《數(shù)字信號處理》第三版課后習(xí)題答案

1、數(shù)字信號處理課后答案1.2 教材第一章習(xí)題解答1. 用單位脈沖序列(n)及其加權(quán)和表示 題1圖所示的序列解：x(n)(n 4)2 (n 2)(n 1) 2 (n) (n 1) 2 (n 2) 4 (n 3)0.5 (n 4) 2 (n 6)2n 5, 4 n 12. 給定信號： x(n) 6,0 n 40,其它(1) 畫出x(n)序列的波形，標(biāo)上各序列的值；(2) 試用延遲單位脈沖序列及其加權(quán)和表示x(n)序列；(3) 令 xi(n) 2x(n 2)，試畫出 Xi(n)波形；(4) 令 X2(n) 2x(n 2)，試畫出 x2(n)波形；(5) 令 x3(n) 2x(2 n)，試畫出 X3(n

2、)波形。解：(1) X(n)的波形如題2解圖(一)所示。( 2)x(n) 3 (n 4) (n 3) (n 2) 3 (n 1) 6 (n)6 (n 1) 6 (n 2) 6 (n 3) 6 (n 4)(3) 人(n)的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2,畫出圖形如 題 2 解圖(二) 所示。(4) X2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2,畫出圖形如 題2解圖二所示。5畫X3 n時，先畫x-n的波形，然后再右移2位，X3n波形如 題2解圖四所示。3.判斷下面的序列是否是周期的，假設(shè)是周期的，確定其周期。1xn Acos3 n ， A 是常數(shù)；7 8jln 2xn e 8。解：1

3、w - , -14，這是有理數(shù)，因此是周期序列，周期是 T=14 ；7 w 32w -, -16，這是無理數(shù)，因此是非周期序列。8 w5. 設(shè)系統(tǒng)分別用下面的差分方程描述，xn與yn分別表示系統(tǒng)輸入 和輸出，判斷系統(tǒng)是否是線性非時變的。1y(n)x(n) 2x(n1) 3x(n 2)；3y(n)x(n no)，no為整常數(shù)；5y(n)2x (n)；7y(n)nx(m)。m 0解：1令:輸入為xnno，輸出為y'( n)x(nno) 2x( n ino 1) 3x(n no 2)y(n n°) x(n n°) 2x(n n° 1) 3x(n n°

4、2) y(n)故該系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。y(n) Tax1(n) bx2(n)a%(n) bx2(n) 2(a%(n 1) bx? (n 1) 3(a%(n 2) bx2(n 2)Tax1( n) ax1( n) 2ax1( n 1) 3ax1(n 2)T bx2 ( n) bx2 ( n) 2bx2 ( n 1) 3bx2 ( n 2)Tax1(n) bx2(n) aT x1(n) bT x2(n)故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。面予以證bTx2(n)(3)這是一個延時器，延時器是一個線性時不變系統(tǒng)， 明。令輸入為 x(n n1 )，輸出為 y'(n) x(n n1 n0 ) ，因?yàn)镮 y(n n1

5、) x(n n1 n0 ) y'(n)故延時器是一個時不變系統(tǒng)。又因?yàn)門 ax1( n) bx2 (n) ax1(n n0) bx2(n n0) aTx1(n)故延時器是線性系統(tǒng)。(5)y( n) x2(n)令：輸入為 x(n n0) ，輸出為 y'( n) x2(n n0 ) ，因?yàn)?2'y(n n0) x (n n0) y (n)故系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。又因?yàn)? T ax1(n) bx2( n) (ax1 (n) bx2( n)aT x1(n) bT x2(n) 22ax1(n) bx2 (n)因此系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。n (7)y( n)x(m)m0n 令：輸入為 x(n

6、 n0) ，輸出為 y'(n)x(m n0) ，因?yàn)閙0n n0y(n n0 )x( m) y'(n)m0故該系統(tǒng)是時變系統(tǒng)。又因?yàn)門axj( n) bx2( n)(ax1(m) bx2(m) aTxM n) bT x2( n)m 0故系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。6. 給定下述系統(tǒng)的差分方程，試判斷系統(tǒng)是否是因果穩(wěn)定系統(tǒng)，并 說明理由。1 N 1(1)y(n) - x(n k)；N k on n。(3) y(n)x(k)；k n n°(5)y(n) ex(n)。解：(1) 只要N 1,該系統(tǒng)就是因果系統(tǒng)，因?yàn)檩敵鲋慌cn時刻的和n時刻以前的輸入有關(guān)。如果x(n) M，那么y(n)

7、M，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。n n。(3)如果|x(n) M，|y(n) |x(k) 2n。1 M，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。k n n。系統(tǒng)是非因果的，因?yàn)檩敵鲞€和 x(n)的將來值有關(guān).(5)系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，因?yàn)橄到y(tǒng)的輸出不取決于x(n)的未來值。如果x( n) M，那么y( n) |ex(n)$n)eM，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。7. 設(shè)線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)和輸入序列x(n)如題7圖所 示，要求畫出輸出輸出y(n)的波形。解：解法(1):采用圖解法y(n) x(n) h(n) x(m)h(n m)圖解法的過程如題7解圖所示 解法(2):采用解析法。按照 題7圖寫出x(n)和h(n)的表達(dá)式：

8、x(n) (n 2) (n 1) 2 (n 3)1 h(n) 2 (n) (n 1) (n 2)2因?yàn)閤(n)* (n) x(n)x(n廣 A (n k) Ax(n k)1y(n) x(n)*2(n) (n 1)二(n 2)所以212x( n) x(n 1) x(n 2)2將x(n)的表達(dá)式代入上式，得到y(tǒng)(n) 2 (n 2) (n 1) 0.5 (n)2 (n 1) (n 2)4.5 (n 3) 2 (n 4) (n 5)8. 設(shè)線性時不變系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)h(n)和輸入x(n)分別有以下三種情況，分別求出輸出y(n)。1h(n)&(n ),x( n)R5n；2h(n)2&

9、( n),x (n)(n)(n 2)；3h(n)0.5nu(n), XnR5n。解：1y(n)x(n)* h(n)R4(m)R5(n m)m先確定求和域，由R4m和Rsn m確定對于m的非零區(qū)間如下:0 m 3, n 4 m n根據(jù)非零區(qū)間，將n分成四種情況求解： n 0,yn 0n0n 3, y(n)1 n 1m 043n 7, y(n)18 nm n 47n,y( n) 0最后結(jié)果為0,n 0, n 7y(n)n 1,0 n 38 n,4 n 7y(n)的波形如題8解圖(一)所示。(2)y(n) 2R4(n)* (n) (n 2)2&(n) 2"n 2)2 (n) (n

10、1) (n 4) (n 5)y(n)的波形如題8解圖(二)所示.(3)y(n) x(n)* h(n)R5(m)0.5nmmu(nm)0.5nRs(m)0.5 mu(n m)my(n)對于m的非零區(qū)間為0m4, mn。n0,y( n) 00nn 4, y(n)0.5n0.5 mm 0n 11 0.50.5n (1 0.5 n 1)0.5n 2 0.5n10.5 1541n, y(n) 0.5n 0.5 mm 010.5 50.5 10.5n31 0.5n最后寫成統(tǒng)一表達(dá)式：y(n) (2 0.5n)R5( n) 31 0.5nu(n 5)11.設(shè)系統(tǒng)由下面差分方程描述:1 1y(n) gy(n

11、1) x(n)乂 1)；設(shè)系統(tǒng)是因果的，利用遞推法求系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)解：令：x(n) (n)1 1h(n)才(n 1)(n)(n 1)1 1n 0,h(0)2h( 1)(0) - ( 1) 11 1n1,h(1)?h(0)(1)1 (0)111n 2,h(2)h(1)2211 2n3, h(3)2h(2)Q歸納起來，結(jié)果為h(n) (1)n1u(n 1)(n)12.有一連續(xù)信號 Xa(t) cos(2 ft ),式中，f 20Hz,2(1) 求出Xa(t)的周期。(2) 用采樣間隔T 0.02s對Xa(t)進(jìn)行采樣，試寫出采樣信號%(t)的表 達(dá)式。(3) 畫出對應(yīng)%(t)的時域離散信號(序

12、列)x(n)的波形，并求出x(n)的 周期第二章教材第二章習(xí)題解答1.設(shè)Xejw和Yejw分別是xn和yn的傅里葉變換，試求下面序列的 傅里葉變換：1x(n n0) ；2x( n) ；3x(n)y(n)；4x(2n) 。解：1FTx(n n0)x(nn令n'n n0,n n'n0 ，那么FTx(n n0)2FT x* (n)x* (n)e n3FTx( n)x( n)e n令n'n，那么njwnjwnn0)enjwn' jw(n n0 )x(n )e 0e jwn0 X(ejw)FTx(n)4證明：令 k=n-m ，那么x(n)ejwn*X* (e jw)jwn

13、Ix(n')eX(e jw)FTx(n)*x(n)* y(n)FTx(n)* y(n)my(n)X(ejw)Y(ejw)x(m)y(n m)mx(m)y(n m)e jwnFTx(n)* y(n)jwk jwnx(m)y(k)e ek mjwkjwny(k)ex(m)ekmX(ejw)Y(ejw)2. X(ejw)1, wO,WoWow求X(ejw)的傅里葉反變換x(n)解:3.線性時不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)(、1 wo jwn,sinw°nx(n)e dw 2won(傳輸函數(shù))H (ejw) | H (ejw) ej (w),如果單位脈沖響應(yīng)h(n)為實(shí)序列，試證明輸入x(n)

14、Acos(w°n )的穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 為jwy(n) A H (e ) cosw°n(w。)。解：假設(shè)輸入信號x(n) ejw0n，系統(tǒng)單位脈沖相應(yīng)為h(n),系統(tǒng)輸出為jw°n y(n) h(n)* x(n)h(m)ejw0(n m) ejw°nh(m)e jw0mH (ejw0)emm上式說明，當(dāng)輸入信號為復(fù)指數(shù)序列時，輸出序列仍是復(fù)指數(shù)序列， 且頻率相同，但幅度和相位決定于網(wǎng)絡(luò)傳輸函數(shù)，利用該性質(zhì)解此題。x(n) Acos(w。n)丄 Aejw°neje jw°ne j 2y(n) 】Aej ejw°nH(ejw0) e j

15、 e jw°nH(e jw°) 2XAej ejw0n2H (ejw0) ej (W°)jjw°ne eH (e jw0) ej ( w°)上式中H(ejw)是w的偶函數(shù)，相位函數(shù)是 w的奇函數(shù),H (ejw)H(ejw), (w)( wy(n)舟 A H (ejw0) ej ejw0nej (w0) e j e jw°ne j (w0)A H (ejw0) cos(w0n(w0)4.設(shè) x(n)1,0,1將x( n)以4為周期進(jìn)行周期延拓，形成周期序列0,其它%n)，畫出x(n)和n)的波形，求出n)的離散傅里葉級數(shù)X(k)和傅里葉

16、變換。解:畫出x(n)和n)的波形如題4解圖所示。X%k) DFS% n)j4k/ j4k e 4 (e 43jkn%n)e 4n 0匕k4 ) 2cos( k)?e41 j-kne 20j4kX(k)以4為周期，或者1 .X%k)e j2n 0j1 k j1 kjke 2 (e2e 2 )j1 k j1 kj- ke 4 (e4e 4 ).1 . -sin k k 2.1 .sin k4X(k)以4為周期2X(ejw) FT% n)X%k)(w 2Tk) X%k) (w2 k2k)匕kcos( k)e 4 (w k 45.設(shè)如下列圖的序列x(n)的FT用X(ejw)表示，不直接求出X(ejw

17、)，完成以下運(yùn)算:(1) X(ej0)；(2) X(ejw)dw ；(5)2X(ejw) dwjw解:(1)7X(ej0)x( n) 6n 3(2)X(ejw)dw x(0)?2(5)X (ejw) dw 22x(n)|286試求如下序列的傅里葉變換：(2) X2(n)(3) X3(n)12 (n 1)(n)anu( n),0 a 12 (n 1)；解:(2)X2(ejw)x2( n)e jwn1 .jwe21 .jw1 e2cosw(3)X3(ejw)nnjwna u(n)en jwn a en 01jw ae7.設(shè):(1) x(n)是實(shí)偶函數(shù),x(n)的傅里葉(2) x(n)是實(shí)奇函數(shù)，分

18、別分析推導(dǎo)以上兩種假設(shè)下,變換性質(zhì)。解:令 X(ejw)x(n)ejwn(1) x(n)是實(shí)、偶函數(shù)，X(ejw)x(n)ejwnn兩邊取共軛，得到X*(ejw)x(n)ejwnx(n)e j(w)n X(e jw)nn因此 X (ejw) X*(e jw)上式說明x(n)是實(shí)序列，X(ejw)具有共軛對稱性質(zhì)。X(ejw)x(n)e jwn x( n)cos wn j sin wn nn由于x(n)是偶函數(shù)，x(n)sinwn是奇函數(shù)，那么x( n)sin wn 0n因此 X(ejw)x( n) cos wnn該式說明X(ejw)是實(shí)函數(shù)，且是w的偶函數(shù)。總結(jié)以上x(n)是實(shí)、偶函數(shù)時，對應(yīng)

19、的傅里葉變換X(ejw)是實(shí)、偶函數(shù)。(2)x(n)是實(shí)、奇函數(shù)。上面已推出，由于x(n)是實(shí)序列，X(ejw)具有共軛對稱性質(zhì)，即jw* jwX(ejw) X* (e jw)X(ejw)x(n)e jwn x( n)cos wn j sin wn nn由于X(n)是奇函數(shù)，上式中x( n)coswn是奇函數(shù)，那么x(n )cosw n 0n因此 X (ejw) j x(n)sin wn這說明X(eM)是純虛數(shù)，且是w的奇函數(shù)。10.假設(shè)序列h( n)是實(shí)因果序列，其傅里葉變換的實(shí)部如下式:H R(ejw)1 cosw求序列h(n)及其傅里葉變換H (ejw)。解:H R(ejw)1 cosw

20、1 .JW e21 . jw e2FThe( n)Jwnhe (n )en12.x(n)(1)2,n 1he( n)1,n01,n 120,n01,n0h(n)he(n), n 01,n12he(n), n 00,其它n1H(ejw)Jwnnh(n )e1 e Jw 2ejw/2wcos2設(shè)系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)h(n)(n) 2 (n 2)，完成下面各題:求出系統(tǒng)輸出序列y(n)；anu( n),0a1，輸入序列為(2)分別求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里葉變換。解:(1)y(n) h(n)* x(n) anu(n)*(n) 2 (nanu(n) 2an 2u(n 2)2)X(ejw)(n

21、) 2 (n 2)e jwn 1 2e j2wnH(ejw)Y(ejw)n jwn1a ejwn 01 ae1 2e j2wjwjw I 2eH(e )gX(e )w1 aenjwna u(n)e13. Xa(t) 2cos(2fot)，式中fo 100Hz，以采樣頻率 fs 400Hz對xa(t)進(jìn)行采樣，得到采樣信號(t)和時域離散信號x(n)，試完成下面(1)寫出Xa (t)的傅里葉變換表示式Xa(j )；(2)寫出(t)和x(n)的表達(dá)式;各題:(3)Xa(j )Xa(t)ejtdt2cos( 0t)e j tdt分別求出%(t)的傅里葉變換和x(n)序列的傅里葉變換。解:(1)(ej

22、 0t e j 0t)e j tdt上式中指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換不存在，引入奇異函數(shù)函數(shù)，它的傅 里葉變換可以表示成:Xa(j)2 (0)( 0)(2)?a(t)Xa(t) (t nT)2cos( 0nT) (t nT)x(n)2cos( °nT),f0200 rad ,T12.5msfs(3)兄(j )1Xa(jjk s)T k2(0 k s)(0k s)T k式中 s 2 fs 800rad / sX(ejw)x( n)enjwnn2cos(0nT)e jwn2cos(w0n)e jwnnejw°nne jw°ne jwn 2(wkw0 2k ) (w w0 2

23、k )上式推導(dǎo)過程中，指數(shù)序列的傅里葉變換仍然不存在,只有引入奇異式中 w00T0.5 rad函數(shù)函數(shù)，才能寫出它的傅里葉變換表達(dá)式。14. 求以下序列的Z變換及收斂域:(2)2 nu( n 1)；(3)nu( n)；(6)nu( n) u(n 10)解:(2)ZT2 nu(n)nn2 u(n)zn(3)ZT 2 nu( n 1)2n2z1 2znu(1)zn2nzn1ZT2 nu(n) u(n910)2 nzn 01 2 10z1 2 1z 110,016.:求出對應(yīng)X(z)的各種可能的序列的表達(dá)式 解: 有兩個極點(diǎn)，因?yàn)槭諗坑蚩偸且詷O點(diǎn)為界，因此收斂域有以下三種情況： 三種收斂域?qū)?yīng)三種不

24、同的原序列(1)當(dāng)收斂域z 0.5時,x(n)1廠j?cX(Z)zdz令 F(z) X(z)zn15z 7(z 0.5)(z 2)5 7z 1n 11 1 z(1 0.5z 1)(1 2z 1)n 0,因?yàn)閏內(nèi)無極點(diǎn)，x( n)=0 ;n 1，C內(nèi)有極點(diǎn)0，但z=0是一個n階極點(diǎn)，改為求圓外極點(diǎn)留數(shù)，圓外極點(diǎn)有乙0.5,Z2 2，那么x( n) ResF(z),0.5ResF(z),2Z(z0.5)| z 0.5Z(z2) z21 nn3巧)御u( n 1)(2)當(dāng)收斂域0.5 z 2時,(5z 7)zn(z 0.5)(z 2)n 0，C內(nèi)有極點(diǎn)0.5；1 x(n) ResF(z),0.5 3

25、右)“n 0, C內(nèi)有極點(diǎn)0.5, 0,但0是一個n階極點(diǎn)，改成求c外極點(diǎn)留 數(shù)，c外極點(diǎn)只有一個，即2,x(n) ResF(z),22g2nu( n 1)最后得到 x( n) 3c(1)n u(n) 2cgnu( n 1)(3) 當(dāng)收斂域2 z時，(5z 7)zn(z 0.5)(z 2)n 0，C內(nèi)有極點(diǎn)0.5, 2；1x(n) ResF(z),0.5ResF(z),23g()n 2c2n*0,由收斂域判斷，這是一個因果序列，因此x(n)=0或者這樣分析，C內(nèi)有極點(diǎn)0.5, 2, 0,但0是一個n階極點(diǎn)，改成求c外極點(diǎn)留數(shù)，c外無極點(diǎn)，所以x(n)=0 最后得到1x( n) 3g(-)n 2

26、g2nu(n)17. x(n) anu(n),0 a 1，分別求:(1) x(n)的Z變換；(2) nx(n)的 Z 變換；(3) a nu( n)的 z 變換。解：(1) X(z) ZTanu( n)nanu(n)z1aza(2) ZT nx(n)zyX(z) dz1az,AK 2 , z(1 az )(3) ZTa nu( n) a nz nanzn-, z a 1n0n 01 aZ18. x(z)3z 12 5zi 2z2，分別求:(1) 收斂域0.5 z 2對應(yīng)的原序列x(n);(2) 收斂域z 2對應(yīng)的原序列x(n)。解：x(n)1n2jcxzdzF(z) X(z) zn13z 1

27、n 13?zn2 5z 1 2z 22(z 0.5)(z 2)(1)當(dāng)收斂域0.5 z 2時，n 0 , c內(nèi)有極點(diǎn)0.5,x(n) ResF(z),0.50.5n2 n, n 0,c內(nèi)有極點(diǎn)0.5,0,但0是一個n階極點(diǎn)，改求c外極點(diǎn)留數(shù),c外極點(diǎn)只有2,x(n) ResF(z),22n,最后得到x(n) 2 nu(n) 2nu( n 1)2|n(2 (當(dāng)收斂域z 2時，n 0,c內(nèi)有極點(diǎn)0.5,2,x( n) ResF(z),0.5ResF(z),20.5n0.5n2Th(z 2)z2nn 0, c內(nèi)有極點(diǎn)0.5,2,0,但極點(diǎn)0是一個n階極點(diǎn)，改成求c外極點(diǎn)留數(shù)可是C外沒有極點(diǎn)，因此x(

28、n) 0,最后得到x(n) (0.5n 2n)u(n)25.網(wǎng)絡(luò)的輸入和單位脈沖響應(yīng)分別為x(n) anu( n),h (n)bnu( n),0a 1,0 b試:(1)用卷積法求網(wǎng)絡(luò)輸出y(n)(2)用ZT法求網(wǎng)絡(luò)輸出y(n)解:(1)用卷積法求y(n)y(n)h(n)x(n)bmu(m)anmu(n m)，0,ny( n) anm 0m. mbnna am 0m. mban1n 1 n 1 a b1 a 1by(n) 0最后得到n 1 n 1y(n)(n)a bua b(2)用ZT法求y(n)X(z) 1 az11,H(z)Y(z) X(z)H(z)11 bz 2 11 az11 bz1y(

29、n)j?Y(z)zn1dzn 1z(z a)(z b)令 F(z) Y(z)zn 1n 1 zn 0,C內(nèi)有極點(diǎn)a,bK y(n) ReSF同 ReSF(Z),b譏? a因?yàn)橄到y(tǒng)是因果系統(tǒng)，n 0, y(n) 0，最后得到ny(n)-n 1斗u(n)a b28.假設(shè)序列h(n)是因果序列，其傅里葉變換的實(shí)部如下式:HR(ejw)1 a2°Sw ,a 11 a 2ac°sw求序列h(n)及其傅里葉變換H (ejw) o解:HR(ejw)1 acosw21 a 2a cos w1 0.5a(ejw e jw)1 a2 a(ejw e jw)Hr(z)11 0.5a(z z )1

30、 0.5a(ejw e jw)1(1 az )(1 az)求上式IZT，得到序列 h(n)的共軛對稱序列he(n)。1he(n)2-n 1 ；?cHr(z)zdZF(z)HR(z)zn120.5az z 0.5a n 1 1 z a(z a)(z a )因?yàn)閔(n)是因果序列，he( n)必定是雙邊序列，收斂域取:n 1時，C內(nèi)有極點(diǎn)a,he(n) ResF(z),a20.5az z 0.5a n 1 za(za)(z a 1)(z a)n=0 時,c內(nèi)有極點(diǎn)a,0.n 1F(z) Hr(z)z0.5az20.5a1z a(z a)(z a )所以he(n) ResF(z),a ResF(z)

31、,O 1又因?yàn)閔e(n) he( n)所以1,n0he (n)n0.5a ,n00.5a n,n0he(n), n01,n0h(n)2he(n), n0na ,n0anu(n)0,n00,n0H(ejw)nna e0jwn11jw ae3.2教材第三章習(xí)題解答1內(nèi)，序列定義為1.計算以下諸序列的N點(diǎn)DFT，在變換區(qū)間0 n N(2)x(n)(n)；(4)x(n)Rm(n),0m N ；(6)x(n)2cos(nm),0 m N ;N(8)x(n)sin(w°n)? Rn (n)；(10) x(n) nRz (n)。解:N 1(2) X(k)(n)WNknn 0N 1(n) 1,k0,

32、1, N 1n 0(4)X(k)N 1WNknn 0WnjNk(m 1eW,sin( mk)N ,k 0,1, ,N 1 si n( m)N(6)(8)所以1 N 1 jL(m1 e N2 n 02 j(m k) N1 1 e N12 jj(m k)2 1 e Nk)n1 N 1 jL(m1 e N2 n 0j(me N(mNk)nk)Nk),k m 且 kN0,k m 或 kNX(k)n解法1X8(k)解法2因?yàn)?20 COs 尺 mn ?曲直接計算2(en 0 2.2 j mnNjLmnjLknN )e Nxs(n) sin(w°n)Rn (n)N 1x( n)W,nn 01 N

33、 1 ejw°n D2j n01 N 1 j (Wo ) nj (Wo e N e2j n 0-ejw0n2je jw°nRn (n)e jw0nD由DFT的共軛對稱性求解jw° nx7 (n) e RN(n)cos(w0 n)X8(n) sin(w°n)Rz (n)j2 kn e N12jjw°Ne:2j(w0k)e Njw°Ni e: 2j (w0k)e Nj sin(w°n) Rn (n)Im x7(n)DFT jx8(n) DFT j Im X7(n)X70(k)X8(k)1jX7°(k) j1 X7(k)

34、 X7(N k)結(jié)果與解法(10)解法jw°N11 e22 J 1ej(w0 -Nk)1所得結(jié)果相同。jw0NJw0N(1 e 、11 e( 2 ) 2j(w。寸(N k)2 Ij(w。寸k)1 e N1 e N此題驗(yàn)證了共軛對稱性。(11 ejW0N )2 )j(w0k)e NNX(k)因?yàn)樗詘( n)x(n 1)n?Rn( n)N (n) Rn(n)1 knnW k 0,1, ,N 1n 0上式直接計算較難，可根據(jù)循環(huán)移位性質(zhì)來求解X(k)。x( n)n Rn( n)等式兩邊進(jìn)行DFT得到X(k) X(k)W, N N(k)X(k) N (k)11W；k 1,2, N 1當(dāng)k

35、0時，可直接計算得出X( 0)N 1X (0) n WNn 0N(N 1)2這樣，X( k)可寫成如下形式:N(NX(k)2 k 02N , r>k 1,21wNk解法2k 0時,N 1X(k) nn 0N(N1)k 0時,WNknX(k) 0 wNT2Wk3W(k(N2)Wn(N 1)kNX(k) W,nX(k)n1WNkn1(N 1)N 1W,nn 01 (N1)X(k) 0 WN； 2W(k 3WN3k(N 1)WNN 1)k所以,(N 1)NX(k)Njk1 WnX(k),k1,2,N2.以下 X(k)，求 x(n) IDFTX(k);(1) X(k)N je , k m2Ne

36、j ,k N m；20,其它ky jej ,k2(2) X(k)號 je j ,k0,其它k解：(1)X(n) X(k) NnN 1knWn0jLmn e NNej2j2 (N m) n e Nj(2 mnNj (- mn )e Ncos(2 mnN),0,1, N(2)x(n)wNmnj Wn(n m)n2jj(Lmne Nj(dmnNsin(2mn N),0,1,3.長度為N=10的兩個有限長序列X1(n)1,0 n0,5 nX2( n)1,01,5作圖表示x,(n)、X2(n)和y(n)X1(n)X2(n)。解:%(n)、X2(n)禾口 y(n) X1(n)X2(n)分別如題3解圖(a)

37、、(b)、(c)所示。14.兩個有限長序列x(n)和y(n)的零值區(qū)間為：x(n) 0, n 0,8 n y(n) 0, n 0,20 n對每個序列作20點(diǎn)DFT,即X(k)DFTx(n), k0,1,L ,19Y(k)DFTy( n) ,k0,1,L ,19如果F(k)X(k)?Y(k),k0,1L ,19f( n)IDFTF(k), k0,1,L ,19試問在哪些點(diǎn)上f(n) x(n)* y(n)，為什么?解：如前所示，記 f(n) x(n廣 y(n),而 f(n) IDFTF(k) x(n) y(n)。 fi( n)長度為27, f(n)長度為20。已推出二者的關(guān)系為f(n)fl(n 2

38、0m)?R20( n)m只有在如上周期延拓序列中無混疊的點(diǎn)上，才滿足f( n) fi( n)所以f(n)fi( n) x(n) y( n), 7 n 1915. 用微處理機(jī)對實(shí)數(shù)序列作譜分析，要求譜分辨率F 50Hz，信號最高頻率為1kHZ，試確定以下各參數(shù):(1) 最小記錄時間Tpmin ；(2) 最大取樣間隔Tmax ；(3) 最少采樣點(diǎn)數(shù)Nmin ；(4) 在頻帶寬度不變的情況下，將頻率分辨率提高一倍的N值解：(1) F 50HZTpmin-0.02sF 50(2) Tmaxmin2fmax12 1030.5ms(3) N minTpT0.02s30.5 1040(4)頻帶寬度不變就意味

39、著采樣間隔 T不變，應(yīng)該使記錄時間擴(kuò)大一倍為0.04s實(shí)現(xiàn)頻率分辨率提高一倍(F變?yōu)樵瓉淼?/2)“0.04s“N min800.5ms18.我們希望利用h(n)長度為N=50的FIR濾波器對一段很長的數(shù)據(jù) 序列進(jìn)行濾波處理，要求采用重疊保存法通過 DFT 來實(shí)現(xiàn)。所謂重 疊保存法，就是對輸入序列進(jìn)行分段(此題設(shè)每段長度為 M=100 個 采樣點(diǎn))，但相鄰兩段必須重疊V個點(diǎn)，然后計算各段與h(n)的L點(diǎn)(此題取L=128 )循環(huán)卷積，得到輸出序列ym(n), m表示第m段計 算輸出。最后，從ym(n)中取出E個，使每段取出的E個采樣點(diǎn)連接 得到濾波輸出 y(n)。(1) 求 V；( 2)求 B

40、；(3)確定取出的B個采樣應(yīng)為ym(n)中的哪些采樣點(diǎn)。解：為了便于表達(dá)，規(guī)定循環(huán)卷積的輸出序列ym(n)的序列標(biāo)號為0,1, 2,，127。先以h(n)與各段輸入的線性卷積ym(n)考慮，y(n)中，第0點(diǎn)到 48點(diǎn)(共 49 個點(diǎn))不正確,不能作為濾波輸出,第 49點(diǎn)到第 99 點(diǎn) (共51個點(diǎn))為正確的濾波輸出序列y(n)的一段，即B=51。所以， 為了去除前面 49 個不正確點(diǎn),取出 51 個正確的點(diǎn)連續(xù)得到不間斷又 無多余點(diǎn)的y(n),必須重疊100-5仁49個點(diǎn)，即V=49。下面說明，對128點(diǎn)的循環(huán)卷積ym(n)，上述結(jié)果也是正確的。 我們知道ym(n)ylm(n 128r )

41、? R128 ( n )r因?yàn)閥m( n)長度為N+M-1=50+100-1=149所以從n=20到127區(qū)域，ym(n) ym(n)，當(dāng)然，第49點(diǎn)到第99點(diǎn)二者亦相等，所以，所取出的第 51點(diǎn)為從第49到99點(diǎn)的ym(n) 綜上所述，總結(jié)所得結(jié)論V=49,B=51選取ym(n)中第4999點(diǎn)作為濾波輸出。5.2教材第五章習(xí)題解答1.設(shè)系統(tǒng)用下面的差分方程描述:311試畫出系統(tǒng)的直接型、y(n) ：y(n 1) §y(n 2) x(n) -x(n 1)，級聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。解:y(n)3y(n 1)gy(n 2)8x(n)拖1)將上式進(jìn)行Z變換丫314丫z1H(z)-丫(z)z21

42、 1z3_1寡L483X(z)z1(1)按照系統(tǒng)函數(shù)H(z)，根據(jù)Mass on公式，畫出直接型結(jié)構(gòu)如題1解圖(一)所示。(2)將H(z)的分母進(jìn)行因式分解1 1z11 28zH(z) 3 31篤14彳1 11 - z31)(1 z1)4按照上式可以有兩種級聯(lián)型結(jié)構(gòu):1孑 1 H(z) 3?_1(1 -z1)(1 z)24畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題1解圖(二)(a)所示(b) H(z) (1(1 1z1)畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題1解圖(二)(b)所示(3)將H (z)進(jìn)行局局部式展開H(z)-(1H(z)z131 11)(z 1)11 T(z2)(z 才1 z - _3 (z 1)(z(z1)(zH(z)z

43、r(z1)10312H(z)10z31z -27z3144)731z -4103_1 1z2B_1z -4103731 1z14根據(jù)上式畫出并聯(lián)型結(jié)構(gòu)如 題1解圖(三)所示2. 設(shè)數(shù)字濾波器的差分方程為y(n) (a b)y(n 1) aby(n 2) x(n 2) (a b)x(n 1) abx(n)，試畫出該濾波器的直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。解: 將差分方程進(jìn)行Z變換，得到(a b)X (z)z 1 abX (z)Y(z) (a b)Y(z)z 1 abY(z)z 2 X(z)z 21Y(z) ab (a b)zH (z) 1X (z)1 (a b)z abz所示。(1) 按照Massi

44、on公式直接畫出直接型結(jié)構(gòu)如 題2解圖(一)(2) 將H(z)的分子和分母進(jìn)行因式分解:(a z 1)(b z 1)H(z) (1 az1)(1bz1)按照上式可以有兩種級聯(lián)型結(jié)構(gòu):H1(z)z 1 a1 az 1H2(z)z 1 b1 bz 1畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題2解圖(二)(a)所示。(b)H2(z)z 1 b1 az 1畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題2解圖(二)(b)所示3. 設(shè)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為H4(1 z1)(1 1.414z1 z2)(1 0.5z 1)(10.9z 10.18z 2)，試畫出各種可能的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)。解：由于系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母各有兩個因式，可以有兩種級聯(lián)型結(jié)構(gòu)1H(z) H1(z)

45、H2(z)4 1 z 1H1(z)1，1 0.5z1 1.414z 1 z 2出121 0.9z 10.81z 2畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題3解圖a所示211.414z 1 z 2H1(z)1,1 0.5z 14 1 z 1H2(z)彳21 0.9z 1 0.81z 2畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題3解圖b所示。4圖中畫出了四個系統(tǒng)，試用各子系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)分別表示各總系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，并求其總系統(tǒng)函數(shù)。圖d解：(d)h(n) h1(n) h?(n) ha(n) (n) h5(n)h1(n) h?(n) hjn) ha(n) hu(n) h)5(n)H(z)已出已出出H5(z)5.寫出圖中流圖的系統(tǒng)函數(shù)及差分

46、方程。圖d解：(d)H(z) rsin ?z1 r cos ?z 1 r cos ?z 1 r2 sin2 ?z 2r2cos2 ?z 21r sin ?z1221 2r cos ?z r z2y(n) 2rcos y(n 1) r y(n 2)rsin ?x(n 1)6.寫出圖中流圖的系統(tǒng)函數(shù)。圖f解:(f)2 z1?2H®1 4 31 z13z2482 1z121 1 3 2 1 z z48&FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)為h(n) (n) (n 1) (n 4)，試用頻率采樣結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)該濾波器。設(shè)采樣點(diǎn)數(shù)N=5,要求畫出頻率采樣 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，寫出濾波器參數(shù)的計算公式。解：頻率采

47、樣結(jié)構(gòu)的公式為H(z)(1 n)1n 1 H(k) (z ) N k 01 WNkz 1式中，N=5N 14knH (k) DFTh(n)h(n)WN (n)n 0n 0kn(n 1) (n 4)Wnej|k ej| k,k0,1,2,3, 4它的頻率采樣結(jié)構(gòu)如 題8解圖所示6.2教材第六章習(xí)題解答1.設(shè)計一個巴特沃斯低通濾波器，要求通帶截止頻率fp 6kHz ,通帶 最大衰減ap 3dB，阻帶截止頻率fs 12kHz，阻帶最小衰減3dB。求出濾波器歸一化傳輸函數(shù)Hap以及實(shí)際的Has。解：1求階數(shù)N%ig sp100.1ap1o0.311O°.1as1 1/102.51s21210

48、3spp261030.05622ksp將ksp和sp值代入N的計算公式得N匹0562 4.15lg2所以取N=5 實(shí)際應(yīng)用中，根據(jù)具體要求，也可能取N=4,指標(biāo)稍微差一點(diǎn)，但階數(shù)低一階，使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)電路得到簡化。2求歸一化系統(tǒng)函數(shù)Hap，由階數(shù)N=5直接查表得到5階巴特沃斯歸一化低通濾波器系統(tǒng)函數(shù) HaP為Ha(p)1p53.2361p45.2361 p35.2361p23.2361 p 1Ha(p)12 2(p 0.618p1)(p1.618p1)(p1)當(dāng)然，也可以按6.12式計算出極點(diǎn)：j箱Pk e 2 2N ,k 0,1,2,3,4按6.11式寫出HaP表達(dá)式Ha(P)C (p Pk)k 0代入Pk值并進(jìn)行分母展開得到與查表相同的結(jié)果。(3)去歸一化(即L