復(fù)變函數(shù)第二章第三節(jié)

1、定義定義2.8(單葉函數(shù)單葉函數(shù)）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)有定義內(nèi)有定義,且對(duì)且對(duì)D內(nèi)任意內(nèi)任意不同不同的的兩點(diǎn)兩點(diǎn)z1及及z2都有都有f(z1)f(z2),則稱函數(shù)則稱函數(shù) f(z)在在D內(nèi)是內(nèi)是單葉單葉的的.并且稱區(qū)域并且稱區(qū)域D為為f(z)的單葉性區(qū)域的單葉性區(qū)域.顯然顯然,區(qū)域區(qū)域D到區(qū)域到區(qū)域G的的單葉滿變換單葉滿變換w=f(z)就是就是D 到到G的的一一變換一一變換.f(z)=z2不是不是C上的單葉函數(shù)上的單葉函數(shù). f(z)=z3是是C上的單葉函數(shù)上的單葉函數(shù)第三節(jié) 初等多值函數(shù)定義定義2.9 若若z=wn,則稱則稱w為為z的的n次根式函數(shù)，記為：次根式函數(shù)，記為：的

2、特點(diǎn)。的特點(diǎn)。例，簡(jiǎn)單介紹多值函數(shù)例，簡(jiǎn)單介紹多值函數(shù)下面以二次根式函數(shù)為下面以二次根式函數(shù)為nwz , 根式函數(shù)根式函數(shù) 為冪函數(shù)為冪函數(shù)z=wn 的反函數(shù)的反函數(shù).nwz (1) 根式函數(shù)的多值性根式函數(shù)的多值性.000nzw 20|kinnnkkzwzz e 0,1,1kn arg zz 的的主主輻輻角角,),20(2/iArgzierzwrez 設(shè)設(shè)1. 根式函數(shù)根式函數(shù)的的具具體體數(shù)數(shù)值值無無法法確確定定。來來說說，其其幅幅角角點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)于于復(fù)復(fù)平平面面上上某某一一固固定定Argzz.22/ )2(2/ iiererwzCz連連續(xù)續(xù)變變?yōu)闉閷⒂捎桑瑥膹亩冏?，但但其其幅幅角角卻卻變

3、變?yōu)闉橹抵惦m雖然然不不的的位位置置，環(huán)環(huán)繞繞原原點(diǎn)點(diǎn)一一周周回回到到原原來來沿沿某某一一條條閉閉合合曲曲線線若若根根式式的的值值也也保保持持不不變變。的的幅幅角角不不變變，因因而而二二次次置置，環(huán)環(huán)繞繞一一周周回回到到原原來來的的位位閉閉合合曲曲線線沿沿某某一一條條不不包包含含原原點(diǎn)點(diǎn)的的但但若若zCz1 (2) 分出根式函數(shù)的單值解析分支分出根式函數(shù)的單值解析分支. 20kinnnnkkkizwzrere 2arg2= 0,1,1kkzkknnn 12010nniiwrewre 22 22niwre 2 (1)11nnnniwre 2kknkiwre 從原點(diǎn)從原點(diǎn)O起到點(diǎn)起到點(diǎn)任意引一條射線

4、將任意引一條射線將z平面割破，該平面割破，該直線稱為割線，在割破了的平面直線稱為割線，在割破了的平面(構(gòu)成以此割線為邊構(gòu)成以此割線為邊界的區(qū)域，記為界的區(qū)域，記為G)上，上， argz2 ，從而可將其轉(zhuǎn)化，從而可將其轉(zhuǎn)化為單值函數(shù)來研究。為單值函數(shù)來研究。就是其一個(gè)支點(diǎn)，這時(shí)繞就是其一個(gè)支點(diǎn)，這時(shí)繞 轉(zhuǎn)一周也可看作繞點(diǎn)轉(zhuǎn)一周也可看作繞點(diǎn)函數(shù)值發(fā)生了變化，則稱函數(shù)值發(fā)生了變化，則稱 為為f(z)的的支點(diǎn)支點(diǎn)，如，如 ，若變點(diǎn)，若變點(diǎn)z沿沿 轉(zhuǎn)一周，回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，轉(zhuǎn)一周，回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)， wk在其定義域上解析在其定義域上解析,且且 1nknkkzwznz 1, 1 , 0 nk,)()(2)arg(

5、nkzinknkezrzw nwz 分成如下的分成如下的n個(gè)單值函數(shù)：個(gè)單值函數(shù)： (3) 的支點(diǎn)及支割線的支點(diǎn)及支割線定義定義1設(shè)設(shè)w=f(z)為多值函數(shù)，為多值函數(shù)， 為一定點(diǎn)，作小圓周為一定點(diǎn)，作小圓周a:CzarCa,0nwz z:Czr轉(zhuǎn)一周，故點(diǎn)轉(zhuǎn)一周，故點(diǎn) 也是其一個(gè)支點(diǎn)也是其一個(gè)支點(diǎn).nwz 常用方法常用方法： 從原點(diǎn)起沿著從原點(diǎn)起沿著負(fù)實(shí)軸負(fù)實(shí)軸將將z平面割破平面割破,即可將根即可將根式函數(shù)式函數(shù):如如 可以以負(fù)實(shí)軸為支割線可以以負(fù)實(shí)軸為支割線.nwznwz0zx定義定義2 設(shè)想把平面割開，借以分出多值函數(shù)的單值分設(shè)想把平面割開，借以分出多值函數(shù)的單值分支的割線，稱為多值函數(shù)

6、的支的割線，稱為多值函數(shù)的支割線支割線.注注 a) 支割線可以有兩岸支割線可以有兩岸.b) 單值解析分支可連續(xù)延拓到岸上單值解析分支可連續(xù)延拓到岸上.c) 支割線改變各單值分支的定義域，值域也隨之改變支割線改變各單值分支的定義域，值域也隨之改變.d) 對(duì)對(duì) ，當(dāng)以負(fù)實(shí)軸為支割線時(shí)，當(dāng)，當(dāng)以負(fù)實(shí)軸為支割線時(shí)，當(dāng) 時(shí)取正值的那個(gè)分支稱為時(shí)取正值的那個(gè)分支稱為主值支主值支.上岸下岸.Ln ,)( )0( zwzfwzzew 記記為為稱稱為為對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)滿滿足足方方程程二、對(duì)數(shù)函數(shù)二、對(duì)數(shù)函數(shù)1. 定義定義2.計(jì)算公式計(jì)算公式： .2 , )( , Arg的整數(shù)倍的整數(shù)倍并且每?jī)芍迪嗖?/p>

7、并且每?jī)芍迪嗖钜彩嵌嘀岛瘮?shù)也是多值函數(shù)所以對(duì)數(shù)函數(shù)所以對(duì)數(shù)函數(shù)為多值函數(shù)為多值函數(shù)由于由于izfwz ivuwrezi , 令令 iivuwreezezw Ln)(2,Zkkvreu ArgzZkkvru )(2),(ln 實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)數(shù)數(shù))( )2(lnLnZkkirzw )( )2(arg|ln|lnLnZkkziziArgzzz 即即,arg Arg ArglnLn zzzizz取主值取主值中中如果將如果將 . Ln ln Ln 的主值的主值稱為稱為，記為記為為一單值函數(shù)，為一單值函數(shù)，那末那末zzz.arglnlnzizz . Ln , , 的的一一個(gè)個(gè)分分支支稱稱為為上上式式確確定定一一

8、個(gè)個(gè)單單值值函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)于于每每一一個(gè)個(gè)固固定定的的zk說明說明：w=Lnz是指數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)ew=z的反函數(shù)，的反函數(shù)，Lnz一般不能寫成一般不能寫成lnz,Ln zez 其余各值為其余各值為), 2, 1(2lnLn kikzz例例1 . )1(Ln , 2Ln 以以及及與與它它們們相相應(yīng)應(yīng)的的主主值值求求 解解,22ln2Ln ik 因?yàn)橐驗(yàn)?ln2. Ln2 的主值就是的主值就是所以所以)1(Arg1ln)1(Ln i因?yàn)橐驗(yàn)?)()12(為整數(shù)為整數(shù)kik . 1)Ln( i 的主值就是的主值就是所以所以注意注意: 在實(shí)變函數(shù)中在實(shí)變函數(shù)中, 負(fù)數(shù)無對(duì)數(shù)負(fù)數(shù)無對(duì)數(shù), 而復(fù)變數(shù)對(duì)數(shù)函

9、而復(fù)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)是實(shí)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的拓廣數(shù)是實(shí)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的拓廣.例例2. 031 iez解方程解方程解解,31 iez 因?yàn)橐驗(yàn)?31(Ln iz 所以所以 kii2331ln ki232ln), 2, 1, 0( k3. 對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),LnLn)(Ln)1(2121zzzz ,LnLnLn)2(2121zzzz 且且處處處處可可導(dǎo)導(dǎo)和和其其它它各各分分支支處處處處連連續(xù)續(xù)主主值值支支的的復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)包包括括原原點(diǎn)點(diǎn)在在除除去去負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)軸軸 , , ,)( )3(.1)Ln(,1)(lnzzzz （是下岸相應(yīng)點(diǎn)的函數(shù)值）求（是下岸相應(yīng)點(diǎn)的函數(shù)值）求 的值的值. 以以 為支點(diǎn)

10、，連接為支點(diǎn)，連接 的的任一任一（廣義）簡(jiǎn)單曲線可作為其支割線（廣義）簡(jiǎn)單曲線可作為其支割線.4. 分出分出w=Lnz的單值解析分支的單值解析分支從原點(diǎn)起沿著負(fù)實(shí)軸將從原點(diǎn)起沿著負(fù)實(shí)軸將z平面平面割破割破，就可將，就可將對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)w=Lnz分成如下分成如下無窮多個(gè)無窮多個(gè)單值解析分支：?jiǎn)沃到馕龇种В旱闹c(diǎn)和支割線的支點(diǎn)和支割線zwLn . 5 ),2(argln)Ln( kzirzwkk , 2, 1, 0 k wk在在定義域定義域上解析上解析,且且 1Lnkkwzz 例例1 設(shè)設(shè) 定義在沿負(fù)實(shí)軸割破的平面上，且定義在沿負(fù)實(shí)軸割破的平面上，且wLnz0zz 與0與wLnz( 1)3wi(

11、 )w i()ln(arg2)kkwLnzzizk(arg)z解：解：求值：求值： )2) 1(arg(| 1|ln3kii1kiiiiiiw25)22()2)(arg(|ln)(三、乘冪三、乘冪 與冪函數(shù)與冪函數(shù)ba1. 乘冪乘冪: , , , Lnabbeaba定義為定義為乘冪乘冪復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)為任意一個(gè)為任意一個(gè)為不等于零的一個(gè)復(fù)數(shù)為不等于零的一個(gè)復(fù)數(shù)設(shè)設(shè) . Lnabbea 即即. , )2arg(lnLn 也是多值的也是多值的一般情況下，一般情況下，因而因而是多值的是多值的注：由于注：由于bakaiaa zbbezwLn 2. 一般冪函數(shù)一般冪函數(shù) , )1(為整數(shù)時(shí)為整數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)b Lna

12、bbea )2arg(ln kaiabeikbaiabe 2)arg(ln ,lnabe .具具有有單單一一的的值值ba)2arg(ln kaiaqpbea)2arg(ln kaqpiaqpe )2arg(sin)2arg(cos lnkaqpikaqpeaqp .)1( , 1 , 0 , 時(shí)時(shí)相相應(yīng)應(yīng)的的值值即即取取個(gè)個(gè)值值具具有有 qkqab ,0) ,( )2(時(shí)時(shí)為互質(zhì)的整數(shù)為互質(zhì)的整數(shù)與與當(dāng)當(dāng) qqpqpb , )3(是無窮多值的。是無窮多值的。函數(shù)函數(shù)為無理數(shù)或復(fù)數(shù)時(shí)為無理數(shù)或復(fù)數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)bzwb 3. 冪函數(shù)的解析性冪函數(shù)的解析性原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面

13、內(nèi)是解析的,.)(1 bbbzz的的各各個(gè)個(gè)分分支支在在除除去去它它是是一一個(gè)個(gè)多多值值函函數(shù)數(shù)，它它為為整整數(shù)數(shù)外外除除去去, b ),1(/ nnmb既既約約分分?jǐn)?shù)數(shù)，為為有有理理數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng) 數(shù)數(shù)是是無無窮窮多多值值的的。的的無無窮窮階階支支點(diǎn)點(diǎn)，此此時(shí)時(shí)函函點(diǎn)點(diǎn)和和無無窮窮遠(yuǎn)遠(yuǎn)點(diǎn)點(diǎn)是是為為無無理理數(shù)數(shù)或或復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，原原當(dāng)當(dāng)bzwb , 111分分解解成成解解析析分分支支。內(nèi)內(nèi)可可以以把把在在得得到到一一個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)域域割割線線一一條條簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單連連續(xù)續(xù)曲曲線線作作為為原原點(diǎn)點(diǎn)和和無無窮窮遠(yuǎn)遠(yuǎn)點(diǎn)點(diǎn)的的不不是是整整數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，任任取取連連接接當(dāng)當(dāng)bzwDDKb .2Argz,1ln)2ln)|ln

14、|ln/11111111出出發(fā)發(fā)的的值值，即即回回到到了了它它從從相相應(yīng)應(yīng)地地連連續(xù)續(xù)變變動(dòng)動(dòng)到到則則從從，而而連連續(xù)續(xù)變變動(dòng)動(dòng)到到從從周周時(shí)時(shí)連連續(xù)續(xù)變變動(dòng)動(dòng)出出發(fā)發(fā)按按逆逆時(shí)時(shí)針針或或順順時(shí)時(shí)針針從從當(dāng)當(dāng)一一點(diǎn)點(diǎn)（zeeeezwnnzzznmniznmiznmznmnm 11/階代數(shù)支點(diǎn)。階代數(shù)支點(diǎn)。也稱也稱階支點(diǎn)，階支點(diǎn)，的的點(diǎn)是點(diǎn)是這時(shí)，稱原點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)這時(shí)，稱原點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)n-n-zwnm 例例1 1 . )(1 的輻角的主值的輻角的主值求求ii 解解)Ln(1)1(iiiei ikiie242ln21 ., 2, 1, 0 k其中其中)1(Arg1lniiiie 2ln2124 ike

15、 2ln21sin2ln21cos 24iek ln2.21 )(1 的輻角的主值為的輻角的主值為故故ii azzeawLn 4. 一般指數(shù)函數(shù)一般指數(shù)函數(shù)它是無窮多個(gè)獨(dú)立的、在它是無窮多個(gè)獨(dú)立的、在z平面上單值解析的函數(shù)。平面上單值解析的函數(shù)。.Ln, zeweea 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的單值的的單值的取主值時(shí)，便得到通常取主值時(shí)，便得到通常當(dāng)當(dāng))1Ln(Arcsin2ziziz 1. 反三角函數(shù)的定義反三角函數(shù)的定義.cosArc , ,cos zwzwwz 記作記作的反余弦函數(shù)的反余弦函數(shù)為為稱稱設(shè)設(shè),2cos iwiweewz 由由, 012 2 iwiwzee得得, 1 2 zzeiw方

16、程的根為方程的根為兩端取對(duì)數(shù)得兩端取對(duì)數(shù)得).1Ln(cosArc2 zziz 同樣可以定義反正弦函數(shù)和反正切函數(shù)同樣可以定義反正弦函數(shù)和反正切函數(shù), 重復(fù)以上步驟重復(fù)以上步驟, 可以得到它們的表達(dá)式可以得到它們的表達(dá)式:),1Ln(22 zzi .11Ln2Arctaniziziz 都是多值函數(shù)。都是多值函數(shù)。和和是多值函數(shù)，所以是多值函數(shù)，所以是二值函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)是二值函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)由于以上各式中由于以上各式中zArczArczcossin12 四、反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)四、反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)2. 反雙曲函數(shù)的定義反雙曲函數(shù)的定義),1Ln( Arsinh2 zzz反雙曲正弦反雙曲正弦

17、),1Ln(osh Ar2 zzzc反雙曲余弦反雙曲余弦.11Ln21 Artanhzzz 反雙曲正切反雙曲正切例例1 1解解).32tan( Arci 求函數(shù)值求函數(shù)值 )32tan( Arci)32(1)32(1Ln2iiiii 53Ln2ii kii231arctan52ln2.31arctan212152ln4 ki . , 2 , 1 , 0 k其中其中(4) 若若 能整除能整除 中若干個(gè)之和，則中若干個(gè)之和，則 中對(duì)應(yīng)的幾個(gè)就可以聯(lián)結(jié)成割線，即變中對(duì)應(yīng)的幾個(gè)就可以聯(lián)結(jié)成割線，即變點(diǎn)點(diǎn) z 沿只包含它們?cè)谄鋬?nèi)部的簡(jiǎn)單閉曲線轉(zhuǎn)一整周后，沿只包含它們?cè)谄鋬?nèi)部的簡(jiǎn)單閉曲線轉(zhuǎn)一整周后，函數(shù)值

18、不變函數(shù)值不變.五、具有有限個(gè)支點(diǎn)的情形五、具有有限個(gè)支點(diǎn)的情形設(shè)有任意設(shè)有任意N次多項(xiàng)式：次多項(xiàng)式：mmazazazAzP )()()()(2121 maaa,21分別為分別為P(z)的一切相異零點(diǎn)，對(duì)應(yīng)重?cái)?shù)為的一切相異零點(diǎn)，對(duì)應(yīng)重?cái)?shù)為m ,21且有且有,21Nm 則函數(shù)則函數(shù)nzPw)( 的支點(diǎn)有以下結(jié)論：的支點(diǎn)有以下結(jié)論：(1) 的可能支點(diǎn)為的可能支點(diǎn)為 和和 ；maaa,21(2) 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 不能整除不能整除 時(shí)，時(shí)， 是是 的支點(diǎn)；的支點(diǎn)；niianzPw)( nzPw)( (3) 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 不能整除不能整除 時(shí)，時(shí)， 是是 的支點(diǎn)；的支點(diǎn)；nNnzPw)( nm ,

19、21maaa,21例例1 1 作出一個(gè)含作出一個(gè)含 i 的區(qū)域的區(qū)域,使得函數(shù)使得函數(shù), )2)(1(zzzw在此區(qū)域內(nèi)可分解成單值解析分支在此區(qū)域內(nèi)可分解成單值解析分支, ,求一個(gè)分支在求一個(gè)分支在i點(diǎn)點(diǎn)解可能的支點(diǎn)為可能的支點(diǎn)為2 |1,2 | 3;0,1,2,.故為支點(diǎn)易知函數(shù)易知函數(shù), )2)(1(zzzw因因0,1,2與與無窮無窮，具體分析見下圖具體分析見下圖ArgArg(1) Arg(2)1/22| (1)(2)|eizzzwz zz012012012012結(jié)論：結(jié)論：0 0、1 1、2 2與無窮都是支點(diǎn)。與無窮都是支點(diǎn)。的值的值, ,使其滿足使其滿足.6) 1(iw支點(diǎn)確定后，我

20、們作支點(diǎn)確定后，我們作區(qū)域，將函數(shù)分解成單值解析分支。區(qū)域，將函數(shù)分解成單值解析分支。首先，在復(fù)平面內(nèi)作一條連接首先，在復(fù)平面內(nèi)作一條連接0,1,20,1,2及及無窮遠(yuǎn)點(diǎn)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的任意無的任意無界簡(jiǎn)單連續(xù)曲線作為割線界簡(jiǎn)單連續(xù)曲線作為割線, ,在所得區(qū)域內(nèi)在所得區(qū)域內(nèi), ,可以把可以把w分解分解成連續(xù)分支。例如成連續(xù)分支。例如, ,可取可取 作為割線作為割線, ,得到區(qū)域得到區(qū)域D。), 0 其次其次, ,也可以取線段也可以取線段0,10,1及從及從2 2出發(fā)且不與出發(fā)且不與0,10,1相交的相交的射線為割線射線為割線, ,在所得區(qū)域內(nèi)在所得區(qū)域內(nèi), ,可以把可以把w分解成連續(xù)分支。分解成連續(xù)分支。例如，可取例如，可取0,10,1及及 作為割線作為割線, ,得到區(qū)域得到區(qū)域 。), 2 1D支：支：可以分解成兩個(gè)解析分可以分解成兩個(gè)解析分內(nèi)，內(nèi)，或或于是在于是在取取在在wDDzzzz1,)2arg(,)1arg(,arg, 1 )1 , 0(| )2)(1(|2)2arg()1arg(arg22/1 kezzzwkzzzi 內(nèi)有內(nèi)有或或于是