降落傘數(shù)學(xué)模型

1、1降落傘問(wèn)題降落傘問(wèn)題跳傘中的安全性至關(guān)重跳傘中的安全性至關(guān)重要，研究飛行和著陸的數(shù)要，研究飛行和著陸的數(shù)學(xué)模型對(duì)此大有幫助。學(xué)模型對(duì)此大有幫助。本節(jié)將對(duì)跳傘中的一些本節(jié)將對(duì)跳傘中的一些問(wèn)題進(jìn)行描述、分析并建問(wèn)題進(jìn)行描述、分析并建模。這些模型采用簡(jiǎn)化數(shù)模。這些模型采用簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)僅用于說(shuō)明問(wèn)題。據(jù)僅用于說(shuō)明問(wèn)題。2研究性課題研究性課題 假設(shè)跳傘員體重是假設(shè)跳傘員體重是 103 kg，飛機(jī)飛行高度為，飛機(jī)飛行高度為 4000 m（z軸方向），飛行速度為軸方向），飛行速度為 115 m/s（y軸軸方向），跳傘員從飛機(jī)一側(cè)離開飛機(jī)，初始速度方向），跳傘員從飛機(jī)一側(cè)離開飛機(jī)，初始速度為為 0.555 m/

2、s（x軸方向）。軸方向）。問(wèn)題：研究跳傘員著陸時(shí)是否會(huì)對(duì)身體造成傷害？問(wèn)題：研究跳傘員著陸時(shí)是否會(huì)對(duì)身體造成傷害？p 對(duì)骨骼的沖擊是否會(huì)導(dǎo)致骨折？對(duì)骨骼的沖擊是否會(huì)導(dǎo)致骨折？p 速度急劇下降產(chǎn)生的頭部剪應(yīng)變是否會(huì)導(dǎo)致腦震蕩？速度急劇下降產(chǎn)生的頭部剪應(yīng)變是否會(huì)導(dǎo)致腦震蕩？3背景背景xyoz跳傘示意圖跳傘示意圖4問(wèn)題分析問(wèn)題分析跳傘員從離開飛機(jī)到拉開傘繩之前，共有跳傘員從離開飛機(jī)到拉開傘繩之前，共有11.5秒秒是自由落體運(yùn)動(dòng)，這段時(shí)間空氣阻力可忽略不計(jì)。是自由落體運(yùn)動(dòng)，這段時(shí)間空氣阻力可忽略不計(jì)。打開降落傘的同時(shí)，跳傘員還受到打開降落傘的同時(shí)，跳傘員還受到x軸正向上大軸正向上大小為小為1.2m/s

3、的橫向風(fēng)（順風(fēng)跳傘）的影響。的橫向風(fēng)（順風(fēng)跳傘）的影響。此后，由于必須考慮空氣阻力，下降變成了沿各此后，由于必須考慮空氣阻力，下降變成了沿各個(gè)軸加速度非恒定的三維拋射運(yùn)動(dòng)。個(gè)軸加速度非恒定的三維拋射運(yùn)動(dòng)。 5模型假設(shè)模型假設(shè) 不考慮復(fù)雜著陸地形，如非平坦地面或樹林或不適當(dāng)?shù)闹豢紤]復(fù)雜著陸地形，如非平坦地面或樹林或不適當(dāng)?shù)闹懛绞健ｊ懛绞健?跳傘員不會(huì)彎曲或扭曲著陸，這樣骨頭與韌帶的斷裂力矩跳傘員不會(huì)彎曲或扭曲著陸，這樣骨頭與韌帶的斷裂力矩?zé)o需考慮。無(wú)需考慮。 跳傘員離開飛機(jī)是直接跳下，沒有旋轉(zhuǎn)。跳傘員離開飛機(jī)是直接跳下，沒有旋轉(zhuǎn)。 盡管身體減速所需的力量對(duì)韌帶和肌腱造成較大的拉伸應(yīng)盡管身體減

4、速所需的力量對(duì)韌帶和肌腱造成較大的拉伸應(yīng)力，不過(guò)相對(duì)骨頭損傷而言，這種影響小很多，因此我們力，不過(guò)相對(duì)骨頭損傷而言，這種影響小很多，因此我們忽略這些影響，只考慮骨頭損傷。忽略這些影響，只考慮骨頭損傷。 沖擊力經(jīng)過(guò)韌帶和肌肉傳到骨頭時(shí)沒有衰減。沖擊力經(jīng)過(guò)韌帶和肌肉傳到骨頭時(shí)沒有衰減。 假設(shè)降落傘瞬間打開，引力立刻起效，沒有過(guò)渡。假設(shè)降落傘瞬間打開，引力立刻起效，沒有過(guò)渡。 數(shù)據(jù)是準(zhǔn)確的（盡管實(shí)際上只是近似值）。數(shù)據(jù)是準(zhǔn)確的（盡管實(shí)際上只是近似值）。6降落時(shí)間和路徑：自由落體階段降落時(shí)間和路徑：自由落體階段v打開降落傘時(shí)的高度打開降落傘時(shí)的高度Z軸軸vX軸向位置（加速度為軸向位置（加速度為0）20

5、0( )0.5zzz tzv ta t200( )0.5xxx txv ta t7降落時(shí)間和路徑：自由落體階段降落時(shí)間和路徑：自由落體階段v打開降落傘時(shí)的高度打開降落傘時(shí)的高度Z軸軸vX軸向位置（加速度為軸向位置（加速度為0）(11.5*0.555)vY軸向位置（加速度為軸向位置（加速度為0）(11.5*115)200( )0.5zzz tzv ta t200( )0.5xxx txv ta t200( )0.5yyy tyv ta t位置：位置：X=6.3825X=6.3825Y=1322.5Y=1322.5Z=3352.0Z=3352.08降落時(shí)間和路徑：自由落體階段降落時(shí)間和路徑：自由落

6、體階段此時(shí)的速度此時(shí)的速度X, Y軸速度不變軸速度不變Z軸速度為軸速度為9降落時(shí)間和路徑：自由落體階段降落時(shí)間和路徑：自由落體階段此時(shí)的速度此時(shí)的速度X, Y軸速度不變軸速度不變Z軸速度為軸速度為0zzzvva t(,)(0.555,115, 112.7)xyzv v v10階段二：降落傘打開到速度恒定階段階段二：降落傘打開到速度恒定階段運(yùn)動(dòng)狀態(tài)復(fù)雜，只能簡(jiǎn)化處理運(yùn)動(dòng)狀態(tài)復(fù)雜，只能簡(jiǎn)化處理假定降落傘瞬時(shí)打開假定降落傘瞬時(shí)打開跳傘員在一定時(shí)間內(nèi)速度減速為恒定速度（最終跳傘員在一定時(shí)間內(nèi)速度減速為恒定速度（最終速度）速度）實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上假定這個(gè)時(shí)間段為實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上假定這個(gè)時(shí)間段為 3 秒秒(測(cè)定測(cè)定)在

7、此期間下降在此期間下降 54 米米(測(cè)定測(cè)定)11階段三：打開降落傘后階段三：打開降落傘后v受力情況受力情況垂直方向空氣阻力垂直方向空氣阻力 D = dv2 （d = 20）Y軸方向空氣阻力軸方向空氣阻力 F = -bv （b = 10）X軸方向橫向風(fēng)影響軸方向橫向風(fēng)影響 w = 1.2m/s，產(chǎn)生的力大小，產(chǎn)生的力大小為為()Gb wv12階段三：打開降落傘后階段三：打開降落傘后v最終速度：最終速度：此時(shí)加速度為此時(shí)加速度為0垂直方向空氣阻力垂直方向空氣阻力 D = dv2 = mg （d = 20）故故 v2 = mg/d，v = 7.1042 m/s即跳傘員以此速度下降即跳傘員以此速度下

8、降 3352 54 = 3298 m，所需，所需時(shí)間為時(shí)間為 464.2 s總時(shí)間為總時(shí)間為 11.5 + 3 + 464.2 = 478.7 s13確定著陸坐標(biāo)確定著陸坐標(biāo)v牛頓第二定律牛頓第二定律 F = mavX軸軸()Fb wvbwbvmamxbxbw103 10 12xx14確定著陸坐標(biāo)確定著陸坐標(biāo)v牛頓第二定律牛頓第二定律 F = mavY軸軸Fbv ybvma0myby103 10 0yy15方程求解方程求解103 10 12xx103 10 0yy( 10/103)( )2507 1184.5ty te( 10/103)( )0.261 6.64351.2tx tet 將將 t

9、 = 467.2 代入可得代入可得 x = 560.4, y = 2507, z = 0 16著陸速度著陸速度( 10/103)( )2507 1184.5ty te( 10/103)( )0.261 6.64351.2tx tet ( 10/103)( 10/103)( )( 1184.5)( 10/103)115ttyv tee ( 10/103)( )(6.6435)( 10/103)1.2txv te( 10/103)467.2(467.2)0.6451.21.20 xve ( 10/103)467.2(467.2)1150yve(467.2)7.1042zv 17著陸速度著陸速度v碰

10、撞時(shí)速度的大小為碰撞時(shí)速度的大小為 v動(dòng)量（動(dòng)量（p = mv）改變量為）改變量為v沖擊力（時(shí)間沖擊力（時(shí)間200毫秒）毫秒）2227.2048xyzspeedvvv 0742.0944742.0944finalinitialppp /(742.0944)/ (0.2)3710.472Fpt 18結(jié)論結(jié)論骨頭骨頭極限抗拉強(qiáng)度極限抗拉強(qiáng)度平均橫截面積平均橫截面積最大承受力最大承受力股骨股骨1.21 1085.81 10(- 4) 70301脛骨脛骨1.41 1083.23 10(- 4) 45220脊髓脊髓(背部背部) 2.20 1084.42 10(- 4) 97240脊髓脊髓(頸部頸部) 1.80 1084.42 10(- 4) 79560剪應(yīng)力對(duì)頭部產(chǎn)生的傷害，用人體受沖擊的劇烈程剪應(yīng)力對(duì)頭部產(chǎn)生的傷害，用人體受沖擊的劇烈程度指數(shù)來(lái)度量（小于度指數(shù)來(lái)度量（小于400400安全），