第四章根軌跡

1、第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡分析 自動控制理論的宗旨: 分析穩(wěn)定性動特性靜特性問題的提出：分析系統(tǒng)特性-需要知道閉環(huán)極點（即特征方程根）的位置-高次方程直接求解的困難 根軌跡與系統(tǒng)特性的關系: 由于微分方程求解比較困難,通過根軌跡的分析間接把握系統(tǒng)特性:分析穩(wěn)定性動特性 分析方法:開環(huán)時的根一般多為已知，但閉環(huán)后要想分離出每個根就必須求解一元高次方程。由開環(huán)零極點的位置大致繪制出閉環(huán)后當參數(shù)變化(如放大系數(shù)K)時,閉環(huán)極點的變化.間接求解了高次方程. 舉例說明：假設由3個慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)后引入閉環(huán)反饋，組成閉環(huán)系統(tǒng)。此時系統(tǒng)會出現(xiàn)不穩(wěn)定，即有閉環(huán)特征根存在于s的右半平面。第一節(jié) 根軌跡的基本概念 從開

2、環(huán)零點和極點的位置分析閉環(huán)極點的位置(因為閉環(huán)極點的位置直接決定了系統(tǒng)特性) 相角的0方向：以實部正方向為基準； 說明幅值條件和相角條件的幾何意義。令開環(huán)增益從變化到，用解析方法求不同所對應的特征根的值，將這些值標在平面上，并連成光滑的粗實線，這就是該系統(tǒng)的根軌跡。箭頭表示隨著值的增加，根軌跡的變化趨勢。從系統(tǒng)的根軌跡圖，可以獲得下述信息:.穩(wěn)定性：因為根軌跡全部位于左半平面，故閉環(huán)系統(tǒng)對所有的值都是穩(wěn)定的。.穩(wěn)態(tài)性能：因為開環(huán)傳函有一個位于坐標原點的極點，所以是I型系統(tǒng)，階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為0。K=0.25K=0K=0KK-1j設有開環(huán)傳函：G（s）= K s(s+1)當K=0時，S1=0

3、，S2=-1當K變化時，閉環(huán)極點隨之而變，動靜態(tài)和穩(wěn)定性隨之而變（）當m，所以根軌跡從n個開環(huán)極點處起始，到m個開環(huán)零點處終止，剩下的nm條根軌跡將趨于無窮遠處。舉例如題，起點：，無零點，n=，m=0，nm=2，有兩條根軌跡) 1()(SSKSGK=0.25K=0K=0KK-1j繪制根軌跡的基本規(guī)則規(guī)則三當實軸上右側(cè)的規(guī)則三當實軸上右側(cè)的零極點數(shù)為奇數(shù)時存在根零極點數(shù)為奇數(shù)時存在根軌跡軌跡設系統(tǒng)開環(huán)零、極點分布如圖所示。為在實軸上確定屬于根軌跡的線段，首先在 和 之間任選一個試驗點 。3p1z1s繪制根軌跡的基本規(guī)則共軛復數(shù)極點到的幅角之和為，相互抵消，因此開環(huán)共軛復數(shù)極點、零點對實軸上根軌跡

4、的位置沒有影響，僅取決于實軸上的開環(huán)零、極點。若實軸上的某一段是根軌跡，一定滿足相角條件。試驗點左側(cè)的開環(huán)零、極點提供的相角為,而右側(cè)的相角為180。S1點滿足相角條件，所以z1p3 之間是根軌跡。1s-2-4繪制根軌跡的基本規(guī)則例-2-1：)4)(2()3)(1()(1SSSSSKSG（單位反饋）有三個極點，根軌跡有三條分支jn=3,m=2有條根軌跡，條終止于開環(huán)零點。在實軸上不同段上取試驗點oo-3-1繪制根軌跡的基本規(guī)則規(guī)則四根軌跡的漸近線相角規(guī)則四根軌跡的漸近線相角根軌跡中（nm）條趨向無窮遠處的分支的漸近線的傾角為mnqa180) 12(, 2 , 1q，（n-m-1)當時，求得的漸

5、近線傾角最小，0qq繪制根軌跡的基本規(guī)則mnzpnimjjia11漸近線的交點總在實軸上，即 必為實數(shù)在計算時，考慮到共軛復數(shù)極點、零點的虛部總是相互抵消，只須把開環(huán)零、極點的實部代入即可a規(guī)則五根軌跡的漸近線與實軸交點規(guī)則五根軌跡的漸近線與實軸交點實際漸進線分析 1階:實軸上一條線,-180 2階:垂直于實軸, 90 ,上下個一條 3階: 60 ,-180,三條 4階:45 :135 ,四條繪制根軌跡的基本規(guī)則六六.分離點和會合點分離點和會合點兩條根軌跡分支在平面上某一點相遇，然后又立即分開的點，稱根軌跡的分離點（或會合點）。它對應于特征方程中的二重根（如例，實軸上的根軌跡要從某一點分開，然

6、后沿漸近線方向趨向無窮遠處，把分離點所對應的1值代入特征方程，應求得二重根）。根軌跡關于實軸對稱，分離點或會合點必然是實數(shù)或共軛復數(shù)常見的分離點或或會合點位于實軸上。求方程式的根，可以確定分離點或會合點。注意: 可能有虛根,根有無意義要分析判斷.01dsdK繪制根軌跡的基本規(guī)則例-2-2系統(tǒng)的特征方程為或0) 2)(1(1)(11sssKsG)2)(1(1sssK0)263(21ssdsdK上式的根577. 1,423. 06243662, 1s因為分離點在至之間，故為分離點的坐標，而舍棄423. 01s577. 12s用幅值條件確定分離點的增益：385.0577.1577.0423.0210

7、1sssk牛頓-拉夫遜法求根簡介 Xk+1=Xk- f（Xk）/ f （Xk）繪制根軌跡的基本規(guī)則七七.根軌跡與虛軸的交點根軌跡與虛軸的交點當增加到一定數(shù)值時，根軌跡可能穿過虛軸，進入右半平面，這表示將出現(xiàn)實部為正的特征根，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。必須確定根軌跡與虛軸的焦點，并計算對應的使系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)的開環(huán)增益。在根軌跡與虛軸的交點處，在系統(tǒng)中出現(xiàn)虛根。因此可以根據(jù)這一特點確定根軌跡與虛軸的交點。可以用 代入特征方程求解，或者利用勞斯判據(jù)確定。1K1Kjs 繪制根軌跡的基本規(guī)則續(xù)例，將代入特征方程。js 0230)23(0)2)(1(123121KjjKjjKjjj當時，系統(tǒng)出現(xiàn)共軛虛根，此時系

8、統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。2j61K實部虛部63,2020321321KK在確定根軌跡與虛軸的交點，求出分離點，并做出漸近線以后，根軌跡的大概趨勢知道了，為了能較精確的畫出根軌跡，需在分離點附近取幾個試驗點，使其滿足相角條件。然后連成光滑曲線，最后逐漸靠近漸近線。繪制根軌跡的基本規(guī)則繪制根軌跡的基本規(guī)則八八.根軌跡的出射角和入射角根軌跡的出射角和入射角當系統(tǒng)存在共軛復數(shù)極點（或零點）時，為了準確地做出根軌跡的起始段（或終止段），必須確定根軌跡的出射角（或入射角）根軌跡離開開環(huán)復數(shù)極點的切線方向與實軸正方向的夾角稱為出射角出射角表示根軌跡從復數(shù)極點出發(fā)時的走向 180p開環(huán)復數(shù)零點處，根軌跡的入射角為

9、 180z式中pz即為其它開環(huán)零、極點對出射點或入射點提供的相角開環(huán)復數(shù)極點處，根軌跡的出射角為繪制根軌跡的基本規(guī)則求從出發(fā)根軌跡的出射角。5p45)904070130(105180)(18043215ppppzp用量角器量后，得，在圖上標出。的出射角和對稱。5p5p4p5p 例題4-2-4:p126 例題4-2-5:p127 例題4-2-7:p129 例題4-2-6:p128反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析漸近線的相角和交點為25.14113315,225,135,454180)12(aaq求根軌跡的分離點0) 5 . 1475. 3(4)685()22)(3(0)22)(3(2312342112S

10、SSdsdKSSSSSSSSKKSSSS系統(tǒng)的特征方程反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析上式的根為，。只有是實際分離點。3 . 2S對應分離點的 值可按幅值條件確定1K11ipSK33.464.164.17.03.2111133.21sjsjsssK求根軌跡在 的出射角3p6 .431)6 .2690135(180p），為減去6 .71360(365. 0725. 0jS3 . 2S反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析求根軌跡與虛軸的交點此處利用勞斯判據(jù)，由特征方程06851234Kssss4s3s2s1s0s5341K534552041K1K列勞斯表反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析令，得0534552041K16. 81

11、K根據(jù)行的系數(shù)寫出輔助方程2S0)534(12 KS將代入，得16. 8,1kjs1 . 1.作根軌跡圖在分離點附近取n個試驗點，知分離角為90,在 附近取n個試驗點3p反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析確定閉環(huán)極點.在上例中給定一對主導極點的阻尼比5 . 01.畫出線60arccos6012或arctg反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析線的根軌跡交點的坐標就是時，系統(tǒng)的一對閉環(huán)主導極點5 . 0主導極點處對應的值用幅值條件求1K91.268.074.286.184.01K用試探法可找到另兩個閉環(huán)極點;也可以用綜合除法85. 24 . 121ss和當時，系統(tǒng)的閉環(huán)傳函為91. 21K)85. 2)(4 . 1)(

12、7 . 04 . 0)(7 . 04 . 0(91. 2)()(ssjsjsSRsC反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析根軌跡法分析系統(tǒng)的一般步驟：根軌跡法分析系統(tǒng)的一般步驟：繪制系統(tǒng)的根軌跡圖；分析根軌跡圖，估計系統(tǒng)增益 對閉環(huán)零、極點分布的影響；根據(jù)閉環(huán)零、極點的分布估算系統(tǒng)暫態(tài)響應指標；對高階系統(tǒng)要盡可能準確地找出它的閉環(huán)主導極點。1K常見的根軌跡 P131考研題舉例 中科院2007，四,海欣P277第三節(jié) 廣義根軌跡根軌跡方法的靈活應用: 參數(shù)根軌跡 多回路根軌跡 正反饋的根軌跡廣義根軌跡分析一。參數(shù)根軌跡有時需要分析某個參數(shù)對根軌跡的影響（不一定是K），思路：將該參數(shù)化為顯式形式（即K的位置）舉

13、例：P133 例4-3-1討論:a變化對根軌跡的影響,P135圖4-3-2說明零點(微分)對改變系統(tǒng)性能的作用 P136 例4-3-2說明:由a的顯式特征方程(P135下),可以先繪制K1的內(nèi)環(huán)根軌跡例：王彤P253二例-3-3已知系統(tǒng)框圖，繪制以a為參數(shù)的根軌跡.二、多回路根軌跡解決問題的思路：由內(nèi)向外依次解決反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析解：（1）系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)SSSSG)1(1)(特征方程0)(1SG012sss（2）以為參變量，特征方程可寫為0112sss即1)(2SSSSG繪制的根軌跡)(SG反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析（3）開環(huán)極點 閉環(huán)極點023212,1zjp（4）實軸上的根軌跡（5

14、）漸近線傾角（6）會合點 求 ，得 為實際會合點，該點（7）出射角0,( 180a0dsd11s1, 121ss1150)90120(180p 例4-3-4 從內(nèi)環(huán)向外環(huán)依次解決 例4-3-5三、正反饋的根軌跡 特征：恰與負反饋根詭計互補 基本規(guī)則：G（s）H（s）= 1幅值條件：G（s）H（s）= 1 ；與負反饋相同相角條件：G（s）H（s）= 360 ；與負反饋不同由此可以導出類似的8條規(guī)則 例4-3-6 例4-3-7 例4-3-8:說明正反饋極易造成系統(tǒng)不穩(wěn)定,而通過負反饋有可能將不穩(wěn)定的系統(tǒng)變?yōu)榉€(wěn)定.第4節(jié) 滯后系統(tǒng)根軌跡1. 滯后系統(tǒng)：概念，實際中的例子2. 數(shù)學模型：e-s3. 基本方法：化為近似代數(shù)式；或直接作圖(不要求)例:4-4