概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(理工類_第四版)吳贛昌主編課后習(xí)題答案完整版

1、隨機(jī)事件及其概率1.1 隨機(jī)事件習(xí)題1試說(shuō)明隨機(jī)試驗(yàn)應(yīng)具有的三個(gè)特點(diǎn)習(xí)題2將一枚均勻的硬幣拋兩次，事件A，B，C分別表示“第一次出現(xiàn)正面”，“兩次出現(xiàn)同一面”，“至少有一次出現(xiàn)正面”，試寫(xiě)出樣本空間及事件A，B，C中的樣本點(diǎn).1.2 隨機(jī)事件的概率1.3 古典概型與幾何概型1.4 條件概率1.5 事件的獨(dú)立性復(fù)習(xí)總結(jié)與總習(xí)題解答習(xí)題3. 證明下列等式：習(xí)題5.習(xí)題6.習(xí)題7習(xí)題8習(xí)題9習(xí)題10習(xí)題11習(xí)題12習(xí)題13習(xí)題14習(xí)題15習(xí)題16習(xí)題17習(xí)題18習(xí)題19習(xí)題20習(xí)題21習(xí)題22習(xí)題23習(xí)題24習(xí)題25習(xí)題26第二章 隨機(jī)變量及其分布2.1 隨機(jī)變量習(xí)題1隨機(jī)變量的特征是什么？解答：隨

2、機(jī)變量是定義在樣本空間上的一個(gè)實(shí)值函數(shù).隨機(jī)變量的取值是隨機(jī)的，事先或試驗(yàn)前不知道取哪個(gè)值.隨機(jī)變量取特定值的概率大小是確定的.習(xí)題2試述隨機(jī)變量的分類.解答：若隨機(jī)變量X的所有可能取值能夠一一列舉出來(lái)，則稱X為離散型隨機(jī)變量；否則稱為非離散型隨機(jī)變量.若X的可能值不能一一列出，但可在一段連續(xù)區(qū)間上取值，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量.習(xí)題3盒中裝有大小相同的球10個(gè)，編號(hào)為0,1,2,9,從中任取1個(gè)，觀察號(hào)碼是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情況，試定義一個(gè)隨機(jī)變量來(lái)表達(dá)上述隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果，并寫(xiě)出該隨機(jī)變量取每一個(gè)特定值的概率.解答：分別用1,2,3表示試驗(yàn)的三個(gè)結(jié)果“小于5”，“等于5”，“大

3、于5”，則樣本空間S=1,2,3,定義隨機(jī)變量X如下：X=X()=0,=11,=2,2,=3則X取每個(gè)值的概率為PX=0=P取出球的號(hào)碼小于5=5/10,PX=1=P取出球的號(hào)碼等于5=1/10,PX=2=P取出球的號(hào)碼大于5=4/10.2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布習(xí)題1設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布，且PX=1=PX=2,求.解答：由PX=1=PX=2,得e-=2/2e-,解得=2.習(xí)題2設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為PX=k=k15,k=1,2,3,4,5,試求(1)P12X3.解答：(1)P12X3=PX=4+PX=5=415+515=35.習(xí)題3已知隨機(jī)變量X只能取-1,0,1,2四個(gè)

4、值，相應(yīng)概率依次為12c,34c,58c,716c,試確定常數(shù)c,并計(jì)算PX1X0.解答：依題意知，12c+34c+58c+716c=1,即3716c=1,解得 c=3716=2.3125.由條件概率知PX1X0=PX60,即PX20,PX20=PX=30+PX=40=0.6.就是說(shuō)，加油站因代營(yíng)業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外支出費(fèi)用的概率為0.6.習(xí)題6設(shè)自動(dòng)生產(chǎn)線在調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為p=0.1,當(dāng)生產(chǎn)過(guò)程中出現(xiàn)廢品時(shí)立即進(jìn)行調(diào)整，X代表在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)，試求：(1)X的概率分布； (2)PX5;(3)在兩次調(diào)整之間能以0.6的概率保證生產(chǎn)的合格品數(shù)不少于多少?解答：(1)P

5、X=k=(1-p)kp=(0.9)k0.1,k=0,1,2,;(2)PX5=k=5PX=k=k=5(0.9)k0.1=(0.9)5;(3)設(shè)以0.6的概率保證在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品不少于m件，則m應(yīng)滿足PXm=0.6,即PXm-1=0.4. 由于PXm-1=k=0m-1(0.9)k(0.1)=1-(0.9)m,故上式化為1-0.9m=0.4,解上式得m4.855,因此，以0.6的概率保證在兩次調(diào)整之間的合格品數(shù)不少于5.習(xí)題7設(shè)某運(yùn)動(dòng)員投籃命中的概率為0.6,求他一次投籃時(shí)，投籃命中的概率分布.解答：此運(yùn)動(dòng)員一次投籃的投中次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)為X,它可能的值只有兩個(gè)，即0和1.X=0表示

6、未投中，其概率為p1=PX=0=1-0.6=0.4,X=1表示投中一次，其概率為 p2=PX=1=0.6.則隨機(jī)變量的分布律為X01P0.40.6習(xí)題8某種產(chǎn)品共10件，其中有3件次品，現(xiàn)從中任取3件，求取出的3件產(chǎn)品中次品的概率分布.解答：設(shè)X表示取出3件產(chǎn)品的次品數(shù)，則X的所有可能取值為0,1,2,3.對(duì)應(yīng)概率分布為PX=0=C73C103=35120,PX=1=C73C31C103=36120,PX=2=C71C32C103=21120,PX=3=C33C103=1120.X的分布律為X0123P習(xí)題9一批產(chǎn)品共10件，其中有7件正品，3件次品，每次從這批產(chǎn)品中任取一件，取出的產(chǎn)品仍放回

7、去，求直至取到正品為止所需次數(shù)X的概率分布.解答：由于每次取出的產(chǎn)品仍放回去，各次抽取相互獨(dú)立，下次抽取時(shí)情況與前一次抽取時(shí)完全相同，所以X的可能取值是所有正整數(shù)1,2,k,.設(shè)第k次才取到正品(前k-1次都取到次品),則隨機(jī)變量X的分布律為PX=k=310310310710=(310)k-1710,k=1,2,.習(xí)題10設(shè)隨機(jī)變量Xb(2,p),Yb(3,p),若PX1=59,求PY1.解答：因?yàn)閄b(2,p),PX=0=(1-p)2=1-PX1=1-5/9=4/9,所以p=1/3.因?yàn)閅b(3,p),所以 PY1=1-PY=0=1-(2/3)3=19/27.習(xí)題11紡織廠女工照顧800個(gè)紡

8、綻，每一紡錠在某一段時(shí)間內(nèi)斷頭的概率為0.005,在這段時(shí)間內(nèi)斷頭次數(shù)不大于2的概率.解答：以X記紡錠斷頭數(shù),n=800,p=0.005,np=4,應(yīng)用泊松定理，所求概率為：P0X2=P0xi2X=xi=k=02b(k;800,0.005)k=02P(k;4)=e-4(1+41!+422!)0.2381.習(xí)題12設(shè)書(shū)籍上每頁(yè)的印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)X服從泊松分布，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)在某本書(shū)上，有一個(gè)印刷錯(cuò)誤與有兩個(gè)印刷錯(cuò)誤的頁(yè)數(shù)相同，求任意檢驗(yàn)4頁(yè)，每頁(yè)上都沒(méi)有印刷錯(cuò)誤的概率.解答：becausePX=1=PX=2,即11!e-=22!e-=2,PX=0=e-2,p=(e-2)4=e-8.2.3 隨機(jī)變量的分

9、布函數(shù)習(xí)題1F(X)=0,x-20.4,-2x01,x0,是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，則X是_型的隨機(jī)變量.解答：離散.由于F(x)是一個(gè)階梯函數(shù)，故知X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量.習(xí)題2設(shè)F(x)=0x0x201,1x1問(wèn)F(x)是否為某隨機(jī)變量的分布函數(shù).解答：首先，因?yàn)?F(x)1,x(-,+).其次，F(xiàn)(x)單調(diào)不減且右連續(xù)，即F(0+0)=F(0)=0,F(1+0)=F(1)=1,且F(-)=0,F(+)=1,所以F(x)是隨機(jī)變量的分布函數(shù).習(xí)題3已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布為PX=1=0.3,PX=3=0.5,PX=5=0.2,試寫(xiě)出X的分布函數(shù)F(x)，并畫(huà)出圖形.解答：由題意知X的分

10、布律為：X135Pk.2所以其分布函數(shù)F(x)=PXx=0,x10.3,1x30.8,3x51,x5.F(x)的圖形見(jiàn)圖.習(xí)題4設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)=0,x-10.4,-1x10.8,1x31,x3,試求：(1)X的概率分布；(2)PX2X1.解答：(1)X-113pk.2(2)PX2X1=PX=-1PX1=23.習(xí)題5設(shè)X的分布函數(shù)為F(x)=0,x0x2,0x1x-12,1x1.51,x1.5,求P0.40.5,P1.7X2.解答：P0.40.5=1-PX0.5=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75,P1.7X2=F(2)-F(1.7)=1-1=0.習(xí)題6設(shè)隨機(jī)變量

11、X的分布函數(shù)為F(x)=A+Barctanx(-x+),試求：(1)系數(shù)A與B;(2)X落在(-1,1內(nèi)的概率.解答：(1)由于F(-)=0,F(+)=1,可知A+B(-2)A+B(2)=1=0A=12,B=1,于是F(x)=12+1arctanx,-x+;(2)P-1X1=F(1)-F(-1)=(12+1arctan1)-12+1arctanx(-1)=12+14-12-1(-4)=12.習(xí)題7在區(qū)間0,a上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以X表示這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo).設(shè)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)落在0,a中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比例，試求X的分布函數(shù).解答：F(x)=PXx=0,x0xa,0xa.1,xa2.

12、4 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度習(xí)題1設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=12e-(x+3)24(-x+),則Y=N(0,1).解答：應(yīng)填3+X2.由正態(tài)分布的概率密度知=-3,=2由Y=X-N(0,1),所以Y=3+X2N(0,1).習(xí)題2已知Xf(x)=2x,0x10,其它,求PX0.5;PX=0.5;F(x).解答：PX0.5=-0.5f(x)dx=-00dx+00.52xdx=x200.5=0.25,PX=0.5=PX0.5-PX0.5=-0.5f(x)dx-0.5f(x)dx=0.當(dāng)X0時(shí)，F(xiàn)(x)=0;當(dāng)0x1時(shí)，F(xiàn)(x)=-xf(t)dt=-00dt+0x2tdt=t20x=x2;當(dāng)

13、X1時(shí)，F(xiàn)(x)=-xf(t)dt=-00dt+0x2tdt+1x0dt=t201=1,故F(x)=0,x0x2,0x00,x0,試求：(1)A,B的值；(2)P-1X1;(3)概率密度函數(shù)F(x).解答：(1)becauseF(+)=limx+(A+Be-2x)=1,A=1;又becauselimx0+(A+Be-2x)=F(0)=0, B=-1.(2)P-1X00,x0.習(xí)題4服從拉普拉斯分布的隨機(jī)變量X的概率密度f(wàn)(x)=Ae-x,求系數(shù)A及分布函數(shù)F(x).解答：由概率密度函數(shù)的性質(zhì)知，-+f(x)dx=1,即 -+Ae-xdx=1,而-+Ae-xdx=-0Aexdx+0+Ae-xdx

14、=Aex-0+(-Ae-x0+)=A+A=2A或-+Ae-xdx=20+Ae-xdx=-2Ae-x0+=2A,所以2A=1,即A=1/2.從而f(x)=12e-x,-x+,又因?yàn)镕(x)=-xf(t)dt,所以當(dāng)x0時(shí)，F(xiàn)(x)=-x12e-tdt=12-xetdt=12et-x=12ex;當(dāng)x0時(shí)，F(xiàn)(x)=-x12e-xdt=-012etdt+0x12e-tdt=12et-0-12e-t0x=12-12e-x+12=1-12e-x,從而F(x)=12ex,x150=150+f(x)dx=150+100x2dx =-100x150+=100150=23,從而三個(gè)電子管在使用150小時(shí)以上不需

15、要更換的概率為p=(2/3)3=8/27.習(xí)題6設(shè)一個(gè)汽車站上，某路公共汽車每5分鐘有一輛車到達(dá)，設(shè)乘客在5分鐘內(nèi)任一時(shí)間到達(dá)是等可能的，試計(jì)算在車站候車的10位乘客中只有1位等待時(shí)間超過(guò)4分鐘的概率.解答：設(shè)X為每位乘客的候車時(shí)間，則X服從0,5上的均勻分布. 設(shè)Y表示車站上10位乘客中等待時(shí)間超過(guò)4分鐘的人數(shù). 由于每人到達(dá)時(shí)間是相互獨(dú)立的.這是10重伯努力概型.Y服從二項(xiàng)分布，其參數(shù) n=10,p=PX4=15=0.2,所以 PY=1=C1010.20.890.268.習(xí)題7設(shè)XN(3,22).(1)確定C,使得PXc=PXc;(2)設(shè)d滿足PXd0.9,問(wèn)d至多為多少?解答：因?yàn)閄N(

16、3,22),所以X-32=ZN(0,1).(1)欲使PXc=PXc,必有1-PXc=PXc,即PXc=1/2,亦即(c-32)=12,所以 c-32=0,故c=3.(2)由PXd0.9可得1-PXd0.9,即 PXd0.1.于是(d-32)0.1,(3-d2)0.9.查表得3-d21.282,所以d0.436.習(xí)題8設(shè)測(cè)量誤差XN(0,102),先進(jìn)行100次獨(dú)立測(cè)量，求誤差的絕對(duì)值超過(guò)19.6的次數(shù)不小于3的概率.解答：先求任意誤差的絕對(duì)值超過(guò)19.6的概率p,p=PX19.6=1-PX19.6=1-PX101.96=1-(1.96)-(-1.96) =1-2(1.96)-1=1-20.97

17、5-1=1-0.95=0.05.設(shè)Y為100次測(cè)量中誤差絕對(duì)值超過(guò)19.6的次數(shù)，則Yb(100,0.05).因?yàn)閚很大，p很小，可用泊松分布近似，np=5=,所以PY31-50e-50!-51e-51!-52e-52!=1-3722-50.87.習(xí)題9某玩具廠裝配車間準(zhǔn)備實(shí)行計(jì)件超產(chǎn)獎(jiǎng)，為此需對(duì)生產(chǎn)定額作出規(guī)定. 根據(jù)以往記錄，各工人每月裝配產(chǎn)品數(shù)服從正態(tài)分布N(4000,3600).假定車間主任希望10%的工人獲得超產(chǎn)獎(jiǎng)，求：工人每月需完成多少件產(chǎn)品才能獲獎(jiǎng)？解答：用X表示工人每月需裝配的產(chǎn)品數(shù)，則XN(4000,3600).設(shè)工人每月需完成x件產(chǎn)品才能獲獎(jiǎng)，依題意得PXx=0.1,即 1

18、-PXx=0.1,所以1-F(x)=0.1,即1-(x-400060)=0.1,所以(x-400060)=0.9.查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)人分布表得(1.28)=0.8997,因此x-4000601.28,即x=4077件，就是說(shuō)，想獲超產(chǎn)獎(jiǎng)的工人，每月必須裝配4077件以上.習(xí)題10某地區(qū)18歲女青年的血壓(收縮壓，以mm-HG計(jì))服從N(110,122).在該地區(qū)任選一18歲女青年，測(cè)量她的血壓X.(1)求PX105,P100x0.005.解答：已知血壓XN(110,122).(1)PX105=PX-11012-5121-(0.42)=0.3372,P100x0.05,求x,即1-PXx0.05,亦即(

19、x-11012)0.95,查表得x-100121.645,從而x129.74.習(xí)題11設(shè)某城市男子身高XN(170,36),問(wèn)應(yīng)如何選擇公共汽車車門的高度使男子與車門碰頭的機(jī)會(huì)小于0.01.解答：XN(170,36),則X-1706N(0,1).設(shè)公共汽車門的高度為xcm，由題意PXxx=1-PXx=1-(x-1706)0.99,查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表得x-17062.33,故x183.98cm.因此，車門的高度超過(guò)183.98cm時(shí)，男子與車門碰頭的機(jī)會(huì)小于0.01.習(xí)題12某人去火車站乘車，有兩條路可以走. 第一條路程較短，但交通擁擠，所需時(shí)間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布N(40,102);第二條路程

20、較長(zhǎng)，但意外阻塞較少，所需時(shí)間服從正態(tài)分布N(50,42),求：(1)若動(dòng)身時(shí)離開(kāi)車時(shí)間只有60分鐘，應(yīng)走哪一條路線？(2)若動(dòng)身時(shí)離開(kāi)車時(shí)間只有45分鐘，應(yīng)走哪一條路線？解答：設(shè)X,Y分別為該人走第一、二條路到達(dá)火車站所用時(shí)間，則XN(40,102),YN(50,42).哪一條路線在開(kāi)車之前到達(dá)火車站的可能性大就走哪一條路線.(1)因?yàn)镻X60=(60-4010)=(2)=0.97725,PY60=(60-504)=(2.5)=0.99379,所以有60分鐘時(shí)應(yīng)走第二條路.(2)因?yàn)镻X45=(45-4010)=(0.5)=0.6915,PX0時(shí)，fY(y)=1c(b-a),ca+dycb+

21、d0,其它,當(dāng)c0時(shí)，fY(y)=-1c(b-a),cb+dyca+d0,其它.習(xí)題4設(shè)隨機(jī)變量X服從0,1上的均勻分布，求隨機(jī)變量函數(shù)Y=eX的概率密度f(wàn)Y(y).解答：f(x)=1,0x10,其它,f=ex,x(0,1)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，y(1,e),其反函數(shù)為x=lny,可得f(x)=fX(lny)lny,1ye0,其它=1y,1y1時(shí))=P-y-12Xy-12=-y-12y-1212e-x2dx,所以fY(y)=FY(y)=22e-12y-12122y-1,y1,于是fY(y)=12(y-1)e-y-14,y10,y1.習(xí)題6設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x),分布函數(shù)為F(x),求

22、下列隨機(jī)變量Y的概率密度：(1)Y=1X;(2)Y=X.解答：(1)FY(y)=PYy=P1/Xy.當(dāng)y0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P1/X0+P01/Xy=PX0+PX1/y=F(0)+1-F(1/y),故這時(shí)fY(y)=-F(1y)=1y2f(1y);；當(dāng)y0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P1/yX0=F(0)-F(1/y),故這時(shí)fY(y)=1y2f(1y);當(dāng)y=0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P1/X0=PX0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P-yXy=F(y)-F(-y)這時(shí)fY(y)=f(y)+f(-y);當(dāng)y00,y0.習(xí)題7某物體的溫度T(F)是一個(gè)隨機(jī)變量, 且有TN(98.6,2),已知=5(T-32)/9,試求(F)的概率

23、密度.解答：已知TN(98.6,2).=59(T-32),反函數(shù)為T=59+32,是單調(diào)函數(shù)，所以f(y)=fT(95y+32)95=122e-(95y+32-98.6)2495 =910e-81100(y-37)2.習(xí)題8設(shè)隨機(jī)變量X在任一區(qū)間a,b上的概率均大于0,其分布函數(shù)為FY(x),又Y在0,1上服從均勻分布，證明:Z=FX-1(Y)的分布函數(shù)與X的分布函數(shù)相同.解答：因X在任一有限區(qū)間a,b上的概率均大于0,故FX(x)是單調(diào)增加函數(shù)，其反函數(shù)FX-1(y)存在，又Y在0,1上服從均勻分布，故Y的分布函數(shù)為FY(y)=PYy=0,y0,于是，Z的分布函數(shù)為FZ(z)=PZz=PFX

24、-1(Y)z=PYFX(z)=0,FX(z)1由于FX(z)為X的分布函數(shù)，故0FX(z)1.FX(z)1均勻不可能，故上式僅有FZ(z)=FX(z),因此，Z與X的分布函數(shù)相同.總習(xí)題解答習(xí)題1從120的整數(shù)中取一個(gè)數(shù)，若取到整數(shù)k的概率與k成正比，求取到偶數(shù)的概率.解答：設(shè)Ak為取到整數(shù)k,P(Ak)=ck,k=1,2,20.因?yàn)镻(K=120Ak)=k=120P(Ak)=ck=120k=1，所以c=1210,P取到偶數(shù)=PA2A4A20=1210(2+4+20)=1121.習(xí)題2若每次射擊中靶的概率為0.7,求射擊10炮,(1)命中3炮的概率;(2)至少命中3炮的概率;(3)最可能命中幾

25、炮.解答：若隨機(jī)變量X表示射擊10炮中中靶的次數(shù). 由于各炮是否中靶相互獨(dú)立，所以是一個(gè)10重伯努利概型，X服從二項(xiàng)分布，其參數(shù)為n=10,p=0.7,故(1)PX=3=C103(0.7)3(0.3)70.009;(2)PX3=1-PX300000即X15(人).因此，P保險(xiǎn)公司虧本=PX15=k=162500C2500k(0.002)k(0.998)2500-k1-k=015e-55kk!0.000069,由此可見(jiàn),在1年里保險(xiǎn)公司虧本的概率是很小的.(2)P保險(xiǎn)公司獲利不少于100000元=P300000-200000X100000=PX10=k=010C2500k(0.002)(0.99

26、8)2500-kk=010e-55kk!0.986305,即保險(xiǎn)公司獲利不少于100000元的概率在98%以上. P保險(xiǎn)公司獲利不少于200000元=P300000-200000X200000=PX5=k=05C2500k(0.002)k(0.998)2500-kk=05e-55kk!0.615961,即保險(xiǎn)公司獲利不少于200000元的概率接近于62%.習(xí)題4一臺(tái)總機(jī)共有300臺(tái)分機(jī)，總機(jī)擁有13條外線，假設(shè)每臺(tái)分機(jī)向總機(jī)要外線的概率為3%, 試求每臺(tái)分機(jī)向總機(jī)要外線時(shí)，能及時(shí)得到滿足的概率和同時(shí)向總機(jī)要外線的分機(jī)的最可能臺(tái)數(shù).解答：設(shè)分機(jī)向總機(jī)要到外線的臺(tái)數(shù)為X,300臺(tái)分機(jī)可看成300次

27、伯努利試驗(yàn)，一次試驗(yàn)是否要到外線. 設(shè)要到外線的事件為A,則P(A)=0.03,顯然Xb(300,0.03),即PX=k=C300k(0.03)k(0.97)300-k(k=0,1,2,300),因n=300很大，p=0.03又很小, =np=3000.03=9,可用泊松近似公式計(jì)算上面的概率. 因總共只有13條外線，要到外線的臺(tái)數(shù)不超過(guò)13，故PX13k=0139kk!e-90.9265,(查泊松分布表)且同時(shí)向總機(jī)要外線的分機(jī)的最可能臺(tái)數(shù) k0=(n+1)p=3010.03=9.習(xí)題5在長(zhǎng)度為t的時(shí)間間隔內(nèi)，某急救中心收到緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)t2的泊松分布，而與時(shí)間間隔的起點(diǎn)無(wú)關(guān)(時(shí)間

28、以小時(shí)計(jì)),求：(1)某一天從中午12至下午3時(shí)沒(méi)有收到緊急呼救的概率；(2)某一天從中午12時(shí)至下午5時(shí)至少收到1次緊急呼救的概率.解答：(1)t=3,=3/2,PX=0=e-3/20.223;(2)t=5,=5/2,PX1=1-PX=0=1-e-5/20.918.習(xí)題6設(shè)X為一離散型隨機(jī)變量，其分布律為X-101pi1/21-2qq2試求：(1)q的值；(2)X的分布函數(shù).解答：(1)because離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)PX=xi=pi,滿足ipi=1,且0pi1,1/2+1-2q+q2=101-2q1q21,解得q=1-1/2.從而X的分布律為下表所示：X-101pi1/22-13/2

29、-2(2)由F(x)=PXx計(jì)算X的分布函數(shù)F(x)=0,1/2,2-1/2,1,x-1-1x00x0x1.習(xí)題7設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)為F(x)=0,x/2則A=,PX/6=.解答：應(yīng)填1;1/2.由分布函數(shù)F(x)的右連續(xù)性，有F(2+0)=F(2)A=1.因F(x)在x=6處連續(xù)，故PX=6=12,于是有PX6=P-6X6=P-60是常數(shù)，求電子管在損壞前已使用時(shí)數(shù)X的分布函數(shù)F(x)，并求電子管在T小時(shí)內(nèi)損壞的概率.解答：因X的可能取值充滿區(qū)間(0,+),故應(yīng)分段求F(x)=PXx.當(dāng)x0時(shí)，F(xiàn)(x)=PXx=P()=0;當(dāng)x0時(shí)，由題設(shè)知PxXx+x/X=x+o(x),而Px

30、Xx+x/X=PxxPXx=Px0,0,故X的分布函數(shù)為F(x)=0,x01-e-x,x0(0),從而電子管在T小時(shí)內(nèi)損壞的概率為PXT=F(T)=1-e-T.習(xí)題9設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度為f(x)=x,0x12-x,1x20,其它,求其分布函數(shù)F(x).解答：當(dāng)x0時(shí)，F(xiàn)(x)=-x0dt=0;當(dāng)0x1時(shí)，F(xiàn)(x)=-xf(t)dt=-00tdt+0xtdt=12x2;當(dāng)12時(shí)，F(xiàn)(x)=-00dt+01tdt+12(2-t)dt+2x0dt=1,故F(x)=0,x212x2,0x1-1+2x-x22,12.習(xí)題10某城市飲用水的日消費(fèi)量X(單位：百萬(wàn)升)是隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為：f(

31、x)=19xe-x3,x00,其它,試求：(1)該城市的水日消費(fèi)量不低于600萬(wàn)升的概率；(2)水日消費(fèi)量介于600萬(wàn)升到900萬(wàn)升的概率.解答：先求X的分布函數(shù)F(x).顯然，當(dāng)x0時(shí)，F(xiàn)(x)=0,當(dāng)x0時(shí)有F(x)=0x19te-t3dt=1-(1+x3)e-x3故F(x)=1-(1+x3)e-x3,x00,x0,所以PX6=1-PX6=1-P(X6=1-F(6) =1-1-(1+x3)e-x3x=6=3e-2,P6a0,其它(0),求常數(shù)c及Pa-1Xa+1.解答：由概率密度函數(shù)的性質(zhì)知-+f(x)dx=1,而-+f(x)dx=-a0dx+a+ce-xdx=ca+e-xd(x)=-ce

32、-xvlinea+=ce-a,所以ce-a=1,從而c=ea.于是 Pa-1Xa+1=a-1a+1f(x)dx=a-1a0dx+aa+1eae-xdx=-eae-xvlineaa+1=-ea(e-(a+1)-e-a)=1-e-.注意，a-1a,而當(dāng)xa時(shí)，f(x)=0.習(xí)題12已知Xf(x)=12x2-12x+3,0x10,其它,計(jì)算PX0.20.1X0.5.解答：根據(jù)條件概率;有PX0.20.1X0.5=PX0.2,0.1X0.5P0.1X0.5=P0.1X0.2P0.10,分布函數(shù)F(x)滿足：(1)F(-a)=1-F(a);(2)PXa=21-F(a).解答：(1)F(-a)=-a(x)

33、dx=a+(-t)dt=a+(x)dx=1-a(x)dx=1-F(a).(2)PXa=PXa=F(-a)+PXaF(-a)+1-F(a)=21-F(a).習(xí)題15設(shè)K在(0,5)上服從均勻分布，求x的方程4x2+4Kx+K+2=0有實(shí)根的概率.解答：因?yàn)镵U(0,5),所以fK(k)=1/5,0k90=12/5260.0228, PX90=1-PX901-0.0228=0.9772;又因?yàn)镻X90=PX-90-, 所以有(90-)=0.9772, 反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表得 90-=2 同理：PX60=83/5260.1578; 又因?yàn)镻X60=PX-60-,故(60-)0.1578.因?yàn)?.15780

34、.5,所以60-78=1-PX78=1-Px-701078-7010 =1-(0.8)1-0.7881=0.2119,因?yàn)?.2119t=PN(t)=0=e-0.1t,F(t)=PXt=1-PXt=1-e-0.1t;當(dāng)t0時(shí)，F(xiàn)(t)=0,F(x)=1-e-0.1t,x00,x00,x0 (=i+1,i=0,1,2), P(B0)=C902C1002, P(B1)=C901C102C1002, P(B2)=C102C1002, P(AB0)=1+e-xdx=e-1, P(AB1)=1+2e-2xdx=e-2, P(AB2)=1+3e-3xdx=e-3,由全概率公式：P(A)=i=02P(Bi)P(ABi)0.32.(2)由貝葉斯公式：P(B0A)=P(B0)P(AB0)P(A)0.93.習(xí)題19設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X-2-1013pi1/51/61/51/1511/30試求Y=X2的分布律.解答：pi1/51/61/51/1511/30X-2-1013X241019所以X20149pi