自動控制理論21實用教案

1、會計學(xué)1自動控制自動控制(z dn kn zh)理論理論21第一頁，共28頁。Saturday, May 14, 20222 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)(shxu)模型模型 ：描述控制系統(tǒng)變量（物理量）之間動態(tài)關(guān)系的數(shù)學(xué)：描述控制系統(tǒng)變量（物理量）之間動態(tài)關(guān)系的數(shù)學(xué)(shxu)(shxu)表達(dá)式。常用的數(shù)學(xué)表達(dá)式。常用的數(shù)學(xué)(shxu)(shxu)模型有微分方程，傳遞函數(shù)，結(jié)構(gòu)圖，信號流圖，頻率特性以及狀態(tài)空間描述等。模型有微分方程，傳遞函數(shù)，結(jié)構(gòu)圖，信號流圖，頻率特性以及狀態(tài)空間描述等。 例如對一個微分方程，若已知初值和輸入值，對微分方程求解，就可以(ky)得出輸出量的時域表達(dá)式。據(jù)此可對系統(tǒng)進行

2、分析。所以建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是對系統(tǒng)進行分析的第一步也是最重要的一步。 控制系統(tǒng)如按照數(shù)學(xué)模型分類的話，可以分為線性和非線性系統(tǒng)，定常系統(tǒng)和時變系統(tǒng)。概述概述第1頁/共28頁第二頁，共28頁。Saturday, May 14, 20223 線性系統(tǒng)線性系統(tǒng) ：如果：如果(rgu)(rgu)系統(tǒng)滿足疊加原理，則稱其為線性系統(tǒng)。疊加原理說明，兩個不同的作用函數(shù)同時作用于系統(tǒng)的響應(yīng)，等于兩個作用函數(shù)單獨作用的響應(yīng)之和。系統(tǒng)滿足疊加原理，則稱其為線性系統(tǒng)。疊加原理說明，兩個不同的作用函數(shù)同時作用于系統(tǒng)的響應(yīng)，等于兩個作用函數(shù)單獨作用的響應(yīng)之和。 線性系統(tǒng)對幾個(j )輸入量同時作用的響應(yīng)可以一個一

3、個地處理，然后對每一個輸入量響應(yīng)的結(jié)果進行疊加。線性定常系統(tǒng)和線性時變系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)和線性時變系統(tǒng)：可以用線性定常（常系數(shù)）微分方程描述的系統(tǒng)稱為線性定常系統(tǒng)。如果：可以用線性定常（常系數(shù)）微分方程描述的系統(tǒng)稱為線性定常系統(tǒng)。如果(rgu)描述系統(tǒng)的微分方程的系數(shù)是時間的函數(shù)，則這類系統(tǒng)為線性時變系統(tǒng)。描述系統(tǒng)的微分方程的系數(shù)是時間的函數(shù)，則這類系統(tǒng)為線性時變系統(tǒng)。 宇宙飛船控制系統(tǒng)就是時變控制的一個例子（宇宙飛船的質(zhì)量隨著燃料的消耗而變化）。概述概述第2頁/共28頁第三頁，共28頁。Saturday, May 14, 20224 古典控制理論中（我們(w men)所正在學(xué)習(xí)的），采用的是單

4、輸入單輸出描述方法。主要是針對線性定常系統(tǒng)，對于非線性系統(tǒng)和時變系統(tǒng)，解決問題的能力是極其有限的。非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)(xtng)：如果不能應(yīng)用疊加原理，則系統(tǒng)：如果不能應(yīng)用疊加原理，則系統(tǒng)(xtng)是非線性的。是非線性的。 下面是非線性系統(tǒng)的一些例子：0, 0) 1(,sin)(322222222xxdtdxdtxdxdtdxxdtxdtAxdtdxdtxd概述概述(i sh)第3頁/共28頁第四頁，共28頁。Saturday, May 14, 20225第一節(jié) 控制系統(tǒng)(kn zh x tn)的微分方程第4頁/共28頁第五頁，共28頁。Saturday, May 14, 20226 微分

5、方程的編寫應(yīng)根據(jù)組成系統(tǒng)各元件(yunjin)工作過程中所遵循的物理定理來進行。例如：電路中的基爾霍夫電路定理，力學(xué)中的牛頓定理，熱力學(xué)中的熱力學(xué)定理等。控制系統(tǒng)控制系統(tǒng)(kn zh x tn)的微分方程的微分方程第5頁/共28頁第六頁，共28頁。Saturday, May 14, 20227控制系統(tǒng)控制系統(tǒng)(kn zh x tn)的微分方程的微分方程iooouudtduRCdtudLC22dtduCio由： ，代入得：這是一個線性定常二階微分方程。iuidtCRidtdiL1dtiCou1解：據(jù)基爾霍夫電路定理：iu輸入ou輸出iuouLRCi第6頁/共28頁第七頁，共28頁。Saturda

6、y, May 14, 20228mfmFFx fxm 圖2圖1xkkxFkxx fxm mNmsNkg/,/.,根據(jù)牛頓定理，可列出質(zhì)量塊的力平衡方程如下：這也是一個兩階定常微分方程。X為輸出量，F(xiàn)為輸入量。在國際單位制中，m,f和k的單位分別為：控制系統(tǒng)控制系統(tǒng)(kn zh x tn)的微分方程的微分方程第7頁/共28頁第八頁，共28頁。Saturday, May 14, 20229NSMaRaLaefiauJicM這里(zhl)輸入是電樞電壓ua和等效到電機轉(zhuǎn)軸上的負(fù)載轉(zhuǎn)矩Mc，輸出是轉(zhuǎn)速w aaaaueiRdtdiL電樞回路方程為 1Kea其中ea 為反電勢常數(shù)ffiKeffaCiKKe

7、1此時激磁電流為常數(shù)，所以Ce稱為電動機電勢常數(shù) Cm稱為電動機轉(zhuǎn)矩常數(shù)，再根據(jù)牛頓定律可得機械轉(zhuǎn)動方程cmmdtdJamaffaiCiiKKiKm22電機通電后產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩控制系統(tǒng)控制系統(tǒng)(kn zh x tn)的微分方程的微分方程第8頁/共28頁第九頁，共28頁。Saturday, May 14, 202210aaaaueiRdtdiLeaCe amiCm cmmdtdJmecacmeaeameameaCCmRdtdmCCLCudtdCCJRdtdCCJL22)(22ccamaummamdtdmTKuKdtdTdtdTT其中 和aaaRLT meamCCJRT 分別稱為電磁時間常數(shù)和機電時間常

8、數(shù)整理(zhngl)得euCK1meamCCRK分別是轉(zhuǎn)速與電壓傳遞系數(shù)和轉(zhuǎn)速與負(fù)載和傳遞系數(shù)。這里已略去摩擦力和扭轉(zhuǎn)彈性力。控制系統(tǒng)控制系統(tǒng)(kn zh x tn)的微分方程的微分方程第9頁/共28頁第十頁，共28頁。Saturday, May 14, 202211需要需要(xyo)討論的幾個問題討論的幾個問題：1、相似、相似(xin s)系統(tǒng)和相似系統(tǒng)和相似(xin s)量：量： idtqiuqCdtdqRdtqdL122我們注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全 一樣的。這是因為：若令 （電荷），則例2-1式的結(jié)果變?yōu)椋嚎梢?，同一物理系統(tǒng)有不同形式的數(shù)學(xué)模型，而不同類型(lixng

9、)的系統(tǒng)也可以有相同形式的數(shù)學(xué)模型。相似系統(tǒng)和相似量相似系統(tǒng)和相似量定義定義具有相同的數(shù)學(xué)模型的不同物理系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)。例2-1和例2-2稱為力-電荷相似系統(tǒng)，在此系統(tǒng)中分別與 為相似量。kfmFx,CiRLuq1,作用利用相似系統(tǒng)的概念可以用一個易于實現(xiàn)的系統(tǒng)來模擬相對復(fù)雜的系統(tǒng)，實現(xiàn)仿真研究。第10頁/共28頁第十一頁，共28頁。Saturday, May 14, 202212非線性環(huán)節(jié)非線性環(huán)節(jié)(hunji)(hunji)微分方程的微分方程的線性化線性化第11頁/共28頁第十二頁，共28頁。Saturday, May 14, 202213 若描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是非線性（微分）方程，則相

10、應(yīng)的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)，這種系統(tǒng)不能用線性疊加原理。在經(jīng)典控制領(lǐng)域?qū)Ψ蔷€性環(huán)節(jié)的處理能力是很小的。但在工程應(yīng)用中，除了含有(hn yu)強非線性環(huán)節(jié)或系統(tǒng)參數(shù)隨時間變化較大的情況，一般采用近似的線性化方法。對于非線性方程，可在工作點附近用泰勒級數(shù)展開，取前面的線性項?？梢缘玫降刃У木€性環(huán)節(jié)。 設(shè)具有連續(xù)變化的非線性函數(shù)為:y=f(x)，若取某一平衡狀態(tài)為工作點，如下圖中的 。A點附近有點為 ，當(dāng) 很小時，AB段可近似看做線性的。)(0, 0yxA),(yyxxBx非線性環(huán)節(jié)非線性環(huán)節(jié)(hunji)(hunji)微分方微分方程的線性化程的線性化AByx00 xxx00y00yy)(xfy 第12

11、頁/共28頁第十三頁，共28頁。Saturday, May 14, 202214AByx00 xxx00y00yy)(xfy .)(|)(! 21)(|)()(20220000 xxdxxdfxxdxxdfxfyxxxx)(0, 0yxA設(shè)f(x)在 點連續(xù)可微，則將函數(shù)在該點展開為泰勒級數(shù)，得：若 很小，則 ，即 式中，K為與工作點有關(guān)的常數(shù)，顯然，上式是線性方程，是非線性方程的線性表示。為了保證近似的精度，只能在工作點附近展開。 x)(|000 xxdxdyyyxxxKxdxdyyxx0|非線性環(huán)節(jié)非線性環(huán)節(jié)(hunji)(hunji)微分方微分方程的線性化程的線性化第13頁/共28頁第十

12、四頁，共28頁。Saturday, May 14, 202215對于具有兩個自變量的非線性方程，也可以在靜態(tài)工作(gngzu)點附近展開。設(shè)雙變量非線性方程為： ，工作(gngzu)點為 。則可近似為： 式中： ， 。 為與工作(gngzu)點有關(guān)的常數(shù)。),(20100 xxfy ),(21xxfy 2211xKxKy202101202101|,|2211xxxxxxxxxyKxyK1011xxx2022xxx閱讀教材例2-5 求液壓伺服油缸的線性化數(shù)學(xué)模型。注意：上述非線性環(huán)節(jié)不是指典型的非線性特性（如間隙、庫侖干摩擦、飽和特性等），它是可以用泰勒級數(shù)展開的。實際的工作情況在工作點附近。變

13、量(binling)的變化必須是小范圍的。其近似程度與工作點附近的非線性情況及變量(binling)變化范圍有關(guān)。非線性環(huán)節(jié)非線性環(huán)節(jié)(hunji)(hunji)微分方程微分方程的線性化的線性化第14頁/共28頁第十五頁，共28頁。Saturday, May 14, 202216非線性環(huán)節(jié)非線性環(huán)節(jié)(hunji)(hunji)微分方微分方程的線性化程的線性化 該系統(tǒng)由小車和安裝(nzhung)在小車上的倒立擺構(gòu)成。倒立擺是不穩(wěn)定的，如果沒有適當(dāng)?shù)目刂屏ψ饔玫剿厦?，它將隨時可能向任何方向傾倒。這里我們只考慮二維問題，即認(rèn)為倒立擺只在圖所在的平面內(nèi)運動。 若有合適的控制力u作用于小車上可使擺桿維

14、持直立不倒。這實際是一個空間起飛助推器的姿態(tài)控制模型(姿態(tài)控制問題的目的是要把空間助推器保持在垂直位置)。設(shè)小車和擺桿的質(zhì)量分別為M和m，擺桿長為 ，且重心位于幾何中點處，小車距參考坐標(biāo)的位置為 ，擺桿與鉛垂線的夾角為 ，擺桿重心的水平位置為 ，垂直位置為 2xsinxcoscosxmguPMxycosxO第15頁/共28頁第十六頁，共28頁。Saturday, May 14, 202217非線性環(huán)節(jié)非線性環(huán)節(jié)(hunji)(hunji)微分方程的線性微分方程的線性化化xmguVMxyVHHO設(shè)擺桿和小車結(jié)合部的水平反力和垂直(chuzh)反力為H和V，略去擺桿與小車、小車與地面的摩擦力?？傻?/p>

15、方程如下： 擺桿圍繞其重心的轉(zhuǎn)動運動 cossindd22HVtJ式中J為擺桿圍繞其重心的轉(zhuǎn)動慣量， 為垂直力關(guān)于其重心的力矩， 為水平力關(guān)于其重心的力矩。 sinVcosH擺桿重心的水平運動 Hxtm)sin(dd22 擺 桿 重 心 的 垂 直 運 動 mgVtm)cos(dd22小車的水平運動 HutxM22dd第16頁/共28頁第十七頁，共28頁。Saturday, May 14, 202218非線性環(huán)節(jié)非線性環(huán)節(jié)(hunji)(hunji)微分方程的微分方程的線性化線性化sincos若假設(shè)角度 很小，則 和 。可得下列(xili)線性化方程： sin1coscossindd22HVt

16、JHxtm)sin(dd22mgVtm)cos(dd22HutxM22dd HVJHxm)( mgV 0HuxM 由和可得 umxmM )(由、和得 mgxmmJ)(2當(dāng)忽略轉(zhuǎn)動慣量J時 MuMgmM)(當(dāng)考慮轉(zhuǎn)動慣量 時32mJ )4(3)4()(3mMumMgmM第17頁/共28頁第十八頁，共28頁。Saturday, May 14, 2022193.線性系統(tǒng)微分方程線性系統(tǒng)微分方程(wi fn fn chn)的編寫步驟：的編寫步驟：確定(qudng)系統(tǒng)和各元部件的輸入量和輸出量。對系統(tǒng)中每一個元件列寫出與其輸入、輸出量有關(guān)(yugun)的物理的方程。對上述方程進行適當(dāng)?shù)暮喕?，比如略去?/p>

17、些對系統(tǒng)影響小的次要因素，對非線性元部件進行線性化等。從系統(tǒng)的輸入端開始，按照信號的傳遞順序，在所有元部件的方程中消去中間變量，最后得到描述系統(tǒng)輸入和輸出關(guān)系的微分方程。線性系統(tǒng)微分方程的編寫步驟線性系統(tǒng)微分方程的編寫步驟第18頁/共28頁第十九頁，共28頁。Saturday, May 14, 202220負(fù)載gueu-+1u- +2u 功率 放大器fu測速發(fā)電機cMau解：該系統(tǒng)的組成和原理； 該系統(tǒng)的輸出量是 ，輸入量是 ，擾動量是gucM線性系統(tǒng)微分方程的編寫線性系統(tǒng)微分方程的編寫(binxi)例子例子例例2-6第19頁/共28頁第二十頁，共28頁。Saturday, May 14, 2

18、02221線性系統(tǒng)微分方程的編寫線性系統(tǒng)微分方程的編寫(binxi)例例子子例例2-6)()(1110000cCamggmaMMTKuuKKKKTKTTm )(cgMugucM消去中間變量：推出 之間的關(guān)系：顯然，轉(zhuǎn)速 既與輸入量 有關(guān)，也與干擾 有關(guān)。efgukuuku111)()(1122uuku各環(huán)節(jié)微分方程：運放： ， 運放： 功率放大： ，反饋環(huán)節(jié)：電動機環(huán)節(jié)：23ukuaffku )(ccamanmmaMMTkukTTT 見例2-4測速au1u2ueugufu-cM運放運放功放電動機速度控制系統(tǒng)方塊圖：第20頁/共28頁第二十一頁，共28頁。Saturday, May 14, 20

19、2222線性系統(tǒng)微分方程線性系統(tǒng)微分方程(wi fn fn chn)的編寫例子的編寫例子例例2-6gu)(11000cCammaMMTKKKTKTTm 0, 0gguucM0, 0ccMM)(1110000ggmauuKKKKTKTTm 對于恒值調(diào)速系統(tǒng)， =常量，則 。轉(zhuǎn)速的變化僅由負(fù)載干擾引起。增量表達(dá)式如下：對于隨動系統(tǒng)，則 =常數(shù)， ，故：根據(jù)上式可以討論輸出轉(zhuǎn)速跟隨給定輸入電壓的變化情況。若 和 都是變化的，則對于線性系統(tǒng)應(yīng)用疊加原理分別討論兩種輸入作用引起的轉(zhuǎn)速變化，然后相加。gucM增量增量(zn lin)式分析式分析 (上式等號兩端取增量上式等號兩端取增量(zn lin)：第2

20、1頁/共28頁第二十二頁，共28頁。Saturday, May 14, 2022230)()(dtetfsFst)()(tfLsF定義：定義：如果有一個以時間t為自變量的函數(shù)f(t)，它的定義域t0，那么下式即是拉氏變換式： ,式中s為復(fù)數(shù)。記作0)(dtetfst)()(1sFLtf一個函數(shù)可以進行拉氏變換的充分條件是：t0時，f(t)=0；t0時，f(t)分段連續(xù)； 。F(s) 象函數(shù)，f(t) 原函數(shù)。記 為反拉氏變換。復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)(fx)拉氏變換拉氏變換4、復(fù)習(xí)、復(fù)習(xí)(fx)拉氏變換拉氏變換第22頁/共28頁第二十三頁，共28頁。Saturday, May 14, 202224)()()(

21、)(2121sFsFtftfL線性性質(zhì)：)0()()(fssFtfL)0()0()()(2fsfsFstfL )0(.)0()0()()()1(21)(nnnnnffsfssFstfL微分定理：ssFdttfL)()(積分定理：（設(shè)初值為零）)()()(0sfedtTtfeTtfLsTst時滯定理：)(lim)(lim0ssFtfst初值定理：復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)(fx)拉氏變換拉氏變換性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)(xngzh)：第23頁/共28頁第二十四頁，共28頁。Saturday, May 14, 202225)(lim)(lim0ssFtfst終值定理：)()()()(21021sFsFdftfLt卷積定理：ssFttf1)(),( 1)(1)()(tLsF21)(,)(ssFttf321)(,21)(ssFttf22)(,sin)(ss