等腰三角形復(fù)習(xí)課1

1、(一一) 等腰三角形的性質(zhì)與判定等腰三角形的性質(zhì)與判定 1.性質(zhì)性質(zhì)(1)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等。：等腰三角形的兩個(gè)底角相等。(2)：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。底邊上的高互相重合。2.判定判定定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形。定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形。判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形。形。等腰三角形: 1 , 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。 2 , 有一個(gè)角等于60的等腰三角形是等邊三角形。 3 , 在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的

2、直角邊等于斜邊的一半(一一)v等腰三角形性質(zhì)與判定的應(yīng)用（1）計(jì)算角的度數(shù)利用等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理及推論計(jì)算角的度數(shù)，是等腰三角形性質(zhì)的重要應(yīng)用。已知角的度數(shù)，求其它角的度數(shù)已知條件中有較多的等腰三角形（此時(shí)往往設(shè)法用未知數(shù)表示圖中的角，從中得到含這些未知數(shù)的方程或方程組）（2）證明線段或角相等v以等腰三角形為條件時(shí)的常用輔助線:v如圖：若AB=ACv作ADBC于D，必有結(jié)論:1=2，BD=DCv若BD=DC，連結(jié)AD，必有結(jié)論：1=2，ADBCv作AD平分BAC必有結(jié)論：ADBC，BD=DCv作輔助線時(shí)，一定要作滿足其中一個(gè)性質(zhì)的輔助線，然后證出其它兩個(gè)性質(zhì)，不能這樣作：作

3、ADBC，使1=2.ABCD1 2v例1 已知一腰和底邊上的高，求作等腰三角形。分析分析：我們首先在草稿上畫好一個(gè)示意圖，然后對(duì)照此圖寫出已知和求作并構(gòu)思整個(gè)作圖過程已知：線段a、h求作：ABC，使AB=AC=a，高AD=h作法：1、作PQMN，垂足為D2、在DM上截取DA=h3、以點(diǎn)A為圓心，以a為半徑作弧，交PQ于點(diǎn)B、C4、連結(jié)AB、AC則ABC為所求的三角形。ABCDahABCDMNhaPQ例2.如圖，已知在ABC中，AB=AC，BDAC于D，CEAB于E，BD與CE相交于M點(diǎn)。求證：BM=CM。v證明：AB=ACvABC=ACB（等邊對(duì)等角）vBDAC于D，CEAB于EvBEC=CD

4、B=90v1+ACB=90，2+ABC=90（直角三角形兩個(gè)銳角互余）v1=2（等角的余角相等）vBM=CM（等角對(duì)等邊）ABCD12EM說明：本題易習(xí)慣性地用全等來證明，雖然也可以證明，但過程較復(fù)雜，應(yīng)當(dāng)多加強(qiáng)等腰三角形的性質(zhì)和判定定理的應(yīng)用。例3.已知：如圖，A=90，B=15，BD=DC.請(qǐng)說明AC=BD的理由.v解BD=DC，B=15vDCB=B=15（等角對(duì)等邊）vADC=B+DCB=30v（三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）vA=90vAC= DCvAC= BD2121ABCD例4.已知：如圖，C=90，BC=AC，D、E分別在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中點(diǎn).求

5、證：MDE是等腰三角形.v分析分析：要證MDE是等腰三角形，只需證MD=ME。連結(jié)CM，可利用BMD CME得到結(jié)果。證明：連結(jié)CMC=90，BC=ACA=B=45M是AB的中點(diǎn)CM平分BCA（等腰三角形頂角的平分線和底邊上的中線重合）MCE=MCB=BCA=45B=MCE=MCBCM=MB（等角對(duì)等邊）在BDE和CEM中BDM CEM（SAS）MD=MEMDE是等腰三角形CMBMMCEBCEBDABCDEM例5.如圖，在等邊ABC中，AF=BD=CE，請(qǐng)說明DEF也是等邊三角形的理由.v解：ABC是等邊三角形vAC=BC，A=CvCE=BDvBCBC=ACCEvCD=AEv在AEF和CDE中

6、vAEF CDE（SAS）vEF=DEv同理可證EF=DFvEF=DE=DFvDEF是等邊三角形CEAFCACDAEABCDEF說明：證明等邊三角形有三種思路：證明三邊相等證明三角相等證明三角形是有一個(gè)角為60的等腰三角形。具體問題中可利用不同的方式進(jìn)行求解。例6 .如圖2-8-1,中，AB=AC，D為AB上一點(diǎn)，E為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BD=CE，DE交BC于G請(qǐng)說明DG=EG的理由.v思路思路 因?yàn)镚DB和GEC不全等，所以考慮在GDB內(nèi)作出一個(gè)與GEC全等的三角形。說明說明 本題易明顯得出DG和EG所在的DBG和ECG不全等，故要構(gòu)造三角形的全等，本題的另一種證法是過E作EFBD，交BC

7、的延長(zhǎng)線于F，證明DBG EFG，同學(xué)們不妨試一試。例7. 如圖2-8-6，在ABC中，AB=AC=CB，AE=CD， AD、BE相交于P，BQAD于Q. 請(qǐng)說明BP=2PQ的理由.v思路思路 在RtBPQ中，本題的結(jié)論等價(jià)于證明PBQ=30 證明證明 AB=CA，BAE=ACD=60，AE=CD，BAE ACDABE=CADBPQ=ABE+BAP=CAD+BAP=60又BQADPBQ=30BP=2PQ說明說明 本題把證明線段之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明角的度數(shù)，這種轉(zhuǎn)換問題的方法值得同學(xué)們細(xì)心體會(huì)。例例8：如圖、在如圖、在ABC中，中，D，E在在直線直線BC上，且上，且AB=BC=AC=CE=BD，

8、求求EAC的度數(shù)。的度數(shù)。探索：探索：如圖、在如圖、在ABC中，中，D，E在直線在直線BC上，且上，且AB=AC=CE=BD，DAE=100，求，求EAC的度數(shù)。的度數(shù)。DECBADECBAv1. 下列結(jié)論敘述正確的個(gè)數(shù)為（下列結(jié)論敘述正確的個(gè)數(shù)為（ ）v（ 1）等腰三角形高、中）等腰三角形高、中 線、角平分線重合；線、角平分線重合；v（ 2）等腰三角形兩底角）等腰三角形兩底角 的外角相等；的外角相等； v（ 3）等腰三角形有且只有一條對(duì)稱軸；）等腰三角形有且只有一條對(duì)稱軸；v（ 4）有一個(gè)角等于）有一個(gè)角等于60的等腰三角形是等邊三角的等腰三角形是等邊三角形。形。v （A）0個(gè)個(gè) （B）1個(gè)

9、個(gè) （C）2個(gè)個(gè) （D）3個(gè)個(gè)2.等腰三角形頂角為36，底角為_。3.等腰三角形頂角和一個(gè)底角之和為100，則頂角度數(shù)為_。4.等腰三角形兩個(gè)角之比為4:1，則頂角為_，底角為_。5.等腰三角形兩邊長(zhǎng)為4、6，這個(gè)三角形周長(zhǎng)為_。6.已知ABC中AB=AC，AB垂直平分線交AC于E，交AB于D，連結(jié)BE，若A=50，EBC=_。7.ABC中，AB=AC，ADBC于D，若ABC的周長(zhǎng)為50，ABD的周長(zhǎng)為40，則AD=_。8.若等腰三角形頂角為n度，則腰上的高與底邊的夾角為_。9.9.如圖，線段如圖，線段ODOD的一個(gè)端點(diǎn)的一個(gè)端點(diǎn)O O在直線在直線a a上，以上，以O(shè)DOD為一邊畫等腰三角形，

10、并且使另一個(gè)頂點(diǎn)在直為一邊畫等腰三角形，并且使另一個(gè)頂點(diǎn)在直線線a a上，這樣的等腰三角形能畫多少個(gè)上，這樣的等腰三角形能畫多少個(gè)? ?150a9.已知等腰三角形一腰上的中線將三角已知等腰三角形一腰上的中線將三角形周長(zhǎng)分成：兩部分，已知三角形形周長(zhǎng)分成：兩部分，已知三角形底邊長(zhǎng)為，求腰長(zhǎng)？底邊長(zhǎng)為，求腰長(zhǎng)？解：如圖，令解：如圖，令CDx，則，則ADx，AB2x底邊底邊BC5BCCD5x ABAD3x(5+x)：3x2:1或或3x：(5+x)=2:1xx2x510、如圖，D是正ABC邊AC上的中點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=CD，誣蔑說明BD=DE的理由.AB C ED1 12 2解: ABC是正三角形 ABC= ACB=600 （ ） D是AC邊上的中點(diǎn) 1= ABC=300（ ）12CE=CD2= E（ ） 2+ E= ACB=600（ ） E=300， 1= EBD=DE（ ）3、如圖，在RtABC中，ACB=900， CAB的平分線AD交BC于D，AB邊上的高線CE交AB于E，交AD于F，求證：CD=CFBACED123F分析：C