階段復(fù)習(xí)課 第2章　平面向量

1、.第二課平面向量核心速填老師用書獨具1常見的六種向量1單位向量：模為1的向量2零向量：模為0的向量3平行向量：方向一樣或相反的向量4共線向量：方向一樣或相反的向量5相等向量：模相等、方向一樣的向量6相反向量：模相等、方向相反的向量2兩個定理1共線向量的斷定或性質(zhì)定理：baba.a0，存在且唯一2平面向量根本定理：假設(shè)在同一平面內(nèi)，e1與e2不共線，那么該平面內(nèi)的任一向量aa1e1a2e2，且a1，a2唯一，當(dāng)e1e2，且|e1|e2|1，那么axe1ye2，且x，y唯一3向量的線性運算和數(shù)量積運算1ab三角形法那么2ab三角形法那么3baa0，0a，b同向；0a，b反向；a0|.4ab|a|b

2、|cos .4向量的正射影1向量b在a方向上的正射影數(shù)量為|b|cos .2向量a在b方向上的正射影數(shù)量為|a|cos .5向量的坐標(biāo)運算向量ax1，y1，bx2，y2和實數(shù)，那么abx1x2，y1y2，abx1x2，y1y2ax1，y2，abx1x2y1y2，|a|，a2xy|a|2，abx1y2x2y10.abx1x2y1y20.6向量的運算律1交換律：abba，abba.2結(jié)合律：abcabc，abcabc，ababab3分配律：aaa，abab，abcacbc.4重要公式：ababa2b2，ab2a22abb2.注意：向量的數(shù)量積運算的特點：1ab0a0或b0.2abacbc.3abc

3、abcbac體系構(gòu)建題型探究平面向量的線性運算1向量線性運算的結(jié)果仍是一個向量，因此對它們的運算法那么、運算律的理解和運用要注意大小、方向兩個方面2向量共線定理和平面向量根本定理是進展向量合成與分解的核心，是向量線性運算的關(guān)鍵所在，常應(yīng)用它們解決平面幾何中的共線問題、共點問題3題型主要有證明三點共線、兩線段平行、線段相等、求點或向量的坐標(biāo)等如圖21，在ABC中，點M是AB邊的中點，E是中線CM的中點，AE的延長線交BC于F.MHAF交BC于H.求證：.圖21思路探究選擇兩不共線向量作基底，然后用基底向量表示出、與即可證得證明設(shè)a，b，那么ab，22ab2a2bab，bba2ba2bbab.綜上

4、，得.跟蹤訓(xùn)練1.如圖22，平行四邊形ABCD中，點M在AB的延長線上，且BMAB，點N在BC上，且BNBC，求證：M，N，D三點共線圖22證明設(shè)e1，e2，那么e2，e2，e1，e2e1，又e2e133，向量與共線，又M是公共點，故M，N，D三點共線.平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積是由物理問題中的做功問題引入的，向量數(shù)量積的結(jié)果是一個數(shù)量，根據(jù)定義式可知，當(dāng)向量夾角為銳角、鈍角和直角時，其結(jié)果分別為正值、負值和零，零向量與任何一個向量的數(shù)量積均為零平面向量的數(shù)量積是向量的核心內(nèi)容，通過向量的數(shù)量積考察向量的平行、垂直等關(guān)系，利用向量的數(shù)量積可以計算向量的夾角和長度非零向量a，b滿足ab2a

5、b，a2b2ab，求a，b的夾角的余弦值思路探究解由ab2ab，a2b2ab，得解得所以|a|b|ab，所以cos .跟蹤訓(xùn)練2.如圖23所示，在平行四邊形ABCD中，APBD，垂足為P，且AP3，那么_.圖23【導(dǎo)學(xué)號：79402103】解析2，APBD，0.|cosBAP|2，2|22918.答案18向量的坐標(biāo)運算1向量的坐標(biāo)表示實際上是向量的代數(shù)表示引入向量的坐標(biāo)表示后，向量的運算完全化為代數(shù)運算，實現(xiàn)數(shù)與形的統(tǒng)一2向量的坐標(biāo)運算是將幾何問題代數(shù)化的有力工具，它是轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法的詳細表達3通過向量坐標(biāo)運算主要解決求向量的坐標(biāo)、向量的模、夾角判斷共線、平

6、行、垂直等問題向量4,3，3，1，點A1，21求線段BD的中點M的坐標(biāo)；2假設(shè)點P2，y滿足R，求y與的值思路探究1先求B，D點的坐標(biāo)，再求M點坐標(biāo)；2由向量相等轉(zhuǎn)化為y與的方程求解解1設(shè)點B的坐標(biāo)為x1，y14,3，A1，2，x11，y124,3，B3,1同理可得D4，3設(shè)線段BD的中點M的坐標(biāo)為x2，y2，那么x2，y21，M.2由得3,12，y1,1y，4，33,17，4又，1,1y7，4，那么跟蹤訓(xùn)練3ABC中，A2，1，B3,2，C3，1，BC邊上的高為AD，求.【導(dǎo)學(xué)號：79402104】解設(shè)Dx，y，那么x2，y1，x3，y2，6，3，0，那么有6x23y10，那么有3x36y2

7、0，解由構(gòu)成的方程組得那么D點坐標(biāo)為1,1，所以1,2.平面向量的應(yīng)用1向量在平面幾何中的應(yīng)用，向量的加減運算遵循平行四邊形法那么或三角形法那么，數(shù)乘運算和線段平行之間、數(shù)量積運算和垂直、夾角、間隔 問題之間聯(lián)絡(luò)親密，因此用向量方法可以解決平面幾何中的相關(guān)問題2向量在解析幾何中的應(yīng)用，主要利用向量平行與垂直的坐標(biāo)條件求直線的方程3在物理中的應(yīng)用，主要解決力向量、速度向量等問題正方形ABCD，E、F分別是CD、AD的中點，BE、CF交于點P.求證：1BECF；2APAB.證明如圖建立直角坐標(biāo)系，其中A為原點，不妨設(shè)AB2，那么A0,0，B2,0，C2,2，E1,2，F(xiàn)0,111,22,01,2，

8、0,12,22，112210，即BECF.2設(shè)Px，y，那么x，y1，2，1，x2y1，即x2y2.同理由，得y2x4，代入x2y2.解得x，y，即P.22242，|，即APAB.跟蹤訓(xùn)練4三個點A2,1，B3,2，D1,41求證：ABAD；2要使四邊形ABCD為矩形，求點C的坐標(biāo)，并求矩形ABCD的兩對角線所夾的銳角的余弦值解1證明：A2,1，B3,2，D1,4，1,1，3,3，13130，即ABAD.2四邊形ABCD為矩形，.設(shè)C點的坐標(biāo)為x，y，那么1,1，x1，y4，解得C點的坐標(biāo)為0,5從而2,4，4,2，|2，|2，8816.設(shè)與的夾角為，那么cos ，矩形ABCD的兩條對角線所夾的銳角的余弦值為.數(shù)形結(jié)合思想平面向量的線性運算和數(shù)量積運算的定義及運算法那么、運算律的推導(dǎo)中都浸透了數(shù)形結(jié)合思想向量的坐標(biāo)表示的引入，使向量運算完全代數(shù)化，將數(shù)和形嚴密地結(jié)合在一起運用數(shù)形結(jié)合思想可解決三點共線，兩條線段或射線、直線平行、垂直，夾角、間隔 、面積等問題如圖24所示，以ABC的兩邊AB，AC為邊向外作正方形ABGF，ACDE，M為BC的中點，求證：AMEF.圖24思路探究要證AMEF，只需證明0.先將用，表示，將用，表示，然后通過向量運算得出0.證明因為M是BC的中點，所以，又，所以00|cos90BAC|cos90BAC0，所以，即AMEF.跟蹤訓(xùn)練5a，b是單位向量，a