單自由度系統(tǒng)的振動(上課用).

1、12 振動是日常生活和工程實際中常見的現(xiàn)象。振動是日常生活和工程實際中常見的現(xiàn)象。 例如：鐘擺的往復擺動例如：鐘擺的往復擺動,汽車行駛時的顛簸，電動機、機汽車行駛時的顛簸，電動機、機床等工作時的振動，以及地震時引起的建筑物的振動等。床等工作時的振動，以及地震時引起的建筑物的振動等。 利利：振動給料機：振動給料機 弊弊：磨損，減少壽命，影響強度：磨損，減少壽命，影響強度 振動篩振動篩 引起噪聲，影響勞動條件引起噪聲，影響勞動條件 振動沉拔樁機等振動沉拔樁機等 消耗能量，降低精度等。消耗能量，降低精度等。3. 研究振動的目的研究振動的目的：消除或減小有害的振動，充分利用振動：消除或減小有害的振動，

2、充分利用振動 為人類服務。為人類服務。 2. 振動的利弊振動的利弊：1. 所謂振動就是系統(tǒng)在平衡位置附近作往復運動。所謂振動就是系統(tǒng)在平衡位置附近作往復運動。3 4. 振動的分類振動的分類： 單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動 按振動系統(tǒng)的自由度分類按振動系統(tǒng)的自由度分類 多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動 彈性體的振動彈性體的振動 按系統(tǒng)的輸入（激勵）分類按系統(tǒng)的輸入（激勵）分類： 自由振動：自由振動： 無阻尼的自由振動無阻尼的自由振動 有阻尼的自由振動，衰減振動有阻尼的自由振動，衰減振動 強迫振動：強迫振動： 無阻尼的強迫振動無阻尼的強迫振動 有阻尼的強迫振動有阻尼的強迫振動 自激振動

3、自激振動本章重點討論單自由度系統(tǒng)的自由振動和強迫振動。本章重點討論單自由度系統(tǒng)的自由振動和強迫振動。4按系統(tǒng)的輸出（響應）分類按系統(tǒng)的輸出（響應）分類簡諧振動簡諧振動周期性振動周期性振動瞬態(tài)振動瞬態(tài)振動隨機振動隨機振動按描述系統(tǒng)的微分方程的按描述系統(tǒng)的微分方程的性質分類性質分類線形振動線形振動非線形振動非線形振動5振動問題的求解步驟：振動問題的求解步驟：1、建立振動系統(tǒng)的力學模型、建立振動系統(tǒng)的力學模型 抓住系統(tǒng)振動的主要特征，忽略次要因素，抽抓住系統(tǒng)振動的主要特征，忽略次要因素，抽 象出象出來一個簡化的理論模型。來一個簡化的理論模型。 一個振動系統(tǒng)必須具有彈性元件和質量元件。一個振動系統(tǒng)必須

4、具有彈性元件和質量元件。 振動三要素：質量、彈簧、阻尼振動三要素：質量、彈簧、阻尼2、建立振動系統(tǒng)的數(shù)學模型、建立振動系統(tǒng)的數(shù)學模型牛頓第二定律、定軸轉動方程、拉格朗日方程等牛頓第二定律、定軸轉動方程、拉格朗日方程等3、求解運動微分方程、求解運動微分方程 解析法、數(shù)值法解析法、數(shù)值法789振動系統(tǒng)模型及其簡化振動系統(tǒng)模型及其簡化10電動機和梁組成的振動系統(tǒng)電動機和梁組成的振動系統(tǒng)11連桿連桿飛輪的扭轉振動飛輪的扭轉振動12單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動1、單自由度線形系統(tǒng)的運動微分方程及其系統(tǒng)特性、單自由度線形系統(tǒng)的運動微分方程及其系統(tǒng)特性牛頓運動定律法牛頓運動定律法)()()(

5、)(tFtkxtxctxm 13)()()()()(tkytyctkxtxctxm 14)()()()(tFtkxtxctxm 15拉格朗日方程法QdydVdydEyddEdtd)(16振動系統(tǒng)的線性化處理17)()()0 , 0()0 , 0()0 , 0()0 , 0()0 , 0()0 , 0(!)0 , 0(!)0 , 0()0 , 0()0 , 0()0 , 0(),()()()(tFkxxctxmxckxNcxfkxffxxfxxffNxxnfxxnfxxfxxffNxxfNtNtFtxmnnnnnn ，記忽略表示恒力的僅取一次項，得18用于流體力學實驗的壓用于流體力學實驗的壓力表

6、，具有均勻內(nèi)經(jīng)，力表，具有均勻內(nèi)經(jīng)，截面積為。內(nèi)有長度為截面積為。內(nèi)有長度為、密度為的液體，在靜、密度為的液體，在靜止液面附近做微幅擺動止液面附近做微幅擺動，假設液體運動時均勻，假設液體運動時均勻的，壁管的摩擦力忽略的，壁管的摩擦力忽略不計，試建立其運動微不計，試建立其運動微分方程分方程19一個質量為的均一個質量為的均勻半圓柱體在水勻半圓柱體在水平面上做無滑動平面上做無滑動的往復運動，圓的往復運動，圓柱體半徑為，重柱體半徑為，重心在點，物體對心在點，物體對重心的回轉半徑重心的回轉半徑為，試導出系統(tǒng)為，試導出系統(tǒng)的運動微分方程的運動微分方程2021 4-1單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動單自由度系統(tǒng)無

7、阻尼自由振動 一、自由振動的概念一、自由振動的概念：221、自由振動微分方程及其解、自由振動微分方程及其解tAtAtxtAtAtxtAtAtxirirrtxtxmkxktxmkmgtkxtxmnnnnnnnnnnnnnnnststsincos)(cossin)(sincos)(,00)()(,/)()(00)()(22212121212222 則23正弦和余弦函數(shù)是周期函數(shù)正弦和余弦函數(shù)是周期函數(shù)ttttttnnnnnnnncos)/2(cos)2cos(sin)/2(sin)2sin(這表明物體的運動是振動，周期為這表明物體的運動是振動，周期為n/2000202000020100arctan

8、)()cos()(sin/cos)(/,)0(,)0(xvvxAtAtxtvtxtxvAxAvxxxnnnnnn得記初始條件為242.無阻尼自由振動的特性無阻尼自由振動的特性（1）單自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動是以正弦或余弦函數(shù)，即）單自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動是以正弦或余弦函數(shù)，即諧波函數(shù)表示，故稱為諧波振動，該系統(tǒng)稱為諧振子。諧波函數(shù)表示，故稱為諧波振動，該系統(tǒng)稱為諧振子。（2）自由振動的角頻率，即系統(tǒng)的自然頻率，僅由系統(tǒng)本）自由振動的角頻率，即系統(tǒng)的自然頻率，僅由系統(tǒng)本身的參數(shù)確定，與外界激勵和初始條件無關。身的參數(shù)確定，與外界激勵和初始條件無關。（3）無阻尼自由振動具有）無阻尼自由振動具

9、有“等時性等時性”，即線形系統(tǒng)自由振，即線形系統(tǒng)自由振動的周期由系統(tǒng)本身的參數(shù)所確定，與外界激勵和初始條動的周期由系統(tǒng)本身的參數(shù)所確定，與外界激勵和初始條件無關。件無關。（4）自由振動的振幅）自由振動的振幅A和初相角和初相角 由初始條件所決定由初始條件所決定25諧波振動的幾種表示方法諧波振動的幾種表示方法三角函數(shù)表示法：三角函數(shù)表示法：)cos()()2/cos()()cos()(2tAtxtAtxtAtxnnnnn 26旋轉矢量表示法：旋轉矢量表示法：2728復數(shù)表示法：復數(shù)表示法：biatitzz)sin()cos(titititiitieiAzeiAzeAeAeAez2000)()()(

10、 29等效剛度等效剛度剛度是指系統(tǒng)在某點沿指定方向產(chǎn)生單位位移（角位移）時，在剛度是指系統(tǒng)在某點沿指定方向產(chǎn)生單位位移（角位移）時，在該點沿同一方向所要施加的力（力矩）。單位位移所需要的力。該點沿同一方向所要施加的力（力矩）。單位位移所需要的力。30設桿長為設桿長為l，截面積為，截面積為A，截面慣性矩為，截面慣性矩為I，截面極慣性矩，截面極慣性矩為為Ip，材料的彈性模量為，材料的彈性模量為E，切面模量為，切面模量為G，確定端點，確定端點B處在處在x方向、方向、y方向和軸轉動方向的剛度。方向和軸轉動方向的剛度。1)拉壓剛度拉壓剛度lEAkx2）彎曲剛度）彎曲剛度33lEIky3）扭轉剛度）扭轉剛

11、度lGIkp31例：簡支梁橫向振動例：簡支梁橫向振動均勻簡支梁的橫向振動均勻簡支梁的橫向振動假設系統(tǒng)的質量全部假設系統(tǒng)的質量全部集中在梁的中部，且集中在梁的中部，且假定為假定為m。取梁的中。取梁的中部撓度部撓度作為系統(tǒng)作為系統(tǒng)位移，根據(jù)材料力學位移，根據(jù)材料力學得靜撓度為得靜撓度為333480)()(4848mlEImktuktumlEIPkEIEIPlenee振動固有頻率為系統(tǒng)自由振動方程為等效剛度定義簡支梁為梁截面的抗彎剛度。式中 32組合剛度組合剛度 彈簧并聯(lián)系統(tǒng)和彈簧串聯(lián)系統(tǒng)的等效剛度212121212211 , )( , kkkkkmgkkmgFFmgkFkFeqststst并聯(lián)21

12、21eq21212121k )11()11( kkkkkkmgkmgkkmgkmgkmgeqstststst串聯(lián)并聯(lián)串聯(lián)33 彈簧并聯(lián)系統(tǒng)和彈簧串聯(lián)系統(tǒng)的等效剛度212121212211 , )( , kkkkkmgkkmgFFmgkFkFeqststst并聯(lián)2121eq21212121k )11()11( kkkkkkmgkmgkkmgkmgkmgeqstststst串聯(lián)并聯(lián)串聯(lián)34求圖中所示各振動系統(tǒng)的自然頻率求圖中所示各振動系統(tǒng)的自然頻率3536等效質量等效質量1）彈簧的等效質量）彈簧的等效質量彈簧在平衡時的長度為彈簧在平衡時的長度為l，線密度為線密度為 （kg/m ），），試求系統(tǒng)的等

13、效質量試求系統(tǒng)的等效質量。CmtkxtxmCtxmktxtxtxmktxtxtxmktx)(21)(21)(21)(210)()()()(0)()(2222 積分，有37從能量守恒出發(fā)，討論彈簧的等效質量問題Cmtkxtx)(21, 0)(maxCmtxmtx)(21, 0)(2max振動位移振動位移x（t）最大時）最大時在平衡位置在平衡位置從而有從而有220222max2max223213/21)/(21/21)(21)(21)(21)(21xmx ldlxTdlxdCmtxmtkxtkxtxmsls整根彈簧的動能為）（段的動能為彈簧常數(shù)38因此系統(tǒng)的等效質量為因此系統(tǒng)的等效質量為是彈簧的質

14、量。其中ssemmmlmm3131392)彈性梁的等效質量如圖所示的彈性梁系統(tǒng)，其長度為如圖所示的彈性梁系統(tǒng)，其長度為L，彎曲剛度為，彎曲剛度為EI，在梁的懸伸端放一質量為在梁的懸伸端放一質量為m的物體，梁的質量為的物體，梁的質量為m，密，密度為度為= m / L ，試確定系統(tǒng)的等效質量，試確定系統(tǒng)的等效質量。40假定梁的撓曲線與不計其質量的相同，由材料力學，在距O點為l處的靜撓度為14033140331403321)3(8212322032622103321mmmmmmmxmdllLlLxdlxTLlLlxsesLLst整個系統(tǒng)的等效質量為為因而彈性梁的等效質量整段梁的動能為41424344

15、 45 運動過程中，總指向物體平衡位置的力稱為恢復力恢復力。 物體受到初干擾后，僅在系統(tǒng)的恢復力作用下在其平衡位置附近的振動稱為無阻尼自由振動無阻尼自由振動。 )/( 0 , )/( 0 , )/( 0 , 2222222ImgamgaIlgmglmlmkxxkxxmnnnnnn 質量質量彈簧系統(tǒng)：彈簧系統(tǒng)： 單擺：單擺： 復擺：復擺：46二、單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動微分方程及其解二、單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動微分方程及其解 對于任何一個單自由度系統(tǒng)，以q 為廣義坐標（從平衡位置開始量取 ），則自由振動的運動微分方程必將是：0cqqa a, c是與系統(tǒng)的物理參數(shù)有關的常數(shù)。令acn/2則自由

16、振動的微分方程的標準形式：則自由振動的微分方程的標準形式：02qqn 解解為：)sin(tAqn47 0022020arctg , qqqqAnn設 t = 0 時， 則可求得：00 , qqqq 或：tCtCqnnsincos21C1，C2由初始條件決定為nq CqC/ ,02 01tqtqqnnnsincos 0048 三、自由振動的特點三、自由振動的特點： A物塊離開平衡位置的最大位移，稱為振幅。 n t + 相位，決定振體在某瞬時 t 的位置 初相位，決定振體運動的起始位置。 T 周期，每振動一次所經(jīng)歷的時間。 f 頻率，每秒鐘振動的次數(shù)， f = 1 / T 。 固有頻率，振體在2秒

17、內(nèi)振動的次數(shù)。 反映振動系統(tǒng)的動力學特性，只與系統(tǒng)本身的固有參數(shù)有關。 nT2n49 無阻尼自由振動的特點是無阻尼自由振動的特點是： (2) 振幅A和初相位 取決于運動的初始條件(初位移和初速度)；(1) 振動規(guī)律為簡諧振動；(3)周期T 和固有頻率 僅決定于系統(tǒng)本身的固有參數(shù)(m,k,I )。n四、其它四、其它 1. 如果系統(tǒng)在振動方向上受到某個常力的作用，該常力只影響靜平衡點O的位置，而不影響系統(tǒng)的振動規(guī)律，如振動頻率、振幅和相位等。 501. 由系統(tǒng)的振動微分方程的標準形式由系統(tǒng)的振動微分方程的標準形式2. 靜變形法：靜變形法：3. 能量法能量法： 4-2 求系統(tǒng)固有頻率的方法求系統(tǒng)固有

18、頻率的方法02qqn stngst：集中質量在全部重力 作用下的靜變形n由Tmax=Umax , 求出51 無阻尼自由振動系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，機械能守恒。 當振體運動到距靜平衡位置最遠時，速度為零，即系統(tǒng)動能等于零，勢能達到最大值（取系統(tǒng)的靜平衡位置為零勢能點）。 當振體運動到靜平衡位置時，系統(tǒng)的勢能為零，動能達到最大值。mgAAkUstst)(2122max2max21 kAUmgkst222max2121nmAxmT如：52 mkkAmAUTnn 2121 222maxmax由 能量法是從機械能守恒定律出發(fā)，對于計算較復雜的振能量法是從機械能守恒定律出發(fā)，對于計算較復雜的振動系統(tǒng)的固有頻率來得

19、更為簡便的一種方法。動系統(tǒng)的固有頻率來得更為簡便的一種方法。 例例1 圖示系統(tǒng)。設輪子無側向擺動，且輪子與繩子間無滑動，不計繩子和彈簧的質量，輪子是均質的，半徑為R，質量為M，重物質量 m ，試列出系統(tǒng)微幅振動微分方程，求出其固有頻率。53 解解：以 x 為廣義坐標（靜平衡位置為 坐標原點）RkgRmMst2)(gkmMst2則任意位置x 時：kxgmMxkFst22)2(靜平衡時：54 應用動量矩定理：kxRRFgRmMFmxRmMRxMRRxMRxmLAA42)()()23( 212由 ， 有)(FmdtdLAAkxRxRmM4)23( 振動微分方程：固有頻率：mMkxmMkxn23802

20、38 55 解解2 ： 用機械能守恒定律 以x為廣義坐標（取靜平衡位置為原點）22222)23(21 21)(22121xmMxmRxMRxMT 以平衡位置為計算勢能的零位置，并注意輪心位移x時，彈簧伸長2xgxmMxkkxgxmMxkUststst)(22 )()2(2222因平衡時gxmMxkst)(222kxU 56 由 T+U= 有：constconstkxxmM222)23(2104)23(kxxmM mMkxmMkxn2380238 對時間 t 求導，再消去公因子 ，得x 57585960616263646566676869707172 例：例： 鼓輪：質量鼓輪：質量M，對輪心回轉

21、半徑，對輪心回轉半徑 ，在水平面上只滾不滑，在水平面上只滾不滑，大輪半徑大輪半徑R，小輪半徑，小輪半徑 r ，彈簧剛度，彈簧剛度k1，k2，重物質量為，重物質量為m, 不計不計輪輪D和彈簧質量，且繩索不可伸長。求系統(tǒng)微振動的固有頻率。和彈簧質量，且繩索不可伸長。求系統(tǒng)微振動的固有頻率。 解解：取靜平衡位置取靜平衡位置O為坐標原為坐標原點，取點，取C偏離平衡位置偏離平衡位置x為廣義為廣義坐標。系統(tǒng)的最大動能為：坐標。系統(tǒng)的最大動能為：73 ) )()( ( )(21 )(21212max21max22max21maxRkkrRmgxkkxRrRmgxkkUststst2max22222max2m

22、ax22maxmax 21 )(21 )(21)(21xr)m(R)RM(RxRrRmRxMxMT系統(tǒng)的最大勢能為：系統(tǒng)的最大勢能為：74 設 則有)sin(nAxnAxAxmaxmax , )(21 2)()(221max222222maxAkkUARrRmRMTn根據(jù)Tmax=Umax , 解得222221)()()(rRmRMRkkn75等效單自由度系統(tǒng)等效單自由度系統(tǒng)（1）單自由度扭振系統(tǒng)）單自由度扭振系統(tǒng)假定盤和軸都為均質體，不考慮軸的質量。設扭矩T作用在盤面。根據(jù)材料力學可知：JkJkJlGITkdIGITlTnTT扭轉振動固有頻率為為圓盤轉動慣量是該系統(tǒng)的扭轉振動方程0324 7

23、6（2）單擺）單擺回復力由擺錘重力提供回復力由擺錘重力提供以角度以角度為位移，不計擺線質量，建立為位移，不計擺線質量，建立系統(tǒng)運動方程：系統(tǒng)運動方程：lgtlgttlgtn系統(tǒng)振動的固有頻率為）（上述方程線形化為：當振動的幅度很小時，0)(,sin0)(sin)( 77（3）簡支梁橫向振動）簡支梁橫向振動均勻簡支梁的橫向振動均勻簡支梁的橫向振動假設系統(tǒng)的質量全部集中在梁的中部，且假定為m。取梁的中部撓度作為系統(tǒng)位移，根據(jù)材料力學得靜撓度為333480)()(4848mlEImktuktumlEIPkEIEIPlenee振動固有頻率為系統(tǒng)自由振動方程為等效剛度定義簡支梁為梁截面的抗彎剛度。式中

24、78 4-3 單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動一、阻尼的概念一、阻尼的概念： 阻尼阻尼：振動過程中，系統(tǒng)所受的阻力。例如粘性阻尼、干摩 擦阻尼和材料阻尼。 粘性阻尼粘性阻尼：在很多情況下，振體速度不大時，由于介質粘性引起的阻尼認為阻力與速度成正比，這種阻尼稱為粘性阻尼。vcR投影式：xcRx c 粘性阻尼系數(shù)，簡稱阻尼系數(shù)。79 二、有阻尼自由振動微分方程及其解二、有阻尼自由振動微分方程及其解： 質量質量彈簧系統(tǒng)存在粘性阻尼：彈簧系統(tǒng)存在粘性阻尼：有阻尼自由振動微分方程的標準形式。有阻尼自由振動微分方程的標準形式。80當系統(tǒng)存在阻尼時，自由振動方程為如下形式的齊次方程當

25、系統(tǒng)存在阻尼時，自由振動方程為如下形式的齊次方程 xckxxm stetxX)(上式有通解mkcmcn2/2/0)()(2)(2txtxtxnn （1）（2）阻尼率阻尼率其中其中s為待定方程，代入上式為待定方程，代入上式81則有則有這就是系統(tǒng)的特征方程，它是這就是系統(tǒng)的特征方程，它是s的二次方程，有兩個解：的二次方程，有兩個解：（3）（4）0222nnssns)1(22, 1)()(1211212221ttttstsnnneXeXeeXeXtx所以方程的通解為82 很明顯，很明顯，s1、s2的性質的性質取決于阻尼因子取決于阻尼因子，其，其相互關系可以從相互關系可以從s平面平面，即復平面上得到反

26、，即復平面上得到反映（如圖）。映（如圖）。 s1、s2作作為阻尼因子為阻尼因子的函數(shù)在復平面上描的函數(shù)在復平面上描繪出一條曲線，圖中繪出一條曲線，圖中可直觀地了解參數(shù)可直觀地了解參數(shù)對對系統(tǒng)運動行為的影響系統(tǒng)運動行為的影響，或者說對系統(tǒng)響應，或者說對系統(tǒng)響應的影響。的影響。 、83下面分別討論對于下面分別討論對于的不同取值的情況的不同取值的情況1、無阻尼（、無阻尼（=0）情況）情況得到兩個復根得到兩個復根in，此時系統(tǒng)就是簡諧振子。，此時系統(tǒng)就是簡諧振子。titinneXeXtx21)(得通解：應用歐拉方程將上式展開并整理，有應用歐拉方程將上式展開并整理，有tXXitXXtxnnsin)(co

27、s)()(2121sin)(,cos2121XXXiXXX若記84)cos(sinsincoscos)(tXtXtXtxnnn則得方程解為此式和單自由度無阻尼自由振動方程完全一致此式和單自由度無阻尼自由振動方程完全一致其中常數(shù)其中常數(shù)X和和由初始條件決定由初始條件決定852、小阻尼情況小阻尼情況（01）由式（由式（4）得）得nis)1(22, 1為有阻尼自然頻率取dnd21dnis2, 1則86)cos()(sin)(cos)()()()(,2121)(2)(121tXetxtXXitXXetxeXeXtxXetxssdtddttitistnndndn整理得：展開并整理得應用歐拉公式，將上式有

28、代入將87dndnxxvxvxXvxX00022002000arctan,)(,可以求得決定，由初始條件和常數(shù)8889 2221 122TTndd阻尼比有阻尼自由振動：當 時，可以認為nn1TTdnd 222111ndddffTT系統(tǒng)的運動為周期性的振動，其振動頻率系統(tǒng)的運動為周期性的振動，其振動頻率 d，它比無阻尼自由，它比無阻尼自由振動的固有頻率振動的固有頻率 n略小，振幅略小，振幅Xe-nt隨時間成指數(shù)形式衰減。隨時間成指數(shù)形式衰減。903、過阻尼（、過阻尼（1）情況）情況ns)1(22, 1特征根2100122102012121,)()(21ssvxsXssxsvXXXeXeXtxXe

29、txtstsst由初始條件決定，常數(shù)有代入91924 臨界阻尼（臨界阻尼（=1）不是振動，沒有周期性變化的因子代入，得以初始條件)()(,)()(/2000002100txvxetxvxetXXtxccmkcnttnn931、當、當=0時，得到兩個復根時，得到兩個復根in，此時系統(tǒng)就是簡諧，此時系統(tǒng)就是簡諧振子。振子。2、當、當01時，時， s1、s2為復共軛，在圖中對稱地位于為復共軛，在圖中對稱地位于實軸的兩側，并位于半徑為實軸的兩側，并位于半徑為n的圓上。的圓上。 3、當、當=1時，特征方程的根時，特征方程的根s1、s2為為- n落在實軸。落在實軸。 4、當當1時，特征方程的根始終在實軸上

30、，且隨著時，特征方程的根始終在實軸上，且隨著、 21, 0,ssx(t)表現(xiàn)為一種增幅運動，是自激振動表現(xiàn)為一種增幅運動，是自激振動94例：試求單自由度小阻尼系統(tǒng)對初始速度的響應。例：試求單自由度小阻尼系統(tǒng)對初始速度的響應。解：當系統(tǒng)受到初速度解：當系統(tǒng)受到初速度v0作用時，作用時，x0=0,由上式有由上式有tevtxvXdtddnsin)(2,00的響應為得到系統(tǒng)對于初始速度例：試求單自由度小阻尼系統(tǒng)對初始位移的響應。例：試求單自由度小阻尼系統(tǒng)對初始位移的響應。解：當系統(tǒng)受到初速度解：當系統(tǒng)受到初速度x0作用時，作用時，v0=0,由上式有由上式有)cos(1)(arctan,1)(12020

31、20textxxxXdtdndnn應為系統(tǒng)對于初始位移的響95綜合以上兩例的結果，當初始位移和初始速度作用綜合以上兩例的結果，當初始位移和初始速度作用時，系統(tǒng)響應為時，系統(tǒng)響應為tevtextxdtddtnnsin)cos(1)(02096 對數(shù)衰減率對數(shù)衰減率對數(shù)衰減率對數(shù)衰減率22214212lnlndnTiiTeAAdndndininTTttiieAeeAAA)(1相鄰兩次振幅之比相鄰兩次振幅之比97)()(ln1) 1()2()()()()()(1111111111jTtxtxjejTtxTjtxTtxTtxTtxtxjTtxtxjTjTjn取對數(shù)，有的波形個振動周期測量間隔98 例例

32、3 質量彈簧系統(tǒng)，W=150N，st=1cm , A1=0.8cm, A21=0.16cm。 求阻尼系數(shù)c 。2021203221211)(dnTeAAAAAAAA解：解：20)(16. 08 . 0dnTe21220205lnnndnT由于 很小，405ln )s/cmN(122. 0 98011502405ln2405ln22stWgWmkc99例：龍門起重機設計中，為避免連續(xù)啟動和制動過程中引起振動，例：龍門起重機設計中，為避免連續(xù)啟動和制動過程中引起振動，要求由啟動和制動引起的衰減時間不得過長。若有一要求由啟動和制動引起的衰減時間不得過長。若有一15t龍門起重龍門起重機，在作水平縱向振

33、動時，其等效質量機，在作水平縱向振動時，其等效質量meq=275Ns2/cm，水平方向，水平方向的剛度為的剛度為19.8kN/cm,實測對數(shù)衰減率為實測對數(shù)衰減率為0.10，若要求振幅衰減到，若要求振幅衰減到最大振幅的最大振幅的5%，所需的衰減時間應小于，所需的衰減時間應小于30s，試校核該設計是否滿，試校核該設計是否滿足要求。足要求。)(302144.22307405. 01002535. 0)(7405. 02248528. 8275/19800,/3085732.2905. 01ln1 . 01)()(ln1211ssTmkjjTtxtxjnndndnn頻率為起重機縱向振動的自然解： 1

34、00例例 實驗觀察到一有阻尼單自由度系統(tǒng)的振動幅值在5個完整的周期后衰減了50%,設系統(tǒng)阻尼為粘性阻尼，試計算系統(tǒng)的阻尼因子。 設，則 （c）（a） （b）1014.4 諧波激勵下的強迫振動諧波激勵下的強迫振動諧波激勵是最簡單的激勵。諧波激勵是最簡單的激勵。特點：系統(tǒng)對于諧波激勵的響應仍然是頻率相同的諧波。特點：系統(tǒng)對于諧波激勵的響應仍然是頻率相同的諧波。由于線形系統(tǒng)滿足疊加原理，各種復雜激勵可先分解為一系列由于線形系統(tǒng)滿足疊加原理，各種復雜激勵可先分解為一系列的諧波激勵，而系統(tǒng)總的響應可由疊加各諧波響應得到。的諧波激勵，而系統(tǒng)總的響應可由疊加各諧波響應得到。4.4.1諧波激勵下系統(tǒng)振動的求解

35、方法諧波激勵下系統(tǒng)振動的求解方法 單自由度線性系統(tǒng)強迫振動的運動方程為單自由度線性系統(tǒng)強迫振動的運動方程為tkAtkftFtFtkxtxctxmcos)(cos)()()()( 1021.解析法解析法)cos()(:cos)()(2)(2222tXtxtAtxtxtxmkcmcnnnn設上式特解為引入 tAtXtXtAtxtxtxtXtxtXtxnnnnnnnncossincos2sin)(cossin2cos)(cos)()(2)()cos()()sin()(22222222整理得代入則有 1030cos2sin)(sin2cos)(22222nnnnnXAX的放大倍數(shù)較靜態(tài)位移振幅物理意義

36、：動態(tài)振動的放大系數(shù)式中：聯(lián)立求解：AXHHAXnnnn2222)/2()/(1 1)()/(1/2arctan)(1042.圖解法圖解法用矢量圖解法，如圖方程可寫為tXAttttXtXtxtXtXtxtXtxnnnnnnnncos)cos()2/cos(2)cos()cos()cos()()2/cos(2)sin(2)(2)cos()(2222222 105利用直角三角形利用直角三角形ODE，可，可以求出常數(shù)以求出常數(shù)X和和 ，如果對，如果對各矢量都除以各矢量都除以 n2,那么這些那么這些矢量便成為無量綱的量，矢量便成為無量綱的量，從中可直接求出從中可直接求出X和和 。3 3、系統(tǒng)的運動特性

37、、系統(tǒng)的運動特性（1 1）在諧波激勵作用下，強迫振動是諧波振動）在諧波激勵作用下，強迫振動是諧波振動，振動的頻率與激勵力的頻率相同。，振動的頻率與激勵力的頻率相同。（2 2）強迫振動穩(wěn)態(tài)振幅）強迫振動穩(wěn)態(tài)振幅X和相位角和相位角 都只取決于都只取決于系統(tǒng)本身的物理特性（系統(tǒng)本身的物理特性（ , , n）和激勵力的大小與）和激勵力的大小與頻率有關（頻率有關（A A, , ），），而與初始條件無關。初始條而與初始條件無關。初始條件只影響系統(tǒng)的瞬態(tài)振動。件只影響系統(tǒng)的瞬態(tài)振動。（3）響應的振幅）響應的振幅X與激勵的振幅與激勵的振幅A成正比。成正比。(4)(4)相位差相位差 表示響應滯后于激勵的相位角。

38、表示響應滯后于激勵的相位角。1064. 4.振動系統(tǒng)的全部響應振動系統(tǒng)的全部響應tAtxtxtxnnncos)()(2)(22 方程的解包括兩部分：一部分是響應的齊次微分方程的方程的解包括兩部分：一部分是響應的齊次微分方程的通解，即有阻尼系統(tǒng)的自由振動；另一部分是非齊次微通解，即有阻尼系統(tǒng)的自由振動；另一部分是非齊次微分方程的一個特解。綜合這兩部分，諧波激勵下的強迫分方程的一個特解。綜合這兩部分，諧波激勵下的強迫振動的全部解為：振動的全部解為：)cos()()cos()(tHACetxdtn第一項對應于自由振動，隨著時間的增長，此項將趨近于零第一項對應于自由振動，隨著時間的增長，此項將趨近于零

39、，稱為瞬態(tài)振動；第二項對應于穩(wěn)態(tài)的強迫振動，是一種持，稱為瞬態(tài)振動；第二項對應于穩(wěn)態(tài)的強迫振動，是一種持續(xù)的振動，為方程的穩(wěn)態(tài)解。續(xù)的振動，為方程的穩(wěn)態(tài)解。1071084.4.2 4.4.2 諧波激勵下的無阻尼強迫振動諧波激勵下的無阻尼強迫振動無阻尼強迫振動的運動規(guī)律無阻尼強迫振動的運動規(guī)律tAtCtxCtAtCtxHnnnnnncos)/(1)sin()(sin)/(1)cos()(2/,)/(11)(222由初始條件決定和常數(shù)振動，于初始條件引起的自由右端第一項代表系統(tǒng)由強迫振動的全解式為無阻尼時，諧波激勵下109初始條件：初始條件：0)0(, 0)0(, 0 xxtsinsin)/(1)

40、()/(1/, 2/)/(1sin0cos222ttAtxACACCnnnnnnn110穩(wěn)態(tài)振動部分的振幅記為穩(wěn)態(tài)振動部分的振幅記為A移之比。與激勵幅值引起的靜位稱為動力系數(shù)，為振幅2)/(11n2 2、動力系數(shù)的特性、動力系數(shù)的特性（1 1）動力系數(shù)）動力系數(shù) 是無量綱的。是無量綱的。（2 2）動力系數(shù)）動力系數(shù) 只與激勵頻率和系統(tǒng)的自然頻率之比只與激勵頻率和系統(tǒng)的自然頻率之比 / / n有關，有關，而與其它因素無關。而與其它因素無關。（3 3）動力系數(shù)）動力系數(shù) 可大于或小于可大于或小于1 1，可正可負，正號表示位移與激，可正可負，正號表示位移與激勵同步，相位差為勵同步，相位差為0 0，負

41、號表示位移與激勵反相，位移落后激勵，負號表示位移與激勵反相，位移落后激勵的相位差為的相位差為180180。111動力系數(shù)絕對值與頻率比的關系曲線如圖動力系數(shù)絕對值與頻率比的關系曲線如圖（1 1）頻率比）頻率比/n0時，激勵頻率與系統(tǒng)的自然頻時，激勵頻率與系統(tǒng)的自然頻率相比很小，激勵變化很慢，接近靜載荷情況，動率相比很小，激勵變化很慢，接近靜載荷情況，動力系數(shù)力系數(shù) 1 1。（2 2）頻率比）頻率比/n時，激勵頻率與系統(tǒng)的自然時，激勵頻率與系統(tǒng)的自然頻率相比很大，激勵變化很快，系統(tǒng)來不及響應，頻率相比很大，激勵變化很快，系統(tǒng)來不及響應，動力系數(shù)動力系數(shù) 0 0。（3 3）頻率比）頻率比/n1 1

42、時，激勵頻率與系統(tǒng)的自然頻時，激勵頻率與系統(tǒng)的自然頻率相接近，動力系數(shù)率相接近，動力系數(shù) ，系統(tǒng)發(fā)生共振。，系統(tǒng)發(fā)生共振。1123 3、共振現(xiàn)象、共振現(xiàn)象如上所述，當頻率比如上所述，當頻率比/n1，動力系數(shù)，動力系數(shù) 。動力。動力系數(shù)理論上接近于無窮大，系統(tǒng)將發(fā)生共振現(xiàn)象。此系數(shù)理論上接近于無窮大，系統(tǒng)將發(fā)生共振現(xiàn)象。此時，時，tAtxsin2)(1134 4、“拍振拍振”現(xiàn)象現(xiàn)象在初始條件為：在初始條件為：)sin2(cos2)cos2)(sin()sin(sin2)sin(sin2sinsin)(,20)0(, 0)0(, 0ttttAttttAttAtxxxtnnnnnnnnnnnn為微

43、小量，則其中頻率接近時，設當激勵頻率與系統(tǒng)自然114現(xiàn)象稱為“拍振”，這種特殊的振動，振幅按諧波形式變化的諧波振動，而振幅為上式可看成中第二項，則為微小量，可略去括號tAtttAtxnnncos2sinsincos2)(,115。，求其阻尼比大振幅逐漸提高時機器達到最垂直慣性力。當轉速回轉，這樣就可以產(chǎn)生同一角速度沿相反的方向以心塊組成，兩個偏心塊激振器有兩個相同的偏振動。，用激振器使機器上下的阻尼率例：為了估計機器基座cmX2maxtmetkxtxctxMtxtmetFFmeFemMsin)()()()(sinsin22020 程為，如圖，則運動微分方取廣義坐標為，垂直方向的分力，產(chǎn)生的離心

44、慣性力，則轉子，偏心距為質量為，轉子偏心解：設系統(tǒng)總質量為116由于瞬態(tài)解是自由振動很快就衰減掉了，故只考慮強由于瞬態(tài)解是自由振動很快就衰減掉了，故只考慮強迫振動的穩(wěn)態(tài)解。迫振動的穩(wěn)態(tài)解。設穩(wěn)態(tài)解為：設穩(wěn)態(tài)解為：)sin()(tXtx222222222)/(1/2arctan)/2()/(1 )/()()(nnnnnMmecMkmeX1172211/)/2()/(1 )/(maxmax2222MmeXXXMmeXnnnn，有時共振，118幅。行駛時，車身上下的振速度。試求小車在以水平，其中成正弦波形，可表示為形都略去不計，設路面，輪胎質量與變彈簧剛度如圖所示的振動形式。以簡化為，其在路面上行駛

45、時可例：已知小車質量hkmvcmLcmYLxYtycmkgkkgm/3610,4)/2sin()(/20490tkYtkxtxmLvtYtLvYLxYtyvttxsin)()(2sin2sin)/2sin()()( 解：119)(6 . 6)10/2(14)/(1)/(21036003600022)/(1049098050)/(1sin222cmYXsradLvsradmkYXtXxnnn設系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解為：120諧波激勵下的有阻尼強迫振動諧波激勵下的有阻尼強迫振動1 1、幅頻曲線及其特性、幅頻曲線及其特性的影響不大。用的結果，阻尼特性主要是彈性元件作一區(qū)域內(nèi)，振動系統(tǒng)的在這態(tài)區(qū)”或“剛度區(qū)”。

46、的頻率范圍稱為“準靜。動幅值接近于靜態(tài)位移，說明低頻激勵時的振接近于。當說明所有曲線均從1/1)(,1)0(, 1)0(, 0) 1 (nnHHH121響很小。作用的結果，阻尼的影性主要是質量元件區(qū)域內(nèi)，振動系統(tǒng)的特為“慣性區(qū)”。在這一的頻率范圍稱因而振幅很小。對高頻激勵做出響應，來不及由于慣性的影響，系統(tǒng)，說明在高頻激勵下，且當，當激勵的頻率很高，即1/0)(/1)(1/)2(nnnHH作用的結果。的特性主要是阻尼元件在這一區(qū)域，振動系統(tǒng)區(qū)”。的頻率范圍稱為“阻尼峰值較低。大，差異。的不同有很大曲線隨阻尼率圍內(nèi)，許多倍。在這一頻率范值高出靜態(tài)位移動態(tài)效應很大，振動幅曲線出現(xiàn)峰值說明此時相近的

47、范圍內(nèi)，與自然頻率在激勵頻率1/)()()(, 1/)3(nnnHHH12222121)(:)(21 , 0 cos)cossin(2)(0)0(, 0)0(, 04rnrrrrntnHHddXttteAtxxxtn的最大值為可得得由的合運動為時，容易求得過渡階段，對于零初始條件，）共振現(xiàn)象。在共振時（123移小。，且動態(tài)位移比靜態(tài)位時，系統(tǒng)不會出現(xiàn)共振當無峰值。不存在，時，時，即當處。于因此，共振發(fā)生在略低稱為共振頻率。為共振。這種情況下的振動取極大值時，當激勵頻率等于707. 0)(2/102-1, )()(2HHHrnndrrrr1242. 2.相頻曲線及其特性相頻曲線及其特性2)/(1

48、/2arctannn公式描述了振動位移、激勵兩信號間的相位差與激勵公式描述了振動位移、激勵兩信號間的相位差與激勵頻率之間的函數(shù)關系，故稱頻率之間的函數(shù)關系，故稱 ( ( ) )為系統(tǒng)的相頻特性。為系統(tǒng)的相頻特性。相頻特性曲線具有如下特點：相頻特性曲線具有如下特點：反向。與同相，因此與度。因為質塊的加速是質量元件作用的結果區(qū)的特點，即系統(tǒng)主要性相位相反。這反映了慣與，即，）當（靜態(tài)區(qū)的特點。是相同的。這反映了準之間幾乎與激勵動位移，說明低頻激勵時的振接近于時，開始。說明所有曲線均從時，當)()()()()()()0(1/2)()(0)(0)0(, 0)0(0) 1 (tftxtftxtftxtf

49、txnn 125126。這種現(xiàn)象稱為倒相。突跳到由時，掃過，在，當正好相差與又由于同相，與其速度，阻尼所受的力即阻尼對系統(tǒng)影響很大，這反映了阻尼區(qū)的特點012/)()()()(, 2/)(, 1/)3(nntxtxtxtf3 3、穩(wěn)態(tài)強迫振動中的能量平衡、穩(wěn)態(tài)強迫振動中的能量平衡從能量的角度來看，在穩(wěn)態(tài)強迫振動過程中，外界激勵持續(xù)地向系統(tǒng)輸入能量，這部分能量由粘性阻尼器所消耗?，F(xiàn)考慮一個單自由度系統(tǒng)，在諧波F(t)=kAcost激勵下的穩(wěn)態(tài)響應為)cos()()(tHAtx127sin)(sin)2sin(21)()sin(cos)()sin()(cos)()()()(2/202/202/20

50、0HkAdttHkAdtttHkAdttHAtkAdttxtFdxtFEEtFTT，則所做之功為內(nèi)外力記一個振動周期12822/20222/202222200)()(2cos1 21)()(sin)()sin()()()()()()(:HcAdttHcAdttHcAEtHAtxdttxcdttxtxcdxtxcEETTT的能量中所耗散周期性阻尼的存在，在一個另一方面，考慮由于粘129在一個周期內(nèi)，振動系統(tǒng)凈增加的能量為在一個周期內(nèi)，振動系統(tǒng)凈增加的能量為)(sin )()(sin)(22222HckHAHcAHkAEEE)(/1/HXAnH)(2sin)(sinHkc0)(sin )(2Hck

51、HAE130 x1是齊次方程的通解)02(2xxnxn 小阻尼：)sin(221tAexnnt（A、 積分常數(shù)，取決于初始條件）x2 是特解：)sin(2tbx代入標準形式方程并整理22222222tg4)(nnnnhb 強迫振動的振幅 強迫振動相位滯后激振力相位角振動微分方程的全解為)sin()sin(22tbtAexnnt 衰減振動 強迫振動131 振動開始時，二者同時存在的過程瞬態(tài)過程。僅剩下強迫振動部分的過程穩(wěn)態(tài)過程。需著重討論部分。 nnnbb ; , 0令 頻率比 振幅比 阻尼比因此：2222212 tg; 4)1 (1二、阻尼對強迫振動的影響二、阻尼對強迫振動的影響1、振動規(guī)律

52、簡諧振動。2、頻率： 有阻尼強迫振動的頻率，等于激振力的頻率。3、振幅)sin(2tbx132 (1) , 1 , )( 1時n可不計阻尼。 , 0bb(2) , 0 , )( 1時n阻尼也可忽略。時時0.70 , )( 1n(3) 阻尼對振幅影響顯著。一定時，阻尼增大，振幅顯著下降。222212 , 0 nnnddb得由共振頻率此時：20max22max12 2bbnnhbn或133 2 , , 10maxbbn 時當4、相位差有阻尼強迫振動相位總比激振力滯后一相位角， 稱為相位差。212tg(1) 總在0至 區(qū)間內(nèi)變化。(2) 相頻曲線（ - 曲線）是一條單調上升的曲線。 隨 增 大而增大

53、。(3) 共振時 =1， ，曲線上升最快，阻尼值不同的曲線， 均交于這一點。(4) 1時， 隨 增大而增大。當 1時 ，反相。2134 例例1 已知P=3500N，k=20000N/m , H=100N, f=2.5Hz , c=1600Ns/m , 求b, ,強迫振動方程。解解：rad/s 58.1035008 . 92000022Pkgmkeqnm 105 . 2200002100230kHkHbeq485. 158.105 . 222 ; 212. 058.1024. 2rad/s 24. 28 . 9 /3500216002nnnfnmcn135 mm 84. 15 . 2736. 0

54、736. 0485. 1212. 04)485. 11 (14)1 (102222222bb)847. 05sin(84. 1)rad( 847. 0)522. 0(arctg)1/(2arctg222tx136單自由度系統(tǒng)振動的應用單自由度系統(tǒng)振動的應用自由振動的應用自由振動的應用1 1、轉動慣量的確定、轉動慣量的確定1 1）物理擺振動法）物理擺振動法)2()2(20)()()()(sin)(sin)()()(22222222222222lglTmmIlglTgllTtlglttttmgltlmlmIco 為擺對懸掛軸的轉動慣量1372）滾動擺振動法有些零、部件不適合于懸掛而宜于擺動，則可采

55、用下圖所示的方法，將一輪和軸的裝配體置于兩平行的軌道上，讓其作為小范圍的往復滾動，并用秒表測量其滾動的頻率或周期T。)(44)(0)()()(sin)()()()()()(222222rRTmgrITrRImgrtrRImgrtmgrrrRIrrRttrRtrBBnBB 1)(42222grRTmgrImrIICCB1383 3）扭轉振動法）扭轉振動法lTGITkIGIIlkITlGIkkkITtIkttktIptptptttntt22224422/220)()()()()(為的扭轉彈性常數(shù)由材料力學可知，鋼絲 1392 2、摩擦系數(shù)的確定、摩擦系數(shù)的確定1 1）求固體摩擦系數(shù)）求固體摩擦系數(shù)

56、22212211214220)()()()(,)(2),(2gTagaTtxagtxFFtxmRFRFxaamgRxaamgRn 1402 2）求液體的黏性阻尼系數(shù)）求液體的黏性阻尼系數(shù)。薄板受到的阻尼力為為作衰減振動，測得周期放入被測液體中不計空氣阻尼）。然后為中自由振動，測得周期下端，先使系統(tǒng)在空氣的等厚薄板懸掛于彈簧，面積為將質量為AvRTTAm2(21kmTtxmktxn220)()(:1 程為薄板在空氣中的運動方212221222)()(2120)()()(2)(0)()(2)(:TTTATmmAmkTtkxtxmAtxtkxtxAtxmn 程薄板在液體中的運動方1413. 3.特定

57、條件下動載荷系數(shù)的確定特定條件下動載荷系數(shù)的確定起重機以等速起重機以等速v0下降貨物下降貨物m，試求一旦緊急剎車時鋼繩所受的最，試求一旦緊急剎車時鋼繩所受的最大拉力和動載荷系數(shù)。大拉力和動載荷系數(shù)。在剎車瞬間吊重在剎車瞬間吊重mg離其靜平衡位置的初位移為離其靜平衡位置的初位移為x0 000，初速度，初速度為為v0 0。振幅為。振幅為v0 0/n,sngmk/smmssnsmgvmkgvmkgvmgmkvmgkPlEAmgkEAmlvEAmglgvkmgv000000011)1 (下鋼繩的動載荷系數(shù)為所以起重機在特定條件最大拉力142kNmgPmkgvcmkNkkkkkcmkNkkNgmkgvm

58、gPmmm1 .416 .1909. 209. 2/1)/( 1 . 455 .2255 .22,/5,3.56)(9 .69)2/225060451 (6 .19)/1 (22.5kN/cm2tmin/450212120則等效彈簧的剛度為如果附加彈簧剛度附加彈簧一個通常在吊掛裝置里裝上為了減小動荷系數(shù)動荷系數(shù)達力為：，則可得鋼繩的最大拉彈性剛度為繩的的貨物時突然剎車，鋼的速度下降如果起重機以143 強迫振動的應用強迫振動的應用 引起轉子劇烈振動的特定轉速稱為臨界轉速臨界轉速。這種現(xiàn)象是由共振引起的，在軸的設計中對高速軸應進行該項驗算。單圓盤轉子單圓盤轉子： 圓盤：質量m , 質心C點；轉軸過

59、盤的幾何中心A點，AC= e ，盤和軸共同以勻角速度 轉動。 當 n（ n為圓盤轉軸所組成的系統(tǒng)橫向振動的固有頻率）時，OC= f+e (f為軸中點A的彎曲變形）。 一、轉子的臨界轉速一、轉子的臨界轉速144 kfefm2)(（k為轉軸相當剛度系數(shù)）2222221)/(1)/(/eefmkmkemfnnn考慮到2/60/, 1, 0kknknmk速此時的轉速稱為臨界轉動撓度趨于無窮大動撓度很小145重合，自動定心。與重心軸繞圓盤重心旋轉，之間。落在反向，重心這表明動撓度與偏心距為負值。超越臨界轉速運行時，OCefOAcf, 1146。，；時，；時，。和轉速的值取決于阻尼，線一個相位角前線超的延

60、長線上。，重心落在還作用有阻尼力。此時力、離心力外，圓盤上除作用彈性恢復如果考慮阻尼的影響，2/12/12/1cOAOCOA147端軸承的力。）在上述轉速時傳至兩（；距時轉子的振幅，設偏心）在（）臨界轉速；（試求：，阻尼可以忽略不計。，密度彈性模量為中心，軸端固定，鋼的的鋼軸，長，固裝在直徑渦輪增壓器轉子質量3015. 03000r/min21/8 . 7/1096. 1320 . 210327mmecmgcmNEcmcmkgm)(465)38. 010/(10022538/) 1 ()(38. 0783. 0486. 0)(783. 0108 . 732114. 3)/(2253843211