第2章信號(hào)和頻譜

1、簡(jiǎn)明通信原理簡(jiǎn)明通信原理Concise Principles of Communications武漢理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院武漢理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院第第2章章 信號(hào)和頻譜信號(hào)和頻譜u 學(xué)學(xué) 習(xí)習(xí) 目目 標(biāo)標(biāo) l信號(hào)的分類與特性。l傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換。l能量（或功率）譜與相關(guān)函數(shù)。l平穩(wěn)、高斯、窄帶隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性。l高斯白噪聲和低通（或帶通）白噪聲。l帶寬的概念與定義。 2.1 信號(hào)分類信號(hào)分類 l信號(hào)信號(hào)（signal）是指表示消息的某種電（物理）量，如電壓、電流或電磁波等。 為方便研究不同問(wèn)題，可將信號(hào)進(jìn)行如下分類：v模擬信號(hào)與數(shù)字信號(hào)（詳見(jiàn)第1章）v基帶信號(hào)與已調(diào)信號(hào)（詳見(jiàn)第1章）v確知信

2、號(hào)和隨機(jī)信號(hào)v周期信號(hào)和非周期信號(hào)v能量信號(hào)和功率信號(hào)u2.1.1 確知信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)確知信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)l確知信號(hào)是可以預(yù)先確知其變化規(guī)律的信號(hào)。例如， 。l隨機(jī)信號(hào)（不確知信號(hào)），其在定義域內(nèi)的任意時(shí)刻都沒(méi)有確定的函數(shù)值。例如，通信系統(tǒng)中的接收信號(hào)、熱噪聲等。u2.1.2 周期信號(hào)和非周期信號(hào)周期信號(hào)和非周期信號(hào) l周期信號(hào)是定義在（ ）區(qū)間上，且每隔固定的時(shí)間按同樣規(guī)律重復(fù)變化的信號(hào)，即滿足： T0為信號(hào)的周期。l提問(wèn)：沖激函數(shù)、正弦信號(hào)、Sa(x)函數(shù)、矩形脈沖序列、語(yǔ)音信號(hào)，哪些是周期信號(hào)？ ( )5sin10s tt,0( )(),s ts tTt u2.1.3 能量信號(hào)和功率信號(hào)能

3、量信號(hào)和功率信號(hào)l電壓v(t)或電流i(t)在電阻R上所產(chǎn)生的瞬時(shí)功率為 或 l“歸一化歸一化”瞬時(shí)功率（取R=1歐姆）： s(t)代表v(t)或i(t)ls(t)的（歸一化）總能量為 （歸一化）平均功率為： 若E有限 ，而P0，則稱為能量（有限）信號(hào)。如單個(gè)矩形脈沖。 若P有限，而E，則稱為功率（有限）信號(hào)。如周期信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)。 2( )( )vtp tR2( )( )p ti t R/222/2lim( )d( )dTTTEs tts tt/ 22/ 21lim( )dTTTPsttT2( )( )p tstl確知信號(hào)的分析方法是信號(hào)分析的基礎(chǔ)。l信號(hào)的特性可從時(shí)域和頻域來(lái)描述。v時(shí)域特

4、性時(shí)域特性反映信號(hào)隨時(shí)間變化的特性，可借助示波 器觀察信號(hào)的波形。v頻率特性頻率特性反映信號(hào)各個(gè)頻率分量的分布情況，可借助頻譜儀觀察信號(hào)的頻譜。l在數(shù)學(xué)上，周期信號(hào)的頻譜可用傅里葉（Fourier）級(jí)數(shù)來(lái)分析；非周期信號(hào)的頻譜可用傅里葉變換來(lái)分析。 2.2 確確 知知 信信 號(hào)號(hào) u2.2.1 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)l 周期信號(hào)s(t)可展成（指數(shù)型）傅里葉級(jí)數(shù)： 其中，傅氏系數(shù)Cn為 式中，f0 = 1/T0為信號(hào)的基頻，nf0為 n次諧波頻率。l 由于Cn反映了信號(hào)中各次諧波的幅度值和相位值，故稱Cn為信號(hào)的頻譜頻譜?？捎洖?v 幅度 隨頻率（nf0）變化的特性稱為信號(hào)的幅度譜，v 相位 n

5、 隨頻率（nf0）變化的特性稱為信號(hào)的相位譜。 0j2/=( ) =entTnns tC000/ 2j2/ 201( )edTn f tnTCs ttTjennCCnnC【例2-1】 一個(gè)周期矩形脈沖信號(hào)的時(shí)域波形與幅度譜如圖2-2所示，簡(jiǎn)述周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)，并確定該信號(hào)需要占用的頻帶寬度（即信號(hào)帶寬）。 解解：周期信號(hào)的頻譜具有“離散性（譜線）、諧波性和收斂性”的特點(diǎn)。 幅度譜的主瓣寬度（指第一個(gè)零點(diǎn)頻率范圍）定義為信號(hào)帶寬(零點(diǎn)帶寬)： 可見(jiàn)，脈寬脈寬 越窄，越窄，B 越寬越寬。 1Bu2.2.2 傅里葉變換傅里葉變換 一個(gè)非周期確知信號(hào)s(t)的傅里葉（Fourier）變換： （2-2

6、-5）稱為該信號(hào)的頻譜密度頻譜密度，簡(jiǎn)稱頻譜頻譜。 的傅里葉反變換就是原信號(hào)： （2-2-6） 這對(duì)傅里葉變換關(guān)系可簡(jiǎn)記為 當(dāng)引入沖激函數(shù)之后，傅里葉變換對(duì)周期信號(hào)和非周期信號(hào)都適用。當(dāng)引入沖激函數(shù)之后，傅里葉變換對(duì)周期信號(hào)和非周期信號(hào)都適用。 j( )( )edtSs ttj1( )( )ed2ts tS( )S( )( )s tS 【例2-2】試求幅為A，寬為 的單個(gè)矩形脈沖（門(mén)函數(shù)）的頻譜。 解：對(duì)該信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換可得其頻譜為 式中， 稱為抽樣函數(shù)，且有 。譜的第1個(gè)零點(diǎn)頻率為 。 圖2-3 矩形脈沖信號(hào)及其頻譜函數(shù) jj222( )ededsinSa22ttASs ttAtAsin

7、Sa( )xxxSa(0)11/f第一零點(diǎn)f=1/評(píng)注： （1）非周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜是連續(xù)頻譜，其形狀與圖2-2所示的周期矩形脈沖信號(hào)的離散頻譜的包絡(luò)線相似。 （2）信號(hào)帶寬與脈沖持續(xù)時(shí)間（脈寬 ）成反比，即 。這意味著，若要壓縮信號(hào)的持續(xù)時(shí)間則以展寬頻帶為代價(jià)。 l 【例2-3】 已知 ，求 的頻譜（密度）。 解：利用歐拉公式可得 根據(jù)傅里葉變換的頻移特性可得 另一解法：利用傅里葉變換的頻域卷積性質(zhì)求解。 評(píng)注：上式通常稱為調(diào)制定理，它在通信系統(tǒng)中的調(diào)制與解調(diào)過(guò)程中經(jīng)常用到。 s tS0( ) coss tt00jj01( )cos( )ee2tts tts t0( )coss tt00

8、12SS1/Bu2.2.3 沖激函數(shù)和沖激序列沖激函數(shù)和沖激序列l(wèi)1、單位沖激函數(shù)、單位沖激函數(shù) (t) (t)是一個(gè)幅值無(wú)限大、寬度無(wú)窮小、面積為1的脈沖，可表示為v（1）篩選特性（采樣特性） 或 v（2）搬移特性 v（3）傅里葉變換和反變換 l2、單位沖激序列、單位沖激序列 00( )( )d10ttttt且000( )()( )()f tttf ttt00( )()d( )f ttttf t00( ) ()()f tttf tt00( ) ()()FF ( )1t12 ( ) T0( )()nttnTT0011( )nffnTTu2.2.4 能量譜密度和功率譜密度能量譜密度和功率譜密度

9、意義意義：。l1能量譜密度（能量譜密度（ESD） ESD是指信號(hào)的能量在頻域上的分布情況。表示為 或 式中的S()為能量信號(hào) s(t) 的傅里葉變換。 信號(hào)能量為 上式稱為Parseval（帕塞瓦爾）能量守恒定理。 2( )( )ES2( )( )E fS f21( )d( )d( )d2Es t tEE ff l2功率譜密度（功率譜密度（PSD） PSD是指信號(hào)的功率在頻域上的分布情況。設(shè) 是功率信號(hào)s(t)的截短信號(hào)， 是 的傅里葉變換，則s(t)的功率譜密度為 或 信號(hào)功率為 對(duì)于周期性功率信號(hào)來(lái)說(shuō)，其平均功率由下式給出： 式中， =1/ f0為信號(hào)周期； |Cn|2是第n次諧波的功率。

10、|Cn|2隨nf0分布的特性稱為周期信號(hào)的（離散）功率譜密度，可表示為 或 2T1()lim()TPST2T1( )lim( )TP fSfT Ts tT( )S Tst/22/211lim( )d( )d( )d2TTTPs t tPP ffT 00/222/201( )dTnTnPs ttCT0T20( )()nnP ffnfC20( )2()nnPCnl3.能量（功率）帶寬能量（功率）帶寬v 對(duì)于能量信號(hào)，可利用能量譜E(f)，由下式求出帶寬B ： 式中， 為百分比，可取90%、95%或99%等。v 對(duì)于功率信號(hào)，則可利用功率譜P(f)，由下式求出帶寬B ： u2.2.5 波形的互相關(guān)和

11、自相關(guān)波形的互相關(guān)和自相關(guān) 相關(guān)函數(shù)用于研究信號(hào)波形之間的關(guān)聯(lián)程度或相似程度。02()dBEffE02()dBP ffPl 1相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù) 表2-3 不同類型信號(hào)相關(guān)函數(shù)的表達(dá)式 其中， 為時(shí)間差；T0為周期。l2互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)v ，表示兩個(gè)信號(hào)互不相關(guān);v 越大，說(shuō)明無(wú)時(shí)差時(shí)的兩個(gè)信號(hào)越相似;v l3自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)v v v能量信號(hào)的R(0)=E(能量)；功率信號(hào)的R(0)=P(功率)。 12( )0R12(0)R1221( )()RR( )(0)RR( )()RRu2.2.6 相關(guān)函數(shù)與譜密度相關(guān)函數(shù)與譜密度 l能量信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)和其能量譜密度是一

12、對(duì)傅里葉變換，即 l功率信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)和其功率譜密度是一對(duì)傅里葉變換，即 以上關(guān)系稱為維納維納-辛欽定理辛欽定理。該定理為譜密度的求解提供了另一條途徑，即通過(guò)自相關(guān)函數(shù)來(lái)求得信號(hào)的譜密度。 【例2-5】 求余弦信號(hào) 的PSD和平均功率。 解：余弦（或正弦）信號(hào)都是周期性功率信號(hào)，它的自相關(guān)函數(shù)為2( )( )RS f ( )RP f0( )cos()s tAt0000/2/2200/2/20011( )( ) ()dcos()cos()dTTTTRs t s ttAtttTT 利用積化和差三角函數(shù)公式，可得 利用維納-辛欽定理 ，可得信號(hào)的PSD： 信號(hào)的平均功率為 或 v正弦信號(hào)與余弦信號(hào)

13、具有相同的PSD、自相關(guān)函數(shù)和平均功率。 v習(xí)慣把 和 統(tǒng)稱為正弦信號(hào)。000022/2/2000/2/20011( )cosdcos(22 )d22TTTTAARtttTT20cos2A200( ) 2AP2(0)2APR21( )d( )d22APP ffP0sin()At0cos()At2.3 隨隨 機(jī)機(jī) 過(guò)過(guò) 程程 u本節(jié)內(nèi)容是本課程的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，因?yàn)橥ㄐ胖械男盘?hào)與噪聲都具有一定的隨機(jī)性，需要用隨機(jī)過(guò)程的理論來(lái)描述。l隨機(jī)過(guò)程的基本概念和數(shù)字特征；l平穩(wěn)、高斯、窄帶過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性；l隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)；l高斯白噪聲的統(tǒng)計(jì)特性。u2.3.1 何謂隨機(jī)過(guò)程？何謂隨機(jī)過(guò)程？ 隨機(jī)過(guò)程可定義為

14、所有樣本函數(shù)的集合。其在任意時(shí)刻上的取值是一個(gè)隨機(jī)變量，因此又可定義為在時(shí)間進(jìn)程中處于不同時(shí)刻的隨機(jī)變量的集合。 圖2-4 隨機(jī)過(guò)程的樣本u2.3.2 數(shù)字特征數(shù)字特征v分布函數(shù)或概率密度函數(shù)可充分地描述隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性。v數(shù)字特征可描述隨機(jī)過(guò)程的基本特性。常用的數(shù)字特征有均值、方差和相關(guān)函數(shù)。 l1均值或數(shù)學(xué)期望均值或數(shù)學(xué)期望 含義：均值 表示隨機(jī)過(guò)程n個(gè)樣本曲線的擺動(dòng)中心（見(jiàn)圖2-4中虛線）。l2方差方差 含義：方差反映了隨機(jī)過(guò)程在任意時(shí)刻的取值偏離均值的程度。l3自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù) 若 并令 ，則相關(guān)函數(shù) 可寫(xiě)成 含義：描述隨機(jī)過(guò)程在不同時(shí)刻的取值之間的關(guān)聯(lián)程度。 1( )( )(

15、, )da tEtxf x tx( )a t22( ) ( )( )tEta t22( )Eta (t)1212122121212( , ) ( ) ( )( ,; , )d dR t tEttx x fx x t tx x 1111( ,) ( ) ()R t tEtt21,tt21tt12( ,)R t t2.4 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 u2.4.1 平穩(wěn)性平穩(wěn)性 l嚴(yán)（狹義）平穩(wěn)嚴(yán)（狹義）平穩(wěn)：隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而改變。l寬（廣義）平穩(wěn)寬（廣義）平穩(wěn)：隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特性不隨時(shí)間的推移而改變： 均值與 t 無(wú)關(guān) 自相關(guān)函數(shù)僅與時(shí)間間隔有關(guān) v 嚴(yán)平穩(wěn)必然寬平穩(wěn)，反之不一定（

16、高斯過(guò)程例外）。v 通信系統(tǒng)中的信號(hào)與噪聲大多可視為寬平穩(wěn)過(guò)程。 ( )Eta常數(shù)11( ,)( )R t tRu2.4.2 各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性l如果平穩(wěn)過(guò)程 的統(tǒng)計(jì)平均等于它的任意一個(gè)樣本 的時(shí)間平均，即 則稱該平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 具有各態(tài)歷經(jīng)性。l各態(tài)歷經(jīng)性的意義：各態(tài)歷經(jīng)性的意義： 可用一個(gè)樣本的“時(shí)間平均”替代隨機(jī)過(guò)程的“統(tǒng)計(jì)平均（需要對(duì)隨機(jī)過(guò)程的所有樣本求平均）”，使得測(cè)量和計(jì)算的問(wèn)題大大簡(jiǎn)化。 ( ) t( )x t( )( )aaRR( ) tu2.4.3 自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 的自相關(guān)函數(shù)只是時(shí)間差 的函數(shù)，即 l它具有如下性質(zhì)：v（1） 的平均功率 v（

17、2） 的直流功率 v（3） （方差） 的交流功率 當(dāng)均值為0時(shí)，有 v（4） 的偶函數(shù) v（5） 時(shí)有最大值 ( ) t21tt( )( ( ) ()REtt2(0)( )REt( ) t22( ) ( )REta2(0)( )RR2(0)R( )()RR( )(0)RR0u2.4.4 功率譜密度功率譜密度 平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)是一對(duì)傅里葉變換關(guān)系，即 簡(jiǎn)記為 稱為維納維納-辛欽定理辛欽定理。它建立了平穩(wěn)過(guò)程頻域和時(shí)域的聯(lián)系。v （1）當(dāng) 時(shí)，有 即功率譜密度（PSD）的積分面積等于歸一化平均功率。v （2）功率譜密度（PSD）具有非負(fù)性和實(shí)偶性，即 jj( )( )ed1( )(

18、 )ed2PRRP( )( )RP01(0)( )d( )d2RPP ff2( )Et( )0P f ()( )PfP f2.5 高斯隨機(jī)過(guò)程高斯隨機(jī)過(guò)程 u2.5.1 定義與特性定義與特性 l高斯過(guò)程的n維（n=1，2，）分布都服從正態(tài)分布。l高斯過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性完全由它的數(shù)字特征決定。 它的一維分布完全可由均值和方差來(lái)描述。v（1）若高斯過(guò)程是寬平穩(wěn)的，則也是嚴(yán)平穩(wěn)的。v（2）若高斯過(guò)程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的， 則它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。v（3）高斯過(guò)程經(jīng)過(guò)線性系統(tǒng)后的過(guò)程仍是高斯過(guò)程。 以上幾個(gè)性質(zhì)在對(duì)高斯過(guò)程進(jìn)行數(shù)學(xué)處理時(shí)十分有用。 u2.5.2 一維高斯（或正態(tài)）分布一維高斯（或正態(tài)）

19、分布 高斯過(guò)程在任意時(shí)刻上的取值都是一個(gè)高斯隨機(jī)變量，其一維概率密度函數(shù)為 具有如下特性：v 曲線對(duì)稱于 這條直線。v v 的圖形將隨 的減小 而變得尖銳，說(shuō)明隨機(jī)變量X 落在a點(diǎn)附近的概率越大。221()( )exp22xaf x( )f xxa1( )d( )d2aafxxfxx( )f x 在分析數(shù)字通信系統(tǒng)的抗噪聲性能時(shí)，往往需要計(jì)算高斯隨機(jī)變量X小于或等于某一取值 的概率 ，記為 式中， 稱為分布函數(shù)，是概率密度函數(shù) 的積分，即 （2-5-3） 為了便于計(jì)算上式積分的結(jié)果，常引用一些在數(shù)學(xué)手冊(cè)上可查函數(shù)值的特殊函數(shù)特殊函數(shù)來(lái)表示F(x)。例如，誤差函數(shù)和互補(bǔ)誤差函數(shù)，其公式與性質(zhì)如表

20、2-4所示。 x()P Xx( )()F xP Xx( )F x( )f x221()( )()expd22xzaF xP Xxz表2-4誤差函數(shù)和互補(bǔ)誤差函數(shù)誤 差 函 數(shù)互補(bǔ)誤差函數(shù)公式， （2-5-4）， （2-5-5）性質(zhì)自變量的遞增函數(shù) ，且 自變量的遞減函數(shù) ，且關(guān)系式 （2-5-6）近似式 ， （2-5-7）202erf( )edxtxt0 x22rfc( )edtxext0 xerf(0)0erf()1erf()erf( )xx erfc(0)1erfc()0erfc()2erfc( )xxerfc( )1erf( )xx 21erfc( )exxx1x 若對(duì)式（2-5-3）的

21、積分區(qū)間進(jìn)行處理（如 ），然后進(jìn)行變量代換，令 ，并與式（2-5-4）或式（2-5-5）聯(lián)系，則有 （2-5-8） 利用函數(shù) 或函數(shù) 表示F(x)的好處是，其簡(jiǎn)明的特性有助于今后分析通信系統(tǒng)的抗噪聲性能。 xaxaxa時(shí)，()/2tza11erf222( )11erfc22x axaF xx axa，erf( ) xerfc( )x2.6 隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng) 對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)，其輸出過(guò)程 是輸入過(guò)程 與系統(tǒng)單位沖激響應(yīng) 的卷積，即 根據(jù)上式，若給定 的統(tǒng)計(jì)特性，則可求得 的統(tǒng)計(jì)特性，結(jié)果如表2-5所示。 表2-5平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng) 表2-5中， 為線性系統(tǒng)的頻率響

22、應(yīng)，且 ；H(0)是線性系統(tǒng)在 處的頻率響應(yīng)，即直流增益； 是線性系統(tǒng)的功率增益。 o( ) ti( ) t( )h toii( )( )( )( ) ()dtth tht i( ) to( ) t( )H f( )( )H fh t0f 2( )H f2.7 窄帶隨機(jī)過(guò)程窄帶隨機(jī)過(guò)程 窄帶隨機(jī)過(guò)程概念。例子：調(diào)頻（FM）信號(hào)、數(shù)字調(diào)相（2PSK）信號(hào)、白噪聲通過(guò)帶通濾波器后的噪聲等。 l譜特征： 頻帶寬度 （中心頻率），且 0。l樣本波形：包絡(luò) 隨機(jī)緩變的正弦波。l表達(dá)式： l等價(jià)式： 式中， ， 分別稱為 的同相和正交分量。 fcfcf( )a tt及相位 （ ）c( )( )cos2(

23、),( )0ta tf tta tccsc( )( )cos2( )sin2ttf ttf tc( )( )cos( )ta tts( )( )sin( )ta tt( ) tl 兩個(gè)重要結(jié)論：v 結(jié)論結(jié)論1：對(duì)于均值為零、方差為 的平穩(wěn)高斯窄帶過(guò)程 ，它的同相分量 和正交分量 同樣是平穩(wěn)高斯過(guò)程，且均值皆為零，方差都等于 （相當(dāng)于平均功率相等）。v 結(jié)論結(jié)論2：對(duì)于均值為0、方差為 的平穩(wěn)高斯窄帶過(guò)程 ，它的包絡(luò) 的一維分布是瑞利分布，相位 的一維分布是均勻分布，并且就一維分布而言， 與 是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。 以上兩個(gè)結(jié)論在帶通傳輸系統(tǒng)（如調(diào)制系統(tǒng)）的抗噪聲性能分析中將會(huì)用到。 2( ) tc( ) ts( ) t22( ) t( )a t() t()a t() t2.8 2.8 通信系統(tǒng)中的噪聲通信系統(tǒng)中的噪聲 例子：電子設(shè)備中的電阻性器件所產(chǎn)生的熱噪聲，它是一種零均值的高斯白噪聲白噪聲。常被用作信道中的噪聲模型。u2.8.1 白噪聲白噪聲 白噪聲是一種帶寬無(wú)限的平穩(wěn)過(guò)程，它具有恒定的功率譜密度： 式中， 是一個(gè)常數(shù)，表示單邊功率譜密度，單位是瓦/赫。 0n( )2nPf()f 0n() ()2nR0n白噪聲僅在 （同一時(shí)刻）時(shí)的取值才相關(guān)。若白噪聲的取