高數(shù)線面積分PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1高數(shù)線面積分高數(shù)線面積分一. 重點(diǎn)和難點(diǎn)：了解多元函數(shù)積分學(xué)的整體思想。 1. 第型 、第型曲線積分的定義、性質(zhì)、各自不同的計(jì)算方法和兩型曲線積分互相轉(zhuǎn)換的關(guān)系式。 2. 第型 、第型曲面積分的定義、性質(zhì)、各自不同的計(jì)算方法和兩型曲面積分之間互相轉(zhuǎn)換的關(guān)系式。 3. 格林公式的條件、結(jié)論和應(yīng)用 。 4. 平面曲線積分的四個(gè)等價(jià)命題，它們等價(jià)的條件，以及應(yīng)用。 5. 高斯公式的含義和用法. 6. 曲面積分與曲面無關(guān)的條件. 7. 斯托克斯(Stokes)公式的含義和用法. *8. 空間曲線積分的四個(gè)等價(jià)命題. 9. 了解散度，會(huì)計(jì)算散度. 10. 了解旋度，會(huì)計(jì)算旋度. 第1頁/共34頁

2、 曲線積分和曲面積分在實(shí)際中的應(yīng)用：求曲線、曲面的質(zhì)量、重心和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；解決變力作功問題；解決矢量場(chǎng)沿有向閉曲線的環(huán)量以及通過曲面的通量計(jì)算問題。 填空(4個(gè)). 二. 下列計(jì)算對(duì)嗎？ (5題) 三. 判別積分的類型并計(jì)算. (4題) 四. 課堂練習(xí). 1. 單項(xiàng)選擇題(3題) 2. 計(jì)算題(3題) 第2頁/共34頁積分區(qū)域積分區(qū)域定積分二重積分三重積分D曲線積分曲面積分一型：對(duì)弧長二型：對(duì)坐標(biāo)一型：對(duì)面積二型：對(duì)坐標(biāo)Stokes 公式高斯公式格林公式第3頁/共34頁第一型(對(duì)弧長)第二型(對(duì)坐標(biāo))兩型之間的關(guān)系標(biāo)準(zhǔn)形式物理意義計(jì)算方法相似處不同處 Lsyxfd),( Lszyxfd),( L

3、yQxPdd, 0),( yxf當(dāng)當(dāng)zRyQxPLddd LLsQPyQxP)dcoscos(dd ),( ),(上上為有向曲線弧為有向曲線弧其中其中Lyxyx .),(處處切切向向量量的的方方向向角角點(diǎn)點(diǎn)yx LyQxPWdd )()( tytxL ：設(shè)曲線設(shè)曲線 t1.都是化曲線積分為 定積分計(jì)算。2.都要把曲線表示式 代入被積函數(shù)。tttsd)()(d22 積分下限 上限ttxd)(d ttyd)(d L方向：從AB積分下限為起點(diǎn)A的 t 值上限為終點(diǎn) B的 t 值此處下限是 , 上限是.1. 第型、第型曲線積分的比較. ),( d),(MyxfsyxfL件的質(zhì)量件的質(zhì)量的曲線型構(gòu)的曲線

4、型構(gòu)線密度為線密度為表示表示 .所作的功所作的功到點(diǎn)到點(diǎn)從點(diǎn)從點(diǎn)沿沿BALL指曲線 AB QPF, 表表示示力力第4頁/共34頁第一型(對(duì)面積)第二型(對(duì)坐標(biāo))兩型之間的關(guān)系標(biāo)準(zhǔn)形式物理意義計(jì)算方法 Szyxfd),(. ),( d),(, 0),( MzyxfSzyxfzyxf殼的質(zhì)量殼的質(zhì)量的空間曲面薄的空間曲面薄面密度為面密度為表示表示當(dāng)當(dāng) yxzyxRxzzyxQzyzyxPdd),(dd),(dd),( 指空間曲面 cos, coscos ，其其中中.方方向向余余弦弦指指定定一一側(cè)側(cè)的的法法線線向向量量的的為為曲曲面面 ),(yxzz ：設(shè)設(shè)曲曲面面 面面投投影影區(qū)區(qū)在在且且xOy

5、則則 上上側(cè)側(cè)yxzyxRdd),(為有向曲面yxRxzQzyPdddddd , xyD域域?yàn)闉?xyDyxyxzzyxzyxfdd1),(,22 xyDyxyxzyxRdd),(, ),(yxzz ：設(shè)設(shè)有有向向曲曲面面 下下側(cè)側(cè)yxzyxRdd),( xyDyxyxzyxRdd),(, SRQPd)coscoscos( 則則. Szyxfd),( 2. 第型、第型曲面積分的比較V 表表示示在在速速度度場(chǎng)場(chǎng) 側(cè)的流體的流量。側(cè)的流體的流量。指定一指定一曲面曲面時(shí)間內(nèi)流向有向時(shí)間內(nèi)流向有向單位單位中中 , RQP第5頁/共34頁解決 平面的曲線積分與二重積分的聯(lián)系 DLyxyPxQyQxPdd

6、)(ddLDDLl DlLyxyPxQyQxPyQxPdd)(dddd(逆)(順)圍圍成成由由分分段段光光滑滑的的曲曲線線平平面面上上閉閉區(qū)區(qū)域域LDxOy . 11),(),( . 2CyxQyxPD 函數(shù)函數(shù)上上在在則有其中 L 是 D 的整個(gè)正向邊界曲線.若：特殊情況(D是復(fù)連通的)下，格林公式成為：, yPxQD 內(nèi)又有內(nèi)又有若在若在(逆)(逆) lLyQxPyQxPdddd 則則問題。第6頁/共34頁; (1)是是單單連連通通區(qū)區(qū)域域平平面面區(qū)區(qū)域域 D;dd 2)(0有有關(guān)關(guān)與與終終點(diǎn)點(diǎn)與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)，只只與與起起點(diǎn)點(diǎn)曲曲線線積積分分BAyQxPABL 內(nèi)恒成立；內(nèi)恒成立；在

7、在DxQyP 30. ddd),( 40yQxPuyxuD 使使內(nèi)存在二元函數(shù)內(nèi)存在二元函數(shù)在在 ; 0dd 10 LyQxPLD上上的的積積分分為為零零，即即內(nèi)內(nèi)任任何何一一閉閉路路沿沿1),(),( (2)CyxQyxPD 內(nèi)內(nèi)函函數(shù)數(shù)在在：則則下下面面的的四四個(gè)個(gè)命命題題等等價(jià)價(jià).若其中一個(gè)成立，另外三個(gè)也成立。等價(jià)的意義是：設(shè)設(shè)第7頁/共34頁曲面積分與三重積分的聯(lián)系 yxRxzQzyPVzRyQxPddddddd)( . 1圍圍成成；由由分分片片光光滑滑的的閉閉曲曲面面空空間間閉閉區(qū)區(qū)域域 .),(),(),( . 21CzyxRzyxQzyxP 函數(shù)函數(shù)上上在在則有其中 是 的整個(gè)

8、邊界曲面的外側(cè).若： SRQPd)coscoscos( . ),( cos,cos,cos處處外外法法向向的的方方向向余余弦弦在在點(diǎn)點(diǎn)是是zyx .解決問題.第8頁/共34頁; (1)是是空空間間二二維維單單連連通通區(qū)區(qū)域域G. 0 (3)內(nèi)恒成立內(nèi)恒成立在在GzRyQxP 無無關(guān)關(guān)，與與所所取取的的曲曲面面 dddddd (1)yxRxzQzyP.),(),(),( (2)1CzyxRzyxQzyxPG 內(nèi)內(nèi)函函數(shù)數(shù)在在：內(nèi)內(nèi)下下面面的的三三個(gè)個(gè)命命題題等等價(jià)價(jià)則則在在 G設(shè)設(shè)的的只只與與 邊邊界界曲曲線線有有關(guān)關(guān)；;0,dddddd (2)中中任任一一閉閉曲曲面面是是其其中中GyxRxzQ

9、zyP .第9頁/共34頁曲線積分與曲面積分的聯(lián)系 yxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)( . 1閉閉曲曲線線，為為分分段段光光滑滑的的空空間間有有向向 . 2內(nèi)內(nèi)，在在內(nèi)內(nèi)的的空空間間區(qū)區(qū)域域在在包包含含曲曲面面 則有若：向向曲曲面面，為為邊邊界界的的分分片片光光滑滑的的有有是是以以 .的的側(cè)側(cè)符符合合右右手手法法則則的的正正向向與與 .),(),(),(1CzyxRzyxQzyxP 函數(shù)函數(shù) RyQxPdzdd解決問題.或或記記為為 RQPzyxyxxzzydddddd. dzdd RyQxP.第10頁/共34頁; (1)是是一一維維單單連連通通區(qū)區(qū)域域空空間間區(qū)區(qū)域

10、域 G與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)，內(nèi)內(nèi)曲曲線線積積分分在在 )(ddd (2)ABLzRyQxPG內(nèi)恒成立；內(nèi)恒成立；在在，GyRzQzPxRxQyP (3) . dddd),( (4)zRyQxPuzyxuG 使使內(nèi)存在函數(shù)內(nèi)存在函數(shù)在在; 0ddd (1) LzRyQxPLG的的積積分分為為零零，即即內(nèi)內(nèi)任任一一閉閉曲曲線線沿沿.),(),(),( (2)1CzyxRzyxQzyxPG 內(nèi)內(nèi)函函數(shù)數(shù)在在：則則下下面面的的四四個(gè)個(gè)命命題題等等價(jià)價(jià)設(shè)設(shè);有有關(guān)關(guān)與與終終點(diǎn)點(diǎn)BA只只與與起起點(diǎn)點(diǎn).第11頁/共34頁 的的散散度度。記記為為 設(shè)設(shè)有有向向量量場(chǎng)場(chǎng)在在空空間間直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系里里，.

11、),(),(),(),(kzyxRjzyxQizyxPzyxA zRyQxPA div ),(),( zyxzyxAzRyQxP在點(diǎn)在點(diǎn)稱為向量場(chǎng)稱為向量場(chǎng)則數(shù)量函數(shù)則數(shù)量函數(shù) 例：).div(gradgrad,),(2uuCzyxfu和和求求設(shè)設(shè) 解：,gradzyxfffu .)div(gradzzyyxxfffu .第12頁/共34頁 設(shè)設(shè)有有向向量量場(chǎng)場(chǎng)在在空空間間直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系里里，. ),(),(),(),(kzyxRjzyxQizyxPzyxA 稱稱為為向向量量場(chǎng)場(chǎng)向向量量 )()()(kyPxQjxRzPizQyR ),(),(處處的的旋旋度度。記記為為在在點(diǎn)點(diǎn)zyxzy

12、xA rotRQPzyxkjiA 例：.rot, ,222AzxyzxyA求求設(shè)設(shè) 解：,222zxRyzQxyP ,2 yzQRzy 由輪序?qū)ΨQ性，.,.2rotxyzxyzA 第13頁/共34頁_._),( )(),( )4(則曲線質(zhì)量則曲線質(zhì)量為為上任一點(diǎn)的密度上任一點(diǎn)的密度已知平面曲線已知平面曲線yx ttyytx x ._ ),(),( )1(所所作作的的功功為為到到點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)從從沿沿平平面面有有向向曲曲線線，則則已已知知變變力力BACFjyxQiyxPF ._ ),(),(),( )2(所所作作的的功功為為到到點(diǎn)點(diǎn)從從點(diǎn)點(diǎn)曲曲線線沿沿空空間間，則則若若變變力力BACFkzyxRjzy

13、xQizyxPF ._ ),(),(),( )3(的的流流量量為為內(nèi)內(nèi)流流過過曲曲面面單單位位時(shí)時(shí)間間，則則流流體體在在若若流流速速 kzyxRjzyxQizyxPV AByQxPWdd ABzRyQxPWddd yxRxzQzyPdddddd ttytxtytxMd)()()(),(22.第14頁/共34頁.,: ,dd . 122233所圍區(qū)域所圍區(qū)域?yàn)闉檎蛘蛴酶窳止接?jì)算用格林公式計(jì)算LDayx LxyyxL 解： yxyxxyyxDL d)d(3dd2233 aD yxyPxQ)(322 a 34 yxaD dd32 x0yL上上，定定義義在在區(qū)區(qū)域域因因?yàn)闉镈yx)(322 .0

14、222ayx .上上不不是是定定義義在在曲曲線線 L正正確確解解法法是是： rrryxyxDD dd3d)d(3222 . 234a .以上解法對(duì)嗎？.第15頁/共34頁 xyDyxzyxSzyxIddd2222. 2222222ayxxOyDazyxxy 平面上的圓域：平面上的圓域：為為的外側(cè)表面，的外側(cè)表面，：球面：球面解：a型型。屬屬于于第第的的積積分分是是對(duì)對(duì)球球面面面面積積因因?yàn)闉?I , I正正確確解解法法是是： yxyxaayxayxIxyD dd22222222 .以上解法對(duì)嗎？.d 22 SzyxI計(jì)算計(jì)算Dxyyozx21 12,:2221yxaz .ddd222yxyxa

15、aS ,:2222yxaz ,:222ayxDxy .ddd222yxyxaaS xyDyxyxaayxayxdd)(22222222,:222ayxDxy . 0 .第16頁/共34頁0)dd(dd xyxyDDyxzyxzI. 2222222ayxxOyDazyxxy 平面上的圓域：平面上的圓域：為為的外側(cè)表面，的外側(cè)表面，：球面：球面解：a是是對(duì)對(duì)坐坐標(biāo)標(biāo)的的曲曲面面積積分分，因因?yàn)闉?I代代入入。應(yīng)應(yīng)將將),(yxzz xyDyxyxaIdd222.以上解法對(duì)嗎？.dd yxzI計(jì)算計(jì)算Dxyyozx12,:2221yxaz ,:2222yxaz .化化成成二二重重積積分分時(shí)時(shí)， xy

16、Dyxyxa)dd(222 xyDyxyxadd2222型型。屬屬于于第第 II arrra022 2 0dd2 .3 43a 第17頁/共34頁 xyxyDDyxyyxyI)dd(dd0)dd(dd xyxyDDyxyyxyI. 2222222ayxxOyDazyxxy 平面上的圓域：平面上的圓域：為為的外側(cè)表面，的外側(cè)表面，：球面：球面解：a，也也是是對(duì)對(duì)坐坐標(biāo)標(biāo)的的曲曲面面積積分分 I代代入入。已已經(jīng)經(jīng)將將 ),(yyxzz .以上解法對(duì)嗎？.dd yxyI計(jì)算計(jì)算Dxyyozx12,:2221yxaz ,:2222yxaz .化化成成二二重重積積分分時(shí)時(shí)，型型。屬屬于于第第 II取上側(cè)

17、；取下側(cè). 0 第18頁/共34頁52 34dddazyxaI . 2222222ayxxOyDazyxxy 平面上的圓域：平面上的圓域：為為的外側(cè)表面，的外側(cè)表面，：球面：球面解：a rrrI ddd sin22.以上解法對(duì)嗎？.dddddd 222 xzyzzyxyyxzxI計(jì)算計(jì)算yozx.222zyxRQPzyx 使使用用高高斯斯公公式式時(shí)時(shí)，函函數(shù)數(shù) arr04 0 20ddsind .5 45a . 所所圍圍球球體體是是球球面面其其中中 上上。上上，不不是是球球面面定定義義在在球球體體 正正確確解解法法是是：第19頁/共34頁組組成成的的分分段段光光滑滑曲曲線線。的的直直線線段段與

18、與連連接接點(diǎn)點(diǎn)之之間間的的劣劣弧弧圓圓介介于于點(diǎn)點(diǎn)是是以以原原點(diǎn)點(diǎn)為為圓圓心心的的單單位位，BCCBABBALsyxL )2 , 1(,)1 , 0(),0 , 1( d)( . 1 線線。組組成成的的有有向向分分段段光光滑滑曲曲的的線線段段到到點(diǎn)點(diǎn)上上從從點(diǎn)點(diǎn)與與直直線線的的有有向向弧弧段段到到上上從從點(diǎn)點(diǎn)是是曲曲線線，BCCByABBAxyLyxxyL)4 , 1( 4 )4 , 2( )1 , 1( d1d1 . 22 第20頁/共34頁的第一卦限部分。的第一卦限部分。介于介于是曲面是曲面，計(jì)算計(jì)算 402 d)(1 2222 zyxzSyxzzI部分。部分。上側(cè)的上側(cè)的是曲面是曲面，計(jì)

19、算計(jì)算0 )0( dd . 422 yhzyxzzyxyI第21頁/共34頁 022200222002220022202222d d)D( ; d d)C( d d)B( ; dd)A( ._ dd )3(RRRRyxzIRzyxSRRRS的的下下半半球球面面的的下下側(cè)側(cè)，則則是是.d)D( ;d2)C( ;d)B( ; d )A( ._d)0 , 0()1 , 1( )1(1001201102 yyxxyxyxyxBAxyLL的的一一段段弧弧，則則到到從從點(diǎn)點(diǎn)為為曲曲線線 36)D( ; 36)C( ; 18)B( ; 18)A( ._ d)3(d)( 9)4()1( )2(22 Lyyxx

20、xyyxL則則線線，按按順順時(shí)時(shí)針針方方向向的的邊邊界界曲曲是是圓圓域域BCB第22頁/共34頁所所作作的的功功。力力方方向向運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)一一周周，試試求求場(chǎng)場(chǎng)的的逆逆時(shí)時(shí)針針的的作作用用下下，沿沿著著圓圓周周在在場(chǎng)場(chǎng)力力的的點(diǎn)點(diǎn)，力力場(chǎng)場(chǎng)中中設(shè)設(shè)有有平平面面力力場(chǎng)場(chǎng) 4 )1(4)1(41 )1(222222FyxFMjyxxiyxyF . )0( )()()( )2(22233233RyxRzkRzjRyiRxA的的上上側(cè)側(cè)的的流流量量面面通通過過上上半半球球求求流流速速場(chǎng)場(chǎng) d 1)(ed )e(e3 d ),( )( )1( 2 ),( d 1)(ed )e(e3 )( 0)0( ),(

21、)( 1 )3(2o2oyxxxyyuyxuxyxuxOyyxxxyyxxxxxxxx ，使使，求求出出一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)題題得得到到的的利利用用的的全全微微分分。平平面面上上某某一一函函數(shù)數(shù)是是使使，求求上上連連續(xù)續(xù)可可微微，且且在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)第23頁/共34頁返回首頁第24頁/共34頁組組成成的的分分段段光光滑滑曲曲線線。的的直直線線段段與與連連接接點(diǎn)點(diǎn)的的劣劣弧弧之之間間圓圓介介于于點(diǎn)點(diǎn)是是以以原原點(diǎn)點(diǎn)為為圓圓心心的的單單位位，BCCBABBALsyxL)2 , 1(, )1 , 0(),0 , 1( d)( oxyA(1,0)B(0,1)C(1,2)解 Lsyxd)( BCAByxsy

22、x)ds(d)(其中， tytxABsincos: d )()(d22ttytxs 1 : x yBC dt d )(1d2xxys d 2 x )ds( Lyx d210 x. 22 . d)sin(cos2 ttt第25頁/共34頁線。線。組成的有向分段光滑曲組成的有向分段光滑曲的線段的線段到到上從點(diǎn)上從點(diǎn)與直線與直線的有向弧段的有向弧段到到上從點(diǎn)上從點(diǎn)是曲線是曲線，BCCByABBAxyLyxxyL)4 , 1(4 )4 , 2()1 , 1( d1d1 2 oxy14A(1,1)B(2,4)C (1,4)解1 BCABL. 212d)211(xxxx4121 21 xx 49 . 12

23、d41x也可以用下面的方法：第26頁/共34頁線。線。組成的有向分段光滑曲組成的有向分段光滑曲的線段的線段到到上從點(diǎn)上從點(diǎn)與直線與直線的有向弧段的有向弧段到到上從點(diǎn)上從點(diǎn)是曲線是曲線，BCCByABBAxyLyxxyL)4 , 1(4 )4 , 2()1 , 1( d1d1 2 oxy14A(1,1)B(2,4)C(1,4)D解1 CAL Dyxxy dd)11(22. yxxyy12241d)11(d 先 x 4122123d)1(yyyy43 L d1d143 CAyxxy d14314 y 49 .三三2.第27頁/共34頁oxyz的第一卦限部分。的第一卦限部分。介于介于是曲面是曲面，

24、402 d)(1 2222 zyxzSyxzz4解Dxy2 :22yxz dd1d22yxzzzyx dd122yxyx d)1(22 SzyxI dd1322 xyDyxyx 08:22 zyxDxy其中：其中： 220220d13drrrI 用平面極坐標(biāo) 2202220)d(1123drr 220232)(12 r 13 .22第28頁/共34頁部部分分。上上側(cè)側(cè)的的是是曲曲面面，0 )0( dd22 yhzyxzzyxyoxyz解類型：II 型曲面積分由第一卦限和第二卦限中的錐面1和2構(gòu)成.221:yzx 其上側(cè)在yOz平面的投影為負(fù)；其上側(cè)在yOz平面的投影為正.222:yzx 21

25、yzDzyyyzdd22 yzDzyyyzdd222hyzohz = yDyz yzDzyyyzdd)(22Dyz 圖形？ y先先. 64h .12. dd20220 zhyyzyz.也可以用下面的方法：第29頁/共34頁oxyz解類型：II 型曲面積分需貼補(bǔ)側(cè)面 （右側(cè)）和半圓頂面 半圓（下側(cè)）. vxPd半圓半圓 xyDyxyxhyd)d(22hhDxy 圖形？ 極極坐坐標(biāo)標(biāo). 64h . )d(d sin02 0 hrrhr 三三4. vyd hyxDzyxyxy22dddxyD，又因又因 0dd zyxy，半圓半圓 0dd zyxy. 6dd4hzyxy .部部分分。上上側(cè)側(cè)的的是是曲曲面面，0 )0( dd22 yhzyxzzyxy半圓第30頁/共34頁所所作作的的功功。力力方方向向運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)一一周周，試試求求場(chǎng)場(chǎng)的的逆逆