一元二次方程教材分析

1、一元二次方程一元二次方程解說教材解說教材豫靈一中 田瑞妮本章的地位與作用本章的地位與作用有有理理式式整式方程整式方程無理方程無理方程一元一次方程一元一次方程七上七上二元一次方程二元一次方程（組）（組）七下七下消元消元降降次次整式整式七上七上分式分式八下八下代代數(shù)數(shù)式式分式方程分式方程 化為一次方程化為一次方程一元二次方程一元二次方程無無理理式式一元二次方程是首次出現(xiàn)的高于一次的方程。一元二次方程是首次出現(xiàn)的高于一次的方程。解二次方程的策略是將其解二次方程的策略是將其轉(zhuǎn)化為一次方程轉(zhuǎn)化為一次方程，所以所以“降次降次”是本質(zhì)。是本質(zhì)。站在哪？站在哪？去分母去分母與不等式等知識的結(jié)合章，在研究根的情

2、況時需要我們利與不等式等知識的結(jié)合章，在研究根的情況時需要我們利用不等式的知識，在研究對根的認(rèn)識時也需要不等式的知用不等式的知識，在研究對根的認(rèn)識時也需要不等式的知識；識；二次函數(shù)與直線二次函數(shù)與直線y=a的交點的交點.二次不等式二次不等式高次方程高次方程本章的地位與作用本章的地位與作用 一元二次方程的學(xué)一元二次方程的學(xué)習(xí)是研究二次函數(shù)與習(xí)是研究二次函數(shù)與二次不等式的根基，二次不等式的根基，同時為解決高次問題同時為解決高次問題提供策略。提供策略。新課程標(biāo)準(zhǔn)新課程標(biāo)準(zhǔn) 能夠根據(jù)能夠根據(jù)具體問題具體問題中的數(shù)量關(guān)系，中的數(shù)量關(guān)系，列出列出方程，方程，體會體會方程方程是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學(xué)模

3、型；是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學(xué)模型； 經(jīng)歷經(jīng)歷用觀察、畫圖或計算器等手段用觀察、畫圖或計算器等手段估計方程解估計方程解的過程；的過程； 理解理解配方法，會用因式分解法、公式法、配方法解配方法，會用因式分解法、公式法、配方法解簡單簡單的數(shù)字系數(shù)的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；的一元二次方程； 能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗結(jié)果是否合理能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗結(jié)果是否合理. .課程學(xué)習(xí)目標(biāo)課程學(xué)習(xí)目標(biāo)以以分析實際分析實際問題中的等量關(guān)系并求解其中的未知數(shù)為問題中的等量關(guān)系并求解其中的未知數(shù)為背景，背景，認(rèn)識認(rèn)識一元二次方程及其有關(guān)概念；一元二次方程及其有關(guān)概念；根據(jù)根據(jù)化歸化歸的思想，抓住的思

4、想，抓住“降次降次”這一基本策略，掌握這一基本策略，掌握配方法、公式法和因式分解法等一元二次方程的基本配方法、公式法和因式分解法等一元二次方程的基本解法。解法。有條件時有條件時可選學(xué)可選學(xué)“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”，拓展對一，拓展對一元二次方程的認(rèn)識；元二次方程的認(rèn)識；經(jīng)歷經(jīng)歷分析和解決實際問題的分析和解決實際問題的過程過程，體會體會一元二次方程一元二次方程的數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)模型作用作用，進一步提高在實際問題中運用方程，進一步提高在實際問題中運用方程這種重要數(shù)學(xué)工具的基本能力這種重要數(shù)學(xué)工具的基本能力. .知識知識中考考試水平中考考試水平基本要求基本要求略高要求

5、略高要求較高要求較高要求一一元元二二次次方方程程一元二次一元二次方程方程了解了解一元二次方程的一元二次方程的概念概念，會會將一元二次將一元二次方程方程化為一般形式化為一般形式，并指出各項的并指出各項的系數(shù)系數(shù)；了解了解一元二次方程一元二次方程根根的意義的意義能由一元二次方程的概能由一元二次方程的概念確定念確定二次項系數(shù)所含二次項系數(shù)所含字母的取值范圍字母的取值范圍；會由；會由方程的方程的根求根求方程中待定方程中待定系數(shù)的值系數(shù)的值一元二次一元二次方程的解方程的解法法理解理解配方法，配方法，會會用直用直接開平方法、配方法、接開平方法、配方法、公式法、因式分解法公式法、因式分解法解解簡單的數(shù)字系數(shù)

6、的簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程，一元二次方程，理解理解各種解法的各種解法的依據(jù)依據(jù)能選擇適當(dāng)?shù)姆椒苓x擇適當(dāng)?shù)姆椒ń饨庖灰辉畏匠蹋粫靡辉畏匠?；會用一元二次方程根的二次方程根的判別式判判別式判斷根的情況斷根的情況能利用能利用根的判別式根的判別式說明說明含有字母系數(shù)的一元二含有字母系數(shù)的一元二次方程根的情況及由方次方程根的情況及由方程程根的情況根的情況確定方程中確定方程中待定系數(shù)的待定系數(shù)的取值范圍取值范圍；會應(yīng)用一元二次方程解會應(yīng)用一元二次方程解決簡單的實際問題決簡單的實際問題中考的要求中考的要求本章教學(xué)時間約需本章教學(xué)時間約需1313課時，具體分配如下課時，具體分配如下 （僅供參考

7、）（僅供參考）：22221 1 一元二次方程一元二次方程 2 2課時課時22222 2 降次降次 7 7課時課時22223 3 實際問題與一元二次方程實際問題與一元二次方程 2 2課時課時數(shù)學(xué)活動小結(jié)數(shù)學(xué)活動小結(jié) 2 2課時課時課時的安排課時的安排教材教法建議教材教法建議-22.1-22.1一元二次方程（第一課時）一元二次方程（第一課時） 這節(jié)課是體會方程思想的繼續(xù)，其核心是：體會方這節(jié)課是體會方程思想的繼續(xù)，其核心是：體會方程思想和方程是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學(xué)模型程思想和方程是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學(xué)模型. . 第一節(jié)課的主要內(nèi)容：一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式第一節(jié)課

8、的主要內(nèi)容：一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式（包括二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項）（包括二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項）. . 方程的數(shù)學(xué)本質(zhì)是：引進適當(dāng)?shù)谋硎疚粗獢?shù)的字母，方程的數(shù)學(xué)本質(zhì)是：引進適當(dāng)?shù)谋硎疚粗獢?shù)的字母，建立未知量與已知量之間的相等關(guān)系，以及研究這些相等建立未知量與已知量之間的相等關(guān)系，以及研究這些相等關(guān)系的思想方法（解方程（組）的思想方法）關(guān)系的思想方法（解方程（組）的思想方法）. . 它是在學(xué)習(xí)了一元一次方程和二元一次方程（組）的它是在學(xué)習(xí)了一元一次方程和二元一次方程（組）的基礎(chǔ)上，為滿足解決某些實際問題和進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的需基礎(chǔ)上，為滿足解決某些實際問題和進一步學(xué)

9、習(xí)數(shù)學(xué)的需要提出來的要提出來的. .一般到特殊（演繹思維），一般到特殊（演繹思維），從方程概念演繹得出一元二次方程概念；從方程概念演繹得出一元二次方程概念；特殊到特殊（類比思維），特殊到特殊（類比思維），從一元一次方程或二元一次方程概念類比得出一元二次方從一元一次方程或二元一次方程概念類比得出一元二次方程概念；程概念；特殊到一般（歸納思維），特殊到一般（歸納思維），若干現(xiàn)實問題若干現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型概括得出一元二次方程概念概括得出一元二次方程概念. .課本提供的教學(xué)方式是第三種教學(xué)方式課本提供的教學(xué)方式是第三種教學(xué)方式這種教學(xué)方式，這種教學(xué)方式，不但符合認(rèn)知同化理論，而且最能反映內(nèi)不但符

10、合認(rèn)知同化理論，而且最能反映內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)和最有利于學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展容的數(shù)學(xué)本質(zhì)和最有利于學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展. . 這就是課本的這就是課本的意圖意圖. .教材教法建議教材教法建議-22.1-22.1一元二次方程（第一課時）一元二次方程（第一課時）形成一元二次方程的概念有三種教學(xué)方式：形成一元二次方程的概念有三種教學(xué)方式：問題：設(shè)計一個問題：設(shè)計一個2米長的雷鋒雕像，要求上部與下米長的雷鋒雕像，要求上部與下部的高度比，等于下部與全身的高度比部的高度比，等于下部與全身的高度比,則下部應(yīng)則下部應(yīng)設(shè)計多高？設(shè)計多高？ABC上部上部下部下部全身全身ABCACBCBCAB22,2,240.BCxxxxxx 設(shè)下

11、部于是得方程整理得： 列方程對學(xué)生來說是個難點，將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模列方程對學(xué)生來說是個難點，將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（列方程）時，可以采用填空的形式降低列方程的難度型（列方程）時，可以采用填空的形式降低列方程的難度. . （特別適用基礎(chǔ)差的學(xué)生）（特別適用基礎(chǔ)差的學(xué)生）. . 本節(jié)課主要目的是體會方程思想，而不是發(fā)展列方程（本節(jié)課主要目的是體會方程思想，而不是發(fā)展列方程（數(shù)學(xué)化）的能力數(shù)學(xué)化）的能力. .教材教法建議教材教法建議-22.1-22.1一元二次方程（第一課時）一元二次方程（第一課時）教材教法建議教材教法建議-22.1-22.1一元二次方程（第一課時）一元二次方程（第一課時）xx

12、1001005050100-2x50-2x(100-2x)(50-2x)=3 600問題問題1 如圖，有一塊長方形如圖，有一塊長方形鐵皮，長為鐵皮，長為100cm，寬為，寬為50cm，在它的四角各切去，在它的四角各切去一個同樣的正方形，然后將一個同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，就能制四周突出部分折起，就能制作一個無蓋方盒，如果要制作一個無蓋方盒，如果要制作的無蓋方盒的底面積為作的無蓋方盒的底面積為3 600cm2,那么鐵皮各角應(yīng)切那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形？去多大的正方形？教材教法建議教材教法建議-22.1-22.1一元二次方程（第一課時）一元二次方程（第一課時）問題問題2 要組織一

13、次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場要比賽一場.根據(jù)場地和時間等條件，賽程計劃安排根據(jù)場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，天，每天安排每天安排4場比賽，比賽組織者應(yīng)邀請多少個隊參賽？場比賽，比賽組織者應(yīng)邀請多少個隊參賽？盼望孩子們能主盼望孩子們能主動運用表格、圖動運用表格、圖示的方式分析研示的方式分析研究問題究問題ABCDABCD教材教法建議教材教法建議-22.1-22.1一元二次方程（第一課時）一元二次方程（第一課時）華師大版華師大版0900102xx2 . 7)1 (52 x02 . 21052xx問題問題1：綠苑小區(qū)規(guī)劃設(shè)計時，準(zhǔn)備在每兩

14、幢樓房之間，綠苑小區(qū)規(guī)劃設(shè)計時，準(zhǔn)備在每兩幢樓房之間，安排面積為安排面積為900平方米的一塊長方形綠地，并且長比寬多平方米的一塊長方形綠地，并且長比寬多10米，那么綠地的長和寬各為多少？米，那么綠地的長和寬各為多少？問題問題2：學(xué)校圖書館去年年底有圖書學(xué)校圖書館去年年底有圖書5萬冊，預(yù)計到明年萬冊，預(yù)計到明年年底增加到年底增加到72萬冊求這兩年的年平均增長率萬冊求這兩年的年平均增長率x（x10）900，教材教法建議教材教法建議-22.1-22.1一元二次方程（第一課時）一元二次方程（第一課時）北師大版北師大版2240 xx x2-75x+350=02560 xx共同點？共同點？增增加加的的問問

15、題題2x2=8x2- 4=0 m的的3倍的平方倍的平方與與m的的2倍相等倍相等.9m2 2 m = 04y2 與與1的和等于的和等于（y+1)2與與2y的的差差.4y2 +1=（y+1)2- 2y3y2 =0在概括方程特點的教學(xué)中提問：這些方程有何共同特點？在概括方程特點的教學(xué)中提問：這些方程有何共同特點？還可以追問：你是怎樣發(fā)現(xiàn)這些特點的？還可以追問：你是怎樣發(fā)現(xiàn)這些特點的？如果學(xué)生說理有困難，可以啟發(fā)學(xué)生觀察比較的視角如果學(xué)生說理有困難，可以啟發(fā)學(xué)生觀察比較的視角( (多項多項式式). ). 這能使學(xué)生經(jīng)歷思維過程中的站點，也能發(fā)展學(xué)生的這能使學(xué)生經(jīng)歷思維過程中的站點，也能發(fā)展學(xué)生的科學(xué)素

16、養(yǎng)科學(xué)素養(yǎng)教材教法建議教材教法建議-22.1-22.1一元二次方程（第一課時）一元二次方程（第一課時）教材教法建議教材教法建議-22.1-22.1一元二次方程（第一課時）一元二次方程（第一課時）例例1.1.判斷下列方程是否為一元二次方程判斷下列方程是否為一元二次方程？42x22)2(4xx3523yx0532cxaxxxx25372xxx112(1)(2)(3)(4)(5)(6)整式方程整式方程241x 2212xx看清二次項系數(shù)看清二次項系數(shù)整理化簡整理化簡2322xxx教材教法建議教材教法建議-22.1-22.1一元二次方程（第一課時）一元二次方程（第一課時）例例2 2 把關(guān)于把關(guān)于x x

17、的方程整理成一般形式，的方程整理成一般形式， 并寫出其中二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項并寫出其中二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項3 (1)5(2)x xx221(3)(21)3xxxx22(3) 10n xnx 確定各項系數(shù)必須先把方程化為一般形式；確定各項系數(shù)必須先把方程化為一般形式；系數(shù)和常數(shù)項除了數(shù)值外，還必須帶符號系數(shù)和常數(shù)項除了數(shù)值外，還必須帶符號. .研究的對象是一元二次方程的系數(shù)問題，研究的對象是一元二次方程的系數(shù)問題，通過研究解法以及根的情況體現(xiàn)出來通過研究解法以及根的情況體現(xiàn)出來教材教法建議教材教法建議-22.1-22.1一元二次方程（第一課時）一元二次方程（第一課時）例例3.

18、3.當(dāng)當(dāng)m m為何值時為何值時, ,關(guān)于關(guān)于x x的方程是一元二次方程的方程是一元二次方程 2(302)2xmx21(301)mxxm2(53)xxmm要關(guān)注各項系數(shù)有意義的條件要關(guān)注各項系數(shù)有意義的條件要強化二次項系數(shù)不為零的意識要強化二次項系數(shù)不為零的意識未知數(shù)的最高次數(shù)為二次未知數(shù)的最高次數(shù)為二次能由一元二次能由一元二次方程的概念確方程的概念確定定二次項系數(shù)二次項系數(shù)所含字母的取所含字母的取值范圍值范圍教材教法建議教材教法建議-22.1-22.1一元二次方程（第一課時）一元二次方程（第一課時）例例4 4 k k為何值時，關(guān)于為何值時，關(guān)于x x的方程的方程231150kkxkx（1 1）

19、一元二次方程）一元二次方程 131031.kkkk 解：且 3102,103.kkkk （2 2）一元一次方程）一元一次方程. .教材教法建議教材教法建議-22.1-22.1一元二次方程（第一課時）一元二次方程（第一課時）10110mmm 解：（）1021mmm或或，在代入原方程檢驗00110mmmx或多種情況的討多種情況的討論加深對方程論加深對方程概念的理解概念的理解. .例例5：當(dāng)：當(dāng)m為何值時，關(guān)于為何值時，關(guān)于x的方程的方程 （2 2）一元二次方程）一元二次方程. .（1 1）一元一次方程）一元一次方程. .教材教法建議教材教法建議-22.1-22.1一元二次方程（第二課時）一元二次方

20、程（第二課時） 用賦值代數(shù)用賦值代數(shù)的方法估計根的方法估計根. .例例 根據(jù)關(guān)于根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程的一元二次方程x2+px+q=0,可以列表如下可以列表如下:則方程則方程x2+px+q=0的正數(shù)解滿足的正數(shù)解滿足:A.解的整數(shù)部分是解的整數(shù)部分是0,十分位是十分位是5 B.解的整數(shù)部分是解的整數(shù)部分是0,十分位是十分位是8C.解的整數(shù)部分是解的整數(shù)部分是1,十分位是十分位是1 D.解的整數(shù)部分是解的整數(shù)部分是1,十分位是十分位是2x00.511.11.21.3x2+px+q-15-8.75-2-0.590.842.29 使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就叫方程的解。使方程左右兩邊相等的未知

21、數(shù)的值就叫方程的解。 只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做根只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做根教材教法建議教材教法建議-22.1-22.1一元二次方程（第二課時）一元二次方程（第二課時）例例1 1 判斷括號里的數(shù)是不是下列各方程的解判斷括號里的數(shù)是不是下列各方程的解2240 xx （ 0 ， -1 ， -4 ， 2 ）x2- 4=0( 2 , -2 , 3 0 ) 9m2 2 m = 0(-2 , 3 ， 0 , )293y2 =0( 1 , -1 , 2 , 0 ) 2x2 +4 = 0( 2 , -2 , -1 , 0 )總結(jié)對比說明二次方程和一次方程解得區(qū)別（根的個數(shù)）總結(jié)對比說明二次方程和

22、一次方程解得區(qū)別（根的個數(shù)）. .教材教法建議教材教法建議-22.1-22.1一元二次方程（第二課時）一元二次方程（第二課時）2.若關(guān)于若關(guān)于x的方程的方程ax2+bx+c=0的一個根是，的一個根是，則則a+b+c的值為的值為 ;若若a-b+c=0，則此方程必有一個根，則此方程必有一個根 .有有4a-2b+c=0,你能確定方程的一個根嗎？你能確定方程的一個根嗎？1.若若x=2是方程是方程x2 2ax+8=0的一個根，的一個根， 則則a的值為的值為 ; 例例2會由方程的會由方程的根根求求方程中待定方程中待定系數(shù)的值系數(shù)的值教材教法建議教材教法建議-22.1-22.1一元二次方程（第二課時）一元二

23、次方程（第二課時）例例3觀察所求代數(shù)式與方觀察所求代數(shù)式與方程之間的聯(lián)系，體會程之間的聯(lián)系，體會等式變形的一般方法等式變形的一般方法若若m是方程是方程x2 x 1 =0的一個根，求的一個根，求下列代數(shù)式值下列代數(shù)式值5m2 5m+2004 2m3 4m 11mm教材教法建議教材教法建議-降次，解一元二次方程（共降次，解一元二次方程（共7 7課時）課時） 配方法、公式法早在公元前配方法、公式法早在公元前1919世紀(jì)就已經(jīng)為巴世紀(jì)就已經(jīng)為巴比倫人所知，而因式分解法的出現(xiàn)卻遲了整整比倫人所知，而因式分解法的出現(xiàn)卻遲了整整35003500年。年。那么因式分解法最初是如何被數(shù)學(xué)家想到的？那么因式分解法最

24、初是如何被數(shù)學(xué)家想到的？ 從哈從哈里奧特的例子中，我們可以看出，他是先遇到了方程里奧特的例子中，我們可以看出，他是先遇到了方程（x-bx-b）（）（x+cx+c）=0=0，將左邊展開得到，將左邊展開得到x x2 2 -bx+cx-bc -bx+cx-bc=0=0， 由此反過來想到用因式分解法來解一元二次方程的。由此反過來想到用因式分解法來解一元二次方程的。在笛卡爾的在笛卡爾的幾何學(xué)幾何學(xué)中，我們也可以看出這一點。中，我們也可以看出這一點。他將一元一次方程他將一元一次方程x-2=0 x-2=0和和x-3=0 x-3=0相乘，相乘， 得一元二次得一元二次方程方程x x2 2-5x+6=0-5x+6

25、=0，它的兩根為，它的兩根為2 2和和3 3。 從一元二次方程解法的發(fā)展歷史來看，從一元二次方程解法的發(fā)展歷史來看， 我們在教學(xué)的安排我們在教學(xué)的安排順序如下：順序如下：1.1.直接開平方法，直接開平方法，2.2.配方法，配方法，3.3.公式法，公式法，4.4.因式分因式分解法。這樣應(yīng)該是更符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。解法。這樣應(yīng)該是更符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。解法的教學(xué)順序解法的教學(xué)順序教材教法建議教材教法建議-降次，解一元二次方程（共降次，解一元二次方程（共7 7課時）課時）華師大版華師大版配方法后置，對靈配方法后置，對靈活選擇適當(dāng)方法解活選擇適當(dāng)方法解方程不利。方程不利。教材教法建議教材教法建

26、議-一元二次方程（配方法）一元二次方程（配方法）一元二次方程一元二次方程 20ax 20axc20axbx200axbxca學(xué)生自己舉例，解方程學(xué)生自己舉例，解方程20axbxc從特殊到一般，從簡單開始從特殊到一般，從簡單開始直接開平方法有效直接開平方法有效把配方變成一種必然把配方變成一種必然用配方法解二次項系數(shù)為用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程的一元二次方程.教材教法建議教材教法建議-一元二次方程（配方法）一元二次方程（配方法）一元二次方程一元二次方程 的的特殊特殊形式形式20axc200axbxca用配方法解二次項系數(shù)為用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程的一元二次方程.22222

27、22128 (3)2(1)2543(21)120(52 )9(3)()(0)yxxxxxxmn n 拓展，練習(xí)直接開平方法拓展，練習(xí)直接開平方法2810 xx 2310 xx 放手，讓學(xué)生自己做放手，讓學(xué)生自己做允許，讓學(xué)生犯錯誤允許，讓學(xué)生犯錯誤指導(dǎo)，規(guī)范源于需要指導(dǎo)，規(guī)范源于需要“理解配方法理解配方法”x2-2x+1=4x-1=(x-1)2=44x2-1=15x2=4學(xué)生若感覺困難再舉例引學(xué)生若感覺困難再舉例引導(dǎo)，建構(gòu)解法之間的內(nèi)在導(dǎo)，建構(gòu)解法之間的內(nèi)在聯(lián)系聯(lián)系教材教法建議教材教法建議-一元二次方程（配方法）一元二次方程（配方法）1411612141954135224b2b24mn2mn課

28、后可以加強課后可以加強配方的訓(xùn)練配方的訓(xùn)練 22221122xxxxxx 222223 345 xxxyyy 22225 6 xbxxxmn xx填空練習(xí)填空練習(xí)教材教法建議教材教法建議-一元二次方程（配方法）一元二次方程（配方法）2213xx 23640 xx200axbxca20bcxxaa轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化要注意要注意用配方法解二次項系數(shù)用配方法解二次項系數(shù)不不為為1的一元二次方程的一元二次方程.22a x避免出現(xiàn)二次項系數(shù)避免出現(xiàn)二次項系數(shù)教材教法建議教材教法建議-一元二次方程（配方法）一元二次方程（配方法）北師大版北師大版教材教法建議教材教法建議-一元二次方程（配方法）一元二次方程（配方法）教

29、材教法建議教材教法建議-解一元二次方程（解一元二次方程（公式法公式法） 21201xxmm 用配方法解下列關(guān)于用配方法解下列關(guān)于x的一元二次方程的一元二次方程. 222200 xmxmm如果（如果（1）和（）和（2）中的條件）中的條件m-1和和m0去掉又如何解？去掉又如何解？211xm222xmm根根據(jù)據(jù)學(xué)學(xué)生生情情況況可可以以做做一一些些鋪鋪墊墊教材教法建議教材教法建議-解一元二次方程（解一元二次方程（公式法公式法）設(shè)計讓推導(dǎo)公式成為一種需要設(shè)計讓推導(dǎo)公式成為一種需要求根公式使我們省略了每次重復(fù)的配方過程求根公式使我們省略了每次重復(fù)的配方過程. .（機器）（機器）求根公式包含初中所學(xué)的六種運

30、算求根公式包含初中所學(xué)的六種運算, ,最美的公式最美的公式解方程本身就是變形的過程解方程本身就是變形的過程. .242bbacxa 教材教法建議教材教法建議-解一元二次方程（解一元二次方程（公式法公式法）用配方法解方程用配方法解方程200axbxca解：因為解：因為a0，兩邊同除以，兩邊同除以a，得，得 20bcxxaa222424bbacxaa因為因為a0，240bac22244242bbacbacxaaa 240bac240bac明確要求會判斷方程根的情況明確要求會判斷方程根的情況. .開平方去絕對值是難點開平方去絕對值是難點教材教法建議教材教法建議-解一元二次方程（解一元二次方程（公式法

31、公式法） 117122x xxx補 說明：用公式法解一元二次方程，如果方程不說明：用公式法解一元二次方程，如果方程不是一般形式，必須先化成一般形式是一般形式，必須先化成一般形式. . 2252 3xx補 說明：對于不完全的一元二次方程，也可用公說明：對于不完全的一元二次方程，也可用公式法求解，此時所缺項的系數(shù)為式法求解，此時所缺項的系數(shù)為0.0. 2132102xx 補說明：如果方程的系數(shù)含有分?jǐn)?shù)，先化為整數(shù)方便計算說明：如果方程的系數(shù)含有分?jǐn)?shù)，先化為整數(shù)方便計算. .運用公式法求一元二次方程的根運用公式法求一元二次方程的根, ,注意三點：注意三點：(1)(1)必須先把方程化為一般形式必須先把

32、方程化為一般形式(2)(2)務(wù)必認(rèn)準(zhǔn)所求題目中務(wù)必認(rèn)準(zhǔn)所求題目中a a，b b，c c的取值是多少的取值是多少教材教法建議教材教法建議-解一元二次方程（解一元二次方程（公式法公式法）(3)(3)會用判別式確定方程有無有實數(shù)解會用判別式確定方程有無有實數(shù)解能力在過程中生成能力在過程中生成規(guī)范是痛苦后的選擇規(guī)范是痛苦后的選擇解題策略是不斷探究不斷失敗后的經(jīng)驗解題策略是不斷探究不斷失敗后的經(jīng)驗教材教法建議教材教法建議-解一元二次方程（因式分解解一元二次方程（因式分解法法）中學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)（日本的教科書）（日本的教科書）中在講解因式分解法時中在講解因式分解法時由最基本的由最基本的( x ( x + +

33、 a) a) ( x ( x + + b) b) = 0 = 0 型型先給出四個方程( x - 2) ( x + 28) = 0,( x - 2) ( x - 28) = 0, x + 2) ( x - 28) = 0, ( x + 2) ( x + 28)= 0,從中找出2與28都是解的方程,分析求解得出結(jié)論“如果AB = 0,得出A = 0或B = 0”.到一般式到一般式axax2 2 + + bxbx + + c c = 0 = 0 再到再到( x ( x + + b) b) 2 2 = 0 = 0, x ( x , x ( x + + b) b) = 0= 0等特殊型等特殊型, , 這

34、樣由這樣由基本到一般再到特殊基本到一般再到特殊的過程是十分切合學(xué)生的認(rèn)的過程是十分切合學(xué)生的認(rèn)知過程的知過程的. . 教材教法建議教材教法建議-解一元二次方程（因式分解解一元二次方程（因式分解法法） 由上述過程我們知道：當(dāng)一元二次方程的左邊能由上述過程我們知道：當(dāng)一元二次方程的左邊能夠分解成兩個一次因式的積，而右邊等于夠分解成兩個一次因式的積，而右邊等于0 0時，即可轉(zhuǎn)時，即可轉(zhuǎn)化成兩個一元一次方程求解，我們把這種解一元二次方化成兩個一元一次方程求解，我們把這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法程的方法叫做因式分解法. . 強調(diào)：因式分解法解一元二次方程的前提強調(diào)：因式分解法解一元二次方程的前

35、提是是“方程右邊必須是零方程右邊必須是零”. . 突出突出對方程的對方程的結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)的把握的把握, ,將因式分解法將因式分解法看作是一種比配方更看作是一種比配方更為為簡單簡單的方法的方法. .提升提升變變形能力形能力。教材教法建議教材教法建議-解一元二次方程（因式分解解一元二次方程（因式分解法法）x22axa2b2=0培養(yǎng)數(shù)式感培養(yǎng)數(shù)式感222(1 2 )3(1 2 ) 10031650(32)180 xxxxxx22(52)5 20240 xxxx教材教法建議教材教法建議-解一元二次方程（解解一元二次方程（解法綜合法綜合）靈活選用解方靈活選用解方程的方法程的方法首選直接開方法首選直接開方法.其

36、次考慮因式分解法其次考慮因式分解法.再次對任何一元二次再次對任何一元二次方程均方程均 可用公式法可用公式法.有特殊要求時，采用配方法有特殊要求時，采用配方法.在靈活選用具體解法時，要把重點放在分析方程的形式特在靈活選用具體解法時，要把重點放在分析方程的形式特征上，并結(jié)合這些特征提出具體的有針對性的解法，強調(diào)征上，并結(jié)合這些特征提出具體的有針對性的解法，強調(diào)其中的關(guān)鍵步驟所起的重要作用。讓學(xué)生自己感受這樣選其中的關(guān)鍵步驟所起的重要作用。讓學(xué)生自己感受這樣選擇的優(yōu)勢。擇的優(yōu)勢。理解二次產(chǎn)生原因理解二次產(chǎn)生原因未知數(shù)運算生成二次的實際問題未知數(shù)運算生成二次的實際問題歸類整合應(yīng)用情境歸類整合應(yīng)用情境重

37、視閱讀能力重視閱讀能力, ,提高審題能力提高審題能力教材教法建議教材教法建議-實際問題與一元二次方程實際問題與一元二次方程涉及幾個量涉及幾個量? ?幾個未知量幾個未知量? ?哪個條件可列得方程哪個條件可列得方程? ?面積與勾股面積與勾股x 3-2xx 3-xx x-3由方程編應(yīng)用題由方程編應(yīng)用題有有100100 米長的籬笆材料，米長的籬笆材料， 想圍成一個矩形露天倉庫，想圍成一個矩形露天倉庫， 要求面積為要求面積為600600平方米，在場地的北面有一堵長為平方米，在場地的北面有一堵長為5050米的舊墻，有人用這個籬笆圍成一個長米的舊墻，有人用這個籬笆圍成一個長4040米，寬米，寬1010米米的

38、矩形倉庫，但面積只有的矩形倉庫，但面積只有400400平方米，不合要求，平方米，不合要求， 現(xiàn)現(xiàn)請你設(shè)計矩形倉庫的長和寬，使它符合要求請你設(shè)計矩形倉庫的長和寬，使它符合要求 :（1 1）：矩形不靠舊墻。）：矩形不靠舊墻。 設(shè)矩形倉庫的寬為x米，則長為(50-x)米。 由題意的：x(50-x)=600 解得：x=20或 x=30 檢驗后知x=20符合要求。 （2 2）：矩形一邊靠舊墻。）：矩形一邊靠舊墻。 設(shè)矩形的寬為x米，則x(100-2x)=600面積與勾股面積與勾股1 1、直角三角形的周長、直角三角形的周長 ，斜邊上，斜邊上的中線長為的中線長為1 1，求這個直角三角形的三邊長，求這個直角三

39、角形的三邊長 262 2、如圖，在、如圖，在RtRtACBACB中，中，C=90C=90，AC=8mAC=8m，CB=6mCB=6m，點點P P、Q Q同時由同時由A A，B B 兩點出發(fā)分別沿兩點出發(fā)分別沿ACAC、BCBC方向向方向向點點C C勻速移動，它們的速度都是勻速移動，它們的速度都是1m/s1m/s， 幾秒后幾秒后PCQPCQ 的面積為的面積為RtRtACBACB面積的一半面積的一半 B C A Q P面積與勾股面積與勾股北師大版北師大版面積與勾股面積與勾股參加一次聚會每兩人都握了一次手，參加一次聚會每兩人都握了一次手，所有人共握了所有人共握了1010次，有多少人參加聚次，有多少人

40、參加聚會？會？點與線段線之交點多邊形對角線交換禮物比賽場次握手問題握手問題 向陽村向陽村20012001年的人均收入是年的人均收入是12001200元，元，20032003年的人均年的人均收入為收入為14521452元，求人均收入的年平均增長率元，求人均收入的年平均增長率. .某商品經(jīng)過兩次降價，由每件某商品經(jīng)過兩次降價，由每件100元調(diào)至元調(diào)至81元，求平均元，求平均每次降價的百分率每次降價的百分率.尋求有關(guān)增長率在應(yīng)用中的規(guī)律尋求有關(guān)增長率在應(yīng)用中的規(guī)律對所求出的量注意檢驗是否符合題意對所求出的量注意檢驗是否符合題意. . .某超市一月份的營業(yè)額為某超市一月份的營業(yè)額為200200萬元，一

41、月、萬元，一月、二月、三月的營業(yè)額共二月、三月的營業(yè)額共10001000萬元，求二、萬元，求二、三月份平均每月增長率為多少？三月份平均每月增長率為多少？ 注意審題，細(xì)心分析所給的量的變化注意審題，細(xì)心分析所給的量的變化. .增長率問題增長率問題（2009茂名）據(jù)茂名市某移動公司統(tǒng)計，該公司茂名）據(jù)茂名市某移動公司統(tǒng)計，該公司2006年底手機用戶的數(shù)量為年底手機用戶的數(shù)量為50萬部，萬部，2008年底手機年底手機用戶的數(shù)量達用戶的數(shù)量達72萬部請你解答下列問題：萬部請你解答下列問題：（1）求）求2006年底至年底至2008年底手機用戶數(shù)量的年平年底手機用戶數(shù)量的年平均增長率；均增長率；（2）由于

42、該公司擴大業(yè)務(wù)，要求到）由于該公司擴大業(yè)務(wù)，要求到2010年底手機年底手機用戶的數(shù)量不少于用戶的數(shù)量不少于103.98萬部，據(jù)調(diào)查，估計從萬部，據(jù)調(diào)查，估計從2008年底起，手機用戶年底起，手機用戶每年減少的數(shù)量是上年底總每年減少的數(shù)量是上年底總數(shù)量的數(shù)量的5%，那么該公司每年新增手機用戶的數(shù)量至，那么該公司每年新增手機用戶的數(shù)量至少要多少萬部？（假定每年新增手機用戶的數(shù)量相少要多少萬部？（假定每年新增手機用戶的數(shù)量相同）同） 0808年底手機用戶是年底手機用戶是7272萬，萬，0909年底手機用戶應(yīng)為年底手機用戶應(yīng)為7272（1-5%)+x, 1-5%)+x, （x x為每年新增用戶數(shù)量）為

43、每年新增用戶數(shù)量）1010年底手機用戶為（年底手機用戶為（7272（1-5%)+x1-5%)+x）* *（1-5%)+x1-5%)+x 即即 （7272（1-5%)+x1-5%)+x）（）（1-5%)+x=103.98 1-5%)+x=103.98 解得解得x20 x20萬萬增長率問題增長率問題列表幫助分析，打破思維定式列表幫助分析，打破思維定式中考題考什么中考題考什么能利用能利用根的判根的判別式別式說明含有說明含有字母系數(shù)的一字母系數(shù)的一元二次方程根元二次方程根的情況的情況解含字母系數(shù)的解含字母系數(shù)的一元二次方程一元二次方程、式的比較大小、式的比較大小、函數(shù)概念、函數(shù)函數(shù)概念、函數(shù)解析式的確

44、定解析式的確定理解理解配方法配方法能選擇適當(dāng)?shù)哪苓x擇適當(dāng)?shù)姆椒ǚ椒ń饨庖辉辉畏匠檀畏匠逃煞匠逃煞匠谈那楦那闆r況確定方程中確定方程中待定系數(shù)的待定系數(shù)的取取值范圍值范圍 理解理解配方法配方法由方程由方程根的情根的情況況確定方程中確定方程中待定系數(shù)的待定系數(shù)的取取值范圍值范圍 解解簡單的數(shù)字系數(shù)的簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程一元二次方程確定確定二次項系數(shù)所含二次項系數(shù)所含字母的取值范圍字母的取值范圍04522aaxx解關(guān)于解關(guān)于x的方程：的方程：221(21)04xkxkk22(21)20 xkxk02) 1() 1(2xmxm= 一一次次式式= 完= 完全全平平方方式式= 0= 0=

45、 完= 完全全平平方方式式小專題小專題-解字母系數(shù)一元二次方程解字母系數(shù)一元二次方程小專題小專題-配方法配方法ax2+bx+c=a x-h2+k說明符號說明符號說明最值說明最值與非負(fù)數(shù)性質(zhì)相結(jié)合與非負(fù)數(shù)性質(zhì)相結(jié)合求證:不論a、b取何值，多項式a2b2+b2-6ab-4b+14的值都是正數(shù).已知4a2+b2-4a+10b+260求a、b的值275xx求代數(shù)式2的最小值用配方法證明用配方法證明: x2-2x+3的值恒大于的值恒大于0-x2+6x-10的值恒小于的值恒小于0. 小專題小專題-一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式類類型型一一類類型型三三類類型型四四一一元元二二次次方方程程根根的

46、的判判別別式式的的應(yīng)應(yīng)用用類類型型二二(1)(1)運用判別式，判別方程實數(shù)根的個數(shù)運用判別式，判別方程實數(shù)根的個數(shù). .(2)(2)利用判別式，建立等式、不等式，利用判別式，建立等式、不等式，求方程中參數(shù)值或取值范圍求方程中參數(shù)值或取值范圍. .(3)(3)通過判別式，證明與方程相關(guān)的代數(shù)問題通過判別式，證明與方程相關(guān)的代數(shù)問題. .(4)(4)借助判別式，運用一元二次方程必定有解借助判別式，運用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，解幾何性問題、最值問題的代數(shù)模型，解幾何性問題、最值問題. .(1)(1)運用判別式，判別方程實數(shù)根的個數(shù)運用判別式，判別方程實數(shù)根的個數(shù). .例例1 1 不解方程不解

47、方程, ,判斷下列方程的根的情況判斷下列方程的根的情況: :2210 xaxa 221(21)04xkxkk2221203xaxab20mxnx兩個相等的實數(shù)根兩個相等的實數(shù)根 兩個不相等的實數(shù)根兩個不相等的實數(shù)根 沒有實數(shù)根沒有實數(shù)根 當(dāng)當(dāng)m m 00時時, ,方程是一元二次方程方程是一元二次方程, ,00, ,故方程有兩個實數(shù)根故方程有兩個實數(shù)根. .當(dāng)當(dāng)m m = 0= 0時時, ,方程變?yōu)橐辉淮畏匠谭匠套優(yōu)橐辉淮畏匠? , 此時若此時若n n 00, ,則方程有一個實數(shù)解則方程有一個實數(shù)解, ,若若n n = 0= 0, ,則方程則方程有無數(shù)個實數(shù)解有無數(shù)個實數(shù)解. .(1)(1)

48、運用判別式，判別方程實數(shù)根的個數(shù)運用判別式，判別方程實數(shù)根的個數(shù). .22222244bacabbc 解：如何化簡是關(guān)鍵如何化簡是關(guān)鍵.acb 2代代 換換減元減元達到化簡的目的達到化簡的目的.222222222222()4bcab cbcabc bcabc 利用平方差利用平方差公式變形公式變形(1)(1)運用判別式，判別方程實數(shù)根的個數(shù)運用判別式，判別方程實數(shù)根的個數(shù). .(2)(2)利用判別式，建立等式、不等式，求參數(shù)取值范圍利用判別式，建立等式、不等式，求參數(shù)取值范圍. .各項系數(shù)有意義，各項系數(shù)有意義，明確方程類型，明確方程類型，根的判別式建立不等式根的判別式建立不等式有兩個不相等的實

49、數(shù)根？有兩個不相等的實數(shù)根？有兩個相等的實數(shù)根？有兩個相等的實數(shù)根？無實數(shù)根？無實數(shù)根？有兩個實數(shù)根？有兩個實數(shù)根？有實數(shù)根？有實數(shù)根？(3)(3)通過判別式，證明與方程相關(guān)的通過判別式，證明與方程相關(guān)的代數(shù)代數(shù)問題問題. .例例8 8已知已知: a, b, c: a, b, c為為ABCABC的三邊的三邊, ,當(dāng)當(dāng)m 0m 0時時, ,關(guān)于關(guān)于x x的方程的方程有兩個相等的實數(shù)根有兩個相等的實數(shù)根. . 求證求證: : ABCABC為直角三角形為直角三角形. .只要能證明只要能證明ABCABC的三邊的三邊a, b, ca, b, c滿足勾股定理的逆定理滿足勾股定理的逆定理, ,(4)(4)借

50、助判別式，運用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，解借助判別式，運用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，解幾何性問題、最值問題幾何性問題、最值問題. .22()()20c xmb xmmax例例9 9已知已知: a, b, c: a, b, c為為ABCABC的三邊的三邊,關(guān)于關(guān)于x x的方程的方程有兩個相等的實數(shù)根有兩個相等的實數(shù)根. . 求證求證: : ABCABC為等腰三角形為等腰三角形. .23()2()()04bc xac xac對判別式利用提公對判別式利用提公因式法變形因式法變形232()4()()4acbcac 巧選主元：當(dāng)方程中參數(shù)次數(shù)較低時，選擇參巧選主元：當(dāng)方程中參數(shù)次數(shù)較低時，選擇參數(shù)為主元求解數(shù)為主元求解;解含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)解問題的基本方法有：解含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)解問題的基本方法有：從求根入手：若根可用有理式表示，從求根入手：若根可用有理式表示，則求出根，結(jié)合整除求解；則求出根，結(jié)合整除求解；運用判別式：在二次方程有解的前提下運用判別式：在二次方程有解的前提下運用判別式求出參數(shù)或根的取值范圍，運用判別式求出參數(shù)或根的取值范圍，通過枚舉討