(整理)復(fù)變函數(shù)第4章

1、n=1第四章解析函數(shù)的級數(shù)表示法第四章解析函數(shù)的級數(shù)表示法1.復(fù)數(shù)列和復(fù)數(shù)列的極限復(fù)數(shù)列和復(fù)數(shù)列的極限(1)(1) 定義定義 4.1 設(shè)a(n二1,2,L)為一復(fù)數(shù)列，其中a二a+i卩.a二a+i卩為一確nnnn定的復(fù)數(shù).如果對任意的正數(shù)，存在正整數(shù)N,使得當(dāng)nN時(shí)，有|a-a(4.1)n成立，則稱a為復(fù)數(shù)列an當(dāng) n 時(shí)的極限，記作lima二a.nnTs并稱復(fù)數(shù)列an收斂于a.(2)(2)與實(shí)數(shù)列極限的關(guān)系：定理與實(shí)數(shù)列極限的關(guān)系：定理 41 復(fù)數(shù)列an收斂于a的充分必要條件是：lima二a,limp 二 B.nnnTgnTglima二a.nnTg2.復(fù)級數(shù)復(fù)級數(shù)( (1) )定義定義設(shè)a=

2、a+ip(n=1,2,3,L)為一復(fù)數(shù)列，表達(dá)式nnn藝a=a+a+La+L(4.2)n12nn=1稱為復(fù)數(shù)域上的無窮級數(shù)，簡稱復(fù)級數(shù)或級數(shù).記該級數(shù)的前n項(xiàng)部分和為S=a+a+L+a,n=1,2,L,n12nS稱為該級數(shù)的部分和數(shù)列.n顯然，若一般項(xiàng)a的虛部 P=0(n=1,2,L)則級數(shù)工-a實(shí)質(zhì)上是實(shí)級數(shù)，因此實(shí)nnn=1n級數(shù)可以看作是復(fù)級數(shù)的特例.定義定義 4.2 若級數(shù)藝a對應(yīng)的部分和數(shù)列S收斂于常數(shù)S,即nnn=1limS=SnnTgn=1那么藝a稱為收斂的級數(shù).數(shù)S叫做該級數(shù)的和，記為nn=0nn=1若limS不存在，則稱另a為發(fā)散的級數(shù).nnns.n=1我們首先研究級數(shù)(4.

3、2)的收斂性問題.( (2) )收斂的條件收斂的條件：定理定理 42 復(fù)級數(shù)另a收斂于S的充要條件是實(shí)級數(shù)另a和分別收斂于 8 和nnnn=1n=1n=1T，其中S=8+iT,a=a+B(n=1,2,L).nnn定理定理 4.3 復(fù)級數(shù)另a收斂的必要條件是nn=1lima=0.nns3.絕對收斂與條件收斂絕對收斂與條件收斂發(fā)散，而另a收斂，則稱級數(shù)a條件收斂.nnn=1n=1(2) )定理定理 4.4 如果級數(shù)另a絕對收斂，則為a也收斂，且不等式nnn=1n=1立.( (3) )推論推論 4.1 設(shè)a=a+i卩,n=1,2,L.貝y級數(shù)另a絕對收斂的充要條件是級數(shù)nnnnn=1a和%都絕對收斂

4、.nnn=1n=14. 冪級數(shù)的概念冪級數(shù)的概念所謂冪級數(shù)，是指形如另a(z-z)n=a+a(z-z)+L+a(z-z)n+L(4.3)n0010n0n=0的表達(dá)式.給定z的一個(gè)確定值z,則(4.3)為復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)(1) )定義定義 4.3 對于復(fù)級數(shù)為ann=1若另|a|收斂，則稱級數(shù)另a絕對收斂；若另|a|nnnn=1n=1n=1ann=15另|a|成nn=1a(z-z)n=a+a(z-z)+L+a(z-z)n+L(4.4)n100110n10若(4.4)所表示的級數(shù)收斂，貝9稱幕級數(shù)(4.3)在z1處收斂，z1稱為(4.3)的一個(gè)收斂點(diǎn)，否則則稱為發(fā)散點(diǎn).若D為級數(shù)(4.3)所有收斂點(diǎn)的集

5、合，則級數(shù)在D上的和確定一個(gè)函數(shù)S(z):S(z)=a+a(z一z)+L+a(z一z)n+L,zeD,(4.5)010n0稱S(z)為(4.3)的和函數(shù).5.收斂半徑和收斂圓收斂半徑和收斂圓定理定理 4.5 如果幕級數(shù)另az在 z二zi(0)收斂，貝9對于滿足 I|zj的z，級數(shù)必發(fā)散.根據(jù)定理 4.5，幕級數(shù)(4.6)的收斂情況必是下列情形之一：1除z=0 外，級數(shù)處處發(fā)散；2對于所有z級數(shù)都收斂，由定理 4.5 知，級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對收斂；3存在一個(gè)正實(shí)數(shù)R,使級數(shù)在 IzlvR中收斂，在 lzlR中發(fā)散(如圖 4.1).我們把該正實(shí)數(shù)R稱為級數(shù)(4.6)的收斂半徑，以原點(diǎn)為中心，半徑

6、為R的圓盤稱為級數(shù)的收斂圓對幕級數(shù)(4.3)來說，它的收斂圓是以z0為中心的圓盤值得注意的是，在收斂圓的圓周上級數(shù)是收斂還是發(fā)散，不能作出一般的結(jié)論，要對具體級數(shù)進(jìn)行具體分析6. 收斂半徑的求法收斂半徑的求法定理定理 4.6 若另azn的系數(shù)滿足nn=0a+11nI=P,a|n1當(dāng)0p+8時(shí),2當(dāng)p=0時(shí)，R=+8(處處收斂)；3當(dāng) P=+8時(shí)，R=0(僅有一個(gè)收斂點(diǎn)z=0).定理定理 4.7 若幕級數(shù)藝azn的系數(shù)滿足nn=01當(dāng)0p+8時(shí),2當(dāng)P=0時(shí)，R=+8；3當(dāng) p=+8時(shí)，R=0.lim=ns=P,lim7. 冪級數(shù)的運(yùn)算及性質(zhì)冪級數(shù)的運(yùn)算及性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì) 4.1 若幕級數(shù)另azn和

7、另bzn的收斂半徑分別為R1和R2，則幕級數(shù)nn12n=0n=0無(a土b)zn的收斂半徑不小于R=min(R,R)，且在IZR內(nèi)有:nn12n=0另aZn+另bZn=S(a土b)Zn.nnnnn=0n=0n=0性質(zhì)性質(zhì) 4.2 若幕級數(shù)藝azn和藝bzn的收斂半徑分別為R1和R2，則幕級數(shù)nn12n=0n=0ab+(ab+ab)z+(ab+ab+ab)z2+L+(Sab)zn+L000110021120in-ii=0的收斂半徑不小于R=誠叫，伸，且在TR內(nèi)有:Sazn藝bzn=S(工ab)zn.nnin-in=0n=0n=0i=0上述性質(zhì)說明了由兩個(gè)幕級數(shù)經(jīng)過相加或相乘的運(yùn)算后，所得到的幕級

8、數(shù)的收斂半徑只是大于或等于R1和R2中較小的一個(gè).定理定理 4.8 設(shè)幕級數(shù)另a(z-z)n的收斂半徑為R,那么n0n=01它的和函數(shù)f(z)=Sa(z-z)在收斂圓|z-z|R內(nèi)是解析函數(shù).n0101n=02f(z)的導(dǎo)數(shù)可通過對其幕級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到，即f(z)=Xna(z-z)n-1.n0n=03f(z)在|z-z0|R內(nèi)可以逐項(xiàng)積分，即Jf(z)dz=SaJ(znCn=0C其中C為|z-z0|R內(nèi)的曲線(證明略).8泰勒泰勒(Taylor)展開式展開式定理定理 4.9 設(shè)K表示以z0為中心，半徑為r的一個(gè)圓，f在K內(nèi)解析，則f(z)可以-z)ndz09.羅朗級數(shù)，收斂圓環(huán)，羅朗展開式羅朗

9、級數(shù)，收斂圓環(huán)，羅朗展開式域若存在必為圓環(huán)：r|zzjR，且在其收斂圓環(huán)內(nèi)的和函數(shù)是解析的，而且可以逐項(xiàng)求積分和逐項(xiàng)求導(dǎo)數(shù).定理定理 4.12 設(shè)f(z)在圓環(huán)rzz0R內(nèi)解析，那么f(z)=a其中在K內(nèi)展開成冪級數(shù)，即f(z)=yf(z一z)n,zGK,n!n=0(4.8)并稱它為f(z)在Z0的泰勒(Taylor)展開式，(4.8)式右端的級數(shù)稱為f(z)的泰勒級數(shù).間接展開法：由于解析函數(shù)在一點(diǎn)的泰勒展開式是唯一的，借助于已知函數(shù)的展開式并利用冪級數(shù)的一些性質(zhì)來求得另一函數(shù)的泰勒展開式，這種方法稱為間接法=1+z+z2+L+zn+L,Z1.(4.13)ez=1+z+L+L,Zgn!(4.

10、14)ygz2ncosz=(1)n-n=0(如！z2z5=1+L+(1)n2!5!+L,|zlg.-y,1、z2n+1smz=(1)nn=0=z+L+(1)n+L,|z|g.3!5!(2n+1)!(2n+1)!Z2n+1(4.15)(4.16)ya(zz)n=L定理定理 4.11 雙邊雙邊級數(shù)n=gn0+a(zz)n+L+a(zz)1n010+a0的收斂+a(zz)+L+a(zz)n+L,10n0(4.20)a=丄Jn2n憶孚1此,n=0,土1,2丄,C0(4.21)(3)2|z|+8；(4)0|z1|1;(5)1|z-1|+8.Z-ZR內(nèi)任何一條繞z的正向簡單閉曲線(如圖 4.5),且(4.20)式是00唯一的.注：羅朗展開式只能用間接展開法10.孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)(1)(1)定義定義 4.4 若z二zo為函數(shù)f的一個(gè)奇點(diǎn)， 且存在一個(gè)去心鄰域0|z-zj5,f(Z)在其中處處解析，則Z稱為f(Z)的孤立奇點(diǎn).0(2)(2) 孤立奇點(diǎn)的羅朗級數(shù)：孤立奇點(diǎn)的羅朗級數(shù)：設(shè)Z0為f(Z)的一個(gè)孤立點(diǎn)，因?yàn)樵?|z-z|5中f解00析，由上一節(jié)的定理 4.12知f(z)可展成z-z的羅朗級數(shù)，即0f(z)二藝a(z-z)n+藝a(z-z)-nn0-n0n=0n=1( (2) )孤立奇點(diǎn)的分類：孤立奇點(diǎn)的分類：我們按展開式中的負(fù)冪項(xiàng)部分的狀況把孤立奇點(diǎn)分為三類：1級數(shù)