范數(shù)理論及矩陣分析

1、2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系1系統(tǒng)與控制中的矩陣?yán)碚撟詣踊瘜W(xué)院 張維存ustb123456研究范圍系統(tǒng)理論控制理論矩陣?yán)碚?=本課程內(nèi)容系統(tǒng)與控制矩陣2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系3控制理論的發(fā)展階段uFirst generation: Analog ControllTechnology: Feedback amplifierslTheory: Frequency domain analysisBode, Nyquist, uSecond generation: Dig

2、ital ControllTechnology: Digital computerslTheory: State-space design,Kalman filtering,Optimal control,uThird generation: Networked controllTechnology: Embedded computers, Wireless and wireline networks, SoftwarelTheory: Multi-agent, Consensus, flocking, cooperative, 2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北

3、京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系4系統(tǒng)與控制中的矩陣?yán)碚搖Second generation: Digital ControllLinear systems lNonlinear systemslOptimal control lEstimation lSystem identificationlRobust control lAdaptive control lDiscrete- event systemslHybrid systems2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系5系統(tǒng)與控制中的矩陣?yán)碚搖Linear systems (T. Kai

4、lath)l特征值與特征向量，矩陣對角化，矩陣求逆，矩陣函數(shù)，特征值與特征向量，矩陣對角化，矩陣求逆，矩陣函數(shù)，多項(xiàng)式矩陣，史密斯標(biāo)準(zhǔn)型，子空間多項(xiàng)式矩陣，史密斯標(biāo)準(zhǔn)型，子空間, uAdaptive control (P. A. Ioannou)l向量及矩陣范數(shù)，矩陣不等式，矩陣方程，矩陣函數(shù)，正向量及矩陣范數(shù)，矩陣不等式，矩陣方程，矩陣函數(shù)，正定矩陣，矩陣對角化定矩陣，矩陣對角化, uRobust control (K. Zhou)l子空間，特征值及特征向量，矩陣求逆，廣義逆，矩陣微子空間，特征值及特征向量，矩陣求逆，廣義逆，矩陣微積分，矩陣范數(shù)，奇異值分解，線性矩陣不等式，積分，矩陣范數(shù)，

5、奇異值分解，線性矩陣不等式，2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系6課程內(nèi)容一：u向量范數(shù)，矩陣范數(shù)向量范數(shù)，矩陣范數(shù)u向量和矩陣的極限向量和矩陣的極限u矩陣冪級數(shù)矩陣冪級數(shù)u矩陣函數(shù)矩陣函數(shù)u矩陣的微分與積分矩陣的微分與積分u常用矩陣函數(shù)的性質(zhì)常用矩陣函數(shù)的性質(zhì)u矩陣函數(shù)的應(yīng)用一：微分方程矩陣函數(shù)的應(yīng)用一：微分方程u矩陣函數(shù)的應(yīng)用二：線性系統(tǒng)的能控性與能觀性矩陣函數(shù)的應(yīng)用二：線性系統(tǒng)的能控性與能觀性 (矩陣分析引論第四章，羅家洪 華南理工大學(xué) )2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系7

6、課程內(nèi)容二：uIntroduction to linear matrix inequalities (LMIs)uSystem stability and performanceLyapunov stability DissipativityKYP lemmaBounded real lemmaPositive real lemmaH2H2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系8課程內(nèi)容二：uSome useful lemmasSchur complement Dualization lemmaProjection lemmaElimilat

7、ion lemmauState-feedback controluDynamic output-feedback control1. LMIs in Control, C. Scherer2. 魯棒控制魯棒控制-線性矩陣不等式處理方法，俞立線性矩陣不等式處理方法，俞立系統(tǒng)與控制中的矩陣?yán)碚摰谝徊糠郑悍稊?shù)理論及矩陣分析第一部分：范數(shù)理論及矩陣分析2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系101 向量范數(shù)u內(nèi)積空間和酉空間：通過內(nèi)積定義了向量的長度。內(nèi)積空間和酉空間：通過內(nèi)積定義了向量的長度。u線性空間有線性空間有“長度長度”？-“范數(shù)范數(shù)”u若若

8、 是是實(shí)內(nèi)積空間實(shí)內(nèi)積空間， 為任意向量，為任意向量， 為實(shí)數(shù)域?yàn)閷?shí)數(shù)域 中任一中任一元素，則元素，則 中向量的中向量的長度長度具有下列三個基本性質(zhì)：具有下列三個基本性質(zhì)：(1) 當(dāng)當(dāng) 時，都有時，都有 ；(正定性正定性)(2) ； (齊次性齊次性)(3) 。 (三角不等式三角不等式)V,Vx yaRVx| 0 x| |aaxx|xyxy|2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系向量范數(shù)u定義定義1：(向量范數(shù)向量范數(shù))設(shè)設(shè) 是數(shù)域是數(shù)域 上的線性空間。若對于上的線性空間。若對于 中的任一向量中的任一向量 ，都有，都有一非負(fù)實(shí)數(shù)一非負(fù)實(shí)數(shù) 與

9、之對應(yīng)，并且滿足下列三個條件：與之對應(yīng)，并且滿足下列三個條件：(1) 正定性正定性：當(dāng)：當(dāng) 時，都有時，都有 ；(2) 齊次性齊次性： 對于任何對于任何 ，有，有 ;(3) 三角不等式三角不等式：對于任何：對于任何 ，都有，都有 則稱非負(fù)實(shí)數(shù)則稱非負(fù)實(shí)數(shù) 為向量為向量 的范數(shù)。簡言之，向量的范數(shù)是定的范數(shù)。簡言之，向量的范數(shù)是定義在義在線性空間線性空間上的上的非負(fù)非負(fù)實(shí)值函數(shù)。實(shí)值函數(shù)。VaaxxxyxyPVxxx0 xaP,Vx yxx2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系12常見的向量范數(shù)對于酉空間向量對于酉空間向量u1-范數(shù)范數(shù):u2

10、-范數(shù)范數(shù):u-范數(shù)范數(shù):up-范數(shù)范數(shù):221niix12,nnC x11niix1maxii n x11(1)nppipip x2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系13 常見的向量范數(shù)u1-范數(shù)范數(shù) 證明：證明：(1)當(dāng)當(dāng) 時，則時，則 不全為零，從而不全為零，從而 (2) 對于任何對于任何 ，則，則 (3) 若若 為任意向量，則為任意向量，則 即三角不等式成立。即三角不等式成立。x11niix12,n 110;niixaC1111;nniiiiaaaaxx12,nnC y11111()nniiiiiixyxy2022年5月23日15

11、時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系14常見的向量范數(shù)對于酉空間向量對于酉空間向量u1-范數(shù)范數(shù):u2-范數(shù)范數(shù):u-范數(shù)范數(shù):up-范數(shù)范數(shù):221niix12,nnC x11niix1maxii n x11(1)nppipip x關(guān)系?2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系15常見的向量范數(shù)u1-范數(shù)范數(shù): p=1u2-范數(shù)范數(shù): p=2u-范數(shù)：范數(shù)：證明：當(dāng)證明：當(dāng) 時，顯然成立。故只需對非零向量加以證明。時，顯然成立。故只需對非零向量加以證明。令令 ，則有，則有這里這里 ，又至少有一個，又至少有一個

12、 ，所以有，所以有1limmaxippi n xxx1maxii n 11111111ppppnnnnpppppiiiiiiii1ii1i11npiin2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系16常見的向量范數(shù)因此，因此，又因?yàn)橛忠驗(yàn)?故故從而，從而，即即: 1111npppiin1lim1,ppn11lim1nppipi11lim|nppipi1limmaxippi n xx。2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系17向量范數(shù)之間關(guān)系u定理定理1. 對于任何對于任何有限維向量空間有限維向

13、量空間 上定義的任意兩種向量范上定義的任意兩種向量范數(shù)數(shù) ，都存在兩個與，都存在兩個與 無關(guān)的正的常數(shù)無關(guān)的正的常數(shù) ，使得，使得對對 中任一向量中任一向量 ，都有，都有u注：滿足以上兩個不等式的向量范數(shù)稱為注：滿足以上兩個不等式的向量范數(shù)稱為等價(jià)等價(jià)的。故定理的。故定理1也也可敘述為：可敘述為：有限維向量空間上的不同向量范數(shù)是等價(jià)的有限維向量空間上的不同向量范數(shù)是等價(jià)的。證明證明：只針對實(shí)數(shù)域：只針對實(shí)數(shù)域 上的上的 維線性空間證明。維線性空間證明。設(shè)設(shè) 是是 的一組基，則的一組基，則 中的任意向量中的任意向量 可以表示為可以表示為 V,abxxx12,C CVx12,abbaCCxxxx

14、。Rn12,ne eeVxV1 122nnxeee2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系18向量范數(shù)之間關(guān)系定義：定義： ，顯然是一種向量范數(shù)，顯然是一種向量范數(shù)(2范數(shù)范數(shù))。對于向量范數(shù)對于向量范數(shù)首先證明首先證明 的等價(jià)性。的等價(jià)性。記記 ，則，則 是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)：設(shè)另一向量為設(shè)另一向量為 ，其范數(shù)為，其范數(shù)為則有則有 22212nEx1 122nnaaxeee,aExx12( ,)na x12( ,)n 1 122nnxeee12( ,)na x1212( ,)( ,)nnaaa xxxx111222111222()()()n

15、nnannnaaaeeeeee2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系19向量范數(shù)之間關(guān)系由于由于 是常數(shù)，因此當(dāng)是常數(shù)，因此當(dāng) 與與 充分接近時，充分接近時， 就就充分接近充分接近 ，即，即 是連續(xù)函數(shù)。是連續(xù)函數(shù)。根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，可知，在有界閉集，可知，在有界閉集上，函數(shù)上，函數(shù) 可達(dá)到最大值可達(dá)到最大值 和最小值和最小值 。當(dāng)。當(dāng) 時，顯然時，顯然 ，因此有，因此有 。又記。又記則向量則向量 的分量滿足的分量滿足 ，因此，因此 ；i12( ,)n iaei12( ,)n 12( ,)n 2221212( ,)|1n

16、nW x12( ,)na xMmWxx0m 2121( ,)ninidV x11niiiddyex211niidWy2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系20向量范數(shù)之間關(guān)系于是于是由由 得得由上式可得由上式可得 即即若取若取 ，則，則因此因此 等價(jià)。等價(jià)。同理可證同理可證 等價(jià)：等價(jià)：即即 等價(jià)。等價(jià)。120(,)namMdddy。dxyaaaadddxyyy 。,amdMdxEaEmMxxx。12,1/CM Cm12,aEEaCCxxxx 。,aExx,bExx34,bEEbCCxxxx 。1432,abbbCCC Cxxxx 。,ab

17、xx考慮向量序列的收斂性時等價(jià)!2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系212 矩陣范數(shù)u定義定義2. (矩陣范數(shù)矩陣范數(shù)) 在在 上定義一個非負(fù)實(shí)值函數(shù)上定義一個非負(fù)實(shí)值函數(shù) (對每個對每個 )，如果對任意，如果對任意 都滿足下列都滿足下列四個條件：四個條件： (1) 正定性正定性：若：若 (矩陣矩陣)，則，則 (2) 齊次性齊次性：對任意：對任意 ，有，有 (3) 三角不等式三角不等式： (4) 相容性相容性：則非負(fù)實(shí)數(shù)則非負(fù)實(shí)數(shù) 稱為方陣稱為方陣 的范數(shù)。的范數(shù)。n nPAn nAP,n nA BPA0;A aP;aAaA;ABABAB

18、AB，AA2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系22矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性u定義定義3. 若對任何若對任何 及及 維列向量維列向量 ，方陣范數(shù)，方陣范數(shù) 能與某種向量范數(shù)能與某種向量范數(shù) 滿足關(guān)系式滿足關(guān)系式則稱方陣范數(shù)則稱方陣范數(shù) 與向量范數(shù)與向量范數(shù) 是是相容相容的。的。u注：注： 1) 上的每一種方陣范數(shù)，在上的每一種方陣范數(shù)，在 上都存在與它相容的上都存在與它相容的向量范數(shù)；向量范數(shù)； 2) 上任意兩種方陣范數(shù)上任意兩種方陣范數(shù) 都是都是等價(jià)等價(jià)的，即存在兩的，即存在兩個與個與 無關(guān)的正數(shù)無關(guān)的正數(shù) ，使得，使得 n nAPnP

19、xaaAAxxnAaxAaxn nPnPn nPAA，A12,C C12,()n naAC AACAAP ；2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系23矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性3) 若若 則則是一種與向量范數(shù)是一種與向量范數(shù) 相容的方陣范數(shù)，稱為相容的方陣范數(shù)，稱為Frobenius范數(shù)范數(shù)( )。證明證明: (1) 當(dāng)當(dāng) (矩陣矩陣)，則，則 顯然成立；顯然成立； (2) 對任意對任意 則則,n nijn nAaC2,1trnHijFi jAaA A221niixnCx0A0FA,kC222,1,1;nnijijFFi ji jkAkak

20、akA2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系24矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性(3)2,1nijijFi jABab22,12nijijijiji jabab2222,1,12nnijijFFi ji jABab2;FFFFABAB222111()()()nnniiiiiiiabab應(yīng)用不等式：2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系25矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性(4)(5) 設(shè)設(shè) 令令21 12 2,1nijijinnjFi jABa ba ba b222211,122,1,1niinjjn

21、i jnnijiji ji jFFaabbabAB；12,Tnn nnijn nCAaC x12nAxy222111()()()nnniiiiiiiabab應(yīng)用不等式：2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系26矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性則有則有即即 是與向量范數(shù)是與向量范數(shù) 相容的矩陣范數(shù)。相容的矩陣范數(shù)。2221nkkAxy21 1221211122111222,11nkkknnknkknnknnnkjjkjjnnkjjFk jkaaaaaaaA xFA2x2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)

22、院自動化系27F-范數(shù)u注：注：F-范數(shù)范數(shù)的優(yōu)點(diǎn)之一是乘以酉矩陣的優(yōu)點(diǎn)之一是乘以酉矩陣 后不變后不變(在實(shí)矩陣的情在實(shí)矩陣的情況下乘以正交矩陣后不變況下乘以正交矩陣后不變)，即，即證明：證明： 又又 ，且，且 也是酉矩陣，則也是酉矩陣，則 由此可知，由此可知， 的酉相似矩陣的的酉相似矩陣的F-范數(shù)是相同的范數(shù)是相同的，即：，即： 若若 ，則，則FFFUAAAU。U 22trtrtrHHHHFFUAUAUAAU U AA AAHFFAAHU.TTTTFFFFFAUAUU AAAAHBU AUFFBA。2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系2

23、8常見的矩陣范數(shù)常見的矩陣范數(shù)常見的矩陣范數(shù)uF-范數(shù)范數(shù)：u1-范數(shù)范數(shù)： (列模和最大者列模和最大者)u-范數(shù)范數(shù)： (行模和最大者行模和最大者) u2-范數(shù)范數(shù)： ( 是是 的最大特征值的最大特征值)2,1trnHijFi jAaA A111maxnijj niAa 11maxniji njAa 2HAA AHA AHA A2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系293 向量和矩陣的極限u定義定義4. (向量的極限向量的極限) 若若 ，如果存在極限，如果存在極限則稱有空間則稱有空間 的向量序列的向量序列 收斂于向量收斂于向量 并記為并記

24、為換言之，向量序列的極限是換言之，向量序列的極限是按坐標(biāo)序列的極限按坐標(biāo)序列的極限來定義的。當(dāng)來定義的。當(dāng)向量序列不收斂時，也稱為發(fā)散的。向量序列不收斂時，也稱為發(fā)散的。()()()()12,(1,2,)mmmmnnCmx()lim(1,2, )miiminnC()mx12,n x()()limmmmxxxx或。2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系30向量和矩陣的極限u定理定理2. 證明證明：利用向量的等價(jià)性利用向量的等價(jià)性，易知，對一種向量范數(shù)成立，則對，易知，對一種向量范數(shù)成立，則對任何一種范數(shù)也成立。為此，取向量范數(shù)任何一種范數(shù)也成

25、立。為此，取向量范數(shù) 。 如果對向量范數(shù)如果對向量范數(shù) ，有，有則由則由 ， 可知，可知，對每個對每個 有有 。因此，。因此， 反之，若反之，若 則由定義知，則由定義知， ()()limlim0()mmmmxxxx對任一向量范數(shù)。xx()lim0mmxx()()1max0()mmiii nm xx(1,2, )i in()mii()limmmxx。()lim,mmxx()0(1,2, )miiin。2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系31向量和矩陣的極限故對任給正數(shù)故對任給正數(shù) ，都有正數(shù)，都有正數(shù) ，使得，使得 時，都有時，都有若取若取

26、 ，則當(dāng)，則當(dāng) 時，對每個時，對每個 值，上述不等值，上述不等式均成立，從而，式均成立，從而， 時，時，這就證明了這就證明了證畢。證畢。 iMimM()(1,2, )miiin。1=maxii nMM mMimM()()1max.mmiii n xx()lim0mmxx。2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系32向量和矩陣的極限u向量序列向量序列 收斂于向量收斂于向量 ，并且只當(dāng)對任何一種向量范，并且只當(dāng)對任何一種向量范數(shù)數(shù) ，序列，序列 收斂于零。因此，收斂于零。因此，n維向量序列的收維向量序列的收斂問題斂問題，借助于范數(shù)概念，可歸結(jié)為實(shí)

27、數(shù)序列的收斂問題借助于范數(shù)概念，可歸結(jié)為實(shí)數(shù)序列的收斂問題。u定義定義5. (矩陣極限矩陣極限) 若若 ，如果存在極限如果存在極限則稱方陣則稱方陣 收斂于方陣收斂于方陣 ，記為，記為當(dāng)方陣序列不收斂時，也稱為發(fā)散的。當(dāng)方陣序列不收斂時，也稱為發(fā)散的。()mxxx()mxx()(1,2,)mn nmijn nAaCm()lim( ,1,2, ),mijijmaai jnmAn nijAaClim()mmmAAAA m或。2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系33向量和矩陣的極限u例例1：若若則有則有2 22121321,2,111cosmmm

28、mACmmm，20lim311mmA。2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系34向量和矩陣的極限u定理定理3. 證明證明：u注：方陣序列注：方陣序列 收斂于方陣收斂于方陣 , 當(dāng)且僅當(dāng)對任一方陣范數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對任一方陣范數(shù) ，序列，序列 收斂于零。收斂于零。特別地，特別地， (矩陣矩陣)，當(dāng)且，當(dāng)且僅當(dāng)僅當(dāng) limlim0()mmmmAAAA對任一方陣范數(shù)。()2(),1limlim0(, )lim(lim)0.mmijijmmnmijijmFmmi jAAaai jaaAAmAAmAA0mA 0()mAm 。2022年5月23日15時03分

29、北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系35向量和矩陣的極限u收斂方陣序列的基本性質(zhì)：收斂方陣序列的基本性質(zhì)：(1) 若若 ，則對，則對 中任何方陣范數(shù)中任何方陣范數(shù) ， 有界。有界。(2) 若若 又又 (這里這里 為數(shù)列為數(shù)列)，則有，則有 (3)若若 ，且，且 都存在，則都存在，則,mmAA BB,mmaa bb ,mmablim(),lim().mmmmmmmma Ab BaAbBA BABmAn nClimmmAA11lim.mmAAmAA11,mAA2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系36向量和矩陣的極限u定

30、理定理4. (矩陣矩陣)的充分條件，是有某一方陣范數(shù)的充分條件，是有某一方陣范數(shù) ，使得使得 證明：由方陣范數(shù)定義的條件證明：由方陣范數(shù)定義的條件(4)知，有知，有因此，若因此，若 ，則，則 ，從而，從而 。 由定理由定理3便得便得 。證畢。證畢。lim0mmA1.A 212,mmmmAAAAAA1A 0mA0mAlim0mmA2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系37向量和矩陣的極限u定理定理5. (矩陣矩陣)的充分必要條件，是的充分必要條件，是 的所有特征值的的所有特征值的模都小于模都小于1.證明：設(shè)證明：設(shè) 的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型

31、為lim0mmAAA1212()()()prrrpJJJJ121( )1iiiripr rJ 2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系38向量和矩陣的極限由于由于 ，故，故 。而且。而且不難證明不難證明1ATJT(1)()()()()()()()(1)!iimimimimrirmimimiifffJfffr1mmATJ T1212()()()pmrmrmmrpJJJJ2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系39向量和矩陣的極限其中，其中， ，又，又 在在 時的時的 階導(dǎo)數(shù)為：階導(dǎo)數(shù)為：由此可

32、以看出，當(dāng)由此可以看出，當(dāng) 時，下列各個陳述的等價(jià)性：時，下列各個陳述的等價(jià)性：證畢。證畢。( )mmf( )mfit()(1)(1)tm tmiifm mmt !(0,1,2,1).()!m tiimtrmtm 00()0 ()immmriAJJ每個矩陣()0 ()timitf對每個 及每個 值，矩陣1.(1,2, )iip2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系40向量和矩陣的極限u定理定理6. 矩陣矩陣 的每一個特征值的每一個特征值 的模的模 ，都不大于矩陣，都不大于矩陣 的任何一種范數(shù)的任何一種范數(shù) ，即，即， 。證明：設(shè)證明：設(shè) 。

33、作矩陣。作矩陣 ( 是任意正數(shù)是任意正數(shù))，于是，于是，因此，當(dāng)因此，當(dāng) 時，時， (矩陣矩陣)(定理定理4)。但由定理。但由定理5知，知，矩陣矩陣 的所有特征值的模都小于的所有特征值的模都小于1，而，而 的特征值就是的特征值就是 故故 即即 。由于正數(shù)。由于正數(shù) 可以任意小，因此可以任意小，因此 。AAAAAa1BAa1=1aBAaa。m 0mB BBa1,aaaA2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系414 矩陣冪級數(shù)u定義定義6. (方陣級數(shù)方陣級數(shù)) 給定給定 中一方陣序列中一方陣序列則和式則和式稱為方陣級數(shù)，也?？s寫為稱為方陣級數(shù)

34、，也常縮寫為 記記u定義定義7. (收斂收斂) 若方陣序列若方陣序列 收斂于收斂于 ，稱方陣級數(shù)收斂，稱方陣級數(shù)收斂其和式為其和式為 ，記為，記為u方陣序列收斂的方陣序列收斂的充要條件充要條件: 個數(shù)值級數(shù)個數(shù)值級數(shù) 收斂。收斂。u當(dāng)當(dāng) 個數(shù)值級數(shù)絕對收斂時，稱此方陣級數(shù)個數(shù)值級數(shù)絕對收斂時，稱此方陣級數(shù)絕對收斂絕對收斂。n nC012,mA A AA012mAAAA0mmA。NSS0mmSA。2n0, ,1,2,mijmAi jn2nS0NNmmSA。2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系42矩陣冪級數(shù)u方陣級數(shù)收斂的基本性質(zhì)：方陣級數(shù)收

35、斂的基本性質(zhì)：(1) 若方陣級數(shù)若方陣級數(shù) 絕對收斂絕對收斂，則它一定收斂，且任意交換，則它一定收斂，且任意交換 各項(xiàng)的次序所得的新級數(shù)仍收斂，和也不改變。各項(xiàng)的次序所得的新級數(shù)仍收斂，和也不改變。(2) 方陣級數(shù)方陣級數(shù) 絕對收斂的絕對收斂的充要條件充要條件，是對任意一種方陣，是對任意一種方陣 范數(shù)范數(shù) ，正項(xiàng)級數(shù)，正項(xiàng)級數(shù) 收斂。收斂。(3) 若若 為給定矩陣，如果方陣級數(shù)為給定矩陣，如果方陣級數(shù) 收斂收斂(或絕或絕 對收斂對收斂)，則級數(shù)，則級數(shù) 也收斂也收斂(或絕對收斂或絕對收斂)，且有等式，且有等式0mmA0mmA0mmA,n nP QC0mmA0mmPA Q00()mmmmPA Q

36、PA Q。2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系43矩陣冪級數(shù)u定義定義8. (冪級數(shù)冪級數(shù)) 若已給若已給 階復(fù)數(shù)方陣序列階復(fù)數(shù)方陣序列 及復(fù)數(shù)序及復(fù)數(shù)序列列 ，則方陣級數(shù)，則方陣級數(shù) 稱為方陣稱為方陣 的冪級數(shù)。的冪級數(shù)。u定義定義9. (譜半徑譜半徑) 如果如果 為方陣為方陣 的全部特征的全部特征值，則值，則稱為稱為 的譜半徑。的譜半徑。nmAmC0mmmC AA12,n n nAC1( )maxii nA A2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系44矩陣冪級數(shù)u定理定理7. 若若

37、 ，則對于任給正數(shù)，則對于任給正數(shù) ，都有某一方陣范數(shù)，都有某一方陣范數(shù) ， 使得使得 。證明：對于證明：對于 ，必有可逆矩陣，必有可逆矩陣 ，使，使 與其約與其約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 相似：相似：其中其中 是是 的特征值，的特征值， 而而 等于等于1或或0。n nAC( )AAn nACn nPCAJ1121221,1n nnntttJP APtt1122,nntttA21,1,n ntt2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系45矩陣冪級數(shù)對給定的對給定的 ，取對角形矩陣，取對角形矩陣顯然顯然 可逆，且由計(jì)算可得可逆，且由計(jì)算可得12(1)1

38、nD1121221,1n nnntttD JDttD2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系46矩陣冪級數(shù)對所給方陣對所給方陣 ，令，令可驗(yàn)證可驗(yàn)證 是方陣范數(shù)。是方陣范數(shù)?？傻茫嚎傻茫?注：注：1AD JDAA11,111maxmaxiiiii ni nAD JDtt ( )A11maxniji njBb 2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系47矩陣冪級數(shù)u定理定理8. 若復(fù)變數(shù)冪級數(shù)若復(fù)變數(shù)冪級數(shù) 的收斂半徑為的收斂半徑為 ，而方陣，而方陣 的譜半徑為的譜半徑為 ，則：，則： (1)

39、 當(dāng)當(dāng) 時，方陣冪級數(shù)時，方陣冪級數(shù) 絕對收斂；絕對收斂； (2) 當(dāng)當(dāng) 時，方陣冪級數(shù)時，方陣冪級數(shù) 發(fā)散。發(fā)散。證明證明: (1) 因因 ，故總可以找到正數(shù)，故總可以找到正數(shù) ，使得，使得 仍成立。又因?yàn)閮缂墧?shù)仍成立。又因?yàn)閮缂墧?shù) 在收斂圓內(nèi)在收斂圓內(nèi) 絕對收斂，所以正項(xiàng)級數(shù)絕對收斂，所以正項(xiàng)級數(shù)n nACR( )AR0mmmC z( )AR0mmmC A0mmmC A( )A( )AR( )ARzR0mmmC z0( )mmmCA2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系48矩陣冪級數(shù)收斂，從而其部分和收斂，從而其部分和有上界：有上界：由

40、定理由定理7，存在某一方陣范數(shù)，存在某一方陣范數(shù) ，使得，使得 。因而，因而，故正項(xiàng)級數(shù)故正項(xiàng)級數(shù) 收斂。因而，收斂。因而， 絕對收斂。絕對收斂。0( )NmNmmSCANSM( )AA00NNmmmmmmC ACA0( )NmmmCANSM0mmmC A0mmmC A2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系49矩陣冪級數(shù)u推論推論1.若復(fù)數(shù)冪級數(shù)若復(fù)數(shù)冪級數(shù) 的收斂半徑為的收斂半徑為 ，則對于方陣，則對于方陣 ，當(dāng)其特征值，當(dāng)其特征值 滿足滿足 時，方陣冪級數(shù)時，方陣冪級數(shù)絕對收斂；若有某一絕對收斂；若有某一 使得使得 ，則此方陣冪級數(shù)，則

41、此方陣冪級數(shù)發(fā)散。發(fā)散。00mmmCzR12,n n nAC0(1,2, )iR in00mmmCAEi0iR2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系50矩陣冪級數(shù)u推論推論2. 若復(fù)變數(shù)級數(shù)若復(fù)變數(shù)級數(shù) 在整個復(fù)平面上都收斂，則對任意的在整個復(fù)平面上都收斂，則對任意的方陣方陣 ，方陣冪級數(shù)，方陣冪級數(shù) 也收斂。也收斂。0mmmC zn nAC0mmmC A2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系515 矩陣函數(shù)u若復(fù)變數(shù)冪級數(shù)若復(fù)變數(shù)冪級數(shù) 的收斂半徑為的收斂半徑為 ，其和為，其和為即即

42、，則可定義矩陣函數(shù)，則可定義矩陣函數(shù)u如何求矩陣函數(shù)？如何求矩陣函數(shù)？0!mzmzem2111sin( 1)(21)!mmmzzm21cos1( 1)(2 )!mmmzzm 0!mAmAem2111sin( 1)(21)!mmmAAm21cos1( 1)(2 )!mmmAAm 0mmmC zR( )f z0( )()mmmf zC zzR0( )( ( );)mn nmmf AC AAR AC。2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系52 矩陣函數(shù)u定理定理9. 若對任一方陣若對任一方陣 ，冪級數(shù)，冪級數(shù) 都收斂，其和為都收斂，其和為 則當(dāng)則

43、當(dāng) 為分塊對角形矩陣為分塊對角形矩陣 時，即有時，即有X0mmmC X0()mmmf XC X12kXXXXX12()()()()kf Xf Xf Xf X2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系53矩陣函數(shù)u定理定理10. 若若 是收斂半徑為是收斂半徑為 的復(fù)變數(shù)的復(fù)變數(shù)冪級數(shù)，又冪級數(shù)，又是是n階約當(dāng)塊，則當(dāng)階約當(dāng)塊，則當(dāng) 時，方陣冪級數(shù)時，方陣冪級數(shù) 絕對收斂絕對收斂其和為其和為0( )()mmmf zC zzRR000011J0R00mmmC J0000(1)0000()()1()()2!11()()()()(1)!2!nffff J

44、ffffn2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系54矩陣函數(shù)矩陣函數(shù)的求法矩陣函數(shù)的求法u方法一：利用矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形求方法一：利用矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形求(1) 若若 相似于對角形矩陣：相似于對角形矩陣： 則則A121nAPP121()()( )()nfff APPf2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系55矩陣函數(shù)(2)若若 不能與對角形矩陣相似，則不能與對角形矩陣相似，則 必可與其約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形相似必可與其約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形相似: ，其中，其中，則則AA11221()()()kkJJAPPJ121()()(

45、 )()kf Jf Jf APPf J1( )1iiiiiJ 2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系56矩陣函數(shù)u例例2. 設(shè)設(shè) ，求，求解：特征值解：特征值特征向量特征向量則則 0102A,sin,cosAeAA。120,21211,02 111211,02012PP2012211102200AeeePPee1110sin20cos2sin,cos2220sin20cos2AA2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系57矩陣函數(shù)u例例3. 設(shè)設(shè) ，求，求解：特征值解：特征值特征向量特征向

46、量-110-430102AAte 。1232,11230010 ,1,2111 1001111012 ,210111100PP 2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系58矩陣函數(shù)211100100111012002101110100Aeeeee 222043032eeeeeeeee2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系59矩陣函數(shù)u方法二：多項(xiàng)式法方法二：多項(xiàng)式法定理定理11. 設(shè)設(shè)n階方陣階方陣A的最小多項(xiàng)式為的最小多項(xiàng)式為m次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式其中，其中， 是是A的所有互不相同的特征值。

47、又與收斂的的所有互不相同的特征值。又與收斂的復(fù)變數(shù)冪級數(shù)復(fù)變數(shù)冪級數(shù) 相應(yīng)的相應(yīng)的 是是A的收斂的收斂冪級數(shù)，則矩陣函數(shù)冪級數(shù)，則矩陣函數(shù) 可以表示成可以表示成A的的m-1次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式系數(shù)系數(shù) 有下列的方程組的解給出：有下列的方程組的解給出：1212( )() ()() ,snnns 12,s 0( )kkkf zC z0( )kkkf AC A( )f A210121( )mmf Aa Ea Aa AaA0121,ma a aa2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系60矩陣函數(shù)2101212121(1)1()2(1)()(1)!(1)

48、(1)()iiimiimiimimiim nniniiiaaaafaamafnammnf2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系61矩陣函數(shù)u例例4. 設(shè)設(shè) ，用多項(xiàng)式法求，用多項(xiàng)式法求解：特征多項(xiàng)式解：特征多項(xiàng)式特征值特征值最小多項(xiàng)式最小多項(xiàng)式記記因因 為為3次多項(xiàng)式，故設(shè)次多項(xiàng)式，故設(shè)214020031Asin At。2(1)(2)EA2( )(1)(2) ()sin,()sinf AtAtftt122(),1重根( ) 2012sin( )( )( )Att Et At A2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北

49、京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系62矩陣函數(shù)由此得方程組由此得方程組解得解得可得：可得：120112111212012222( )( )( )()d( )2( )()|d( )( )( )()tttfttfttttf 01212012( )2( )4( )sin2( )4( )cos2( )( )( )sintttttttttttt012( )4sin3sin22 cos2( )4sin4sin23 cos2( )sinsin2cos2ttttttttttttttt sin212sin12sin213 cos24sin4sin2sin0sin2003sin3sin2sintttttttAttttt

50、2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系636 矩陣的微分與積分u定義定義10. (函數(shù)矩陣的微分函數(shù)矩陣的微分)u定義定義11. (函數(shù)矩陣的積分函數(shù)矩陣的積分)dd( )( ),( )( )ddijijm nm nA zazA zazzz或 ( )d( )d,( )d( )dbbijijaam nm nA xxax xA xxax x2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系64矩陣的微分與積分u函數(shù)矩陣的積分性質(zhì)函數(shù)矩陣的積分性質(zhì)(1)(2)(3)(4) ( )d( )dTTAxxA x

51、x( )( ) d( )d( )daA xbB xxa A xxb B x x, a b（為非零實(shí)數(shù)）( )d( )d()C A x xC A xxC為非零常數(shù)矩陣( )( )d( ) ( )( )( )dA xB x xA x B xA xB xx2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系65矩陣的微分與積分u函數(shù)矩陣的微分性質(zhì)函數(shù)矩陣的微分性質(zhì)(1)(2) 為常數(shù)：為常數(shù)：(3) 若若 及變量及變量 的函數(shù)的函數(shù) 都可導(dǎo)，則都可導(dǎo)，則(4) 若若 階函數(shù)矩陣階函數(shù)矩陣 可逆，且可逆，且 及其逆矩陣及其逆矩陣 都可都可 導(dǎo)，導(dǎo)， 則則( )(

52、 )ijm nA ua u( )( )( )( )A zB zA zB zz( )( )( ) ( )( )( )A zB zA z B zA z B z( )( )C A zC A zC( )uf zdd ( ) d( )dddA uuA uzuzn( )A z( )A z1( )Az111dd( )( )( )( )ddAzAzA zAzzu 2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系668 常用矩陣函數(shù)的性質(zhì)u矩陣函數(shù)的性質(zhì)矩陣函數(shù)的性質(zhì)(1)(2) 若若 ，則，則(3) 若若 ，則，則(4)ABBAddAtAtAteAee AtAtAt

53、e BBeABBAABBAA Beeeeecossin11cos(),sin()22cos()cos ,sin()siniAiAiAiAiAeAiAAeeAeeiAAAA ABBA2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系67常用矩陣函數(shù)的性質(zhì)u矩陣函數(shù)的性質(zhì)矩陣函數(shù)的性質(zhì)(5) 若若 ，則，則(6)222sincossin(2)sincos(2)cosA iEAAAEAEAAEAeecos()coscossinsinsin()sincoscossinABABABABABABABBA2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系

54、北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系68常用矩陣函數(shù)的性質(zhì)u證明：證明：(1) 0011()!AtmmmmmeAtt Amm01!Atmmijijmet Am10d1d(1)!AtmmijijmetAtm11000d111()() )d(1)!(1)!AtmmmkAtmmketAAAtAAtAetmmk10011()() )(1)!mkAtmkAtAAtAe Amk2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系699 矩陣函數(shù)在微分方程中的應(yīng)用u定理定理12. 一階線性常系數(shù)齊次微分方程組一階線性常系數(shù)齊次微分方程組的唯一解是的唯一解是00dd|( )t

55、 tAttxxxx0()0( )( )A t ttetxx。2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系70矩陣函數(shù)在微分方程中的應(yīng)用u定理定理13. 一階線性常系數(shù)非齊次微分方程組一階線性常系數(shù)非齊次微分方程組的解的解證明：證明：00d( )d|( )t tAF tttxxxx00()()0( )( )( )dtA t tA ttteteFxx。d( )dAF ttxxd()( )dAtAteAeF ttxxd()( )dAtAteeF ttx000( )( )dtAtAtAteeteFxx2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院

56、自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系71矩陣函數(shù)在微分方程中的應(yīng)用u例例5：求線性系統(tǒng)的解：求線性系統(tǒng)的解解：解：2311d( ),201 ,( )(0,0,)d(0)(1,1,1)112tTTAF tAF tetxxx()0( )(0)( )dtAtA tteeFxx1230,2,3123(1,5,2) ,(1,1,0) ,(2,1,0)TTTPPP11121111511 ,3396201224PP 2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系72矩陣函數(shù)在微分方程中的應(yīng)用232123331 38111(0)15346124ttAtttttt

57、eeePePeeee x233()2()12233()22398101( )059464ttA tttttteeeeFPePeeeeeee 23()23023115(9)8221 53( )d(9)46 221 34tttA tttttteeeFteeee 2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系73矩陣函數(shù)在微分方程中的應(yīng)用23()23023121(9)1622159( )(0)( )d(9)86221 38tttAtA tttttteeteeFteeee xx2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化

58、學(xué)院自動化系7410 線性系統(tǒng)的能控性和能觀性u連續(xù)線性定常系統(tǒng)連續(xù)線性定常系統(tǒng)u定義定義12. (能控性能控性) 對于一個線性定常系統(tǒng)，若在某個有限時間對于一個線性定常系統(tǒng)，若在某個有限時間區(qū)區(qū) 內(nèi)存在著輸入內(nèi)存在著輸入 ，能使系統(tǒng)從任意初始狀，能使系統(tǒng)從任意初始狀 態(tài)轉(zhuǎn)移到態(tài)轉(zhuǎn)移到 ，則稱此狀態(tài)，則稱此狀態(tài) 是能控的；若系統(tǒng)是能控的；若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則成系統(tǒng)是完全能控的。的所有狀態(tài)都是能控的，則成系統(tǒng)是完全能控的。d ( )( )( )d( )( )( )tAtBtttCtDtxxuyxu10,t1( ) (0)ttt u0(0) xx1( )tx0 x2022年5月23日15

59、時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系75線性系統(tǒng)的能控性和能觀性u定理定理14. 系統(tǒng)系統(tǒng) 完全能控的充要條件，是完全能控的充要條件，是 階對稱矩陣階對稱矩陣為非奇異矩陣。為非奇異矩陣。證明：證明：(充分性充分性) 設(shè)設(shè) 非奇異。非奇異?？傻每傻昧盍畲肷鲜酱肷鲜? , ,)A B Cn110(0, )dTtATAcWteBB e1(0, )cWt1110()1( )(0)( )d ,(*)tAtA ttteeBxxu11( )(0, )(0)TTA tctB eWt X u1110111( )(0)(d )(0, )(0)TtAtAtATActteeeBB

60、eWt Xxx11111(0)(0, )(0, )(0)AtAtccee Wt Wt Xx2022年5月23日15時03分北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系76線性系統(tǒng)的能控性和能觀性(必要性必要性) 反證法。若系統(tǒng)完全能控，但反證法。若系統(tǒng)完全能控，但 是奇異的，是奇異的，則必有非零向量則必有非零向量 使對任意時刻使對任意時刻使得使得即即故對任意時刻故對任意時刻 ，有，有由于系統(tǒng)完全能控，故必存在某個由于系統(tǒng)完全能控，故必存在某個 作用于系統(tǒng)上，使得作用于系統(tǒng)上，使得 由式由式(*)得得由于由于 為任意的，取為任意的，取 ，則由上式得，則由上式得 得得1(0, )c