高等代數(shù)考研復(fù)習(xí)[線性變換]

1、高等代數(shù)考研復(fù)習(xí)高等代數(shù)考研復(fù)習(xí) 第七章第七章 線性變換線性變換 201 2013 3年年 8 8月月 第七章第七章 線性變換線性變換線性變換是線性空間上的線性映射，反映線性變換是線性空間上的線性映射，反映了線性空間中元素之間的一種最基本的聯(lián)了線性空間中元素之間的一種最基本的聯(lián)系，它是線性系，它是線性函數(shù)函數(shù)的推廣的推廣. .本章主要內(nèi)容分三部分：本章主要內(nèi)容分三部分： 1) 1) 線性變換的概念、運算與線性變換的線性變換的概念、運算與線性變換的矩陣矩陣 2) 2) 特征值特征向量與矩陣的相似對角化特征值特征向量與矩陣的相似對角化 3) 3) 值域、核與不變子空間值域、核與不變子空間1 1、線

2、性變換概念、運算與線性變換矩陣、線性變換概念、運算與線性變換矩陣1.1 1.1 線性變換定義：設(shè)線性變換定義：設(shè)V V是數(shù)域是數(shù)域P P上的線性空間，上的線性空間，A A是是V V上的一個變換上的一個變換. .如果對于任意的如果對于任意的, V, V, kkP P 都有都有 A A(+ + )=A A( )+A+A( )，A A(k)=kA A( ),則稱則稱A A為空間為空間V V上上的一個線性變換的一個線性變換. . 說明說明:(1) :(1) 如果對任意的如果對任意的 V V，A A( )=0 0，則稱則稱A A為為零變換零變換. .（2 2）如果對任意的）如果對任意的 V V，A A(

3、 )= ，則稱則稱A A為為V V的的恒等變換（也叫單位變換）恒等變換（也叫單位變換）. .（3 3）A A是是V V的線性變換的充分必要條件是：的線性變換的充分必要條件是： ()( )( ), , , ,.klklV k lP AAAAA A1.2 1.2 線性變換性質(zhì)：線性變換性質(zhì)： 設(shè)設(shè)V V是數(shù)域是數(shù)域P P上的線性空間，上的線性空間，AA是是V V的線性變的線性變換，則有換，則有 (1) (1)(0)0,()( ); AAAAAA1122111122()()()()();sssskkkkkkkA AAAAAAAAA(2)2)(3) (3) 線性變換將線性相關(guān)的向量組變成線性相線性變換

4、將線性相關(guān)的向量組變成線性相關(guān)的向量組關(guān)的向量組. .1.3 1.3 線性變換的運算線性變換的運算 設(shè)設(shè)V V是數(shù)域是數(shù)域P P上的線性空間，上的線性空間， 是是V V上的線上的線性變換性變換. . 1) 1) 線性運算線性運算A , BA , B把線性變換的加法與數(shù)乘運算統(tǒng)稱為線性變換的把線性變換的加法與數(shù)乘運算統(tǒng)稱為線性變換的線性運算線性運算. . a) a) 加法運算加法運算定義定義 ()( )( )( ),VA +BAB A +BAB 則稱則稱 仍是仍是V V的線性變換，并稱它為的線性變換，并稱它為與與 的和的和. . b) b) 數(shù)乘運算數(shù)乘運算A +BA +BA A B B定義定義

5、則稱則稱 仍是仍是V V的線性變換，并稱它為數(shù)乘線性的線性變換，并稱它為數(shù)乘線性變換變換. . 說明：線性空間說明：線性空間V V上的所有線性變換對于線性上的所有線性變換對于線性變換的加法與數(shù)乘變換構(gòu)成變換的加法與數(shù)乘變換構(gòu)成P P上的線性空間上的線性空間, ,記記為為L(V).L(V).即對即對 ()( )( ),.kkV kPAAAAkA A,( )( ),( ).L VL VkL VABA +BAABA +BA令令 是是n n維空間維空間V V的基，對任意的的基，對任意的12,n ( ),n nL VAP A A 使得使得1212,(),()nn A A并且并且12,nAB A +BA

6、+B12,.nkkA A A 故L(V)與 同構(gòu).因此，n nP2dim ( ).L Vn2 2）線性變換的乘法運算線性變換的乘法運算乘法運算的定義乘法運算的定義：設(shè)為：設(shè)為 線性空間線性空間V V的線的線性變換，定義性變換，定義A , BA , B()( )( ),VA BAB A BAB 則稱則稱 是是V的線性變換，并稱它為的線性變換，并稱它為 與與的乘積的乘積.說明：變換乘積滿足結(jié)合律，乘法對加法的分說明：變換乘積滿足結(jié)合律，乘法對加法的分配率，數(shù)乘結(jié)合律配率，數(shù)乘結(jié)合律.但是不滿足交換律但是不滿足交換律.A B A B A A B B線性變換的方冪與多項式變換：線性變換的方冪與多項式變

7、換：n個線性變換個線性變換 的乘積稱為的乘積稱為 的的n次冪，記為次冪，記為 即即規(guī)定：規(guī)定： 當(dāng)當(dāng) 可逆時，規(guī)定可逆時，規(guī)定一般地，一般地， 但是但是A A A A nA A nA A= =A A A A A A . .0A= E.A= E.A A 1()nnA A= = A A. . A BB A ,A BB A ,() ()() ().fggfABBAABBA3)3)逆變換逆變換 逆變換的定義：設(shè)逆變換的定義：設(shè) 是線性空間是線性空間V V上的線性上的線性變換，如果存在變換，如果存在V V上的線性變換上的線性變換 ，使得，使得 A A B BA A B B = =B B A A = =E

8、 E, ,其中其中 是恒等變換，則稱是恒等變換，則稱 是可逆的，并稱是可逆的，并稱是是 的逆變換，記為的逆變換，記為 .逆變換的性質(zhì)：逆變換的性質(zhì)： () 逆變換也是可逆的線性變逆變換也是可逆的線性變換，且換，且E EA A B BA A 1A A 11().A AA A() 線性變換線性變換 可逆可逆 是是 是雙射是雙射.4) 線性變換的矩陣線性變換的矩陣 () 兩個線性變換相等兩個線性變換相等 如果線性空間如果線性空間V的線性變換的線性變換 與與 在在V的基的基 上的作用相同，即上的作用相同，即則則() V上線性變換確定定理：上線性變換確定定理： A A A A A A B B12,n (

9、)() (1,2, ),iiinA BA BA =B .A =B .設(shè)設(shè) 是線性空間是線性空間V的一組基，的一組基，是是V中任一一組向量，則在中任一一組向量，則在V上一定存在一個線上一定存在一個線性變換性變換 使得使得確定線性變換確定線性變換 的方法：任取的方法：任取 則則 定義定義那么那么 就是就是V上滿足條件的線性變換上滿足條件的線性變換.12,n 12,n A A ()(1,2, ).iiinA A A A ,V1122nnkkk1122( )nnxxxA+ A+ A A () 線性變換的矩陣線性變換的矩陣 設(shè)設(shè) 是是n維空間維空間V的一組基，的一組基， 是是V的線性變換，如果基的像可以

10、被基線性表出，的線性變換，如果基的像可以被基線性表出，即即 用矩陣表示就是用矩陣表示就是12,n A A 11112121212122221122()()()nnnnnnnnnnaaaaaaaaaA+ A+ A+ A+ A+ A+ 121212()(),(),()() .nnnA AA A A AA A A 稱為線性變換稱為線性變換 在基在基 下的矩陣下的矩陣.() 線性變換的運算與矩陣運算的關(guān)系：線性變換的運算與矩陣運算的關(guān)系： 在線性空間在線性空間V中取定一組基后，中取定一組基后，V上的線性上的線性變換與它在這組基下的矩陣之間是變換與它在這組基下的矩陣之間是1-1對應(yīng)的對應(yīng)的.因此線性變換

11、的運算對應(yīng)矩陣的運算，反之，因此線性變換的運算對應(yīng)矩陣的運算，反之，矩陣的運算對應(yīng)線性變換的運算矩陣的運算對應(yīng)線性變換的運算.即即A A 12,n 設(shè)線性變換設(shè)線性變換 與與 在基在基 下的矩陣分下的矩陣分別為別為A和和B,則則 a) b) c) d) 可逆可逆 A可逆，且可逆，且A A B B12,n 1212()()(,)();,nnAB A A B1212()(,;,)nnkkA A A 1212()(,;,),nnAB A B A B A A 111212() ().,nnA A =A =()()同一線性變換在不同基下矩陣之間的關(guān)系：同一線性變換在不同基下矩陣之間的關(guān)系： 設(shè)設(shè) 與與

12、是線性空間是線性空間V V的兩的兩組基，且組基，且如果如果則則反之，相似矩陣可看作同一線性變換在兩組不反之，相似矩陣可看作同一線性變換在兩組不同基下的矩陣同基下的矩陣. .12,n 12,n 1212(,)(,).nnX 1212()(,)nnA A A1212()(),.nnB B1.BXAX題型分析題型分析： (1)(1)判別線性變換的可逆性；判別線性變換的可逆性； (2)(2)確定線性空間上的線性變換；確定線性空間上的線性變換； (3)(3)求線性變換及其運算在基下的矩陣；求線性變換及其運算在基下的矩陣； 例例1 1 在在 上定義線性變換上定義線性變換 分別為分別為 確定線性變換確定線性

13、變換 問問 是否可逆，若是否可逆，若可逆求出逆可逆求出逆. . 3R,AB AB 123123121( ,)(,),x x xxxx xx xA A 123321( ,)(,).x x xx x xA A ,.AA BAA BBA A 例例2 設(shè)設(shè) 是是V的基，的基， 是是V的一個線性變的一個線性變換，證明：換，證明： 可逆可逆 是是 線性無線性無關(guān)關(guān).例例3 設(shè)設(shè) 是是n維線性空間維線性空間V的線性變換，且的線性變換，且證明：證明： 都是可逆的線性變換都是可逆的線性變換.例例4 在在 中求一個線性變換中求一個線性變換 ，使得，使得并求并求12,n A A A A 12,nA A AA A A

14、A A 322,22AAAEAAAEE B =,AB AB 2RA A (1, 2)(2,3),(0,1)(1, 4).A AA A (3,4).A A例例5 設(shè)設(shè)P是數(shù)域，是數(shù)域，定義變換定義變換 ：(1)證明證明 ： 是線性空間是線性空間 的線性變換的線性變換;(2) 求求 在基在基 下的矩陣下的矩陣.例例6 設(shè)設(shè) 中線性變換中線性變換 在基在基下的矩陣為下的矩陣為 又又 在基在基下的矩陣為下的矩陣為 2 2221,( )32,02APf xxxB B2 3()( ),.Xf A X XPB BB B2 3PB B111213212223,EEEEEE2RA A 12(1,2),(2,1)

15、12,23AB B12(1,1),(1,2)33,24B(1)求求 在基在基 下的矩陣；下的矩陣；(2)求求 在基在基 下的矩陣；下的矩陣；(3)若若 ，求，求 在基在基 下的坐標(biāo)下的坐標(biāo).例例7 已知已知3維空間維空間V的基的基 和基和基又又V上的線性變換上的線性變換 滿足滿足A AB12, A A B B12, (3,3)A A12, 123, 11322313, A A 123122(),3A A 12323(2),2A A 123133)4(A .A .(1)求求 在基在基 下的矩陣下的矩陣.(2) 求求 在基在基 下的坐標(biāo)下的坐標(biāo).例例8 設(shè)設(shè) 是是P上上n維空間維空間V的線性變換，

16、的線性變換，如果如果 證明：證明： 是是V的一組基，并求的一組基，并求 在這組基下的矩陣在這組基下的矩陣.123, A A 1A A 123, A A .V1()0,()0.nnA AA A 1,(),()nA AA A A A 2 2、特征值、特征向量與相似對角化、特征值、特征向量與相似對角化2.1 2.1 線性變換的特征值與特征向量的線性變換的特征值與特征向量的定義定義 設(shè)設(shè) 是數(shù)域是數(shù)域P P上線性空間上線性空間V V的一個線性變的一個線性變換，如果存在換，如果存在P P中的一個數(shù)中的一個數(shù) 和和V V中的非零元中的非零元素素 ，使得，使得則稱則稱 為為 的一個特征值，的一個特征值， 是

17、是 的屬于的屬于特征值特征值 的特征向量的特征向量. .A A ( ),A A A A A A 由由 的屬于特征值的屬于特征值 的全部特征向量再添上零的全部特征向量再添上零向量構(gòu)成的集合向量構(gòu)成的集合 也是也是V的一個子空間，稱為的一個子空間，稱為 的的特征子空間特征子空間.2.2 2.2 線性變換的特征值特征向量與矩陣的特征線性變換的特征值特征向量與矩陣的特征值特征向量之間的值特征向量之間的關(guān)系關(guān)系 設(shè)設(shè) 是數(shù)域是數(shù)域P P上上n n維空間維空間V V的一組基，的一組基，線性變換線性變換 在這組基下的矩陣為在這組基下的矩陣為A A，則，則 (1)A (1)A的特征值與的特征值與 的特征值相同

18、；的特征值相同； A A ( ),|VV A A A A 12,n A A A A (2)(2) 如果如果 是是A的屬于的屬于 的特征向的特征向量量,則則 是是 的屬于的屬于 的特征向量的特征向量.反之亦然，即反之亦然，即2.32.3 特征值特征向量的特征值特征向量的求法求法： 有限維線性空間上求線性變換的特征值與特有限維線性空間上求線性變換的特征值與特征向量可轉(zhuǎn)化為求線性變換在某組基下所對應(yīng)征向量可轉(zhuǎn)化為求線性變換在某組基下所對應(yīng)的的矩陣矩陣的特征值與特征向量的特征值與特征向量. . (1) (1)先求出先求出 在某組基下的矩陣在某組基下的矩陣A;A; 12( ,)nx xx012(,)n

19、A A 000( ).A A AA A (2) 由由 可求得可求得A的的n個特征向量個特征向量； (3) 求齊次方程組求齊次方程組 的基礎(chǔ)解系，得的基礎(chǔ)解系，得屬于屬于 的線性無關(guān)的特征向量的線性無關(guān)的特征向量 ,則則屬于屬于 的線性變換的線性變換 的特征向量為的特征向量為2.4 2.4 特征值特征向量的特征值特征向量的性質(zhì)性質(zhì) (1) (1)若若 則則 的特征的特征值分別為值分別為 并且除了并且除了 外其余矩外其余矩| 0,EA()0iEA Xi12( ,)nx xxiA A 12(,) .n ( ),A A 1*,( )kA AAAf A1 |,( ).kAf A陣的特征向量與陣的特征向量

20、與A A的特征向量相同，的特征向量相同， 與與A A的屬于的屬于不同特征值的特征向量正交不同特征值的特征向量正交. 當(dāng)當(dāng)A A不可逆時，不可逆時， 的的特征值為特征值為 與零與零(0(0為為n-1n-1重特征值重特征值).). (2) (2)矩陣矩陣A A屬于不同特征值的特征向量線性無屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)關(guān). .對稱矩陣對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量屬于不同特征值的特征向量正交正交. . 屬于不同特征值的不同特征向量組合到一起屬于不同特征值的不同特征向量組合到一起任然線性無關(guān)任然線性無關(guān). . (3) (3)方陣方陣A A的特征多項式為的特征多項式為 A*A*TrA( ) |fE

21、A1( ) |( )( 1) |nnnfEATr AA 設(shè)設(shè) 是特征多項式的根，則是特征多項式的根，則12,n 12|.nA121,nniiiTrAa (4) 線性變換特征子空間的維數(shù)線性變換特征子空間的維數(shù) (5)(5)哈密頓哈密頓- -凱萊凱萊(Hamilton-(Hamilton-CaylayCaylay) )定理定理 設(shè)設(shè)A A是是n n階方陣，階方陣， 是是A A的特征多項的特征多項式，則式，則 ( (結(jié)論對線性變換也成立結(jié)論對線性變換也成立!)!)00dim().VnrEA( ) |fEA( )0.f A (6) 設(shè)設(shè)A,BA,B是是n n階矩陣，則階矩陣，則ABAB與與BABA具

22、有相同的特征具有相同的特征多項式，從而具有相同的特征值多項式，從而具有相同的特征值. .(7)(7)相似矩陣有相同的特征值，且當(dāng)相似矩陣有相同的特征值，且當(dāng)A A的特征向的特征向量為量為 時，時， 的特征向量為的特征向量為 1XAX1.X2.5 相似對角化相似對角化1) 相似矩陣的定義：設(shè)相似矩陣的定義：設(shè)A,B都是數(shù)域都是數(shù)域P上的上的n階階矩陣，如果存在矩陣，如果存在n階可逆矩陣階可逆矩陣P使得使得 則稱矩陣則稱矩陣A與與B相似相似.相似是一種等價關(guān)系，具相似是一種等價關(guān)系，具有反身性、對稱性與傳遞性有反身性、對稱性與傳遞性.2) 相似矩陣的性質(zhì)相似矩陣的性質(zhì) 如果矩陣如果矩陣A,B相似，

23、則相似，則 () |A|=|B|;1,P APB() r(A)=r(B);() 從而從而A,B具有相同的特征具有相同的特征值；值；() 相似；相似； 相似；相似；f(A),f(B)相似；相似；() Tr(A)=Tr(B).3) 矩陣的相似對角化矩陣的相似對角化 設(shè)設(shè)A 為為n階方陣，如果階方陣，如果A相似于對角矩陣，則稱相似于對角矩陣，則稱A可相似對角化可相似對角化.| |,EAEB,A B11,AB矩陣可相似對角化的條件：矩陣可相似對角化的條件：() A可相似對角化可相似對角化 A有有n個線性無關(guān)的特征個線性無關(guān)的特征向量；向量；() 如果如果A 有有n個不同的特征值，則個不同的特征值，則A

24、可相似對可相似對角化；角化；() A可相似對角化可相似對角化 A的所有重特征值對應(yīng)的所有重特征值對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)等于特征值的重的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)等于特征值的重數(shù)數(shù).也就是：也就是： 可相似對角化可相似對角化 V可以分解為可以分解為 A A A A 的所有特征子空間的直和的所有特征子空間的直和.() A是實對稱矩陣，則是實對稱矩陣，則A可正交相似對角化；可正交相似對角化；() 如果如果 則則A可相似對角化；如果可相似對角化；如果 則則A可相似對角化；如果可相似對角化；如果 A可相似對角化，可相似對角化，f(x)是任一多項式，則是任一多項式，則f(A)可相似對角化可相似對角化

25、. ,mAE2,AA題型分析題型分析： (1)求矩陣的特征值與特征向量求矩陣的特征值與特征向量 (2) 與特征值特征向量相關(guān)的證明與特征值特征向量相關(guān)的證明 (3) 相似對角化問題相似對角化問題例例1 設(shè)矩陣設(shè)矩陣A滿足滿足 求求A的特征值的特征值.例例2 設(shè)設(shè)4階方陣階方陣A滿足滿足求求 的一個特征值的一個特征值.2320,AAE|3| 0,2 ,| 0.EAAAE A*A例例3 設(shè)設(shè)A為為n階方陣，階方陣， 且且求求A的一個特征值的一個特征值. AE(3 )(),r AEr AEn例例4 求矩陣求矩陣 的特征值與特征的特征值與特征 向量向量.例例5 求矩陣求矩陣 的全部特征值與的全部特征值

26、與2n個線性個線性無關(guān)的特征向量，其中無關(guān)的特征向量，其中 是每個元素為是每個元素為1的的n階階方陣方陣.例例6 設(shè)設(shè)111111nnAn 00nnJJnJ1*322010232 ,101 ,223001APBP A P求求 的特征值與特征向量的特征值與特征向量.例例7 已知線性空間已知線性空間 上的線性變換上的線性變換求求 的特征值與特征向量的特征值與特征向量.例例8 設(shè)設(shè)且且 (1) 證明：證明：A可逆，并求可逆，并求 (2) 求求A的特征值與特征向量；的特征值與特征向量；2BE2 2R1011(),.1111XMXN MNA A1212,( ,) ,( ,)nnAEa aab bb 3.

27、 1;AA A 例例9 設(shè)設(shè)A,B是是n階方陣，證明：階方陣，證明：AB與與BA有相同的有相同的特征值特征值.例例10 設(shè)設(shè)n階方陣階方陣A滿足滿足AB=A+B,A有有n個不同的個不同的特征值特征值.證明：證明： (1) 1不是不是A,B的特征值；的特征值； (2) AB=BA；(3)(3)A與與B有相同的特征向量；有相同的特征向量；(4) B可相似對角化可相似對角化.例例10 設(shè)設(shè)A是是n階實矩陣，階實矩陣， 為為A的特征值的特征值( (a,ba,b為實數(shù)，為實數(shù)，b b不為零不為零)，Z=X+iY為相應(yīng)的特征為相應(yīng)的特征向量向量 ,證明：證明：X,Y線性無關(guān)線性無關(guān). 例例11* 設(shè)設(shè)A,

28、B分別是復(fù)數(shù)域上的分別是復(fù)數(shù)域上的k階和階和r階矩陣，階矩陣，且且A,B無公共特征根，證明：方程無公共特征根，證明：方程AX=XB只有只有零解，其中零解，其中X是是 階矩陣階矩陣.例例12* 設(shè)設(shè)A,B,C分別是分別是 階矩陣階矩陣(mn)已知已知AC=CB且且r(C)=rn,證明：證明：A和和B至少至少0abi(,)nX YRkr,m m nn m n有有r個相同的特征值個相同的特征值. 題型：相似對角化問題題型：相似對角化問題 例例1 設(shè)設(shè) 已知已知A有三個線性無關(guān)的有三個線性無關(guān)的特征向量，且特征向量，且 是是A的二重特征值，試求可的二重特征值，試求可逆矩陣逆矩陣P，使，使 成對角形成對

29、角形.例例2 設(shè)設(shè) 的特征方程有一個二重的特征方程有一個二重根根1114,335Axy21P AP51341321aA1) 求求a；2) 討論討論A是否可對角化；是否可對角化；3) 若若A可對角化，試求可逆矩陣可對角化，試求可逆矩陣P使得使得 為為對角陣對角陣.例例3 設(shè)設(shè)n階方陣階方陣A 滿足滿足 且且 證明：證明：A相似于矩陣相似于矩陣?yán)? 已知已知 的線性變換的線性變換求求 的一組基，使的一組基，使 在該基下的矩陣為對角在該基下的矩陣為對角矩陣矩陣1P AP2AA( ).r Arn0.00rE3P X22()(46 )( 35 )( 36)abxcxabab xabc x A. A.

30、3P XA A 例例5 設(shè)設(shè)V是是P上上n維空間，維空間， 是是V上的線性變換，上的線性變換，且且 又又 且且 證明：證明： 1) 2與與-2是是 的特征值；的特征值； 2) A A aAE, AE, 2( )4g xx()0.gA A A A 22.VVV例例6 設(shè)設(shè)V是是P上的上的n維空間，維空間， 是是V的兩個線的兩個線性變換，且變換性變換，且變換 在在P中有中有n個互異的特征值個互異的特征值.證明證明: (1) 的特征向量都是的特征向量都是 的特征向量的的特征向量的充分必要條件是：充分必要條件是： (2) 若若 ，則，則 是是的線性組合的線性組合. ,AB AB A A A A B B

31、 A AB B = = B BA AA AB B = = B BA AB B 21,nE, A , AAE, A , AA3 3、線性變換的值域與核、線性變換的值域與核3.1 值域與核值域與核 1) 定義：設(shè)定義：設(shè) 是是V上的線性變換，上的線性變換， 的象集的象集合稱為合稱為 的值域，記為的值域，記為所有被所有被 變成變成0元的元的V中所有元素構(gòu)成的集合中所有元素構(gòu)成的集合稱為線性變換稱為線性變換 的核，記為的核，記為 都是都是V的子空間的子空間. A A A A A A Im.VV A A A| A A A| A A A A 1(0)ker |0.AA A= AA A= 1,(0)VA A

32、 A A 2) 值域與核的性質(zhì)值域與核的性質(zhì)) 設(shè)設(shè) 是是V上的線性變換，上的線性變換， 是是V的一的一組基，且組基，且 則則) 的值域的基的原象與核的基合并到一起的值域的基的原象與核的基合并到一起構(gòu)成構(gòu)成V的基，且的基，且) 對對n維空間維空間V， 是單射是單射 是滿射是滿射. A A 12,n 1212,() () .nnA A =A =12(,dim( ).nVLVr AA A A AA A A A AA A A 1dimdim(0).VnA A A A A A A A 3.2 不變子空間不變子空間 1) 定義：設(shè)定義：設(shè) 是數(shù)域是數(shù)域P上線性空間上線性空間V的線性變的線性變換，換，W是

33、是V的子空間的子空間.如果對任意如果對任意 都有都有 則稱則稱W是是 的不變子空間，簡稱的不變子空間，簡稱 子空間子空間.2) 一些常見的不變子空間一些常見的不變子空間 (a) 如果如果 是是 的不變子空間，則的不變子空間，則 都是都是 不變子空間不變子空間.A A W( ),WA A A A A A 12,W WA A 1212,WW WWA A (b) 如果如果W是線性變換是線性變換 與與 的不變子空間，的不變子空間，則則W一定是一定是 的不變子空間的不變子空間. (c) V與零子空間是與零子空間是 不變子空間不變子空間. (d) 與與 都是都是 的不變子空間的不變子空間. (e) 的特征

34、子空間的特征子空間 是是 的不變子空間的不變子空間. (f) V的任一子空間都是數(shù)乘變換的不變子空間的任一子空間都是數(shù)乘變換的不變子空間. (g) 如果如果 都是都是V的線性變換，且的線性變換，且 A A B B,A A + +B B A A B B A A VA A 1(0)A A A A A A 00 |,VV A A A A ,A BA B,A A B B = =B B A A則則 與與 都是都是 的不變的不變子空間子空間.VA A 1(0)A A B B (h) 如果如果 是可逆的線性變換，則是可逆的線性變換，則W是是 的的不變子空間不變子空間 是是W是是 的不變子空間的不變子空間.3

35、) 不變子空間與線性變換矩陣化簡之間的關(guān)系不變子空間與線性變換矩陣化簡之間的關(guān)系 (a) 設(shè)設(shè) 是是V上的線性變換，上的線性變換，W是是 的不變子的不變子空間，在空間，在W中取一組基中取一組基 并將它擴充成并將它擴充成V的一組基的一組基 則則 在這組基下在這組基下的的A A A A 1A A A A A A 12,r 121,.rrn A A 矩陣為矩陣為 其中其中 是將是將 看做看做W上的線性上的線性變換時，變換時， 在在W的基的基 下的矩陣下的矩陣. (b) 設(shè)設(shè)n維空間維空間V可以分解成若干個可以分解成若干個 的不變之的不變之空間的直和：空間的直和： 在每個子空間在每個子空間上取基，然后將它們合并起來構(gòu)成上取基，然后將它們合并起來構(gòu)成V的基，則的基，則 在這組基下的矩陣為準(zhǔn)對角矩陣在這組基下的矩陣為準(zhǔn)對角矩陣132.0AAA1AA A |WA A 12,r A A 12SVWWWA A 12.sAAA以上兩個結(jié)論的逆命題也成立！以上兩個結(jié)論的逆命題也成立！ 題型分析：題型分析： (1) 求線性變換的值域與核；求線性變換的值域與核； (2) 證明與值域核有關(guān)的問題；證明與值域核有關(guān)的問題； (3) 證明與維數(shù)有關(guān)的問題；證明與維數(shù)有關(guān)的問題； (4) 證明與不變子空間有關(guān)的問題證明與不變子空間有關(guān)的問題.例例1 已知已知 上的線性變換上的線性