D81向量及運(yùn)算22593實用教案

1、四、利用四、利用(lyng)坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算算 第一節(jié)第一節(jié)一、向量一、向量(xingling)的概念的概念二、向量二、向量(xingling)的線性的線性運(yùn)算運(yùn)算 三、空間直角坐標(biāo)系三、空間直角坐標(biāo)系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 向量及其線性運(yùn)算 第八八章 第1頁/共30頁第一頁，共31頁。表示法:向量(xingling)的模 :向量(xingling)的大小,一、向量一、向量(xingling)的的概念概念向量:(又稱矢量). 1M2M既有大小, 又有方向的量稱為向量自由向量: 與起點(diǎn)無關(guān)的向量.單位向量:模為 1 的向量,零向量: 模為 0

2、的向量,有向線段 M1 M2 ,或 a ,記作 e 或e .或 a .00或，記作第2頁/共30頁第二頁，共31頁。規(guī)定: 零向量與任何(rnh)向量平行 ;若向量 a 與 b大小相等, 方向相同, 則稱 a 與 b 相等,記作 ab ;若向量 a 與 b 方向相同或相反, 則稱 a 與 b 平行, ab ;與 a 的模相同, 但方向相反的向量稱為 a 的負(fù)向量,記作因平行向量(xingling)可平移到同一直線上, 故兩向量(xingling)平行又稱 兩向量共線 .若 k (3)個向量經(jīng)平移可移到同一平面上 ,則稱此 k 個向量共面 .記作a ;第3頁/共30頁第三頁，共31頁。二、向量二

3、、向量(xingling)的線的線性運(yùn)算性運(yùn)算1. 向量向量(xingling)的的加法加法三角形法則(fz):平行四邊形法則:運(yùn)算規(guī)律 :交換律結(jié)合律bbabbacba)()(cbacbaabcba cb)(cbacba )(aaba ba cba0Ma第4頁/共30頁第四頁，共31頁。s3a4a5a2a1a54321aaaaas三角形法則(fz)可推廣到多個向量相加 .0M1M2M第5頁/共30頁第五頁，共31頁。2. 向量向量(xingling)的減法的減法三角(snjio)不等式ab)( ab有時特別當(dāng),ab aa )( aababaabababa0bababa2M1Mba 第6頁/共

4、30頁第六頁，共31頁。可見(kjin)aa 1;1aa3. 向量向量(xingling)與數(shù)與數(shù)的乘法的乘法 是一個(y )數(shù) ,規(guī)定 :總之:運(yùn)算律 :結(jié)合律分配律因此，同向與aa 與 a 的乘積是一個新向量, 記作.a;aa，反向與aa;aa.0aaa)(aa)(aa)( aaba)(ba , 0a若ae則有單位向量.1aaaeaa 第7頁/共30頁第七頁，共31頁。定理定理(dngl)1. 設(shè) a 為非零向量(xingling) , 則( 為唯一(wi y)實數(shù))證證: “ ”., 取 且再證數(shù) 的唯一性 .則abab設(shè) abba反向時取負(fù)號, a , b 同向時取正號則 b 與 a

5、同向,設(shè)又有 b a ,0)(aaa baab.ab故,0a而第8頁/共30頁第八頁，共31頁?！?”則例例1. 設(shè) M 為MBACD解解:ABCD 對角線的交點(diǎn),ba,aAB ,bDAACMC2MA2BDMD2MB2已知 b a ,b0a , b 同向a , b 反向ab .,MDMCMBMAba表示與試用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD第9頁/共30頁第九頁，共31頁。三、空間三、空間(kngjin)直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸(shzhu)按右手規(guī)則組成一個(y )空間直角坐標(biāo)系. 坐標(biāo)原點(diǎn) 坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z 軸(豎軸)

6、過空間一定點(diǎn) O , 坐標(biāo)面 卦限(八個)1. 空間直角坐標(biāo)系的基本概念空間直角坐標(biāo)系的基本概念zOx面第10頁/共30頁第十頁，共31頁。在直角坐標(biāo)在直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)系下系下向徑坐標(biāo)軸上的點(diǎn) P, Q , R ;坐標(biāo)(zubio)面上的點(diǎn) A , B , C點(diǎn)點(diǎn) M特殊(tsh)點(diǎn)的坐標(biāo) :有序數(shù)組 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR), 0(zyB(稱為點(diǎn) M 的坐標(biāo)坐標(biāo))原點(diǎn) O(0,0,0) ;rr)0 ,(yxAM), 0 ,(zxC第11頁/共30頁第十一頁，共31頁。坐標(biāo)軸 : 坐標(biāo)(zubio)面 :xyzO第12頁/共30

7、頁第十二頁，共31頁。2. 向量向量(xingling)的坐的坐標(biāo)表示標(biāo)表示在空間(kngjin)直角坐標(biāo)系下,設(shè)點(diǎn) M 則沿三個坐標(biāo)軸方向(fngxing)的分向量,xOyz的坐標(biāo)為此式稱為向量 r 的坐標(biāo)分解式坐標(biāo)分解式 ,任意向量 r 可用向徑 OM 表示.NMONOMOCOBOA記記 , ixOA , jyOB rkzjyix稱為向量,kzOC kzjyixrikjr.,的坐標(biāo)稱為向量 rzyx第13頁/共30頁第十三頁，共31頁。四、利用坐標(biāo)四、利用坐標(biāo)(zubio)作向量的作向量的線性運(yùn)算線性運(yùn)算則平行向量對應(yīng)坐標(biāo)(zubio)成比例:設(shè)),(zyxaaaa , ),(zyxbbb

8、b baa,0 時當(dāng)aab ab第14頁/共30頁第十四頁，共31頁。例例2.求解(qi ji)以向量為未知元的線性方程組解解: 2 3 , 得ayx35byx23.211,212），（），（其中babax323 5 , 得第15頁/共30頁第十五頁，共31頁。例例3. 已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn)在AB所在(suzi)直線上求一點(diǎn) M , 使解解: 設(shè)設(shè) M 的坐標(biāo)的坐標(biāo)(zubio)為為如圖所示AB及實數(shù)(shsh)得即.MBAMAMMBAMOAOM MBOMOB AOOM )(OMOBOMOBOA(M第16頁/共30頁第十六頁，共31頁。說明說明(shumng): 由由得定比分(b fn)點(diǎn)公式:點(diǎn)

9、 M 為 AB 的中點(diǎn)(zhn din) ,于是得),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中點(diǎn)公式中點(diǎn)公式:ABMoABM第17頁/共30頁第十七頁，共31頁。五、向量五、向量(xingling)的模、的模、方向角、投影方向角、投影 1. 向量的模與兩點(diǎn)間的距離向量的模與兩點(diǎn)間的距離(jl)公式公式則有xOyzMN由勾股定理(u dn l)得因AB得兩點(diǎn)間的距離公式:對兩點(diǎn)與, rOM作NMON BABAOAOBBA),(zyxr 設(shè)OMr OMr OROQOP第18頁/共30頁第十八頁，共31頁。例例4. 求證求證(qizhng)以以證證: 2) 12( 6即為等腰三角形 .的三

10、角形是等腰三角形 . 為頂點(diǎn)(dngdin)第19頁/共30頁第十九頁，共31頁。例例5. 在在 z 軸上求與兩軸上求與兩點(diǎn)點(diǎn)等距解解: 設(shè)該點(diǎn)為解得故所求點(diǎn)為及思考思考(sko):(1) 如何求在 xOy 面上(min shn)與A , B 等距離之點(diǎn)的軌跡方程?(2) 如何求在空間(kngjin)與A , B 等距離之點(diǎn)的軌跡方程 ?離的點(diǎn) . 第20頁/共30頁第二十頁，共31頁。(1) 如何求在 xOy 面上與A , B 等距離之點(diǎn)的軌跡方程?(2) 如何求在空間與A , B 等距離之點(diǎn)的軌跡方程 ?)7, 1 ,4(A)2,5,3(B提示提示(tsh):(1) 設(shè)動點(diǎn)為利用(lyng

11、)得(2) 設(shè)動點(diǎn)為, ),(zyxM利用(lyng),BMAM得且例6. 已知兩點(diǎn)解解:BABA求AB的單位向量 e .e第21頁/共30頁第二十一頁，共31頁。Oyzx2. 方向方向(fngxing)角角與方向與方向(fngxing)余弦余弦設(shè)有兩非零向量(xingling) 任取空間(kngjin)一點(diǎn) O ,OAB稱 =AOB (0 ) 為向量 的夾角. 類似可定義向量與軸, 軸與軸的夾角 . 與三坐標(biāo)軸的夾角 , , 為其方向角方向角.方向角的余弦稱為其方向余弦方向余弦. ,aOA作, bOB ,baba,0),(zyxr給定r稱),(ba記作),(ab或rxr第22頁/共30頁第二

12、十二頁，共31頁。Oyzxcos222zyxx方向余弦(yxin)的性質(zhì):rxryrzrrer:的單位向量向量 r第23頁/共30頁第二十三頁，共31頁。例例7. 已知兩已知兩點(diǎn)點(diǎn)和的模 、方向(fngxing)余弦和方向(fngxing)角 . 解解:計算(j sun)向量(21MM21MM第24頁/共30頁第二十四頁，共31頁。例例8. 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) A 位于位于(wiy)第一卦限第一卦限,解解: 已知角依次(yc)為求點(diǎn) A 的坐標(biāo)(zubio) . 則因點(diǎn) A 在第一卦限 ,故于是故點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 向徑 OA 與 x 軸 y 軸的夾 ,6AO且OA第二節(jié) OAeAO6第25頁/共30頁第

13、二十五頁，共31頁。uOuuaa)(Prj或記作3. 向量向量(xingling)在軸在軸上的投影上的投影第二節(jié) Oua則 a 在軸 u 上的投影為 例如(lr), ),(zyxaaaa 在坐標(biāo)軸上的投影(tuyng)分別為 設(shè) a 與 u 軸正向的夾角為 ,M, 即 cos)(aaucosa投影的性質(zhì)2) uuaa)()(1) uuubaba)()()(為實數(shù)) M第26頁/共30頁第二十六頁，共31頁。例例9.第二節(jié) 設(shè)立方體的一條(y tio)對角線為OM, 一條(y tio)棱為 OA, 且 求OA 在 OM 方向上的投影. 解解: 如圖所示, 記 MOA = , AOM作業(yè)作業(yè)(zu

14、y) P1213 4, 5, 13, 15, 練習(xí)：練習(xí)： P13 6, 8, 12, 18, 19cosPrjOAOAOM第27頁/共30頁第二十七頁，共31頁。備用備用(biyng)題題解解: 因1. 設(shè)求向量(xingling)在 x 軸上的投影(tuyng)及在 y 軸上的分向量.在 y 軸上的分向量為故在 x 軸上的投影為,853kjim,742kjinkjip45pnma34pnma34)853(4kji)742(3kji)45(kjikji15713jjay7第28頁/共30頁第二十八頁，共31頁。2. 設(shè)設(shè)求以向量(xingling)行四邊形的對角線的長度(chngd) . 該平行四邊形的對角線的長度(chngd)各為 對角線的長為解：解：為邊的平mnnm ,|,|nm|nm)1 , 1, 1(nm)1,3, 1(nm3|nm11|nm,2kjn, jim第29頁/共30頁第二十九頁，共31頁。感謝您的欣賞(xnshng)！第30頁/共30頁第三十頁，