初中經(jīng)典幾何證明練習(xí)題含答案

1、=15°。初中幾何證明題經(jīng)典題（一）1、已知：如圖，O是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點(diǎn)，CD±AB,EFLAB,EG±CO.求證：CD=GF.（初二）證明：過點(diǎn)G作GHLAB于H,連接OEEG±CO,EFlAB/EGO=9O°,zEFO=9CT ./EGO吆EFO=18O E、G、O、F四點(diǎn)共圓./GEO=ZHFG/EGO=ZFHG=90°.EG8FHGEOGO=FGHGGH±AB,CD,AB .GH/CDGOCOHGCD,EOCOFGCDEO=COCD=GF2、已知：如圖，P是正方形ABCD部的一點(diǎn)，/PAD=/PDA求證

2、：PBC是正三角形.（初二）證明：作正三角形ADM,連接MP ./MAD=60°,zPAD=15°/MAP=ZMAD+ZPAD=75° ./BAD=90°,zPAD=15° ./BAP=ZBAD-/PAD=90-15=75° .ZBAP=ZMAP MA=BA,AP=AP .MAPABAP/BPA=ZMPA,MP=BP同理/CPD=ZMPD,MP=CP ./PAD=/PDA=15°PA=PD,/BAP=ZCDP=75° BA=CD .BAP/CDP/BPA=ZCPD /BPA=ZMPA,/CPD=ZMPD ./MPA

3、=ZMPD=75° ./BPC=360-75°4=60° MP=BP,MP=CPBP=CP.BPC是正三角形N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長線交MN于E、3、已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC,M、F.求證：/DEN=/F.證明:連接AC,取AC的中點(diǎn)G,連接NGMG =DN,CG=DG-1 .GN/AD,GN=-AD ./DEN=ZGNM AM=BM,AG=CGGM/BC,GM=1bC2 ./F=ZGMN AD=BCGN=GM ./GMN=ZGNM/DEN=ZF經(jīng)典題（二）OM±BC于M.1、已知：ABC中，H為垂心（各邊高線的交點(diǎn)）

4、，O為外心，且（1）求證：AH=2OM;（2）若/BAC=60°,求證：AH=AO.（初二）證明：（1）延長AD交圓于F,連接BF,過點(diǎn)O作OGLAD于GOG±AFAG=FG .AB=AB/F=ZACB又ADBC,BEXAC /BHD+ZDBH=90°/ACB+ZDBH=90°/ACB=ZBHD ./F=ZBHDBH=BF又AD±BCDH=DFAH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=GH+DH=2GD又ADBC,OM±BC,OG±AD四邊形OMDG是矩形OM=GDAH=2OM（2）連接OB、OC

5、./BAC=60.,./BOC=12O°,.OB=OGOMXBC,1。一。/BOM=-/BOC=60/OBM=302BO=2OM由（1）知AH=2OM，AH=BO=AO2、設(shè)MN是圓O外一條直線，過O作OA，MN于A,自A引圓的兩條割線交圓O于B、C及D、E,連接CD并延長交MN于Q,連接EB并延長交MN于P.求證：AP=AQ.證明：作點(diǎn)E關(guān)于AG的對稱點(diǎn)F,連接AF、CF、AG±PQ/PAG=/QAG=90°又/GAE之GAF/PAG+ZGAE之QAG+ZGAF即/PAE=ZQAFE、F、C、D四點(diǎn)共圓AEF+ZFCQ=180°EF±AG,P

6、Q±AGEF/PQ/PAF=ZAFE AF=AE /AFE之AEF在AEP和AFQ中a/AFQ=/AEP:AF=AE./QAF=/PAEAEPAAFQAP=AQ /AEF土PAF ./PAF+/QAF=180° /FCQ4QAFFC、A、Q四點(diǎn)共圓 /AFQ玄ACQ又/AEP=ZACQ /AFQ土AEP3、設(shè)MN是圓O的弦，過MN的中點(diǎn)A任作兩弦BC、DE,設(shè)CD、EB分別交MN于P、Q.求證：AP=AQ.（初二）證明：作OF±CD于F,OG±BE于G,連接OP、OQOAAF、AGC、D、B、E四點(diǎn)共圓.B=/D,/E=ZC.AB®ADCABB

7、E2BGBGADDC2FDDF.AB8ADF/AGB=ZAFD/AGE土AFCAM=AN,OA,MN又OGLBE,./OAQ+ZOGQ=18OO、A、Q、E四點(diǎn)共圓/AOQ=ZAGE同理/AOP=ZAFC/AOQ=ZAOP又/OAQ=ZOAP=9O°,OA=OA.OAgOAPAP=AQ4、如圖，分別以ABC的AB和AC為一邊，在ABC的外側(cè)作正方形ABFG和正方形ACDE,點(diǎn)O是DF的中點(diǎn)，OP，BC求證：BC=2OP（初二）L、M、N證明：分別過F、A、D作直線BC的垂線，垂足分別是 .OF=ODDN/OP/FLPN=PL，OP是梯形DFLN的中位線DN+FL=2OP ABFG是正

8、方形ABM+ZFBL=90°又/BFL+ZFBL=90°ABM=/BFL又/FLB=ZBMA=90°,BF=AB.BFLZABMFL=BM同理AMCDCM=DNBM+=FL+DNBC=FL+DN=2OP經(jīng)典題（三）1、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE/AC,AE=AC,AE與CD相交于F.求證：CE=CF.（初二）證明：連接BD交AC于Oo過點(diǎn)E作EG±AC于G ABCD是正方形BD±AC又EG±ACBD/EG又DE/ACODEG是平行四邊形又/COD=90°ODEG是矩形EG=OD=1BD=1AC=1AE222/EAG=

9、30° AC=AE /ACE玄AEC=75又/AFD=90-15=75°/CFE=/AFD=75°=ZAECCE=CF2、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE/AC,且CE=CA,直線EC交DA延長線于F.求證：AE=AF.(初二)證明：連接BD,過點(diǎn)E作EG±AC于GABCD是正方形BD±AC,又EG±ACBD/EG又DE/ACODEG是平行四邊形又/COD=90°ODEG是矩形EG=OD=1BD=1AC=1CE“/CAE=/CEA=-/GCE=15°2在AFC中/F=180°-/FAC-/ACF=180

10、°-ZFAC-ZGCE2/GCE=30°AC=ECF=ZCEA.AE=AF=180°-135°-30°=15°3、設(shè)P是正方形求證：PA=PF.ABCD一邊BC上的任一點(diǎn)，PF±AP,（初二）CF平分/DCE.證明：過點(diǎn)F作FG!CE于G,CD±CG，HCGF是矩形 ./HCF=ZGCF'.FH=FGHCGF是正方形CG=GF .APIFP /APB+ZFPG=90 /APB+ZBAP=90° /FPG玄BAPFhl±CD于H設(shè)AB=x,BP=y,CG=z又/FGP=ZPBA .FGMP

11、BA .FG:PB=PGAB4、如圖，PC切圓O于C,求證：AB=DC,BC=AD.證明：過點(diǎn)E作EK/BD,連接OH、MH、EC EH=FHOH±EF,/PHQ=90°又PCXOC,./PQC=90°P、C、H、O四點(diǎn)共圓/HCO=ZHPOz：y=(x-y+z)：x化簡彳導(dǎo)(x-y)-y=-x-yw0y=z即BP=FG(x-y)zABPAPGFAC為圓的直徑，PEF為圓的割線，AE、AF與直線PO相交于B、D.（初三）分別交ACAF于M、K,取EF的中點(diǎn)H,.EM=KM.EK/BD又EK/BD,/HPO=ZHEK ./HCM=/HEM H、CE、M四點(diǎn)共圓/EC

12、M=ZEHM又/ECM=ZEFA ./EHM=ZEFAHM/AC EH=FH,OBAOEMAM.OB=OD又AO=CO，四邊形ABCDODKM的對角線互相平分.ABCD是平行四邊形.AB=DC,BC=ADBHC2、設(shè)P是平行四邊形ABCD部的一點(diǎn)，且/PBA=/PDA.又/ADP=/ABP/AEP=/ABPA、E、B、P四點(diǎn)共圓/BEP=/PAB/PAB=/PCB經(jīng)典題（四）1、已知：ABC是正三角形，P是三角形一點(diǎn)，PA=3,PB=4,求/APB的度數(shù).（初二）解：將ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得ZBCQ,連接PQ則BPQ是正三角形/BQP=60°,PQ=PB=3在A

13、PQC中，PQ=4,CQ=AP=3PC=5.PQC是直角三角形/PQC=90°/BQC=ZBQP+/PQC=60+90=150°B./APB=ZBQC=150°求證：/PAB=/PCB.（初二）證明：過點(diǎn)P作AD的平行線，過點(diǎn)兩平行線相交于點(diǎn)E,連接BE.PE/AD,AE/PDADPE是平行四邊形PE=AD,又ABCD是平行四邊形AD=BC'PE=BC又PE/AD,AD/BC.PE/BCBCPE是平行四邊形；/BEP=ZPCBIADPE是平行四邊形/ADP=ZAEP13、設(shè)ABCD為圓接凸四邊形，求證:AB-CD+AD-BC=AC-BD.(初三)證明：在B

14、D上去一點(diǎn)E,使/BCE=/ACD CD=CD/CAD=ZCBD .BECADCBEBCADACAD-BC=BE-AC /BCE玄ACD /BCE叱ACE之ACD+ZACE即/BCA=ZECD 品Bt，/BAC=ZBDCBACsEDCABACDECDAB-CD=DE-AC+得AB-CD+AD-BC=DE-AC+BE-AC=(DE+BE)AC=BD-AC4、平行四邊形ABCD中，設(shè)E、F分別是BC、AB上的一點(diǎn)，AE與CF相交于P,且AE=CF.求證：/DPA=/DPC.（初二）證明：過點(diǎn)D作DG，AE于G,彳DHXFCTH,連接Saade=-AE-DG,Safdc=-FC-DH_1又SaaDE

15、=SzFDC=2s口ABCDAE-DG=FC-DH又AE=CFDG=DH.點(diǎn)D在/APC的角平分線上/DPA=/DPC經(jīng)典題（五）1、設(shè)P是邊長為1的正ABC任一點(diǎn),L=PA+PB+PC,求證：J3wLv2.證明：（1）將BPC繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°的ZBEF,連接PE, BP=BE/PBE=60° .pbe是正三角形。pe=pb又ef=pcl=pa+pb+pc=pa+pe+ef當(dāng)PA、pe、ef在一條直線上的時(shí)候，l=pa+pe+ef勺值最?。ㄈ鐖D）在4ABF中，/ABP=120°.AF=v3 L=PA+PB+PCC.3（2）過點(diǎn)P作BC的平行線分別交AB、AC

16、于DG則ADG是正三角形/ADP=ZAGP,AG=DG./APD>/AGP./APD>/ADPAD>PA又BD+PD>PBCG+PG>PC+彳Aad+bd+cg+pd+pg>pa+pb+pc.1.ab+cg+dg=ab+cg+ag=ab+acpa+pb+pc=lAB=AC=1,Lv2由(1)(2)可知：<3<L<2.2、已知：P是邊長為1的正方形ABCD的一點(diǎn)，求PA+PB+PC的最小值.解：將4BCP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得BEF連接PE,則BPE是正三角形PE=PB/.PA+PB+PC=PA+PE+EF要使PA+PB+PC最小

17、，則PA、PE、EF應(yīng)該在一條直線上(如圖)此時(shí)AF=PA+PE+EF過點(diǎn)F作FG，AB的延長線于GAF=.GF2AG2=,12。"貝U/GBF=180-ZABF=180-150=30°.GF=1,BG=3求正方形的邊長.PA+PB+PC的最小值是v2J33、P為正方形ABCD的一點(diǎn)，并且PA=a,PB=2a,PC=3a,證明：將ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得出CQ連接PQ則BPQ是等腰直角三角形，PQ=%/2PB=J2>2a=242a又QC=AP=aQP2+QC?=(22a)2+a2=9a2=PC2 APQC是直角三角形 ./BQC=135°BC

18、2=BQa+CQi-2BQ-CQcos/BQC=PB2+PA2-2PB-PAcos135°=4a2+a2-2>2a冷>(-2)2解得BC=.522a .正方形的邊長為52：2aDCA=30°,zEBA=20°,求/4、如圖，ABC中，/ABC=/ACB=80°,D、E分別是AB>AC上的點(diǎn)，/BED的度數(shù).解：在AB上取一點(diǎn)F,使/BCF=60,CF交BE于G,連接EF、DG ./ABC=80°,zABE=20°,.ZEBC=60°,又ZBCG=60 .BCG是正三角形，BG=BC/ACB=80°,zBCG=60°zFCA=20°zEBA=ZFCA又/A=ZA,AB=AC.1.ABEACF，AE=AF,1，。，、.ZAFE=/AEF=2(180-/A)=80又./ABC=80°=/AFE，EF/BC，/EFG=ZBCG=60°.EFG是等邊三角形.EF=EG/FEG=/EGFNEFG=60ACB=80°,ZDCA=3O°.zBCD=50°/BDC=180-/BCD-ZABC=180-50-80=50°/BCD=ZB