劉次華《隨機(jī)過程及其應(yīng)用(第三版)》課件5a

1、5 平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)的分析 線性時(shí)不變系統(tǒng)系統(tǒng)：)()(txLty線性系統(tǒng)：)()()()()()(221122112211tyatyatxLatxLatxatxaL時(shí)不變系統(tǒng)：)()(txLty頻率響應(yīng)與脈沖響應(yīng)對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)，輸出對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)，輸出 y (t) 等于輸入等于輸入 x (t)與單位與單位脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng) h (t) 的卷積，的卷積，)()()(thtxty)()()(HXY因果系統(tǒng)：0 , 0)(tth當(dāng)穩(wěn)定系統(tǒng)：tthd)(隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)的輸出設(shè)線性系統(tǒng)的設(shè)線性系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)為為 h (t) ，當(dāng)，當(dāng)輸入一個(gè)隨機(jī)輸入一個(gè)隨機(jī)過程過程 X

2、(t) 時(shí)，其輸出隨機(jī)過程時(shí)，其輸出隨機(jī)過程 Y (t) 為為d)()()()()(htXthtXtY)()()(HXY線性系統(tǒng)輸出的均值設(shè)線性系統(tǒng)的設(shè)線性系統(tǒng)的輸入隨機(jī)過程輸入隨機(jī)過程 X (t) 的均值為的均值為 mX(t) ，則其，則其輸出過程輸出過程 Y (t) 的均值為的均值為)()(d)()(d)()(d)()()()(thtmhtmhtXEhtXEtYEtmXXY當(dāng)輸入過程當(dāng)輸入過程 X (t) 為均值平穩(wěn)時(shí)，為均值平穩(wěn)時(shí)，常數(shù)d)(hmmXY線性系統(tǒng)輸出的相關(guān)函數(shù)設(shè)線性系統(tǒng)的設(shè)線性系統(tǒng)的輸入隨機(jī)過程輸入隨機(jī)過程 X (t) 的相關(guān)函數(shù)為的相關(guān)函數(shù)為 RX(t1,t2) ，則其輸

3、出過程則其輸出過程 Y (t) 的相關(guān)函數(shù)為的相關(guān)函數(shù)為)( , )()()(dd )()()()(21tthhRvuvhuhvuRRXXY vuvhuhvtutRvuvhuhvtXutXEvvhvtXuuhutXEtYtYEttRXYdd )()(),(dd )()( )()(d)()(d)()( )()(),(2121212121 當(dāng)輸入過程當(dāng)輸入過程 X (t) 為自相關(guān)平穩(wěn)時(shí)，為自相關(guān)平穩(wěn)時(shí)，輸出與輸入的互相關(guān)函數(shù) )()()(hRRXXY同理，同理，uuhtutRuuhtXutXEutXuhutXEtXtYEttRXYXd)(),(d)( )()(d )()()( )()(),(21

4、21212121當(dāng)輸入過程當(dāng)輸入過程 X (t) 為自相關(guān)平穩(wěn)時(shí)，為自相關(guān)平穩(wěn)時(shí)，)()(d)()()(hRuuhuRRXXYX輸出相關(guān)函數(shù))()()(hRRXYX)()( )()()()()()(hRhRhhRRXYYXXY )()()(hRRXXY)(XR)(h )(h)(YXR)(YR輸出過程的平穩(wěn)特性n當(dāng)線性系統(tǒng)當(dāng)線性系統(tǒng)輸入一平穩(wěn)過程輸入一平穩(wěn)過程 X (t) 時(shí)，其輸出過程時(shí)，其輸出過程 Y (t) 的均值的均值 mY(t) 為常數(shù)，相關(guān)函數(shù)為常數(shù)，相關(guān)函數(shù) RY(t1, t2) = RY( ) 只與只與時(shí)間差時(shí)間差 有關(guān)，故輸出過程有關(guān)，故輸出過程 Y (t) 也是平穩(wěn)的。也是平

5、穩(wěn)的。n由于互相關(guān)函數(shù)由于互相關(guān)函數(shù) RYX( ) 和和 RXY( ) 也都只與時(shí)間差也都只與時(shí)間差 有有關(guān)，故輸出過程關(guān)，故輸出過程 Y (t) 與輸入過程與輸入過程 X (t) 之間還是聯(lián)合之間還是聯(lián)合平穩(wěn)的。平穩(wěn)的。例1 （h(t) 的估計(jì)的估計(jì)）n設(shè)線性系統(tǒng)輸入一個(gè)白噪聲過程設(shè)線性系統(tǒng)輸入一個(gè)白噪聲過程 X (t)，其相關(guān)函數(shù)，其相關(guān)函數(shù)為為 RX ( ) = N0 ( ) ，則，則)(d)()()(00hNuuhuNRYX)(1)(0YXRNh通過測(cè)量互相關(guān)函數(shù)，可以估計(jì)線性系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。通過測(cè)量互相關(guān)函數(shù)，可以估計(jì)線性系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。)()(1)(0tXtYNh假定假定過

6、程過程 X (t) 和和 Y (t) 是各態(tài)歷經(jīng)的，是各態(tài)歷經(jīng)的，線性系統(tǒng)的譜密度設(shè)設(shè)線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為H( )，當(dāng)輸入平穩(wěn)過程，當(dāng)輸入平穩(wěn)過程 X(t) 具有譜密度具有譜密度 sX( ) 時(shí)，則輸出平穩(wěn)過程時(shí)，則輸出平穩(wěn)過程 Y(t) 的譜密度為的譜密度為)()()(2XYsHs)()()()()()( )()()()( 2XXYXYsHHHsshhRR故因?yàn)槔? 如圖如圖RC電路，若輸入白噪聲電壓電路，若輸入白噪聲電壓 X (t) ，其相關(guān)，其相關(guān)函數(shù)為函數(shù)為 RX ( ) = N0 ( ) ，求輸出電壓，求輸出電壓 Y (t) 的相的相關(guān)函數(shù)和平均功率。關(guān)函

7、數(shù)和平均功率。解X (t)Y (t)RCRCiH1 , )(其中)()(tuetht0)(FT)(NRsXX02222)()()(NsHsXY0( )IFT( )2YYNRse 2)0(02NRYY例3 如圖有兩個(gè)如圖有兩個(gè)LTI系統(tǒng)系統(tǒng)H1( )和和H2( )，若輸入同一個(gè)若輸入同一個(gè)均值為零的平穩(wěn)過程均值為零的平穩(wěn)過程 X(t) ，它們的輸出分別為，它們的輸出分別為 Y1(t) 和和Y2(t)。如何設(shè)計(jì)。如何設(shè)計(jì)H1( )和和H2( )才能使才能使Y1(t) 和和Y2(t)互不相關(guān)？互不相關(guān)？解X (t)Y1(t)H1( )H2( )Y2(t)互不相關(guān)互不相關(guān) 協(xié)方差為零協(xié)方差為零d)()()()()(htXthtXtY0d)(11hmmXY0d)(22hmmXY )()()(dd )()()( )()()(21212121 hhRvuvhuhvuRtYtYERXXYY)()()()(2121HHssXYY, 0)( 21時(shí)當(dāng)YYs0)(21YYR0)(21YYC當(dāng)兩個(gè)當(dāng)兩個(gè)LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)的幅頻特性幅頻特性互不重疊時(shí)互不重疊時(shí)，則，則它們的輸出它們的輸出Y1(t) 和和Y2(t) 互不相關(guān)?；ゲ幌嚓P(guān)。例4 （成形濾波器成形濾波器）求一個(gè)可實(shí)現(xiàn)的穩(wěn)定系統(tǒng)）求一個(gè)可實(shí)現(xiàn)的穩(wěn)定系統(tǒng)H( )，使，使得當(dāng)?shù)卯?dāng)輸入