數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析Hermite插值多項(xiàng)式的構(gòu)造插值多項(xiàng)式的構(gòu)

5、造2122121210.(.)1nnnnnHxaxaxa xa 設(shè)設(shè)由由待待定定系系數(shù)數(shù)法法插插值值條條件件012212222,.,.nnnna aaa 共共個(gè)個(gè)方方程程，可可求求出出個(gè)個(gè)系系數(shù)數(shù)niyxHyxHiiniin，210)()(1212 數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析Hermite插值多項(xiàng)式的構(gòu)造插值多項(xiàng)式的構(gòu)造2121()0 1 2()niiniiHxyinHxy 使使其其滿滿足足插插值值條條件件， ， ，2100( )( )() 2)nniniiiiiHxh x yhLagrangex y 型型插插設(shè)設(shè)HermiteHermite插插值值多多項(xiàng)項(xiàng)式式為為值值基基函函數(shù)數(shù)法法數(shù)

6、值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析(1)()211(2)()0 ()0(0 1 2)()iiijijijhhxnijhxijhxxijn 應(yīng)應(yīng)是是次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式；， ，足足條條件件：，應(yīng)應(yīng)滿滿(1)()211(2) ()0()0(0 1 2()iijijijihxnijhxijhxijnhx 應(yīng)應(yīng)是是次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式；， ，足足條條件件，滿滿，應(yīng)應(yīng)：21002100()()() () () () nninjijijijiinnnjijiijijiiHxh xyh xyyHxhxyhxyy 數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析( )(1) ( )2111(2) ().( )(00 ()0(0 1 2,

7、1,2, )iiiijijijh xh xnhijh xijhxinjnx i 應(yīng)應(yīng)滿滿足足條條件件：應(yīng)應(yīng)是是次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式；， ， ， ，構(gòu)構(gòu)造造0()2( )()( )()( )njijijj iiixxLagrangel xxxh xaxb lx 利利用用插插值值基基函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)22()() ()1()()2() () ()0iiiiiiiiiiiiiih xaxb lxhxalxaxb lx l x 由由條條件件(2)(2)可可列列出出方方程程組組數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析()1,1,2 ()0iiiiil xaxbal x 200()()( )(12() ()()(0,1,2

8、,)1( )(),()()iiiiiinnjiiijjijijj ij ih xxx l xlxinxxl xlxxxxx 所所以以其其中中2 ()12()iii iial xbx l x 解解出出22()() ()1()()2() () ()0iiiiiiiiiiiiiih xaxb lxhxalxaxb lx l x 由由條條件件(2)(2)可可列列出出方方程程組組數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析( )(1)2.( )211(2) ()0()0(0 1 2( ),(0),1,2, )iiijijiijh xh xnijhxh xinijh xijn 應(yīng)應(yīng)滿滿足足條條件件：應(yīng)應(yīng)是是次次多多項(xiàng)

9、項(xiàng)式式；， ， ， ，構(gòu)構(gòu)造造2( )()( )iih xcxd lx設(shè)設(shè)22()() ()0 ()()2() () ()1iiiiiiiiiiiiiih xcxd lxhxclxcxd lx l x 由條件(2)可列出方程組由條件(2)可列出方程組數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析2120( )( )( )(12() ()() ( )iinniiiiiiiih xh xHxxx lxyxxy lx 代代入入和和經(jīng)經(jīng)整整理理得得到到2()1,0,11( )() ( )iiiiiiil xcxdccdxh xxx lx 解解出出于于是是求求出出22()() ()0 ()()2() () ()1ii

10、iiiiiiiiiiiih xcxd lxhxclxcxd lx l x 由條件(2)可列出方程組由條件(2)可列出方程組數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析Hermite插插值值誤誤差差分分析析(22)22121001( ) , ,221( )( )( )( )()(22)!,nnnniinf xC a ba bnnHermitefRxf xHxxxnxxx 設(shè)設(shè)，且且在在（）上上存存在在次次導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，對(duì)對(duì)于于個(gè)個(gè)互互異異節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)上上的的插插值值函函數(shù)數(shù)，有有如如下下誤誤差差估估計(jì)計(jì)式式其其中中 是是介介于于中中最最小小數(shù)數(shù)和和定定理理最最大大數(shù)數(shù)之之間間。21012222101( )1,( )

11、() ()()( )nnnnRxnxxxRxK xxxxxxxtF t 因因有有個(gè)個(gè)零零點(diǎn)點(diǎn)，故故設(shè)設(shè)（ ）構(gòu)構(gòu)造造以以 為為參參變變量量的的輔輔助助函函數(shù)數(shù)證證明明：數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析2210( )( )( )( )()nniiF tf tHtK xtx 2221222210( )(22)!( )( )( )()(22)!nnnnniifK xnRxfRxxxn （）（）由由此此求求出出 （ ）代代入入的的表表達(dá)達(dá)式式即即得得到到12222( )2( )22(),( )( )0( )(22)!0nnnF ttnxxxxF ttnRollea bFfK xn 0 0（）（）（）（

12、）關(guān)于 有個(gè)零點(diǎn)： ， ， ， ， 。關(guān)于 有個(gè)零點(diǎn)： ， ， ， ， 。但關(guān)于 有個(gè)零點(diǎn)，由羅爾 定理但關(guān)于 有個(gè)零點(diǎn)，由羅爾 定理必存在點(diǎn)（），使必存在點(diǎn)（），使數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析12121233331122112232111112,1,21,2( )( )( ) ( ) ( )12( )1iiiixxyyyyHermiteHxHxyiHxyiHxh x yh x yh x yh x yHermiteHxh xxxl xlxh x 在在節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn) 和和上上已已知知和和。試試構(gòu)構(gòu)造造兩兩點(diǎn)點(diǎn)三三次次插插值值多多項(xiàng)項(xiàng)式式 （ ）滿滿足足條條件件（ ）（ ）（ ）由由插插值值基基函函

13、數(shù)數(shù)的的一一般般形形式式，用用于于兩兩點(diǎn)點(diǎn)三三次次 （ ）上上，有有（）（ ） （ ）解解（例例：22222211122222( )( )xxlxlxh xxxlxh xxxlx （）（ ） （ ）（） （ ）（） （ ）211121212221211( )( )1( )( )xxlxlxxxxxxxlxlxxxxx 其其中中，數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析2212211121121222211222122121( )1 2( )( )1 2( )xxxxxxh xh xxxxxxxxxxxxxxxh xh xxxxxxxxx 代代入入后后得得到到（）（） ，（）（）（）（） ，（）（）12

14、121222314211( )max( )max()4!1max( )4! 2ixx xxx xixx xRxfxxhfhxx （4 4）（4 4）其其中中2231( )( )()4!iifRxxx （4 4）數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析Hermite不不完完全全導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)條條件件的的插插值值444444( ),(0)0,(1)1,(2)1,(0)0,(1)1,HermiteHxHHHHH 試試構(gòu)構(gòu)造造一一個(gè)個(gè)不不高高于于4 4例例：次次的的插插值值多多項(xiàng)項(xiàng)式式使使其其滿滿足足條條件件401400112201( ),( )( )( )( )( )( )HxHx

15、h x yh x yh x yhx yh x y 用用L La ag gr ra an ng ge e插插值值基基函函數(shù)數(shù)法法構(gòu)構(gòu)造造設(shè)設(shè)解解：0014112210( )( )( )( )yyHxh x yh x yh x y數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析,01400112201( )( )( )( )( )( )Hxh x yh x yh x yhx yh x y0100102000()1,()0,()0,()0,()0h xh xh xhxh x0101112111()0,()1,()0,()0,()0h xh xh xhxh x0102122222()0,()0,()1,()0,()0

16、h xh xh xhxh x,01400112201( )( )( )( )( )( )Hxh x yh x yh x yhx yh x y,0100102000()0,()0,()0,()1,()0h xh xh xhxh x,0101112111()0,()0,()0,()0,()1h xh xh xhxh x數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析11(0)(2)( )( )(0)()(0)()(10)(12)xxh xlxxaxbxaxb設(shè)設(shè)111(1)1,(1)020abhhab 由由得得1,2ab 221( )(2)h xxx2222(0)(1)( )( )()(20)(21)xxh xl

17、x設(shè)設(shè)111111(0)0,(1)1,(2(1)0,(0)(0,(1)0),h xhhhhh為為四四次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式 且且滿滿足足222222(0)0,(1)0,(2(2)1,(0)(0,(1)0),h xhhhhh為為四四次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式 且且滿滿足足222221(2)1,(2)11,( )(1)4hlh xxx 由由得得數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析,111111(0)0,(1)0,(2(3)0,(0)(0,(1)1),h xhhhhh為為四四次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式 且且滿滿足足21( )(0) (1)(2)h xxxx 設(shè)設(shè),211(1)11( )(1)(2)hhxxxx 由由得得，,141

18、12212222222( )( )( )( )1(2)(1)(1)(2)41(3)4Hxh x yh x yh x yxxxxxxxxx(5)224( )( )(1) (2)5!fR xxxx 誤誤差差余余項(xiàng)項(xiàng)數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析Hermite用用重重節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)差差商商構(gòu)構(gòu)造造插插值值。001 02110 110(1)40.H xxHHxHHH 求求一一個(gè)個(gè)四四次次插插值值多多項(xiàng)項(xiàng)例例式式 （ ），使使時(shí)時(shí)， （ ），（ ）；時(shí)時(shí)， （ ），（ ），并并寫(xiě)寫(xiě)出出插插值值余余項(xiàng)項(xiàng)的的表表達(dá)達(dá)式式。011( )0111( )lim, !kkkxxxxkfxf xxxf xxxxk ， ，

19、 ， ，011xxx 由由于于在在處處有有一一階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)值值的的插插值值條條件件，所所以以它它是是“二二重重節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)”；而而在在處處有有直直到到二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)值值的的插插值值條條件件，所所以以是是“三三重重節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)”。因因此此，利利用用重重節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)差差商商公公式式可可以以作作出出下下解解：列列差差商商表表。數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析xiyi一階差商一階差商 二階差商二階差商 三階差商三階差商 四階差商四階差商0 0-1-10 0-1-1-2-21 10 01 13 31 10 0101096 61 10 0101040/2！=2011115 52222(5)231236(1)5(1)1( )( )(1) 01,5!( )NewtonH xxxxxxxR xfxxf x 根根據(jù)據(jù)插插值值公公式式，插