分層介質(zhì)中彈性波的傳播

1、第四章第四章分層介質(zhì)中彈性波的傳播分層介質(zhì)中彈性波的傳播 在地震勘探中我們所研究的地球介質(zhì)，按其物性在地震勘探中我們所研究的地球介質(zhì)，按其物性變化是分層的，變化是分層的，具有層狀結(jié)構(gòu)具有層狀結(jié)構(gòu)。因此，討論在。因此，討論在兩種彈兩種彈性性質(zhì)不同的介質(zhì)分界面上性性質(zhì)不同的介質(zhì)分界面上波的現(xiàn)象，是十分重要的。波的現(xiàn)象，是十分重要的。 地球表面是一個(gè)特殊的分界面、它將無限介質(zhì)劃地球表面是一個(gè)特殊的分界面、它將無限介質(zhì)劃分為兩個(gè)半空間。地面以上空氣介質(zhì)，其密度與地面分為兩個(gè)半空間。地面以上空氣介質(zhì)，其密度與地面以下的巖石或海平面以下的海水層相比可以忽略。地以下的巖石或海平面以下的海水層相比可以忽略。地

2、球表面可以看成是一個(gè)球表面可以看成是一個(gè)彈性半空間彈性半空間表面，稱為自由表表面，稱為自由表面，其上的應(yīng)力作用為零。本章中將介紹彈性波在自面，其上的應(yīng)力作用為零。本章中將介紹彈性波在自由表面上的反射、在內(nèi)部?jī)煞N不同的彈性介質(zhì)分界面由表面上的反射、在內(nèi)部?jī)煞N不同的彈性介質(zhì)分界面上的反射和折射以及其它與自由表面和內(nèi)部分界面相上的反射和折射以及其它與自由表面和內(nèi)部分界面相聯(lián)系的波的現(xiàn)象聯(lián)系的波的現(xiàn)象41 平面波在自由表面上的反射平面波在自由表面上的反射 一、解題坐標(biāo)及位函數(shù)的選擇一、解題坐標(biāo)及位函數(shù)的選擇研究一個(gè)研究一個(gè)平面波平面波入射到自入射到自由表面時(shí)的反射問題。如由表面時(shí)的反射問題。如圖圖41

3、 ，取直角坐標(biāo)系，取直角坐標(biāo)系x、y 、z， z0為彈性半無限為彈性半無限空間的自由表面，空間的自由表面，z軸垂直軸垂直向下，指向介質(zhì)內(nèi)部。有向下，指向介質(zhì)內(nèi)部。有一平面波入射到自由表面。一平面波入射到自由表面。設(shè)波的射線與設(shè)波的射線與y軸垂直軸垂直 。這樣這樣 波函數(shù)將與波函數(shù)將與y軸無關(guān)軸無關(guān) 。包含入射波和反射波射線及。包含入射波和反射波射線及界面法線的射線平面與界面法線的射線平面與xoz平面重合。平面重合。我們知道，位移向量可以分解為梯度場(chǎng)和旋度場(chǎng)兩部我們知道，位移向量可以分解為梯度場(chǎng)和旋度場(chǎng)兩部分。分。考慮到波函數(shù)與考慮到波函數(shù)與 y 軸無關(guān)軸無關(guān)，質(zhì)點(diǎn)位移分量用位函，質(zhì)點(diǎn)位移分量用

4、位函數(shù)表示，式（數(shù)表示，式（25）可以寫作）可以寫作(x,y,z三個(gè)方向的位移三個(gè)方向的位移)：yxzyuxzvzxwzxfjfffj=-抖=-抖=+抖(4-1)yzxzyxuxyzvyzxwzxyffjffjffj=+-抖=+-抖=+-抖(2-5)其中其中位移分量位移分量可以可以分為兩組分為兩組，一是一是由位移位由位移位 和和 表示表示的的 、 分量分量，代表著在，代表著在xoz平面上質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)；平面上質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)；另一另一組是組是由位移向量位分量由位移向量位分量 和和 表示的位移分量表示的位移分量 ，代，代表著質(zhì)點(diǎn)在表著質(zhì)點(diǎn)在yoz平面上的振動(dòng)。平面上的振動(dòng)。用用 表示表示 ， 代表在代表在

5、xoz平面?zhèn)鞑サ目v波，而平面?zhèn)鞑サ目v波，而 代表在代表在xoz 平面?zhèn)鞑サ臋M波，平面?zhèn)鞑サ臋M波，它所引起的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)發(fā)生在它所引起的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)發(fā)生在垂直平面垂直平面xoz內(nèi)。所以稱為內(nèi)。所以稱為SV橫波。位移分量橫波。位移分量 是在是在xoz 平面內(nèi)傳播的橫波所引起平面內(nèi)傳播的橫波所引起的在的在y軸方向上的振動(dòng)，這種橫波稱為軸方向上的振動(dòng)，這種橫波稱為SH橫波。橫波。SV和和SH兩類橫波，以其所引起的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向相區(qū)別，兩類橫波，以其所引起的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向相區(qū)別，稱為極稱為極化波?；?。yu wxzvyv通常通常,在動(dòng)力學(xué)中在動(dòng)力學(xué)中分別討論縱波分別討論縱波P和橫波和橫波SV，以及，以及SH橫波橫波

6、。對(duì)對(duì)P和和SV波，波， ， ；對(duì)；對(duì)SH波，波， ， 對(duì)前一組波使用標(biāo)量位函數(shù)對(duì)前一組波使用標(biāo)量位函數(shù) 和和 ， 對(duì)后一組波另外引對(duì)后一組波另外引用一個(gè)標(biāo)量位用一個(gè)標(biāo)量位 ，定義如下：，定義如下： 用來表示位移向量位分量用來表示位移向量位分量 ， 的一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，的一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，可以證明，它將滿足橫波波動(dòng)方程：可以證明，它將滿足橫波波動(dòng)方程：0y=0v=0y=0u w= =xzzxcfcf=-( , )x zc c=xz(4-2)其中其中 ，為橫波傳播速度。為橫波傳播速度。2mbr=222210tccb-=(4-3)二、二、P波和波和SV波在自由表面上的反射波在自由表面上的反射P和和SV波的

7、傳播，將引起介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)在波的傳播，將引起介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)在xoz平面的振動(dòng)。平面的振動(dòng)。取位移位取位移位 和和 作為作為P波和波和SV波波函數(shù)，它們將滿足波波函數(shù)，它們將滿足波動(dòng)方程：波動(dòng)方程：其中其中 、 分別表示縱波和橫波的傳播速度。使用分離分別表示縱波和橫波的傳播速度。使用分離變量法尋求這兩個(gè)方程的一般解，形式如下：變量法尋求這兩個(gè)方程的一般解，形式如下：其中其中c是波沿是波沿x方向的視速度方向的視速度， 。22221tjja=22221tffb=()( , )( )xjkct xx zf z ej-=()( , )( )xjkct xx zg z ef-=xwkc=(4-4)(4-5)將將(4-

8、5)代入式代入式(4-4)中的相應(yīng)方程，可以得到以中的相應(yīng)方程，可以得到以z為變量為變量的常微分方程：的常微分方程：它們的解是它們的解是:22222(1)0 xfck fz22222(1)0 xgck gz221222( )exp(1)exp(1)xxccf zAjk zAjk z221222( )exp(1)exp(1)xxccg zBjk zBjk z(4-6)(4-7)(4-8)將上式代入式將上式代入式(4-5)將得到將得到 和和 的一般解，的一般解，其中第一項(xiàng)是沿其中第一項(xiàng)是沿x的正方向的正方向,z負(fù)方向傳播的簡(jiǎn)諧波。第二負(fù)方向傳播的簡(jiǎn)諧波。第二項(xiàng)是沿項(xiàng)是沿x正方向正方向,z正方向傳播

9、的簡(jiǎn)諧波。這個(gè)簡(jiǎn)諧波函數(shù)正方向傳播的簡(jiǎn)諧波。這個(gè)簡(jiǎn)諧波函數(shù)可化為其它常見形式?？苫癁槠渌Ｒ娦问健?12222( , , )exp(1)exp(1)xxcx z tAjkctzxcAjkctzxjaa輊犏=+-犏犏臌輊犏+-犏犏臌(4-9)212222(, )exp(1)exp(1)xxcx z tBjkctzxcBjkctzxfbb輊犏=+-犏犏臌輊犏+-犏犏臌(4-10)分析一下波函數(shù)的復(fù)合變量。分析一下波函數(shù)的復(fù)合變量。如圖如圖42所見，所見， 為入射線。為入射線。e為出射角，取為出射角，取 為波為波沿沿x方向的視速度，方向的視速度，KA為波為波前面，則前面，則 為波沿射線為波沿射線的傳

10、播速度。在三角形的傳播速度。在三角形OAK中中將將 延長(zhǎng)。與延長(zhǎng)。與OZ相交于相交于B， 為波沿為波沿z方向的視速度，方向的視速度，AOOK cOA22tan1ce(4-11)KAzOB csinzcezzkC(4-12)因此，可有：因此，可有：其中其中 為波數(shù)；為波數(shù)； , 為波的為波的入射方向的方向余弦。上式也可以寫成：入射方向的方向余弦。上式也可以寫成：以式以式(4-13)或式或式(4-14)為復(fù)合變量的波函數(shù)，如圖為復(fù)合變量的波函數(shù)，如圖4 -2所見，所見，顯然表示的是沿顯然表示的是沿x正方向、正方向、z負(fù)方向傳播的入射波。負(fù)方向傳播的入射波。22(1()()()xzxcjkctzxj

11、tk zk xlxnzjtk lxnzjt(4-13)kcoslecos()sin2nee22cossin(1()xcxezejk ctzxjt (4-14)當(dāng)?shù)阶杂杀砻嬗幸粋€(gè)當(dāng)?shù)阶杂杀砻嬗幸粋€(gè)P波和波和SV波入射時(shí)，將產(chǎn)生一個(gè)波入射時(shí)，將產(chǎn)生一個(gè)P波和波和SV波反射波。如圖波反射波。如圖43所示。圖中所示。圖中e、f表示表示P波和波和SV波到自由表面的出射角，波到自由表面的出射角，它們的余角它們的余角id和和is，稱為波的，稱為波的入射角入射角.由于入射波和反射波由于入射波和反射波沿分界面沿分界面ox的視速度相等，即有一個(gè)波入射到分界面，的視速度相等，即有一個(gè)波入射到分界面，就立刻產(chǎn)生反射波

12、，與分界面相聯(lián)系的各個(gè)波的波函數(shù)就立刻產(chǎn)生反射波，與分界面相聯(lián)系的各個(gè)波的波函數(shù)表達(dá)式，取其簡(jiǎn)諧形式解為：表達(dá)式，取其簡(jiǎn)諧形式解為：（1）入射）入射P波波（2）入射）入射SV波波（3）反射）反射P波波（4）反射）反射SV波波其中其中C為各個(gè)波沿為各個(gè)波沿 方向的視速度。方向的視速度。2112exp(1)xcAjk ctxz(4-15)2332exp(1)xcAjk ctxz(4-16)2222exp(1)xcAjk ctxz(4-17)2442exp(1)xcAjk ctxz(4-18)OX對(duì)半空間而言，兩個(gè)位移位對(duì)半空間而言，兩個(gè)位移位 和和 分別為分別為:其中其中 ， . 因?yàn)槠渲幸驗(yàn)槠渲?/p>

13、 、 對(duì)各類波對(duì)各類波是共同參數(shù)。通解中包含的未定系數(shù)是共同參數(shù)。通解中包含的未定系數(shù) , , , , 是是各個(gè)簡(jiǎn)諧波的振幅各個(gè)簡(jiǎn)諧波的振幅,可根據(jù)自由表面上的邊界條件來確定?？筛鶕?jù)自由表面上的邊界條件來確定。21212222exp(1)exp(1)xxcAjkctxzcAjkctxz(4-19)21232242exp(1)exp(1)xxcAjkctxzcAjkctxz(4-20)221tance221tancfkxc1A2A3A4A在自由表面上，從自由空間一側(cè)對(duì)半無限彈性介質(zhì)表面作在自由表面上，從自由空間一側(cè)對(duì)半無限彈性介質(zhì)表面作用力等于零，因而在用力等于零，因而在z0的邊界上，正應(yīng)力的邊

14、界上，正應(yīng)力 和切應(yīng)力和切應(yīng)力 應(yīng)等于零。我們有邊界條件：應(yīng)等于零。我們有邊界條件： 根據(jù)關(guān)系式根據(jù)關(guān)系式(4-1)以及以及(1-36)，(1-41 ) ，用位移位，用位移位 和和 表示邊界條件表示邊界條件(4-21)，(4-22)，經(jīng)演算可以得到：，經(jīng)演算可以得到：zzzx0020zzzzzze000zxzxzze（1） （4-21）（2） （4-22）222222222020zxzxx z 22222020zx zxz （4-23）（4-24）討論討論P(yáng)波入射的情況波入射的情況， (畫圖形畫圖形)，將，將 ， 代入邊界條件代入邊界條件(4-23)、式、式(4-24)，整理后得到：，整理后得

15、到：使用入射角參數(shù)使用入射角參數(shù)id ，is整理上式，可以得到整理上式，可以得到其中其中求解振幅比求解振幅比 ， 他們稱為反射系數(shù)他們稱為反射系數(shù)3012 4 22124222212422()(2)2102()1(2)0ccAAAccAAA （4-25）22124212(2 cos)()(sin2 )0(sin2 )()(cos2 )0dsdsiAAi AiAAi（4-26）21AA41AA因此，求解方程組因此，求解方程組(4-26)可以得到：可以得到：222221sin2 sin2cos 2sin2 sin2cos 2dssdssiiiAAiii42212sin2cos2sin2 sin2c

16、os 2dsdssiiAAiii （4-27）（4-28）根據(jù)視速度相等根據(jù)視速度相等,畫圖說明畫圖說明id 和和is 的關(guān)系的關(guān)系與自由表明反射系數(shù)有關(guān)的幾個(gè)問題與自由表明反射系數(shù)有關(guān)的幾個(gè)問題1作為位移振幅比的反射系數(shù)作為位移振幅比的反射系數(shù)我們已經(jīng)導(dǎo)出了反射波與入射波的位移位振幅比，我們已經(jīng)導(dǎo)出了反射波與入射波的位移位振幅比，這里這里將計(jì)算位移振幅比將計(jì)算位移振幅比，以建立兩者之間的關(guān)系。為此，將，以建立兩者之間的關(guān)系。為此，將入射入射P波、反射波、反射P波和反射波和反射SV波位移位波位移位 、 、 分別代分別代入式入式(4-1)，得到各類波相應(yīng)的位移分量，得到各類波相應(yīng)的位移分量 、

17、、 ；反射系數(shù)等于；反射系數(shù)等于z0處的反射波與入射波位移的處的反射波與入射波位移的振幅比。位移振幅比。位移S根據(jù)其分量計(jì)算，有關(guān)系式如下根據(jù)其分量計(jì)算，有關(guān)系式如下:12411( , )u w22( ,)u w44( ,)u w22Suw（4-29）將式將式(4-15)、式、式(4-17)、式、式(4-18)代入式代入式(4-1)，并考慮關(guān)系，并考慮關(guān)系式式(4-29)，得到，得到z0處的反射波和入射波振幅比：處的反射波和入射波振幅比：因此，位移振幅比等于位移位振幅比乘以相應(yīng)的因此，位移振幅比等于位移位振幅比乘以相應(yīng)的波速之比的波速之比的倒數(shù)倒數(shù)。222111xxcjk AsAcsAjk A

18、444111xxcjk AsAcsAjk A（4-30）（4-31）對(duì)嗎對(duì)嗎?2自由表面反射特點(diǎn)自由表面反射特點(diǎn) 圖圖4-4中以泊松體中以泊松體為例，繪出了自由表為例，繪出了自由表面反射系數(shù)面反射系數(shù)A2A1，和和A4 A1與與P波入射波入射角角id的關(guān)系曲線。的關(guān)系曲線。當(dāng)當(dāng)P波垂直入射到自由表面時(shí)，波垂直入射到自由表面時(shí)，e90?；蚧騣d= 0。 則有則有 ， ;表示存在表示存在P波反射波，無波反射波，無SV反射波；當(dāng)反射波；當(dāng)P波波平行入射到自由面時(shí)，平行入射到自由面時(shí)， e0?；蚧騣d= 90。 ，同上。，同上。1(,)4v211AA410AA當(dāng)當(dāng)P波入射角波入射角id在在090。之間

19、，可以找到使之間，可以找到使 A2A1為零的為零的兩個(gè)值，表示以這樣的角度入射時(shí)，無反射兩個(gè)值，表示以這樣的角度入射時(shí)，無反射P波存在。波存在。對(duì)泊松體，兩個(gè)無反射對(duì)泊松體，兩個(gè)無反射P波的入射角是波的入射角是60。和和77。13，這，這時(shí)介質(zhì)中存在著轉(zhuǎn)換時(shí)介質(zhì)中存在著轉(zhuǎn)換SV反射波。反射波。3.關(guān)于負(fù)反射系數(shù)的解釋關(guān)于負(fù)反射系數(shù)的解釋P波入射到自由表面在大多數(shù)情況下，反射系數(shù)為負(fù)。波入射到自由表面在大多數(shù)情況下，反射系數(shù)為負(fù)。在波垂直入射或平行入射時(shí)，反射系數(shù)為在波垂直入射或平行入射時(shí)，反射系數(shù)為-1。這時(shí)，。這時(shí)，反射波振幅和入射波振幅符號(hào)相反。反射波振幅和入射波振幅符號(hào)相反。也就是說，如

20、果一個(gè)入射脈也就是說，如果一個(gè)入射脈沖頭部為極大相位，則經(jīng)自沖頭部為極大相位，則經(jīng)自由表面反射后，其頭部應(yīng)為由表面反射后，其頭部應(yīng)為極小相位?；蛘哒f，兩個(gè)脈極小相位?；蛘哒f，兩個(gè)脈沖相位差為沖相位差為180。事實(shí)上對(duì)時(shí)。事實(shí)上對(duì)時(shí)間因子間因子ejwt乘以乘以1，相當(dāng)于，相當(dāng)于 ，振動(dòng)相位變，振動(dòng)相位變化化180；反射波與入射波位移；反射波與入射波位移方向相反，稱為反相位。見方向相反，稱為反相位。見右圖。右圖。()j tjtee4自由表面反射時(shí)各類波的能量關(guān)系自由表面反射時(shí)各類波的能量關(guān)系 根據(jù)位移位振幅比可根據(jù)位移位振幅比可以找出反射波和入射波能以找出反射波和入射波能量關(guān)系。量關(guān)系。 為此，討

21、論一個(gè)射線為此，討論一個(gè)射線束。如圖束。如圖46所示，所示，P波以波以id角入射到自由表面，產(chǎn)生角入射到自由表面，產(chǎn)生一個(gè)一個(gè)P波反射波，反射角為波反射波，反射角為 id ，以及一個(gè)，以及一個(gè)SV波反射波，波反射波，反射角為反射角為is。取一個(gè)入射波。取一個(gè)入射波和反射波射線束，射線束和反射波射線束，射線束與自由表面斜交，設(shè)其截面為與自由表面斜交，設(shè)其截面為1，則入射波射線束寬，則入射波射線束寬cosid，P波反射波射線束寬為波反射波射線束寬為cosid、SV波反射波射線束波反射波射線束寬為寬為cosis 。能流密度。能流密度I(見公式見公式1119)乘以射線束橫截面乘以射線束橫截面將等于在單

22、位時(shí)間內(nèi)波通過截面積為將等于在單位時(shí)間內(nèi)波通過截面積為1的自由表面上的的自由表面上的能量。它將等于在同一時(shí)間內(nèi)反射波能量。它將等于在同一時(shí)間內(nèi)反射波P和和SV波自該段自波自該段自由表面帶走的能量。因此，我們可以列出能量關(guān)系：由表面帶走的能量。因此，我們可以列出能量關(guān)系：上式經(jīng)整理后可以得到：上式經(jīng)整理后可以得到：222222124111coscoscos222ddsSiSiSi22242211cos1cossdiSSSSi（4-32）考慮到關(guān)系式，考慮到關(guān)系式，上式又可改為上式又可改為根據(jù)位移振幅比與位移位振幅比的關(guān)系，上式可變換為根據(jù)位移振幅比與位移位振幅比的關(guān)系，上式可變換為利用上面兩式，

23、已知利用上面兩式，已知P波反射系數(shù)就可以計(jì)算轉(zhuǎn)換波反射系數(shù)就可以計(jì)算轉(zhuǎn)換SV波反射系數(shù)?；蛳喾?，已知波反射系數(shù)?；蛳喾矗阎狿SV轉(zhuǎn)波反射系數(shù)可以轉(zhuǎn)波反射系數(shù)可以計(jì)算計(jì)算P波反射系數(shù)。波反射系數(shù)。/sin/sindsii 22242211sin21sin2sdiSSSSi22242211tan1tandsiAAAAi(4-33)(4-44)三、三、SH波在自由表面上的反射波在自由表面上的反射SH波，根據(jù)所選坐標(biāo)系及位函數(shù)，此時(shí)波，根據(jù)所選坐標(biāo)系及位函數(shù)，此時(shí) 研究位函數(shù)研究位函數(shù) ，它滿足波動(dòng)方程，它滿足波動(dòng)方程(43)。該方程的一般解可以寫作：。該方程的一般解可以寫作：其中其中 為波數(shù)，為波

24、數(shù)， 為為入射波入射方向的方向余入射波入射方向的方向余弦。當(dāng)有一弦。當(dāng)有一SH波入射到自波入射到自由表面由表面z0時(shí)，則有一個(gè)時(shí)，則有一個(gè)反射反射SH波產(chǎn)生。如圖波產(chǎn)生。如圖47所示。所示。0y0uw( , , )x z t( , , )exp()sx z tBjktlxnz(4-35)sk, l n寫出入射波和反射波的波函數(shù)，其形式如下：寫出入射波和反射波的波函數(shù)，其形式如下：1SH入射波：入射波：2SH反射波：反射波：所求解的波函數(shù)應(yīng)滿足自由表面上的邊界條件。這些條所求解的波函數(shù)應(yīng)滿足自由表面上的邊界條件。這些條件是作用于自由表面上的應(yīng)力應(yīng)等于零。作用于件是作用于自由表面上的應(yīng)力應(yīng)等于零。

25、作用于z0面面的應(yīng)力有的應(yīng)力有 ;考慮到考慮到SH波的情況，這里只存在：波的情況，這里只存在：1exp(sincos )esssBjktxizi(4-36)2exp(sincos )rsssBjktxizi(4-37),zzzxzyzyzyvveyzz(4-38)或者或者將式將式(4-2)代入式代入式(4-39)可得可得(利用利用4-3)：其中考慮到波動(dòng)方程其中考慮到波動(dòng)方程(43)。這樣，在。這樣，在z0時(shí)，我們有時(shí)，我們有邊界條件：邊界條件：對(duì)整個(gè)介質(zhì)而言，對(duì)整個(gè)介質(zhì)而言， 將式將式(4-36)、(4-37)代入式代入式(4-41)得：得：xzzyzzx (4-39)22zyzz(4-40

26、)020zyzz(4-41)er整理以后可得：整理以后可得：由此可見，由此可見，SH波在自由表面的反射，其反射系數(shù)為波在自由表面的反射，其反射系數(shù)為1，與入射角無關(guān)。且無轉(zhuǎn)換波產(chǎn)生。與入射角無關(guān)。且無轉(zhuǎn)換波產(chǎn)生。1(cos )(cos )exp(sin )0sssssssjki Bjki Bjktxi12BB2202()zyzsjk4-2 平面波在介質(zhì)分界面上的反射和透射平面波在介質(zhì)分界面上的反射和透射設(shè)有一個(gè)水平面把無限空間分為兩部分，各部分介質(zhì)具設(shè)有一個(gè)水平面把無限空間分為兩部分，各部分介質(zhì)具有不同的彈性性質(zhì)，其參數(shù)分別為有不同的彈性性質(zhì)，其參數(shù)分別為 和和 ；在兩種介質(zhì)中，縱波和橫波傳播

27、速度分別表示為在兩種介質(zhì)中，縱波和橫波傳播速度分別表示為 和和 ；今有一縱波；今有一縱波P平面波以平面波以id角入射到介質(zhì)分界角入射到介質(zhì)分界面。面。111, 222, 11,psvv22,psvv如圖如圖4-8所示，選擇直角坐標(biāo)系，所示，選擇直角坐標(biāo)系，使其使其y軸與波前面平行，軸與波前面平行，z0平平面與介質(zhì)分界面重合。面與介質(zhì)分界面重合。Z軸垂直軸垂直向下指向第二介質(zhì)，入射波向下指向第二介質(zhì)，入射波P來來自自z0第一介質(zhì)，則在第一介質(zhì)第一介質(zhì)，則在第一介質(zhì)中特產(chǎn)生中特產(chǎn)生P1縱波反射波縱波反射波,S1橫波橫波SV反射波反射波. 在第二介質(zhì)中將產(chǎn)生在第二介質(zhì)中將產(chǎn)生P2縱波透射波、縱波透射

28、波、S2橫波橫波SV透射波。在這透射波。在這種情況下我們討論縱波的傳播問題，波函數(shù)與種情況下我們討論縱波的傳播問題，波函數(shù)與y軸無關(guān)。軸無關(guān)。一、波函數(shù)表達(dá)式一、波函數(shù)表達(dá)式 為說明解題方法的多樣性，我們以位移函數(shù)：為說明解題方法的多樣性，我們以位移函數(shù)：來求解平面波反射和透射問題。來求解平面波反射和透射問題。 取一平面簡(jiǎn)諧波其時(shí)間因子為取一平面簡(jiǎn)諧波其時(shí)間因子為 對(duì)于縱波來說，位移方向與波的傳播方向一致，對(duì)橫波來對(duì)于縱波來說，位移方向與波的傳播方向一致，對(duì)橫波來說，位移方向與波的傳播方向垂直。設(shè)說，位移方向與波的傳播方向垂直。設(shè)IP為入射波入射方為入射波入射方向單位向量，則入射波位移函數(shù)表達(dá)

29、式為：向單位向量，則入射波位移函數(shù)表達(dá)式為：( , , )SS x z texp()j t1sincosexpddppppxiziSI Ajtv(4-43) 據(jù)惠更斯原理，當(dāng)據(jù)惠更斯原理，當(dāng)P波入射到分界面時(shí)，分界面波入射到分界面時(shí)，分界面上的每一點(diǎn)都可以看成是二次子波點(diǎn)震源，產(chǎn)生向上上的每一點(diǎn)都可以看成是二次子波點(diǎn)震源，產(chǎn)生向上半空間半空間z0傳播的振動(dòng)為反射波，而產(chǎn)生向下半空間傳播的振動(dòng)為反射波，而產(chǎn)生向下半空間z0傳播的振動(dòng)為透射波。與入射波一樣，反射波和透?jìng)鞑サ恼駝?dòng)為透射波。與入射波一樣，反射波和透射波也都將是平面簡(jiǎn)諧波。如前所述，這類波有四個(gè)，射波也都將是平面簡(jiǎn)諧波。如前所述，這類波

30、有四個(gè)，即反射波即反射波P1和和S1，透射波，透射波P2和和S2。如圖如圖49所示，在分界面所示，在分界面z0上確定兩個(gè)入射點(diǎn)。上確定兩個(gè)入射點(diǎn)。O和和O1，入射波波前面入射波波前面 到達(dá)到達(dá)O1 點(diǎn)比點(diǎn)比到達(dá)到達(dá)O點(diǎn)時(shí)間要晚一個(gè)點(diǎn)時(shí)間要晚一個(gè)t；在在t 時(shí)間間隔內(nèi)，波前向前時(shí)間間隔內(nèi)，波前向前傳播了一個(gè)距離傳播了一個(gè)距離 。若取若取tT 為一周期，則為一周期，則為縱波在第一介質(zhì)中的波長(zhǎng)。另一方面，因?yàn)闉榭v波在第一介質(zhì)中的波長(zhǎng)。另一方面，因?yàn)?為一個(gè)為一個(gè)波長(zhǎng)波長(zhǎng),所以所以O(shè)和和O1點(diǎn)為兩個(gè)相同相位點(diǎn)點(diǎn)為兩個(gè)相同相位點(diǎn), 也是一個(gè)波長(zhǎng)。也是一個(gè)波長(zhǎng)。OA11pAOtv 111ppAOTv 1A

31、O1OO這不是沿波的傳播方向的波長(zhǎng)，在這里是沿分界面方向的這不是沿波的傳播方向的波長(zhǎng)，在這里是沿分界面方向的波長(zhǎng)，稱之為視波長(zhǎng)波長(zhǎng)，稱之為視波長(zhǎng) 。它與波長(zhǎng)。它與波長(zhǎng) 的關(guān)系是：的關(guān)系是： 由分界面反射的縱波由分界面反射的縱波P1，在，在tT 的時(shí)間間隔內(nèi)，的時(shí)間間隔內(nèi)，傳播距離為傳播距離為 ；透射縱波；透射縱波P2在第二介質(zhì)中在這個(gè)時(shí)在第二介質(zhì)中在這個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)傳播的距離是間間隔內(nèi)傳播的距離是 ，它等于第二介質(zhì)中縱波，它等于第二介質(zhì)中縱波的波長(zhǎng)的波長(zhǎng) ；對(duì)轉(zhuǎn)換波；對(duì)轉(zhuǎn)換波S1、S2也不難作出類似的討論。如也不難作出類似的討論。如圖圖4-9上的透射橫波上的透射橫波S2，在，在tT 時(shí)間間隔內(nèi)傳

32、播的距離時(shí)間間隔內(nèi)傳播的距離是是 ，是橫波在第二介質(zhì)中的波長(zhǎng)。同理，第一，是橫波在第二介質(zhì)中的波長(zhǎng)。同理，第一介質(zhì)中橫波波長(zhǎng)為介質(zhì)中橫波波長(zhǎng)為 ，所有的波沿分界面方向的視，所有的波沿分界面方向的視波長(zhǎng)都等于波長(zhǎng)都等于 ，因而可有關(guān)系式：，因而可有關(guān)系式：*11/sinpPdi (4-44)*1p1P1POA 22ssOBTv 2POBTv2P11ssTv1OO其中其中id為為P波入射角，波入射角，id、is 為為P波、波、SV波反射角，波反射角，td、ts為為P波、波、SV波透射波折射角。關(guān)系式波透射波折射角。關(guān)系式(4-45)包括了反射定包括了反射定律和折射定律，通常稱為斯奈爾定律。考慮到律

33、和折射定律，通常稱為斯奈爾定律?？紤]到 ，而周期而周期T 對(duì)各個(gè)波都是相同的。所以斯奈爾定律又經(jīng)常寫對(duì)各個(gè)波都是相同的。所以斯奈爾定律又經(jīng)常寫成如下形式：成如下形式：由上兩式可以看出，對(duì)同類型的反射波，其反射角等于由上兩式可以看出，對(duì)同類型的反射波，其反射角等于入射角，比如入射角，比如idid ;對(duì)轉(zhuǎn)換型反射波和同類型、轉(zhuǎn)換型對(duì)轉(zhuǎn)換型反射波和同類型、轉(zhuǎn)換型透射波，其反射角或折射角與入射角正弦之比等于各個(gè)透射波，其反射角或折射角與入射角正弦之比等于各個(gè)波波速之比。波波速之比。1212sinsinsinsinsinpppssddsdsittii(4-45)11212sinsinsinsinsinp

34、ppssddsdsvvvvvittiiTv (4-46)關(guān)系式關(guān)系式(4-46)中各項(xiàng)是各個(gè)波沿分界面的視速度。因此，中各項(xiàng)是各個(gè)波沿分界面的視速度。因此，斯奈爾定律也可解釋為入射波、反射波和透射波沿分界斯奈爾定律也可解釋為入射波、反射波和透射波沿分界面視速度相等的原理。一個(gè)平面波入射到分界面上，各面視速度相等的原理。一個(gè)平面波入射到分界面上，各入射點(diǎn)處的入射角是恒定的，由入射點(diǎn)處的入射角是恒定的，由(446)式可知，由此波式可知，由此波的反射角和折射角也都一樣，這些波的等相位面也是平的反射角和折射角也都一樣，這些波的等相位面也是平面的，即都是平面波。面的，即都是平面波。 根據(jù)以上討論，反射波

35、和透射波位移函數(shù)表達(dá)式根據(jù)以上討論，反射波和透射波位移函數(shù)表達(dá)式可以寫作：可以寫作： (1)縱波反射波縱波反射波P1：1111sincosexp()ddppppxiziSI Ajtv(2)橫波反射波橫波反射波S1 :(3)縱波透射波：縱波透射波：(4)橫波透射波：橫波透射波：其中其中 為決定于反射波和透射波位移方向的為決定于反射波和透射波位移方向的單位向量，而單位向量，而 為反射波和透射波振幅。為反射波和透射波振幅。1111sincosexp()ssssssxiziSI Ajtv2222sincosexp()ssssssxtztSI Ajtv2222sincosexp()ddppppxtztS

36、IAjtv(4-47)1122,pspsIIII1122,pspsAABB 入射波振幅入射波振幅AP、入射角、入射角id以及第一、第二介質(zhì)中以及第一、第二介質(zhì)中的縱波和橫波傳播速度的縱波和橫波傳播速度vp1、vs1、vp2、vs2是給定值，則是給定值，則借助于關(guān)系式借助于關(guān)系式(4-46)可以確定反射角和折射角可以確定反射角和折射角id、 is 、td 、ts 。為了確定方程。為了確定方程(4-47)中各個(gè)波的位移函數(shù)。中各個(gè)波的位移函數(shù)。 要求確定四個(gè)振幅系數(shù)要求確定四個(gè)振幅系數(shù)Ap1、As1、Bp2、Bs2。為此。為此將使用分界面將使用分界面z0的連續(xù)邊界條件。的連續(xù)邊界條件。二、邊界條件

37、二、邊界條件 根據(jù)分界面連續(xù)條件式根據(jù)分界面連續(xù)條件式(227)、式、式(228)，并考，并考慮到我們所討論的二維問題，即位移慮到我們所討論的二維問題，即位移y分量分量v=0，波函，波函數(shù)與數(shù)與y軸無關(guān)，軸無關(guān)， 在在z=0上應(yīng)該滿足條件：上應(yīng)該滿足條件： (1)位移連續(xù)條件：位移連續(xù)條件： , (2)應(yīng)力連續(xù)條件：應(yīng)力連續(xù)條件： , 根據(jù)均勻各向同性完全彈性介質(zhì)中的虎克定律式根據(jù)均勻各向同性完全彈性介質(zhì)中的虎克定律式(1-74)、式、式( 1-75)以及關(guān)系式以及關(guān)系式(1-36)、式、式(1-41)，應(yīng)力連續(xù)，應(yīng)力連續(xù)邊界條件可以變?yōu)椋哼吔鐥l件可以變?yōu)椋?y12uu12ww(4-48)12

38、()()zzzz12()()zxzx其中使用了關(guān)系：其中使用了關(guān)系： , 為便于將位移函數(shù)式為便于將位移函數(shù)式(4-43)、式、式(4-47)代入邊界條代入邊界條件方程，定義各個(gè)波對(duì)應(yīng)件方程，定義各個(gè)波對(duì)應(yīng)的位移向量如圖的位移向量如圖4-10所示。所示。2221111122222222122112221212222psspsssswvvvzwvvvzuwuwvvzxzx(4-49)22(2)psVV2sV第一、二介質(zhì)中的位移分量用帶下標(biāo)的第一、二介質(zhì)中的位移分量用帶下標(biāo)的u、w表示，表示，其表達(dá)式為：其表達(dá)式為：其中其中S表示位移向量的大小。將式表示位移向量的大小。將式(4-50)代入式代入式

39、(4-48)、式式(4-49),并考慮到在并考慮到在z0， ；公共因子；公共因子 可以消去，可以得到如下的方程組：可以消去，可以得到如下的方程組：111111222222sinsincoscoscossinsincoscossinpdpdsspdpdsspdsspdssuSiSiSiwSiSiSiuStStwStSt(4-50)1zjk ze()xjt k xe其中其中波的傳播速度與介質(zhì)密度乘積稱為波的傳播速度與介質(zhì)密度乘積稱為波阻抗波阻抗。求解方程。求解方程組組(4-51)，通常確定反射波和透射波振幅與入射波振幅，通常確定反射波和透射波振幅與入射波振幅之比。之比。112211221 11 1

40、2 22211 1 11 12 2222sincossincossincossincossincoscos2sin2cos2sin2cos2sin2cos2sin2cos2pdsspdsspdpdsspdsspdpssspssspspdsspdsspAiAiBtBtAiAiAiBtBtAiA ziA wiB ztB wtA ziAwiA wiBwtB wtA1 1sin2dwi(4-51)/;(1,2)isipiiipiiisivvzvwvi佐普里茲（佐普里茲（Zoppritz）方程）方程對(duì)反射波有：對(duì)反射波有：對(duì)透射波有：對(duì)透射波有：R 稱為反射系數(shù)，稱為反射系數(shù)，T 稱為透射系數(shù)；其下標(biāo)表

41、示波稱為透射系數(shù)；其下標(biāo)表示波的類型。反射或透射波與入射波同屬一個(gè)類型，稱的類型。反射或透射波與入射波同屬一個(gè)類型，稱為同類型波；否則，稱為轉(zhuǎn)換波。為同類型波；否則，稱為轉(zhuǎn)換波。11ppppspspARAARA(4-52)22ppppspspBTABTA(4-53) 式式(4-52)、式、式(4-53 )中對(duì)反射系數(shù)和透射系數(shù)的定中對(duì)反射系數(shù)和透射系數(shù)的定義采用的是兩種波的位移振幅比。要轉(zhuǎn)換為位移位振義采用的是兩種波的位移振幅比。要轉(zhuǎn)換為位移位振幅比根據(jù)關(guān)系式幅比根據(jù)關(guān)系式(4-30)、式、式(4-31)中對(duì)透射波、轉(zhuǎn)換型中對(duì)透射波、轉(zhuǎn)換型反射波要乘以透射波或反射波與入射波的速度比。反射波要乘

42、以透射波或反射波與入射波的速度比。 將分界面兩側(cè)介質(zhì)的彈性常數(shù)和密度的實(shí)際數(shù)據(jù)將分界面兩側(cè)介質(zhì)的彈性常數(shù)和密度的實(shí)際數(shù)據(jù)代入方程組代入方程組(4-51 ) ，求解反射系數(shù)，求解反射系數(shù)R和透射系數(shù)和透射系數(shù)T，表，表明它們與入射角和介質(zhì)彈性和密度參數(shù)之間存在復(fù)雜明它們與入射角和介質(zhì)彈性和密度參數(shù)之間存在復(fù)雜的依賴關(guān)系。的依賴關(guān)系。 為了分析反射系數(shù)、透射系數(shù)與入射角和介質(zhì)參為了分析反射系數(shù)、透射系數(shù)與入射角和介質(zhì)參數(shù)的關(guān)系，通常根據(jù)計(jì)算結(jié)果，繪制反射系數(shù)和透射數(shù)的關(guān)系，通常根據(jù)計(jì)算結(jié)果，繪制反射系數(shù)和透射系數(shù)曲線圖。系數(shù)曲線圖。圖圖4-11給出了一個(gè)入射波由聲阻抗大的介質(zhì)入射到聲阻抗給出了一個(gè)

43、入射波由聲阻抗大的介質(zhì)入射到聲阻抗小的介質(zhì)時(shí)，其分界面的反射系數(shù)和透射系數(shù)曲線。小的介質(zhì)時(shí)，其分界面的反射系數(shù)和透射系數(shù)曲線。其中其中如圖如圖4-11中所見，當(dāng)中所見，當(dāng)P波入射波入射角不大時(shí)角不大時(shí)id20-30。反射系數(shù)反射系數(shù)和透射系數(shù)變化不大。當(dāng)入和透射系數(shù)變化不大。當(dāng)入射角較大時(shí)，轉(zhuǎn)換波反射系射角較大時(shí)，轉(zhuǎn)換波反射系數(shù)和透射系數(shù)為極大值、其振幅最大。當(dāng)入射波數(shù)和透射系數(shù)為極大值、其振幅最大。當(dāng)入射波垂直或垂直或平行平行入射到分界面時(shí)，入射到分界面時(shí)，無波的轉(zhuǎn)換現(xiàn)象發(fā)生。無波的轉(zhuǎn)換現(xiàn)象發(fā)生。311312222.7/,4500/ ,2200/ ;0.9/,3600/ ,1700/ ;ps

44、psg cm vm svm sg cmvm s vm s三、全反射現(xiàn)象三、全反射現(xiàn)象根據(jù)斯奈爾定律，當(dāng)根據(jù)斯奈爾定律，當(dāng)vp2vp1時(shí)，透射角時(shí)，透射角td總大于入射角總大于入射角id。在。在id角到某一定值時(shí)，透射角角到某一定值時(shí)，透射角td90。，這時(shí)的入射，這時(shí)的入射角稱為臨界角，用角稱為臨界角，用ip表示：表示：透射波沿分界面滑行。當(dāng)?shù)诙橘|(zhì)中的橫波速度透射波沿分界面滑行。當(dāng)?shù)诙橘|(zhì)中的橫波速度Vs2大大于第一介質(zhì)中的縱波速度于第一介質(zhì)中的縱波速度Vp1時(shí)，對(duì)縱波入射波也可以時(shí)，對(duì)縱波入射波也可以找到另一個(gè)臨界角找到另一個(gè)臨界角is ,此時(shí)轉(zhuǎn)換型此時(shí)轉(zhuǎn)換型PS透射波沿分界面滑行。透射波

45、沿界面透射波沿分界面滑行。透射波沿界面滑行，這種現(xiàn)象稱為滑行，這種現(xiàn)象稱為全反射。全反射。12sinpppviv(4-54)12sinpssviv(4-55) 當(dāng)波的入射角超過臨界角時(shí)，當(dāng)波的入射角超過臨界角時(shí)，idiP或或idis，則，則 或或 顯然透射角的正弦將大于顯然透射角的正弦將大于1。這種情況只有當(dāng)。這種情況只有當(dāng)td或或ts角為角為一復(fù)數(shù)時(shí)，才有可能。設(shè)一復(fù)數(shù)時(shí)，才有可能。設(shè) ,若若 則根據(jù)公則根據(jù)公式式(2-89)，可有，可有(根據(jù)式根據(jù)式2-88):這時(shí)這時(shí),縱波透射波波函數(shù)為縱波透射波波函數(shù)為:21sinsinpdppvtiv21sinsinssspvtivdddttit2d

46、tsin1ddchttcosddtjtsh (4-56)222222exp()exp()exp()exp()ddppppppddxtjztsIBjtVIBkt zjkt xjchshshcht(4-57)其中其中 公式公式(4-57)表示的是一個(gè)沿表示的是一個(gè)沿x正方向以正方向以vP2/chtd” 為為速度傳播的平面不均勻波，其振幅沿速度傳播的平面不均勻波，其振幅沿z方向以方向以kshtd”為系為系數(shù)呈指數(shù)規(guī)律衰減。也就是說，當(dāng)波的入射角大于臨界數(shù)呈指數(shù)規(guī)律衰減。也就是說，當(dāng)波的入射角大于臨界角時(shí)，入射波在第二介質(zhì)中將引起沿角時(shí)，入射波在第二介質(zhì)中將引起沿x方向傳播的平面方向傳播的平面不均勻波

47、，認(rèn)為此時(shí)沒有波進(jìn)入第二介質(zhì)是不準(zhǔn)確的。不均勻波，認(rèn)為此時(shí)沒有波進(jìn)入第二介質(zhì)是不準(zhǔn)確的。當(dāng)當(dāng)idis時(shí)，轉(zhuǎn)換型時(shí)，轉(zhuǎn)換型P-S透射波也成為平面不均勻波，其透射波也成為平面不均勻波，其性質(zhì)與性質(zhì)與P-P透射波相似。透射波相似。 通過計(jì)算可以表明，當(dāng)縱波入射角通過計(jì)算可以表明，當(dāng)縱波入射角idiP或或idis時(shí)，時(shí)，透射系數(shù)透射系數(shù)T和反射系數(shù)和反射系數(shù)R將變成復(fù)數(shù)。將變成復(fù)數(shù)。 任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以用它的模量和幅角表示。任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以用它的模量和幅角表示。2pkv在這種情況下，可以將透射系數(shù)和反射系數(shù)表示為：在這種情況下，可以將透射系數(shù)和反射系數(shù)表示為：其中其中 和和 為幅角，是一實(shí)數(shù)。顯然，

48、用復(fù)數(shù)透射系數(shù)為幅角，是一實(shí)數(shù)。顯然，用復(fù)數(shù)透射系數(shù)或反射系數(shù)乘以入射波函數(shù)，將使之發(fā)生相位畸變。這或反射系數(shù)乘以入射波函數(shù)，將使之發(fā)生相位畸變。這時(shí)，反射波脈沖或透射波脈沖相對(duì)入射波脈沖發(fā)生了波時(shí)，反射波脈沖或透射波脈沖相對(duì)入射波脈沖發(fā)生了波形改變。形改變。exp()exp()trTTjRRjtr(4-58)四、垂直入射情況討論四、垂直入射情況討論當(dāng)縱波沿分界面法線方向入射時(shí)當(dāng)縱波沿分界面法線方向入射時(shí)id0。只產(chǎn)生縱波反只產(chǎn)生縱波反射波和透射波，無波的轉(zhuǎn)換現(xiàn)象發(fā)生。這時(shí)，波的傳播射波和透射波，無波的轉(zhuǎn)換現(xiàn)象發(fā)生。這時(shí)，波的傳播問題變?yōu)榍蠼庖痪S波動(dòng)方程。形式如同式問題變?yōu)榍蠼庖痪S波動(dòng)方程。形

49、式如同式(2-57)。對(duì)本節(jié)。對(duì)本節(jié)所選坐標(biāo)系，可有：所選坐標(biāo)系，可有：為求解反射系數(shù)為求解反射系數(shù)Rpp和透射系數(shù)和透射系數(shù)Tpp，使用垂直應(yīng)力，使用垂直應(yīng)力 和垂和垂直位移直位移 連續(xù)條件。在邊界條件方程組中，將連續(xù)條件。在邊界條件方程組中，將id0。代入代入其中第二、三式其中第二、三式,可以得到對(duì)一維情況下式可以得到對(duì)一維情況下式(4-59)的邊界條的邊界條件方程組件方程組:2222210pwwzvt(4-59)zzw相對(duì)反射系數(shù)及相對(duì)反射系數(shù)及Rpp和透射系數(shù)和透射系數(shù)Tpp，求解方程組，求解方程組(4-60)，可以得到：可以得到：由上兩式可知，在波沿法線方向入射到分界面時(shí)由上兩式可知

50、，在波沿法線方向入射到分界面時(shí),將產(chǎn)將產(chǎn)生反射波和透射波。生反射波和透射波。為了形成反射波，分界面兩側(cè)介為了形成反射波，分界面兩側(cè)介質(zhì)波阻抗必須存在著差異質(zhì)波阻抗必須存在著差異。這樣的分界面稱為。這樣的分界面稱為反射界反射界面面，反射界面也是波阻抗差異分界面。，反射界面也是波阻抗差異分界面。12221211ppppppppABAvABAv (4-60)22112211ppppppvvRvv(4-61)1122112pppppvTvv(4-62) 根據(jù)波阻抗差異大小，可以區(qū)分強(qiáng)反射界面和弱根據(jù)波阻抗差異大小，可以區(qū)分強(qiáng)反射界面和弱反射界面。波阻抗差異大，反射系數(shù)大，界面反射波反射界面。波阻抗差異

51、大，反射系數(shù)大，界面反射波強(qiáng)；相反，波阻抗差異小，反射系數(shù)小強(qiáng)；相反，波阻抗差異小，反射系數(shù)小,界面反射波弱。界面反射波弱。 當(dāng)波在波阻抗大的分界面當(dāng)波在波阻抗大的分界面 反射時(shí)，反反射時(shí)，反射系數(shù)為正，這意味著反射波相位與入射波相位相同。射系數(shù)為正，這意味著反射波相位與入射波相位相同。例如，在某一瞬間，入射波的壓縮帶入射到分界面，例如，在某一瞬間，入射波的壓縮帶入射到分界面，所發(fā)生的反射波也是壓縮帶；若到達(dá)分界面的入射波所發(fā)生的反射波也是壓縮帶；若到達(dá)分界面的入射波為疏松帶為疏松帶,則在此一瞬間產(chǎn)生的反射波也是疏松帶。則在此一瞬間產(chǎn)生的反射波也是疏松帶。 2211()ppvv 相反，當(dāng)波入射

52、到波阻抗小的分界面時(shí)，反射系相反，當(dāng)波入射到波阻抗小的分界面時(shí)，反射系數(shù)為負(fù)值。這時(shí)反射波相對(duì)入射波有數(shù)為負(fù)值。這時(shí)反射波相對(duì)入射波有180度相位差，稱度相位差，稱為半波消失現(xiàn)象為半波消失現(xiàn)象。在這種情況下，入射波中的壓縮帶。在這種情況下，入射波中的壓縮帶將引起反射波中的疏松帶，或入射波中的疏松帶將引將引起反射波中的疏松帶，或入射波中的疏松帶將引起反射被中的壓縮帶。在有的書中把法向入射時(shí)的反起反射被中的壓縮帶。在有的書中把法向入射時(shí)的反射系數(shù)寫作：射系數(shù)寫作： 與公式與公式(461)相比，其差別在于相比，其差別在于(463)式推導(dǎo)中式推導(dǎo)中考慮了波在反射時(shí)其傳播方向變化了考慮了波在反射時(shí)其傳播

53、方向變化了180。 根據(jù)公式根據(jù)公式(463)，在波的法向入射時(shí)，在分界面，在波的法向入射時(shí)，在分界面另一側(cè)產(chǎn)生的透射波，總是與入射波同相位。另一側(cè)產(chǎn)生的透射波，總是與入射波同相位。11221122ppppppvvRvv(4-63)公式公式(461)、式、式(462)是對(duì)法向入射情況，是對(duì)法向入射情況，id0。,推導(dǎo)的。推導(dǎo)的。但實(shí)際工作中經(jīng)常用來分析入射角但實(shí)際工作中經(jīng)常用來分析入射角id不大不大時(shí)的反射和透射間題時(shí)的反射和透射間題。如前面已經(jīng)指出的，在。如前面已經(jīng)指出的，在 id 或或20。30。時(shí)，大多數(shù)情況下，反射系數(shù)和時(shí)，大多數(shù)情況下，反射系數(shù)和透射系數(shù)隨入射角變化不大。透射系數(shù)隨入

54、射角變化不大。五、平面五、平面SH波在兩個(gè)介質(zhì)分界面上的反射和透射波在兩個(gè)介質(zhì)分界面上的反射和透射 如圖如圖4-12所示，設(shè)有一平所示，設(shè)有一平面面SH波入射到兩個(gè)介質(zhì)分波入射到兩個(gè)介質(zhì)分界面界面z0上，產(chǎn)生一個(gè)在第上，產(chǎn)生一個(gè)在第一介質(zhì)一介質(zhì)z0中傳播的反射波中傳播的反射波和一個(gè)在第二介質(zhì)和一個(gè)在第二介質(zhì)z0中傳中傳播的透射波。播的透射波。xoz平面為射平面為射線平面，線平面，z軸垂直向下指向軸垂直向下指向第一介質(zhì)。研究第一介質(zhì)。研究SH波的位波的位函數(shù)函數(shù)圖中圖中 為入射波、為入射波、 為反射波、為反射波、 為透射波；為透射波； 為入射角，為入射角， 為反射角、為反射角、 為透射角。為透射

55、角。( , , )x z t123112根據(jù)分界面上各波視速度相等的原理，沿根據(jù)分界面上各波視速度相等的原理，沿x方向波的方向波的視速度為：視速度為：我們有我們有取記號(hào)取記號(hào)表示第一或第二介質(zhì)中橫波波數(shù)。根據(jù)波的方程表示第一或第二介質(zhì)中橫波波數(shù)。根據(jù)波的方程(4-3)的的通解形式，寫出各個(gè)波的表達(dá)式：通解形式，寫出各個(gè)波的表達(dá)式：112112sinsinsinC(4-64)12112,sinsin(1)(2)12,sskk 111111exp(sincos)sBjktxz 122111exp(sincos)sBjktxz 233222exp(sincos)sBjktxz 為確定未知的振幅系數(shù)為

56、確定未知的振幅系數(shù)B1、B2、B3，利用利用z0上的上的分界面連續(xù)條件。這些條件是：分界面連續(xù)條件。這些條件是： (1)位移連續(xù)條件：位移連續(xù)條件：用用 表示位移分量表示位移分量v，可有：，可有：將波動(dòng)方程將波動(dòng)方程(4-3)代入，位移連續(xù)條件變?yōu)椋捍?，位移連續(xù)條件變?yōu)椋?2( )( )vv22221xzvzxzzxxt(4-65) 0022121211zz(4-66) (2)應(yīng)力連續(xù)條件：應(yīng)力連續(xù)條件：根據(jù)關(guān)系式根據(jù)關(guān)系式(4-40)，上式可以寫作：，上式可以寫作： 將將 代入邊界條件方程代入邊界條件方程(4-67)、(4-68)可以得到：可以得到：12zyzy(4-67)11220022

57、12zzzz(4-68)11223( ),( )2321212132212112111cos1cosBBBBBBBB (4-49)解此方程組可以得到平面解此方程組可以得到平面SH波反射系數(shù)和透射系數(shù)：波反射系數(shù)和透射系數(shù)：對(duì)位移位的反射系數(shù)和透射系數(shù)方程對(duì)位移位的反射系數(shù)和透射系數(shù)方程(4-70)、式、式(4-71)與與對(duì)對(duì)位移振幅比的反射系數(shù)位移振幅比的反射系數(shù)v1/v2及透射系數(shù)及透射系數(shù)v3/v1的關(guān)系是：的關(guān)系是：反射系數(shù)其數(shù)值不變，對(duì)透射系數(shù)應(yīng)乘以兩介質(zhì)中波速反射系數(shù)其數(shù)值不變，對(duì)透射系數(shù)應(yīng)乘以兩介質(zhì)中波速比倒數(shù)的平方。也就是：比倒數(shù)的平方。也就是：11122221111222cos

58、coscoscosBB3211112112222coscoscosBB(4-70)(4-71)2211vBvB2331112vBvB(4-72)整理整理(4-70)、 (4-71) 、 (4-72) 得：得：21112221111222coscoscoscosBB 2311122111122212coscoscosBB 2211122211111222coscoscoscosvBvB 23311111121112222coscoscosvBvB 當(dāng)當(dāng)SH波垂直入射時(shí)，波垂直入射時(shí)， 反射系數(shù)和透射系數(shù)為：反射系數(shù)和透射系數(shù)為：討論全反射的情況。當(dāng)討論全反射的情況。當(dāng) 時(shí)，存在一個(gè)臨界角時(shí)，存在

59、一個(gè)臨界角 當(dāng)當(dāng) 時(shí)、時(shí)、 在這種情況下，在這種情況下，120,021122211122122233121122222111212112211122BvBvBvBv (4-73)21112sincr12C12cr其中其中將將 代入上式，可以得到：代入上式，可以得到：(2)33222(2)223222(2)32232exp(sincos)cosexpsin()sinsinexpsin(cos)exp(cos)sssxBjktxzBjkxzBjkctxzBjk ctxz22(2)222222sin,cot11xscckkjc 2cot23322exp(1)exp()xxcBk zjk ctx(4-

60、74)當(dāng)入射角當(dāng)入射角 時(shí)，將產(chǎn)生一個(gè)不均勻的平面波在第二介時(shí)，將產(chǎn)生一個(gè)不均勻的平面波在第二介質(zhì)中傳播。透射波質(zhì)中傳播。透射波 沿沿 方向傳播，其振幅在方向傳播，其振幅在z方向上隨方向上隨|z|增大而呈指數(shù)規(guī)律衰減。增大而呈指數(shù)規(guī)律衰減。計(jì)算反射系數(shù)：計(jì)算反射系數(shù)：令令分別為實(shí)數(shù)分別為實(shí)數(shù)112221122211122112221111221122221222121122221122122212sinsinsinscoscoscotcotcoscoscotcot11cotcotcotciot11nBBccjccj 1ct3x221222121,1BCcc則反射系數(shù)可表示為：則反射系數(shù)可表示為