兩個重要極限88785電子版本

1、兩個重要極限88785上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁一、準(zhǔn)則一、準(zhǔn)則 I 及第一個重要極限及第一個重要極限 如果數(shù)列xn、yn及zn滿足下列條件 (1)ynxnzn(n=1 2 3 ) 準(zhǔn)則準(zhǔn)則 I （夾逼定理）（夾逼定理）準(zhǔn)則準(zhǔn)則 I 如果函數(shù)f(x)、g(x)及h(x)滿足下列條件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)=A lim h(x)=A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)=A (2)aynn=lim aznn=lim 下頁那么數(shù)列xn 的極限存在 且nlimxn=a 那么數(shù)列xn 的極限存在 且nlimxn=a 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁上頁

2、下頁鈴結(jié)束返回首頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁1sinlim0=xxx 1)()(sinlim=xx(x)0) 例例3 解解 解解 例例4 )0, 0.(sinsinlim0nmnxmxx求nxnxnxmxmxmxnxmxxxsinsinlimsinsinlim00=.nm=.sintanlim30 xxxx求2030cos1tanlimsintanlimxxxxxxxxx=200cos1limtanlimxxxxxx=21=下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁1sinlim0=xxx 1)()(sinlim=xx(x)0) 例例5 解解 .arcsinlim0 xxx求,arcsinxy =令,sinyx

3、=則, 0,0yx時當(dāng)yyxxyxsinlimarcsinlim00=1=下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁1sinlim0=xxx 1)()(sinlim=xx(x)0) 例例6 解解 首頁.5tan3sinlimxxx求, tx=令, 0, tx時當(dāng)53=)55tan()33sin(lim5tan3sinlim0ttxxtx=ttt5tan3sinlim0=535tan533sinlim0ttttt=上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁二、準(zhǔn)則二、準(zhǔn)則 II 及第二個重要極限及第二個重要極限單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列 如果數(shù)列xn滿足條件x1x2x3 xnxn1 就稱數(shù)列xn是單調(diào)增加的 如果數(shù)列x n滿足條件x1x2x

4、3 xnxn1 就稱數(shù)列xn是單調(diào)減少的 單調(diào)增加和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列 下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁準(zhǔn)則準(zhǔn)則II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限 前面曾證明 收斂的數(shù)列一定有界 但有界的數(shù)列不一定收斂 現(xiàn)在準(zhǔn)則II表明 如果數(shù)列不僅有界 并且是單調(diào)的 那么這個數(shù)列一定是收斂的 說明說明下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 可以證明數(shù)列xn是單調(diào)有界的 根據(jù)準(zhǔn)則II 數(shù)列xn必有極限 這個極限我們用e來表示 即 第二個重要極限第二個重要極限 e是個無理數(shù) 它的值是e=2 718281828459045 指數(shù)函數(shù)y=ex及對數(shù)函數(shù)y=ln x 中的底就是常數(shù)e 設(shè)nnnx)11 ( = ennn=)11 (li

5、m 我們還可以證明exxx=)11 (lim 下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁第二個重要極限第二個重要極限應(yīng)注意的問題應(yīng)注意的問題exxx=)11 (lim 在極限)(1)(1limxx中 只要(x)是無窮小 就有 exx=)(1)(1lim 這是因為 令)(1xu= 則 u 于是 )(1)(1limxxeuuu=)11 (lim 下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 例例7 解解 原式原式)0.()1 (limkkxkxx為自然數(shù)，求ke=kkxxxk)1 (lim=下頁exxx=)11 (lim exx=)(1)(1lim(x)0) kkxxxk)1(lim= 例例8 解解 原式原式.)13(lim1xxxx求4e=2441)141 (lim=xxx2441)141 (lim)141(lim=xxxxx上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 例例9 解解 原式原式.)1 (lim30 xxx求3= e)3(10)(1 lim=xxxexxx=)