大學物理第二十一章

1、2022年5月16日王業(yè)伍 浙江大學物理系大學物理甲第二十一章量子力學簡介2022-5-162量子力學：描寫微觀粒子運動規(guī)律的學科，是近代量子力學：描寫微觀粒子運動規(guī)律的學科，是近代物理學的重要基礎。物理學的重要基礎。在量子力學基礎上發(fā)展出很多新的學科在量子力學基礎上發(fā)展出很多新的學科,例如量子例如量子場論、量子色動力學、量子味動力學和超弦理論。場論、量子色動力學、量子味動力學和超弦理論。2022-5-1631 1、正確、正確理解理解實物粒子實物粒子的波動性和德布羅意的波動性和德布羅意假設假設。 2 2、理解理解不確定性關系不確定性關系;掌握用掌握用不確定性關系解題的方法不確定性關系解題的方法

2、。3 3、理解理解波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋.2022-5-164一、德布羅意假設一、德布羅意假設 德布羅意出身于法國世襲貴族家德布羅意出身于法國世襲貴族家庭，受其哥哥、實驗物理學家庭，受其哥哥、實驗物理學家莫里斯莫里斯 (Maurice)的影響，對于普朗克和愛因的影響，對于普朗克和愛因斯坦有關量子理論的工作產生了興趣，斯坦有關量子理論的工作產生了興趣，放棄了研究法國歷史的計劃，投在法放棄了研究法國歷史的計劃，投在法國物理學家朗之萬的門下研究物理學。國物理學家朗之萬的門下研究物理學。 德布羅意提出人們在對光的研究德布羅意提出人們在對光的研究上是過于忽略了光的粒子性，而對粒上是過于忽略

3、了光的粒子性，而對粒子的研究上是否發(fā)生了相反的錯誤呢？子的研究上是否發(fā)生了相反的錯誤呢？是否忽略了粒子所具有的波動性？是否忽略了粒子所具有的波動性？ 21-1 實物粒子的波動性實物粒子的波動性 21-1 實物粒子的波動性實物粒子的波動性2022-5-165 1924年，年青的法國物理學家路易年，年青的法國物理學家路易德布羅意在光的德布羅意在光的波粒二象性的啟示下，提出了微觀粒子也應具有波粒二波粒二象性的啟示下，提出了微觀粒子也應具有波粒二象性的假設。德布羅意的這一假設隨后被電子衍射實驗象性的假設。德布羅意的這一假設隨后被電子衍射實驗所證實，為此他獲得了所證實，為此他獲得了1929年諾貝爾物理學

4、獎。年諾貝爾物理學獎。 愛因斯坦、德拜、薛定諤。愛因斯坦、德拜、薛定諤。2022-5-166德布羅意波（物質波）德布羅意波（物質波） 一切實物粒子，如電子、原子、分子等也具有波動性，一切實物粒子，如電子、原子、分子等也具有波動性，與粒子運動相聯(lián)系著的能量與粒子運動相聯(lián)系著的能量E和動量和動量p也應該和光子一樣，也應該和光子一樣，對應于某一確定的頻率對應于某一確定的頻率 和波長和波長 的波的波，對于質量為，對于質量為m、運、運動速度為動速度為v的粒子，也應有關系的粒子，也應有關系 hmphmcE v2由此可以得到實物粒子的波長和頻率由此可以得到實物粒子的波長和頻率21-1 實物粒子的波動性實物粒

5、子的波動性2201c/mhmhphvvv 22202/1chcmhmchEv 與實物粒子的運動相聯(lián)與實物粒子的運動相聯(lián)系的波稱為系的波稱為德布羅意波德布羅意波2022-5-16721-1 實物粒子的波動性實物粒子的波動性電子的德布羅意波長：電子的德布羅意波長：eUvmEk 2021動量為動量為eUmEmmEmmpkk00000222 v動能動能mU.Uemhph9010225112 電子被電壓電子被電壓U加速后，加速后，若速度遠小于光速若速度遠小于光速，1.000 1.225UVnm1000 0.0387UVnm2022-5-16821-1 實物粒子的波動性實物粒子的波動性2022-5-169

6、二、德布羅意波的實驗驗證二、德布羅意波的實驗驗證 1926年，美國物理學家戴維遜和革末將電子束年，美國物理學家戴維遜和革末將電子束投射到鎳單晶體表面，發(fā)現(xiàn)了電子衍射的現(xiàn)象，用投射到鎳單晶體表面，發(fā)現(xiàn)了電子衍射的現(xiàn)象，用波的理論計算證明了德布羅意公式的正確性。波的理論計算證明了德布羅意公式的正確性。電子晶體衍射電子晶體衍射實驗示意圖實驗示意圖21-1 實物粒子的波動性實物粒子的波動性 陰極陰極K發(fā)出電子經發(fā)出電子經U加速后，通過加速后，通過光闌光闌B成一細的平行電子射線，成一細的平行電子射線，投射投射到到鎳單晶體鎳單晶體上，反射后經上，反射后經D收集，電收集，電流強度流強度I由由G測出。測出。

7、角和角和U可變，可變， 角角不變時，可得不變時，可得UI的曲線關系或的曲線關系或U不變不變時測出時測出 角和角和I的關系。的關系。2022-5-1610 調節(jié)調節(jié)U所得曲線如圖，可以看出，只有當電壓所得曲線如圖，可以看出，只有當電壓U為為某些特定值時，電流才有某些特定值時，電流才有 極大值。極大值。 把電子看作類似把電子看作類似X射線的波，在晶體上衍射時，只有射線的波，在晶體上衍射時，只有當入射的波長當入射的波長 滿足滿足布拉格公式布拉格公式時，時，反射方向才能觀察到反射方向才能觀察到電子流的極大電子流的極大。), 2 , 1 , 0(sin2kkd21-1 實物粒子的波動性實物粒子的波動性I

8、0510152025電子衍射實驗中電子流強度與電壓的關系電子衍射實驗中電子流強度與電壓的關系U2022-5-1611電子的德布羅意波長電子的德布羅意波長電子經電子經U電場加速，電場加速，Uemhph120由布拉格公式由布拉格公式), 2 , 1 , 0(12sin20kUemhkd 當電壓當電壓U滿足上式時，電子流強度滿足上式時，電子流強度I有最大值。由此計算所有最大值。由此計算所得的得的U與實驗結果完全相符，證明德布羅意假設的正確性。與實驗結果完全相符，證明德布羅意假設的正確性。ad單晶體表面電子束在晶面上反射21-1 實物粒子的波動性實物粒子的波動性I0510152025U2022-5-1

9、61221-1 實物粒子的波動性實物粒子的波動性0000652/509050091. 0 nmdad單晶體表面電子束在晶面上反射I0510152025U nmk165. 0, 1expnmmUUemh167. 010225. 11290 54V expU), 2 , 1 , 0(sin2kkd第一極大2022-5-1613 德布羅意曾預言：一束電子穿過非常小的孔可能產生衍德布羅意曾預言：一束電子穿過非常小的孔可能產生衍射現(xiàn)象。射現(xiàn)象。1927年發(fā)現(xiàn)電子的年發(fā)現(xiàn)電子的J.J. 湯姆孫之子湯姆孫之子G.P. 湯姆孫完成湯姆孫完成了專門為證明了專門為證明電子電子波動性的電子衍射實驗，所得衍射圖樣與波

10、動性的電子衍射實驗，所得衍射圖樣與X射線衍射圖樣完全相同。接著，射線衍射圖樣完全相同。接著，1929年埃斯特曼用氦年埃斯特曼用氦原子原子束和束和氫氫分子分子束進行了衍射實驗，束進行了衍射實驗，1936年馮哈爾巴恩和普賴斯年馮哈爾巴恩和普賴斯沃克獲得了沃克獲得了中子中子的衍射實驗結果。這些實驗結果都明確地顯的衍射實驗結果。這些實驗結果都明確地顯示了微觀粒子具有與光波相同的波動性。示了微觀粒子具有與光波相同的波動性。 21-1 實物粒子的波動性實物粒子的波動性2022-5-1614 由以上實驗結果可得出結論，由以上實驗結果可得出結論，自然界中一切微自然界中一切微觀粒子，不管它們的靜止質量是否為零，

11、是否帶觀粒子，不管它們的靜止質量是否為零，是否帶電，都具有電，都具有“波粒二象性波粒二象性”，其波動性和粒子性，其波動性和粒子性是它們的本質在不同方面的表現(xiàn)。是它們的本質在不同方面的表現(xiàn)。 因圓孔衍射，顯微鏡的最小分辨本領受限于波因圓孔衍射，顯微鏡的最小分辨本領受限于波長，微觀粒子的波長短，利用微觀粒子的波動性，長，微觀粒子的波長短，利用微觀粒子的波動性，1931年魯斯卡設計了第一臺年魯斯卡設計了第一臺電子顯微鏡，電子顯微鏡，其最小分其最小分辨率大于光學顯微鏡。辨率大于光學顯微鏡。1985年獲諾貝爾物理學獎。年獲諾貝爾物理學獎。21-1 實物粒子的波動性實物粒子的波動性 19991999年維也

12、納研究組證明大到像富勒烯年維也納研究組證明大到像富勒烯(C(C6060, ,碳六十碳六十) )這樣的大分子都有波動性的衍射圖。這樣的大分子都有波動性的衍射圖。 2022-5-1615例例 計算質量計算質量m = 0.010 kg，速度，速度v = 300 m/s的的子彈子彈的德布羅意波長的德布羅意波長，并與由，并與由150V電勢差加速的電勢差加速的電子的電子的德布羅意波長德布羅意波長比較。比較。 解解 求子彈的德布羅意波長，把所給數(shù)據(jù)代入德布求子彈的德布羅意波長，把所給數(shù)據(jù)代入德布羅意公式，注意到子彈的速度遠小于光速羅意公式，注意到子彈的速度遠小于光速 )m(1021. 230001. 010

13、63. 63434 vmhph 電子被電子被150V電壓加速后的波長：電壓加速后的波長：21-1 實物粒子的波動性實物粒子的波動性nmU.Uemhph2251120 nm.VU6670 150 2022-5-1616 可以看出，可以看出，對于宏觀物體，普朗克常量對于宏觀物體，普朗克常量h是是個非常小的量，宏觀物體的德布羅意波長是如個非常小的量，宏觀物體的德布羅意波長是如此之小，以致不能觀察到它的波動性。此之小，以致不能觀察到它的波動性。而對于而對于微觀粒子，其德布羅意波長相對要大得多，電微觀粒子，其德布羅意波長相對要大得多，電子的德布羅意波長已接近原子的大小，因此，子的德布羅意波長已接近原子的

14、大小，因此，在原子范圍內，電子明顯地表現(xiàn)出波動性。在原子范圍內，電子明顯地表現(xiàn)出波動性。 21-1 實物粒子的波動性實物粒子的波動性2022-5-161721-2 不確定性關系不確定性關系 21-2 不確定性關系不確定性關系電子的雙縫干涉實驗電子的雙縫干涉實驗1 1、子彈雙縫實驗、子彈雙縫實驗2022-5-161821-2 不確定性關系不確定性關系 21-2 不確定性關系不確定性關系2 2、水波雙縫實驗、水波雙縫實驗2022-5-161921-2 不確定性關系不確定性關系 21-2 不確定性關系不確定性關系3 3、電子雙縫實驗（思想實驗，、電子雙縫實驗（思想實驗，Thought Experim

15、entThought Experiment）2022-5-162021-2 不確定性關系不確定性關系 21-2 不確定性關系不確定性關系4 4、電子雙縫實驗（、電子雙縫實驗（19701970電子雙棱鏡實驗）電子雙棱鏡實驗）2022-5-162121-2 不確定性關系不確定性關系 21-2 不確定性關系不確定性關系追蹤電子追蹤電子2022-5-1622一、位置和動量的不確定關系一、位置和動量的不確定關系 在經典力學中，物體的運動狀態(tài)可由位置和動量在經典力學中，物體的運動狀態(tài)可由位置和動量（速度）等來描述，它們可以同時被確定。（速度）等來描述，它們可以同時被確定。 對于微觀粒子，其波長與對于微觀粒

16、子，其波長與粒子的尺度可比擬，粒子粒子的尺度可比擬，粒子的位置和動量不能同時確定，這就是的位置和動量不能同時確定，這就是位置和動量的不確位置和動量的不確定關系定關系。21-2 不確定性關系不確定性關系 21-2 不確定性關系不確定性關系2022-5-162321-2 不確定性關系不確定性關系 1927年年德國物理學家德國物理學家海森伯海森伯(Heisenberg)指出，指出，對于微觀粒子要同時測出位置和動量，其精度有一定對于微觀粒子要同時測出位置和動量，其精度有一定的限制。的限制。若微觀粒子坐標的不確定量是若微觀粒子坐標的不確定量是 x，動量的不，動量的不確定度是確定度是 px，則兩者的乘積總

17、是大于某一數(shù)值，則兩者的乘積總是大于某一數(shù)值：24 hpxx 海森伯不確定關系海森伯不確定關系表示微觀粒子的位置和動量不能表示微觀粒子的位置和動量不能同時具有確定的值，給出了同時測定一個微觀粒子位置同時具有確定的值，給出了同時測定一個微觀粒子位置和動量的精度的極限，無論測量儀器精度如何，測量結和動量的精度的極限，無論測量儀器精度如何，測量結果都不可能超過這一極限，因此也稱為果都不可能超過這一極限，因此也稱為測不準關系測不準關系。與與測量方法無關測量方法無關! 與認識局限性無關與認識局限性無關! 海森伯不確定關系海森伯不確定關系2 ypy2 zpz21-2 不確定性關系不確定性關系2022-5-

18、1624德國物理學家，量子力學的德國物理學家，量子力學的創(chuàng)立者之一，創(chuàng)立者之一， “哥本哈根學哥本哈根學派派”的代表性人物。的代表性人物。 1932年年由于在建立量子力學理論過由于在建立量子力學理論過程中的杰出貢獻而獲得諾貝程中的杰出貢獻而獲得諾貝爾物理學獎。爾物理學獎。他獨立于薛定諤提出了量子他獨立于薛定諤提出了量子力學的另外一種表述方式力學的另外一種表述方式-矩矩陣力學，被證明和薛定諤的陣力學，被證明和薛定諤的波動力學完全等價。波動力學完全等價。德國物理學家德國物理學家W. K. Heisenberg2022-5-1625 設電子束沿設電子束沿y軸通過寬度軸通過寬度為為a的狹縫衍射。電子通

19、過狹的狹縫衍射。電子通過狹縫的坐標不確定范圍是縫的坐標不確定范圍是 x a。 大多數(shù)電子都落在中央衍大多數(shù)電子都落在中央衍射明條紋內，電子達第一衍射射明條紋內，電子達第一衍射極小處的動量為極小處的動量為p，所以動量，所以動量在在 x 方 向 的 不 確 定 范 圍 為方 向 的 不 確 定 范 圍 為 px=psin 1。pypxpxy電子束狹縫a衍射屏121-2 不確定性關系不確定性關系2022-5-1626由衍射理論由衍射理論asin 1= 和德布羅意關系和德布羅意關系 =h/p pypxpxy電子束狹縫a衍射屏1xphphax 11sinsin 得到得到 hpxx 若考慮次級衍射，則若考

20、慮次級衍射，則 px更大更大 hpxx 21-2 不確定性關系不確定性關系 這與經過嚴格推導的不確定關系在物理含意上是完全這與經過嚴格推導的不確定關系在物理含意上是完全相同的，它表明縫寬相同的，它表明縫寬a越小，越小， x的測定越準確，則衍射主的測定越準確，則衍射主極大的范圍就越大，衍射現(xiàn)象越顯著，動量的不確定范圍極大的范圍就越大，衍射現(xiàn)象越顯著，動量的不確定范圍也就越大，微觀粒子的位置和動量不能同時被精確地確定。也就越大，微觀粒子的位置和動量不能同時被精確地確定。1sinppx2022-5-162721-2 不確定性關系不確定性關系24 hpxx海森伯不確定關系海森伯不確定關系(嚴格推導嚴格

21、推導)xxph 做數(shù)量級估算時也可以用做數(shù)量級估算時也可以用:嚴禁使用嚴禁使用xxp 2xhxp 2022-5-1628例例 原子的線度約為原子的線度約為10 10m，求原子中電子速度的不確定，求原子中電子速度的不確定量，分析這時電子能否看成經典力學中的粒子。電視顯像量，分析這時電子能否看成經典力學中的粒子。電視顯像管中的電子受到約管中的電子受到約1萬伏的加速電壓作用，速度可達到萬伏的加速電壓作用，速度可達到107m/s的數(shù)量級，若電子束的直徑為的數(shù)量級，若電子束的直徑為1.0 10 4m，此時電子，此時電子橫向速度的不確定量為多少？能否用經典力學處理？橫向速度的不確定量為多少？能否用經典力學

22、處理？ 解解 原子中電子位置的不確定范圍就是原子的線度，即原子中電子位置的不確定范圍就是原子的線度，即 x 10 10m。由不確定性關系，電子速度的不確定量為。由不確定性關系，電子速度的不確定量為 )m/s(108 . 510101 . 914. 341063. 625103134xmmpxxv21-2 不確定性關系不確定性關系2022-5-1629 由玻爾理論可以估算出氫原子中電子速率約為由玻爾理論可以估算出氫原子中電子速率約為106m/s，顯然原子中電子在任一時刻都沒有完全確定的位置和速度，顯然原子中電子在任一時刻都沒有完全確定的位置和速度，故不能看作經典粒子，故不能看作經典粒子，表現(xiàn)出波

23、動性表現(xiàn)出波動性。 在顯像管中，由題意知電子橫向位置的不確定量在顯像管中，由題意知電子橫向位置的不確定量 x=1.0 10 4m，則由不確定關系得，則由不確定關系得 )m/s(58. 0100 . 1101 . 914. 341063. 6243134xmxv 由于這時電子速度約為由于這時電子速度約為107m/s，有，有v vx，完全可以忽，完全可以忽略，波動性不起什么實際作用，因此電子運動仍可用經典略，波動性不起什么實際作用，因此電子運動仍可用經典力學來處理，力學來處理，表現(xiàn)出粒子性表現(xiàn)出粒子性。 21-2 不確定性關系不確定性關系例題解析例題解析21.42022-5-1630二、能量和時間

24、的不確定關系二、能量和時間的不確定關系21-2 不確定性關系不確定性關系2 tE 若粒子在某狀態(tài)的壽命是若粒子在某狀態(tài)的壽命是t，則該狀態(tài)的能量是不確定，則該狀態(tài)的能量是不確定的，能級寬度的，能級寬度E和壽命和壽命t滿足滿足 用上述關系可以解釋譜線用上述關系可以解釋譜線寬度寬度。原子在激發(fā)態(tài)的典型的平均壽命原子在激發(fā)態(tài)的典型的平均壽命 t=10-8s，則原子激發(fā)態(tài)的能級自然，則原子激發(fā)態(tài)的能級自然寬度為寬度為)eV(103 . 328tE2022-5-1631 還可以有其它形式的不確定關系，凡滿足這一還可以有其它形式的不確定關系，凡滿足這一關系的兩個量稱為正則共軛量。關系的兩個量稱為正則共軛量

25、。這一關系是建立這一關系是建立在波粒二象性基礎上的普遍原則，是物質本身固在波粒二象性基礎上的普遍原則，是物質本身固有特性決定的，它更真實地揭示了微觀體系的運有特性決定的，它更真實地揭示了微觀體系的運動規(guī)律。動規(guī)律。由于普朗克常數(shù)由于普朗克常數(shù)h是一個極小的量，所以是一個極小的量，所以對于宏觀物體，其坐標和動量的不確定量相對很對于宏觀物體，其坐標和動量的不確定量相對很小，說明物體的波動性可以忽略，仍可用經典力小，說明物體的波動性可以忽略，仍可用經典力學的方法處理。學的方法處理。 21-2 不確定性關系不確定性關系2 BAA, B 為一對共軛量為一對共軛量2022-5-163221-3 波函數(shù)及其

26、統(tǒng)計解釋波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋 物質波的存在已經物質波的存在已經得到了證實，得到了證實，如何描如何描述微觀粒子的運動狀述微觀粒子的運動狀態(tài)態(tài)？奧地利物理學家？奧地利物理學家E. Schrdinger提出可用提出可用一個波函數(shù)一個波函數(shù) (r,t)來描來描述物質波，稱為物質述物質波，稱為物質波的波函數(shù)。波的波函數(shù)。 21-3 波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋奧地利物理學家奧地利物理學家E. Schrdinger2022-5-1633一一. 波函數(shù)的引入：（與平面機械波類比）波函數(shù)的引入：（與平面機械波類比） 在經典物理學中，一個頻率為在經典物理學中，一個頻率為 、波長為、波長為 、沿、沿x方方向

27、傳播的平面簡諧波（如機械波、電磁波）的波動方向傳播的平面簡諧波（如機械波、電磁波）的波動方程可以表示為程可以表示為 0( , )cos 2()xy x tyt 寫成復數(shù)形式：寫成復數(shù)形式： 0( , )exp(2 ()xy x tyit 0cos2 ()sin2 ()xxyytit 而只取其實數(shù)部分而只取其實數(shù)部分:2022-5-1634)(0)(20)(20eee),(EtpxiEtpxhixtitx 這就是這就是一維自由粒子物質波的波函數(shù)一維自由粒子物質波的波函數(shù)。 由德布羅意關系由德布羅意關系E=h 和和p=h/ ，將，將 用能量用能量E表示，表示， 用用動量動量 p 表示，可得到表示，

28、可得到 25-3 薛定諤方程薛定諤方程 對于沿對于沿x方向運動的方向運動的自由自由粒子（不受外場的作用），能量、粒子（不受外場的作用），能量、動量有確定值，有一確定頻率和波長的波與之對應，也用平動量有確定值，有一確定頻率和波長的波與之對應，也用平面波來表示。面波來表示。 物質波的存在已經得到了證實，波函數(shù)也已得到，物質波的存在已經得到了證實，波函數(shù)也已得到，那那么物質波究竟是什么性質的波？是否有對應物理量的振么物質波究竟是什么性質的波？是否有對應物理量的振動的傳播？動的傳播？事實上，實驗中并沒有觀察到類似的波動過事實上，實驗中并沒有觀察到類似的波動過程，只是它在產生干涉、衍射等現(xiàn)象上與光波具有

29、共同程，只是它在產生干涉、衍射等現(xiàn)象上與光波具有共同的特征。的特征。 2022-5-163521-3 波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋二、波函數(shù)的統(tǒng)計解釋：（二、波函數(shù)的統(tǒng)計解釋：（1926年）年） M. Born通過與光的類比，從電子的波動性出發(fā)，通過與光的類比，從電子的波動性出發(fā)，波函數(shù)的物理意義要從統(tǒng)計概率去解釋。波函數(shù)的物理意義要從統(tǒng)計概率去解釋。發(fā)展了矩陣力學；發(fā)展了矩陣力學；提出了波函數(shù)的統(tǒng)計解釋；提出了波函數(shù)的統(tǒng)計解釋；創(chuàng)立了晶格動力學理論。創(chuàng)立了晶格動力學理論。 19541954年獲得年獲得NobelNobel物理學獎。物理學獎。 M.BornM.Born與我國固體物理學家

30、黃昆于與我國固體物理學家黃昆于2020世紀世紀5050年代初撰寫了著名的經典年代初撰寫了著名的經典著作著作“晶格動力學晶格動力學”2022-5-163621-3 波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋二、波函數(shù)的統(tǒng)計解釋：（二、波函數(shù)的統(tǒng)計解釋：（1926年）年） 對于光的干涉、衍射現(xiàn)象，我們知道，圖樣中亮處表示對于光的干涉、衍射現(xiàn)象，我們知道，圖樣中亮處表示光的強度大，暗處光的強度小，光強度與波函數(shù)振幅的平光的強度大，暗處光的強度小，光強度與波函數(shù)振幅的平方成正比，方成正比，I A2。 由光子理論，光強度大處，單位時間內光子到達該處附由光子理論，光強度大處，單位時間內光子到達該處附近單位體積內

31、的數(shù)目多，即光子在該處附近單位體積內出近單位體積內的數(shù)目多，即光子在該處附近單位體積內出現(xiàn)的概率大；光強度小處，光子在該處附近單位體積內出現(xiàn)的概率大；光強度小處，光子在該處附近單位體積內出現(xiàn)的概率小。所以現(xiàn)的概率小。所以光子在某處光子在某處附近附近單位體積內出現(xiàn)的概率單位體積內出現(xiàn)的概率正比于光強度，正比于波函數(shù)振幅的平方正比于光強度，正比于波函數(shù)振幅的平方。 振振幅幅平平方方（波波動動性性）光光子子數(shù)數(shù)多多（粒粒子子性性）光光的的衍衍射射：屏屏上上明明紋紋大大I 振振幅幅平平方方（波波動動性性）電電子子數(shù)數(shù)多多（粒粒子子性性）電電子子衍衍射射：屏屏上上明明紋紋大大I2022-5-163721

32、-3 波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋電子單縫衍射不同曝光電子數(shù)的衍射圖樣電子單縫衍射不同曝光電子數(shù)的衍射圖樣2022-5-1638玻恩提出玻恩提出物質波的統(tǒng)計解釋物質波的統(tǒng)計解釋：物質波應是一種概率物質波應是一種概率波，波，t 時刻粒子在空間時刻粒子在空間r 處附近單位體積內出現(xiàn)的概處附近單位體積內出現(xiàn)的概率與該處波函數(shù)模的平方成正比，即率與該處波函數(shù)模的平方成正比，即 VttVttWddd),(),(*),(),(2rrrr式中式中 *(r,t)是波函數(shù)是波函數(shù) (r,t)的共軛復數(shù)。的共軛復數(shù)。 2),(tVWrdd概率密度概率密度：粒子在粒子在t 時刻在空間時刻在空間r 處附近處附

33、近單位體積中出現(xiàn)單位體積中出現(xiàn)的概率。的概率。21-3 波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋概率波不是任何物概率波不是任何物理量的真實波動。理量的真實波動。2022-5-1639 實物粒子的波函數(shù)實物粒子的波函數(shù) (r,t)既然具有概率統(tǒng)計的物理意義，既然具有概率統(tǒng)計的物理意義，則它必須滿足一定條件。則它必須滿足一定條件。u (r,t)是是單值函數(shù)。因為空間任一點粒子出現(xiàn)的概率應單值函數(shù)。因為空間任一點粒子出現(xiàn)的概率應該是唯一該是唯一。u (r,t)是是連續(xù)函數(shù)。因為在實際物理問題中，空間各點的連續(xù)函數(shù)。因為在實際物理問題中，空間各點的概率分布不會發(fā)生突變。進一步要求概率分布不會發(fā)生突變。進一

34、步要求 (r,t)的導數(shù)也連續(xù)。的導數(shù)也連續(xù)。u (r,t)是有是有限函數(shù)。因為在有限的空間中找到粒子的概限函數(shù)。因為在有限的空間中找到粒子的概率不會是無限大。率不會是無限大。標準化條件標準化條件：單值、連續(xù)、有限。單值、連續(xù)、有限。歸一化條件歸一化條件：實物粒子存在于空間，總要在空間某處出：實物粒子存在于空間，總要在空間某處出現(xiàn)，因此粒子在整個空間出現(xiàn)的總概率應該等于現(xiàn)，因此粒子在整個空間出現(xiàn)的總概率應該等于1，即，即 VVt1d),(2r21-3 波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋2022-5-164021-3 波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋作業(yè)：作業(yè)：21.121.221.621

35、.1021.1121.132022-5-16411 1、了解如何、了解如何建立建立薛定諤方程并掌握薛定諤方程薛定諤方程并掌握薛定諤方程。 2 2、理解理解一維無限深勢阱和勢壘的物理意義一維無限深勢阱和勢壘的物理意義;掌握掌握一維一維無限深勢阱中粒子的運動特征和相關問題的求解無限深勢阱中粒子的運動特征和相關問題的求解。2022-5-164221-4 薛定諤方程薛定諤方程 21-4 薛定諤方程薛定諤方程宏觀粒子的狀態(tài)宏觀粒子的狀態(tài)微觀粒子的狀態(tài)微觀粒子的狀態(tài))()(tptr 宏觀粒子的運動方程宏觀粒子的運動方程dttpdF)( 微觀粒子的運動方程微觀粒子的運動方程 ？),(tr2022-5-164

36、3 描述微觀粒子運動狀態(tài)的波函數(shù)描述微觀粒子運動狀態(tài)的波函數(shù) (r,t)將遵從怎樣的方將遵從怎樣的方程呢？程呢？對于一個在一維空間運動的自由粒子，其波函數(shù)對于一個在一維空間運動的自由粒子，其波函數(shù) )Etpx(i0e)t ,x( 一、薛定諤方程一、薛定諤方程21-4 薛定諤方程薛定諤方程 設粒子的運動速度遠小于光速，則粒子的動量和設粒子的運動速度遠小于光速，則粒子的動量和能量依然可用經典力學中的關系能量依然可用經典力學中的關系 m2pE2 2022-5-164421-4 薛定諤方程薛定諤方程)t ,x(m2P)t ,x(E2 )Etpx(i02)Etpx(i0em2PeE t)t ,x(i)t

37、 ,x(E 2222x)t ,x(m2)t ,x(m2p 2022-5-1645這就是這就是低速低速時一維時一維自由自由粒子所需滿足的運動方程。粒子所需滿足的運動方程。 222xm2ti 21-4 薛定諤方程薛定諤方程2022-5-1646 若粒子在空間運動時還受到外力的作用（非自由若粒子在空間運動時還受到外力的作用（非自由粒子），作用勢能為粒子），作用勢能為U(x,t)，則粒子的總能量為，則粒子的總能量為 21-4 薛定諤方程薛定諤方程 ),(2222txUxmti ),(22txUmpEEti 將上式代入將上式代入 可得：可得：2022-5-1647 這是粒子在一維勢場中運動時所需滿足的微

38、分這是粒子在一維勢場中運動時所需滿足的微分方程。對于粒子在三維空間運動情形，空間勢場為方程。對于粒子在三維空間運動情形，空間勢場為U(r,t)，可將上式推廣為，可將上式推廣為 ),(),(),(2),(22trtrUtrmtrti 2222222222)( zyxp21-4 薛定諤方程薛定諤方程 這就是微觀粒子運動時所需滿足的微分方程，稱為這就是微觀粒子運動時所需滿足的微分方程，稱為含時薛定諤方程含時薛定諤方程，它描述了低速運動的粒子運動狀態(tài)隨，它描述了低速運動的粒子運動狀態(tài)隨時間的變化關系，反映了微觀粒子運動的規(guī)律。時間的變化關系，反映了微觀粒子運動的規(guī)律。 xipxzipzyipy2022

39、-5-1648 以上只是以上只是建立了薛定諤方程，并不是用任何原理從建立了薛定諤方程，并不是用任何原理從數(shù)學上將它推導出來的數(shù)學上將它推導出來的。薛定諤方程也如物理學中其它。薛定諤方程也如物理學中其它基本方程（如牛頓力學方程、熱力學定律、麥克斯韋電基本方程（如牛頓力學方程、熱力學定律、麥克斯韋電磁場方程）一樣其磁場方程）一樣其正確性只能由實驗來驗證正確性只能由實驗來驗證。大量的近大量的近代物理實驗已經指出，由薛定諤方程推導所得的結果比代物理實驗已經指出，由薛定諤方程推導所得的結果比較好地反映了低速微觀粒子的運動規(guī)律，從而證實了薛較好地反映了低速微觀粒子的運動規(guī)律，從而證實了薛定諤方程的正確性。

40、因此，薛定諤方程是量子力學中一定諤方程的正確性。因此，薛定諤方程是量子力學中一條最基本的規(guī)律。條最基本的規(guī)律。 21-4 薛定諤方程薛定諤方程高速運動的高速運動的粒子有相應的運動方程粒子有相應的運動方程2022-5-1649 一般來說，只要知道粒子質量一般來說，只要知道粒子質量m和它在勢場中的勢和它在勢場中的勢能函數(shù)能函數(shù)U的具體形式，就可解薛定諤方程，求出粒子的的具體形式，就可解薛定諤方程，求出粒子的運動規(guī)律。運動規(guī)律。 當勢能當勢能U與時間與時間t無無關，而只是坐標關，而只是坐標x的函的函數(shù)時，可將數(shù)時，可將波函數(shù)分離波函數(shù)分離為坐標函數(shù)與時間函數(shù)為坐標函數(shù)與時間函數(shù)的乘積的乘積Etixt

41、x e )(),( 21-4 薛定諤方程薛定諤方程二、定態(tài)薛定諤方程二、定態(tài)薛定諤方程)(e),(xEittxEti 22Eti22dx(x)dext)(x,U(x)x2mti2222022-5-1650推廣三維空間為推廣三維空間為 三維定態(tài)薛三維定態(tài)薛定諤方程定諤方程21-4 薛定諤方程薛定諤方程)()()()(rErrUrm222)()()()(xExxUdxxdm2222可消去時間函數(shù)可消去時間函數(shù)，一維定態(tài)薛一維定態(tài)薛定諤方程定諤方程代入一維薛定諤方程中，代入一維薛定諤方程中，(x)Ee)i(iEti Eti22Eti2eU(x)(x)dx(x)de2m 稱為稱為定態(tài)波函數(shù)定態(tài)波函數(shù))(x2022-5-1651 上式描述的狀態(tài)稱為定態(tài)，因為粒子所在勢場中的上式描述的狀態(tài)稱為定態(tài)，因為粒子所在勢場中的勢能只是位置的函數(shù)，與時間無關。同時波函數(shù)必須滿勢能只是位置的函數(shù)，與時間無關。同時波函數(shù)必須滿足單值、連續(xù)和有限的三個條件并予以歸一化。足單值、連續(xù)和有限的三個條件并予以歸一化。 21-4 薛定諤方程薛定諤