第2章應(yīng)變分析(修改)

1、2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析1第一節(jié)第一節(jié) 一點的應(yīng)變狀態(tài)一點的應(yīng)變狀態(tài) 應(yīng)變與位移的關(guān)系應(yīng)變與位移的關(guān)系第二節(jié)第二節(jié) 應(yīng)變狀態(tài)分析應(yīng)變狀態(tài)分析第三節(jié)第三節(jié) 主應(yīng)變主應(yīng)變第四節(jié)第四節(jié) 應(yīng)變張量和應(yīng)變偏量應(yīng)變張量和應(yīng)變偏量第五節(jié)第五節(jié) 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程（連續(xù)性方程、相容方程）應(yīng)變協(xié)調(diào)方程（連續(xù)性方程、相容方程） （Equations of compatibility）2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析2 在靜力學(xué)理論中，通常在靜力學(xué)理論中，通常假定物體是剛性假定物體是剛性的，即在力的作用的，即在力的作用下，構(gòu)成該物體質(zhì)點之間的距離保持不變。前

2、章建立平衡條件下，構(gòu)成該物體質(zhì)點之間的距離保持不變。前章建立平衡條件時，就忽略了固體變形，即假定固體是剛體。實際上剛體是不時，就忽略了固體變形，即假定固體是剛體。實際上剛體是不存在，所有物體在某種程度上都是可以變形的，也即是說，在存在，所有物體在某種程度上都是可以變形的，也即是說，在力的作用下，實際物體質(zhì)點之間的距離總是要發(fā)生變化的。一力的作用下，實際物體質(zhì)點之間的距離總是要發(fā)生變化的。一個物體是否可以被假定為剛體，關(guān)鍵在于剛體假定的有效范圍。個物體是否可以被假定為剛體，關(guān)鍵在于剛體假定的有效范圍。 本章從幾何學(xué)的觀點出發(fā)分析研究物體的變形。本章從幾何學(xué)的觀點出發(fā)分析研究物體的變形。反映物體反

3、映物體變形規(guī)律的數(shù)學(xué)方程變形規(guī)律的數(shù)學(xué)方程也有兩類，即也有兩類，即幾何方程幾何方程和和變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程。由于這兩類方程都是基于物體連續(xù)性的假定從幾何學(xué)出發(fā)得到由于這兩類方程都是基于物體連續(xù)性的假定從幾何學(xué)出發(fā)得到的，并不涉及產(chǎn)生變形的原因和物體的材料性質(zhì)，所以它們均的，并不涉及產(chǎn)生變形的原因和物體的材料性質(zhì)，所以它們均屬于屬于“普適方程普適方程”。2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析3 前面討論了受力物體的應(yīng)力，現(xiàn)在開始討論物體的變形。前面討論了受力物體的應(yīng)力，現(xiàn)在開始討論物體的變形。 在外力作用下，物體各點的位置要發(fā)生改變，即發(fā)生位移。在外力作用下，物體各點的

4、位置要發(fā)生改變，即發(fā)生位移。如果物體各點發(fā)生位移后仍保持各點間初始狀態(tài)的相對位置，如果物體各點發(fā)生位移后仍保持各點間初始狀態(tài)的相對位置，則物體實際上只產(chǎn)生了剛體移動和轉(zhuǎn)動，將這種位移稱為則物體實際上只產(chǎn)生了剛體移動和轉(zhuǎn)動，將這種位移稱為剛體剛體位移位移。 如果物體各點發(fā)生位移如果物體各點發(fā)生位移后改變了各點間初始狀態(tài)的后改變了各點間初始狀態(tài)的相對位置，則物體就同時產(chǎn)相對位置，則物體就同時產(chǎn)生了形狀的變化，統(tǒng)稱該物生了形狀的變化，統(tǒng)稱該物體產(chǎn)生了變形。（書圖體產(chǎn)生了變形。（書圖21）2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析4 為了確定正應(yīng)變的定為了確定正應(yīng)變的定義，在一受拉桿

5、上有線段義，在一受拉桿上有線段ABAB，在變形后，變?yōu)?，在變形后，變?yōu)?（見右圖）。（見右圖）。 若線段若線段 AB AB 的長度的長度為為 ，變形后的，變形后的A A點的點的xBA 物體不論是發(fā)生空間的剛體運動或?qū)嵭螤畹淖兓K歸物體不論是發(fā)生空間的剛體運動或?qū)嵭螤畹淖兓?，終歸體現(xiàn)為物體內(nèi)部每一點產(chǎn)生位移；因而，只要確定了物體內(nèi)體現(xiàn)為物體內(nèi)部每一點產(chǎn)生位移；因而，只要確定了物體內(nèi)各點的位移，物體的變形狀態(tài)也就確定了。因此研究物體內(nèi)各點的位移，物體的變形狀態(tài)也就確定了。因此研究物體內(nèi)一點的變形是很重要的。一點的變形是很重要的。2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析5 下面

6、我們討論一般情況，給出下面我們討論一般情況，給出應(yīng)變應(yīng)變的概念。設(shè)在直角坐標(biāo)的概念。設(shè)在直角坐標(biāo)系中，變形前系中，變形前A點的坐標(biāo)是（點的坐標(biāo)是（x，y，z），變形后的坐標(biāo)是），變形后的坐標(biāo)是（x+u，y+v，z+w），這里），這里u，v，w是是A點的位移在點的位移在x，y，z三三軸上的投影，它們都是坐標(biāo)軸上的投影，它們都是坐標(biāo)x，y，z的的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)，而且，而且位移的位移的導(dǎo)數(shù)也是連續(xù)的導(dǎo)數(shù)也是連續(xù)的。dxduxuxx0lim定義：定義：正應(yīng)變正應(yīng)變（21）顯然，如果變形的分布是均勻的，則有顯然，如果變形的分布是均勻的，則有: :即：即：材料力學(xué)的拉伸應(yīng)變材料力學(xué)的拉伸應(yīng)變。000ll

7、lllx（22）位移是位移是u u，而，而B B 點的位移是點的位移是 u u+ + u u，則線段，則線段 增加了增加了 u u。x2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析6 設(shè)由變形體中取出一個微小六面體（見書中圖23變形體的投影），在研究微小六面體的變形時，采用的分析方法是將六面體的各面投影到直角坐標(biāo)系的各個坐標(biāo)平面上，研究這些平面投影的變形，并根據(jù)這些投影的變形規(guī)律來判斷整個平行六面體的變形。 由于變形很微小，所以可以認(rèn)為兩個平行面在坐標(biāo)面上的投影只相差高階的微量，因而，兩個平行面的投影可以合并為一個投影面。2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分

8、析7 首先，研究平行六面體首先，研究平行六面體在在xoz面上的投影面上的投影ABCD（見（見書中圖書中圖24）。在變形前六）。在變形前六面體面體A點的坐標(biāo)為（點的坐標(biāo)為（x，y，z），在六面體變形時，投影），在六面體變形時，投影上的上的A點移到了點移到了 點，同時點，同時而整個而整個ABCD移到移到 。A，BB，CC，DDDCBA 設(shè)設(shè)A點的位移是點的位移是 u，w，它們是坐標(biāo)的函數(shù)，因此有：，它們是坐標(biāo)的函數(shù)，因此有： ),(1zyxfu ),(2zyxfw （23） 2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析8而而B點的坐標(biāo)為（點的坐標(biāo)為（x+dx，y，z），因此），因此

9、B點在點在x方向的位移為：方向的位移為： ),(11zydxxfu根據(jù)根據(jù)泰勒級數(shù)展開式泰勒級數(shù)展開式，可得：，可得： 2212111),(! 21),(),(dxxzyxfdxxzyxfzyxfu略去略去高階項高階項后得到：后得到：dxxuuu1（24） 由于由于 則則AB在在x軸上的投影的伸長量為軸上的投影的伸長量為 ，則有：則有： dxxuuu1dxAB xudxuux12022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析9同理可得平行于同理可得平行于 y 軸和軸和 z 的邊長的正應(yīng)變，因此有：的邊長的正應(yīng)變，因此有：（25） xuxyvyzwz 取變形前的直角取變形前的直角BA

10、C或或 ，變形時，棱邊，變形時，棱邊 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動一個角度一個角度 ，棱邊，棱邊 轉(zhuǎn)動一個角度轉(zhuǎn)動一個角度 ，在，在xoz平面內(nèi)，角平面內(nèi)，角應(yīng)變用應(yīng)變用 表示，其值為表示，其值為 和和 之和，即：之和，即： CAB BACAzxzx（26） 若若A點在點在z 軸方向的位移為軸方向的位移為 ， ),(2zyxfw 當(dāng)當(dāng) 大于零時，表示線段伸長，反之表示縮短。大于零時，表示線段伸長，反之表示縮短。zyx，2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析10 xzAAB BBwudxxuudxxwwCoC圖：位移矢量在圖：位移矢量在xoz平面上的投影平面上的投影返回2022-5-25周書敬

11、周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析11則則B點在點在Z 軸方向的位移為軸方向的位移為 ， dxxwwzydxxfw),(21dxxwwwBB 1B點與點與A點點沿沿Z 軸方向的位移之差為軸方向的位移之差為: : 在直角三角形在直角三角形 中，可得：中，可得： BBA xuxwdxxudxdxxwBABBtg 1在分母中在分母中 （ ）與）與1相比是一個微量，故可以略去，因而相比是一個微量，故可以略去，因而得出，得出， xuxxw2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析12同理可得：同理可得： zu所以有剪應(yīng)變：所以有剪應(yīng)變：xwzuzx 同理可得另外兩個剪應(yīng)變同理可得另外

12、兩個剪應(yīng)變 。即有剪應(yīng)變的表達(dá)。即有剪應(yīng)變的表達(dá)式（式（27） yzxy，（27） xvyuxyywzvyzxwzuzx說明：剪應(yīng)變的正負(fù)號說明：剪應(yīng)變的正負(fù)號表示夾角變大表示夾角變小),(0),(0zyxjizyxjiijij2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析13所以，正應(yīng)變和剪應(yīng)變的表達(dá)式為（所以，正應(yīng)變和剪應(yīng)變的表達(dá)式為（28）：）：xwzuzwywzvyvxvyuxuzxzyzyxyx，（28） 式（式（28）稱為）稱為柯西（柯西（Cauchy）幾何關(guān)系）幾何關(guān)系。式式(28)的的提出者：法國工業(yè)學(xué)院的數(shù)學(xué)教授柯西（提出者：法國工業(yè)學(xué)院的數(shù)學(xué)教授柯西（Cauc

13、hy）(17891857)，于，于1822年發(fā)表的論文提出的年發(fā)表的論文提出的 注意：書中注意：書中P48給出了幫助記憶的圖形（圖給出了幫助記憶的圖形（圖25）。）。可知：如果可知：如果已知位移分已知位移分量可以很簡量可以很簡單的求出應(yīng)單的求出應(yīng)變分量；反變分量；反之，則問題之，則問題比較復(fù)雜。比較復(fù)雜。2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析14 利用類似的方利用類似的方法，可以導(dǎo)出柱坐法，可以導(dǎo)出柱坐標(biāo)表示的幾何方程標(biāo)表示的幾何方程為式（為式（29）：）： zurwzwzvwrruvrrvurrvruzrzzrr111 ，（29）2022-5-25周書敬周書敬第二章第二

14、章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析15其中，其中， 分別表示一點位移在徑向（分別表示一點位移在徑向（r方向），環(huán)向方向），環(huán)向（ 方向）以及軸向（方向）以及軸向（z方向）的分量。方向）的分量。 wvu， 對于平面問題，柱坐標(biāo)變?yōu)闃O坐標(biāo)，則平面極坐標(biāo)表示的對于平面問題，柱坐標(biāo)變?yōu)闃O坐標(biāo)，則平面極坐標(biāo)表示的幾何方程為幾何方程為： rvrvurruvrrurr11（210） 下面給出式（下面給出式（210）的推導(dǎo)過程。）的推導(dǎo)過程。 2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析16首先假定只有徑向位移而沒有環(huán)向位移首先假定只有徑向位移而沒有環(huán)向位移： 如圖（如圖（26）所示，在）所示，在P點沿徑向

15、和環(huán)向取兩個微段點沿徑向和環(huán)向取兩個微段PA和和PB，設(shè)，設(shè)PA移到了移到了 ，位移為位移為u；PB移到了移到了 ，則，則P，A，B三點的位移分別為：三點的位移分別為：AP BPuPPdrruuAAdfrfdrfduuBB),(),(odxyrpBpBAA徑向位移圖徑向位移圖2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析17則則PA的正應(yīng)變?yōu)椋旱恼龖?yīng)變?yōu)椋?rudrudrruuPAPAAPr)(PB的正應(yīng)變?yōu)椋旱恼龖?yīng)變?yōu)椋?rurdrddurPBPBBP)(pBpB徑向線段徑向線段PA的轉(zhuǎn)角為：的轉(zhuǎn)角為： 0urrduduuPBPPBBtg1)(環(huán)向線段環(huán)向線段PB的轉(zhuǎn)角為：的轉(zhuǎn)

16、角為： 所以有：所以有： urr12022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析18其次，假定只有環(huán)向位移而沒有徑向位移其次，假定只有環(huán)向位移而沒有徑向位移: 見圖見圖27，由于，由于P點的環(huán)向位移點的環(huán)向位移v，徑向線，徑向線段段PA移段到了移段到了 ，環(huán)，環(huán)向線段向線段PB移到了移到了 ，則則P，A，B三點的位移三點的位移分別為：分別為： AP BP dvvBBdrrvvAAvPP ,可見：徑向線段可見：徑向線段PA的正應(yīng)變?yōu)榈恼龖?yīng)變?yōu)?：0rxydpp BB AA rdr圖圖2-7 環(huán)向位移圖環(huán)向位移圖o2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析19環(huán)向線

17、段環(huán)向線段PB的正應(yīng)變?yōu)椋旱恼龖?yīng)變?yōu)椋?vrrdvdvvPBPBBP1)(徑向線段徑向線段PA的轉(zhuǎn)角為：的轉(zhuǎn)角為： rvdrvdrrvvPAPPAAtg )(環(huán)向線段環(huán)向線段PB的轉(zhuǎn)角為：的轉(zhuǎn)角為： rvOPPPPPO 2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析20所以剪應(yīng)變?yōu)椋核约魬?yīng)變?yōu)椋?rvrvr 因此，如沿徑向和環(huán)向都有位移，則根據(jù)疊加原理可得式因此，如沿徑向和環(huán)向都有位移，則根據(jù)疊加原理可得式（210）。）。 對于軸對稱問題：對于軸對稱問題： ， ，則式（，則式（210）的平）的平面極坐標(biāo)幾何方程為（面極坐標(biāo)幾何方程為（211） )(ruu 0vrurur，（21

18、1） 對于球?qū)ΨQ問題：變形的幾何方程為式（對于球?qū)ΨQ問題：變形的幾何方程為式（212） rurur，（212） 2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析21 注意：書中注意：書中P47對方程（對方程（210）的相關(guān)項進(jìn)行了解釋，自）的相關(guān)項進(jìn)行了解釋，自己看一下。己看一下。2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析22xyzpNNdro 現(xiàn)在已知物體內(nèi)任一點現(xiàn)在已知物體內(nèi)任一點P P 的六個應(yīng)的六個應(yīng)變分量變分量 ，試求經(jīng)過該點（試求經(jīng)過該點（P點）的沿點）的沿N方向的任一方向的任一微小線段微小線段PNdr的正應(yīng)變，以及經(jīng)過的正應(yīng)變，以及經(jīng)過P點的微小線段

19、點的微小線段PN和和 的夾角的改變。的夾角的改變。 zxyzxyzyx，NP 令令PN的方向余弦為的方向余弦為l、m、n，則，則PN在坐標(biāo)軸上的投影為：在坐標(biāo)軸上的投影為： 2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析23ndrdzmdrdyldrdx，（213） 設(shè)設(shè)P點的位移分量為點的位移分量為u，v，w，則，則N點的位移分量為：點的位移分量為：的高階項),(),(),(dzdydxdzzfdyyfdxxfzyxfdzzdyydxxfuN略去高階項（小量）得：略去高階項（小量）得： dzzudyyudxxuuuN同理可得同理可得 ：NNwv ，即有式（即有式（214）202

20、2-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析24dzzwdyywdxxwwwdzzvdyyvdxxvvvdzzudyyudxxuuuNNN（214） 在變形后，線段在變形后，線段PN在坐標(biāo)軸上的投影為（在坐標(biāo)軸上的投影為（215）式：即）式：即 dzzwdyywdxxwdzwwdzdzzvdyyvdxxvdyvvdydzzudyyudxxudxuudxNNN（215） 2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析25 令線段令線段PN的正應(yīng)變?yōu)榈恼龖?yīng)變?yōu)?，則該線段變形后的長度為：，則該線段變形后的長度為： 而且有而且有 NdrdrN2222)()()()(dzzwd

21、yywdxxwdzdzzvdyyvdxxvdydzzudyyudxxudxdrdrN（216） 上式兩邊同除以上式兩邊同除以 ，并利用，并利用（213）式得：式得： 2)(drndrdzmdrdyldrdx，2222)1 ()1 ()1 ()1 (zwnywmxwlzvnyvmxvlzunyumxulN2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析26 因為因為 和位移分量的導(dǎo)數(shù)都是微小的，它們的平方和乘和位移分量的導(dǎo)數(shù)都是微小的，它們的平方和乘積可以不計，可得：積可以不計，可得： NywnmxwnlzwnywmxwlxvmlzvmnyvmzunlyulmxulN22)21 (2

22、2)21 (22)21 ()21 (222利用利用 ，上式可得：，上式可得： 1222nml)()()(222yuxvlmxwzunlzvywmnzwnyvmxulN再利用幾何方程可得：再利用幾何方程可得： xzzxyzzyxNlmnlmnnml222（217） 2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析27下面來求下面來求PN和和 的夾角的改變的夾角的改變 NP 設(shè)設(shè)PN在變形后的方向余弦為在變形后的方向余弦為 ，則由式（，則由式（213）和式（和式（215）可以得到：）可以得到： 111nml，1)1 ()1()1 ()1 (211NNNNzunyumxulzunyumx

23、uldrdzzudyyudxxudxl注意到注意到 ， 都是微小量，在展開上式后，略去都是微小量，在展開上式后，略去二階以上的微小量得：二階以上的微小量得： Nzuyuxu，2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析28zunyumxullN)1 (1同理可得出同理可得出 ，即得出式（，即得出式（218） 11nm，ywmxwlzwnnxvlzvnyvmmzunyumxullNNN)1 ()1 ()1 (111 （218） 與與 此此 類類 似，設(shè)線段似，設(shè)線段 在在 變形變形 之之 前前 的的 方方 向向 余余 弦弦 為，為， 則其在變形后的方向余弦為：則其在變形后的方向余

24、弦為：nml，NP 2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析29ywmxwlzwnnxvlzvnyvmmzunyumxullNNN)1 ()1 ()1 (111（219） 1111111cosnnmmll（220） 其中，其中， 是是 的正應(yīng)變。的正應(yīng)變。 NNP 令令PN和和 在變形之前的夾角為在變形之前的夾角為 ，變形之后的夾角為，變形之后的夾角為 ，則有：則有： 1NP 2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析30將式（將式（218）和（）和（219）代入，并略去高階微量可得：）代入，并略去高階微量可得： )()()()(2)1)(cos1yuxv

25、mlmlxwzulnl nzvywnmnmxwnnyvmmxul lnnmml lNN利用幾何方程，并注意到利用幾何方程，并注意到 ，則有：，則有： nnmml lcosxyzxyzzyxNNmlmllnl nnmnmnnmml l)()()()(2cos)1 (cos1（221） 由此可求出由此可求出 ，進(jìn)而可求得，進(jìn)而可求得 。 112022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析31 由此可見：由此可見：在物體內(nèi)的任一點，如果已知六個應(yīng)變分量，在物體內(nèi)的任一點，如果已知六個應(yīng)變分量，就可以求出經(jīng)過該點的任一線段的正應(yīng)變，也可以求得經(jīng)就可以求出經(jīng)過該點的任一線段的正應(yīng)變，也可以

26、求得經(jīng)過該點的任意兩線段之間的夾角的改變。這就是說，六個過該點的任意兩線段之間的夾角的改變。這就是說，六個應(yīng)變分量完全決定了這一點的應(yīng)變狀態(tài)。應(yīng)變分量完全決定了這一點的應(yīng)變狀態(tài)。 2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析32 在研究一點的應(yīng)力狀態(tài)時，可以找到三個相互垂直的沒有在研究一點的應(yīng)力狀態(tài)時，可以找到三個相互垂直的沒有剪應(yīng)力作用的平面，將這些面稱為剪應(yīng)力作用的平面，將這些面稱為主平面主平面，而這些平面的法，而這些平面的法線方向稱為線方向稱為主方向主方向。 在研究應(yīng)變問題時，同樣可以找到在研究應(yīng)變問題時，同樣可以找到三個相互垂直的平面三個相互垂直的平面，在這些平面上在這

27、些平面上沒有剪應(yīng)變沒有剪應(yīng)變，將這些面稱為，將這些面稱為應(yīng)變主平面應(yīng)變主平面，而這，而這些平面的些平面的法線方向法線方向稱為稱為應(yīng)變主方向應(yīng)變主方向。對應(yīng)于該主方向的正應(yīng)。對應(yīng)于該主方向的正應(yīng)變稱為變稱為主應(yīng)變主應(yīng)變。 2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析33 一點的應(yīng)變狀態(tài)也可以用一點的應(yīng)變狀態(tài)也可以用張量張量表示，這時引進(jìn)符號表示，這時引進(jìn)符號 )(2121)(2121)(2121xwzuzvywyuxvzxzxyzyzxyxy（222）（書：（書：213） 則應(yīng)變張量為：則應(yīng)變張量為： zzyzxyzyyxxzxyxij（223）（書：（書：214） ijjiij

28、ijjiijij2,:而因式中的值得注意 通常通常稱為稱為“工程剪應(yīng)變工程剪應(yīng)變”zxyzxy,2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析34應(yīng)變張量還可以寫為：應(yīng)變張量還可以寫為： zzzyzxyzyyyxxzxyxxzzzyzxyzyyyxxzxyxxij222222 式中的不同符號可以交換使用，這就要看在某些特定用途中哪個哪個用起來更方便。2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析35下面分析如何確定主應(yīng)變：下面分析如何確定主應(yīng)變： 在直角坐標(biāo)系空間中取一微小線段在直角坐標(biāo)系空間中取一微小線段 ，設(shè)，設(shè)A點在點在x方向的位移為方向的位移為u，則有，則有

29、B點在點在x方向的位移為：方向的位移為： drAB 的高階項),(),(),(dzdydxdzzfdyyfdxxfzyxfdzzdyydxxfuBxyzoABdr圖圖2-8略去高階微量得：略去高階微量得： dzzwdyyvdxxuuuB顯然（或由全微分概念）有：顯然（或由全微分概念）有： dzzwdyyvdxxudu2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析36進(jìn)一步可寫成式（進(jìn)一步可寫成式（224）（書：）（書：215） dzxwzudyxvyudzxwzudyxvyudxxudu)(21)(21)(21)(21（224）（書：（書：215） 這里要注意的是：當(dāng)一個物體從一

30、個這里要注意的是：當(dāng)一個物體從一個位置變形到另一個空間位置（圖位置變形到另一個空間位置（圖29）時，）時，其中可能包括一部分剛體位移（平動或轉(zhuǎn)其中可能包括一部分剛體位移（平動或轉(zhuǎn)動），而這部分位移不引起形變，其實式動），而這部分位移不引起形變，其實式（224）中的）中的 和和 恰恰恰恰表示物體的微小剛性轉(zhuǎn)動。（表示物體的微小剛性轉(zhuǎn)動。（下頁圖下頁圖） )(21xvyu)(21xwzuxyzoABdr圖圖2-9AB2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析37AABBB B B點的三部分位移點的三部分位移 一般來說，對于可變形固體而言，與物體內(nèi)任一點A無限臨近的一點B的位移有三

31、個部分組成：1、隨同A點的一個平動位移，如圖中的 所示；2、繞A點的剛性轉(zhuǎn)動在B點所產(chǎn)生的位移，如圖中的 所示；3、由于A點臨近微元體的形狀變化在B點引起的位移，如圖 所示，這部分位移與應(yīng)變張量分量有關(guān)。BB BB BB 2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析38因此，當(dāng)考慮純變形時有：因此，當(dāng)考慮純變形時有： dzdydxdwdzdydxdvdzdydxduzzyzxyzyyxxzxyx（225）（書：）（書：216） 如果用張量表示，則為如果用張量表示，則為 )(zyxjidxdujiji、， 其中，其中，j 稱為稱為“啞標(biāo)啞標(biāo)”（表示求（表示求和）。和）。 現(xiàn)在取一

32、微小四面體現(xiàn)在取一微小四面體O123（圖（圖210），）， 為法線方向，設(shè)斜面為法線方向，設(shè)斜面123上上只有正應(yīng)變只有正應(yīng)變 （即主平面），則有：（即主平面），則有：dr2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析39并且并且 一定為要求的主應(yīng)變。一定為要求的主應(yīng)變。 dzdwdydvdxdurdrdrr（成比例是因為（成比例是因為 與與 方向一致）方向一致）dzdwdydvdxdu（書：（書：217） 代入式（代入式（225）（書：）（書：216）得出：（書：）得出：（書：218） 0)(0)(0)(dzdydxdzdydxdzdydxzzyzxyzyyxxzxyx（226

33、）（書：）（書：218） 2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析40若上式有非零解，必須有若上式有非零解，必須有“系數(shù)行列式為零系數(shù)行列式為零”，可得：，可得： 032213III（227）（書：）（書：219） 其中，其中， 為應(yīng)變第一、二、三不變量，且有：為應(yīng)變第一、二、三不變量，且有： 321,III)(4141)(2)(41222222322222221xyzzxyyzxzxyzxyzyxxyzzxyyzxzxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxzxyzxyxzzyyxzyxIII（228）（書：（書：220） 2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分

34、析應(yīng)變分析41若方程式（若方程式（227）可以因式分解，則應(yīng)有：）可以因式分解，則應(yīng)有： 0)()(321式中，式中， 為主應(yīng)變。為主應(yīng)變。用主應(yīng)變表示的應(yīng)變不變量將為：用主應(yīng)變表示的應(yīng)變不變量將為： 321，321313322123211III（書：（書：220） 在主應(yīng)變平面上，剪應(yīng)變?yōu)榱?。在主?yīng)變平面上，剪應(yīng)變?yōu)榱?。則由方程（則由方程（227）可以求出三個主應(yīng)變。）可以求出三個主應(yīng)變。 2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析42 增例1：已知物體中任意一點的位移分量如下式表示，試比較點A（1，2，3）與點B（0.5，-1，0）的最大伸長值（絕對值）。xyzwyzxv

35、zxyu33333333101 . 01010101 . 01005. 01051005. 0101 . 01010 解：利用幾何方程求得應(yīng)變分量為：xyzyzyx333101 . 0101 . 0101 . 0yzxzyxzxyzxy333333101 . 01005. 0101 . 0101 . 01005. 0101 . 02022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析43點A 的應(yīng)變分量值為：333101 . 0101 . 0101 . 0zyx331005. 001005. 0zxyzxy應(yīng)變不變量為：93623110001. 01001125. 0101 . 0III

36、；該點的主應(yīng)變值可由下式確定，即010001. 01001125. 0101 . 09623301125. 123xxx為計算方便，令 代入上式，得x4102022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析44以 代入上式，消去二項式，得31 yx。；1.364.4340.9310321yyy此方程的解為：0552. 046. 13yy由此得A點的主應(yīng)變?yōu)椋?。?33231100.103110.0767010.12460故點A的最大伸長的絕對值為310.12460 可以用獲可以用獲得的三個主得的三個主應(yīng)變之和是應(yīng)變之和是否等于第一否等于第一應(yīng)變不變量應(yīng)變不變量的值，檢驗的值，檢驗所得

37、結(jié)果是所得結(jié)果是否正確。否正確。2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析45 用同樣的方法可以求得點B的主應(yīng)變?yōu)椋?。?33231100.104510.0287010.08320故點B的最大伸長的絕對值為310.10450 由以上計算可知，點A最大伸長值大于點B 的最大伸長的絕對值。2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析46 增例2：已知物體中某點的應(yīng)變分量為：01004. 01015. 033zyx01012. 003zxyzxy試求該點的主應(yīng)變方向。解：首先計算應(yīng)變不變量，并解三次方程，求得主應(yīng)變值為。；333231100.083310.04330

38、10.150為求解主應(yīng)變方向，利用下列方程組：2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析470)(2121021)(2102121)(nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx將 代入上式，第一式自然滿足，其余兩個方程式為1015. 006. 0006. 019. 01111nmnm以上兩式的唯一解為 。為滿足 ，則有 。即 的方向余弦為（1，0，0）。011 nm1212121nml11l12022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析48將 代入方程組，得200433. 006. 0006. 00833. 001067. 022222nmnml 由第一

39、式得 。由二、三式可得 。再由 得 ，由該式求得 ，而 。即 的方向余弦為（0，0.585，0.811）。02l811. 0388. 122mn1222222nml1388. 122222mm585. 02m22388. 1mn 2同樣可求得 的方向余弦為（0，-0.811，0.585，）32022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析49 仿照應(yīng)力張量分解，仿照應(yīng)力張量分解，應(yīng)變張量應(yīng)變張量可以分解為與體積變化有可以分解為與體積變化有關(guān)的關(guān)的“球形應(yīng)變張量球形應(yīng)變張量”和與物體形狀變化有關(guān)的和與物體形狀變化有關(guān)的“應(yīng)變偏應(yīng)變偏量量”。利用書中（。利用書中（214）式可以分解為：

40、）式可以分解為： ijijijijee0其中球形應(yīng)變張量為：其中球形應(yīng)變張量為： 0000000000ij（230）（書：）（書：222） 一、應(yīng)變張量的分解一、應(yīng)變張量的分解2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析501321031)(31)(31Izyx應(yīng)變偏量應(yīng)變偏量 可寫為：可寫為： ije式中，式中， 為平均正應(yīng)變。為平均正應(yīng)變。 0000zzyzxyzyyxxzxyxzzyzxyzyyxxzxyxijeeeeeeeeee其中，其中， ， ， 稱為稱為“應(yīng)應(yīng)變偏量分量變偏量分量”?？蓪憺椋骸？蓪憺椋?0 xxe0yye0zze2022-5-25周書敬周書敬第二章第

41、二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析51323232000yxzzyzxyzzxyyxxzxyzyxzzyzxyzyyxxzxyxije（232）（書：）（書：223）2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析52若用主應(yīng)變表示應(yīng)變偏量，則有式（若用主應(yīng)變表示應(yīng)變偏量，則有式（233）（書：）（書：224）320003200032213312321ije（233）（書：（書：224） 三個坐標(biāo)平面三個坐標(biāo)平面為應(yīng)變主平面為應(yīng)變主平面在主應(yīng)變?yōu)樽鴺?biāo)的應(yīng)變空間中有：在主應(yīng)變?yōu)樽鴺?biāo)的應(yīng)變空間中有：011e022e033e 由應(yīng)變偏量張量的定義式（書由應(yīng)變偏量張量的定義式（書2-23）可）可見，它

42、是一個實對稱二階張量，因此，存在見，它是一個實對稱二階張量，因此，存在三個主值及其相應(yīng)的主方向?？梢宰C明，應(yīng)三個主值及其相應(yīng)的主方向。可以證明，應(yīng)變偏量張量的主方向與應(yīng)變張量的主方向一變偏量張量的主方向與應(yīng)變張量的主方向一致，而且它的主值致，而且它的主值e1，e2，e3與應(yīng)變張量的主與應(yīng)變張量的主應(yīng)變存在如左的關(guān)系。應(yīng)變存在如左的關(guān)系。2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析53注意：純剪應(yīng)變狀態(tài)的條件與純剪應(yīng)力狀態(tài)的條件相同，即純剪變形的必要且充分條件是 ，因此， 為純剪狀態(tài)且 與 有相同的主軸。00ijeijeij同樣，應(yīng)變偏量增量也存在三個不變量，它們分別表示為：)(

43、)()(61)(41)()()(61021323222122222222223211zxyzxyzxyzxyxzzyyxzyxJeeeeeeJ或當(dāng)用張量給出一點的應(yīng)變狀態(tài)時，需注意2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析543213eeeeeeeeeeeeJzzyzxyzyyxxzxyx其三次方程為：032213JeJeJe二、體積應(yīng)變二、體積應(yīng)變 在考慮塑性變形時，經(jīng)常采用在考慮塑性變形時，經(jīng)常采用“體積不變體積不變”假設(shè)，這時假設(shè)，這時球形應(yīng)變張量為零，應(yīng)變偏量等于應(yīng)變張量，即球形應(yīng)變張量為零，應(yīng)變偏量等于應(yīng)變張量，即“應(yīng)變分量應(yīng)變分量與應(yīng)變偏量的分量相等與應(yīng)變偏量的分

44、量相等”，這一假設(shè)，對于簡化計算來了方，這一假設(shè)，對于簡化計算來了方便。便。 現(xiàn)在我們來研究每單位體積的體積改變，即現(xiàn)在我們來研究每單位體積的體積改變，即體積應(yīng)變體積應(yīng)變。 2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析55 設(shè)有微小的正平行六面體，它的設(shè)有微小的正平行六面體，它的棱邊長度棱邊長度是：是： 變形前變形前它的體積為：它的體積為： 變形后變形后它的體積稱為：它的體積稱為： dzdydx，dxdydz)()(dzdzdydydxdxzyx因此，它的因此，它的體積應(yīng)變體積應(yīng)變?yōu)椋簽椋?zyxyxxzzyzyxzyxzyxdxdydzdxdydzdzdzdydydxdxVV

45、1)1)(1)(1 ()()(對于對于小應(yīng)變（忽略高階微量）小應(yīng)變（忽略高階微量）有：有： 驗證體積不變假設(shè)的成立驗證體積不變假設(shè)的成立2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析56zwyvxuzyx（234） 由此則有：由此則有： 103Izyx 顯然，顯然，若體積不變，則必有球形應(yīng)變張量為零成立若體積不變，則必有球形應(yīng)變張量為零成立，且，且有有 。ijije在主應(yīng)變空間在主應(yīng)變空間： 1)1)(1)(1 (321VV對于對于小應(yīng)變小應(yīng)變有：有： 103213IVV2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析571 1、主剪應(yīng)變（工程主剪應(yīng)變）、主剪應(yīng)變（工

46、程主剪應(yīng)變） )()()(213132321（235）（書：）（書：225） 三、相關(guān)結(jié)論三、相關(guān)結(jié)論 與應(yīng)力分析類似。在應(yīng)變分析中也有一些相應(yīng)的公式，與應(yīng)力分析類似。在應(yīng)變分析中也有一些相應(yīng)的公式，下面給出有關(guān)結(jié)論：下面給出有關(guān)結(jié)論：如果如果 ，則，則最大剪應(yīng)變最大剪應(yīng)變?yōu)椋簽椋?2131max（236）（書：）（書：226） 2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析58（1 1）等傾面等傾面（或稱八面體面）的（或稱八面體面）的剪應(yīng)變剪應(yīng)變?yōu)闉?，則有：，則有： 021212212132322322210)3(322)()()(3232II（237）（書：）（書：227）

47、 2、八面體應(yīng)變（正應(yīng)變、剪應(yīng)變） 對任意一組坐標(biāo)軸對任意一組坐標(biāo)軸x，y，z的應(yīng)變分量的八面體剪應(yīng)變可寫為：的應(yīng)變分量的八面體剪應(yīng)變可寫為：21222222212222220)(23)()()(32)(6)()()(32zxyxxyxzzyyxzxyxxyxzzyyx2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析59321，單向拉伸情況單向拉伸情況：可得：可得 000000ij此時的此時的應(yīng)變張量應(yīng)變張量為：為： 平均應(yīng)變平均應(yīng)變?yōu)闉? )21 (3)(3132103 3、單向拉抻時的應(yīng)變、單向拉抻時的應(yīng)變 （2 2）等傾面等傾面（或稱八面體面）的（或稱八面體面）的正應(yīng)變正應(yīng)變

48、為為 ，則有：，則有： 01321031)(31I（三個主應(yīng)變的平均值）2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析60應(yīng)變偏量的分量應(yīng)變偏量的分量為：為： )1 (31)1 (31)1 (32033022011eee（書：（書：228） 球形應(yīng)變張量球形應(yīng)變張量為：為： )21 (3000)21 (3000)21 (30ij2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析61應(yīng)變偏量應(yīng)變偏量為：為： )1 (31000)1 (31000)1 (32ije 在以主應(yīng)變在以主應(yīng)變 為坐標(biāo)軸的為坐標(biāo)軸的主應(yīng)變空間主應(yīng)變空間內(nèi)討論。內(nèi)討論。321，4 4、應(yīng)變強(qiáng)度（等效應(yīng)

49、變）、應(yīng)變強(qiáng)度（等效應(yīng)變） 213232221)()()(32iie（239）（書：（書：230）當(dāng)體積不可壓縮時，令當(dāng)體積不可壓縮時，令 ， 稱為稱為應(yīng)變強(qiáng)度應(yīng)變強(qiáng)度或或等效應(yīng)變等效應(yīng)變。 iiei 這里之所以不稱這里之所以不稱 為應(yīng)變強(qiáng)度，而又引進(jìn)符號為應(yīng)變強(qiáng)度，而又引進(jìn)符號 ，是因，是因為要與應(yīng)力分析中的情況相一致。為要與應(yīng)力分析中的情況相一致。 iei2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析625 5、應(yīng)變率、應(yīng)變率 應(yīng)變率：在變形過程中，應(yīng)變率：在變形過程中，單位時間中應(yīng)變值的增量單位時間中應(yīng)變值的增量稱為稱為“應(yīng)變率應(yīng)變率”。即：。即： t （241）（書：）（

50、書：231） 根據(jù)小變形的幾何關(guān)系，可得根據(jù)小變形的幾何關(guān)系，可得應(yīng)變率分量應(yīng)變率分量：即：即：應(yīng)變率應(yīng)變率分量等于位移率分量對相應(yīng)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)，也等于應(yīng)變分量分量等于位移率分量對相應(yīng)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)，也等于應(yīng)變分量對時間的偏導(dǎo)數(shù)對時間的偏導(dǎo)數(shù)。 見書中解釋。見書中解釋。 2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析63txvywtzwtywzvtyvtxvyutxuxyzxzzyzyzyyxyxyxx（242）（書：（書：234） 增加：關(guān)于應(yīng)變率的推導(dǎo)增加：關(guān)于應(yīng)變率的推導(dǎo) 在小變形的條件下，設(shè)物體內(nèi)任一點速度在坐標(biāo)軸上在小變形的條件下，設(shè)物體內(nèi)任一點速度在坐標(biāo)軸上的投影為：的

51、投影為：),(tzyxVVyy),(tzyxVVxx),(tzyxVVzz2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析64其中其中,tvVytuVxtwVz 此處用到此處用到“小變形小變形”假設(shè)：即在小變形條件下，（假設(shè)：即在小變形條件下，（a a）物體）物體內(nèi)各點的位置坐標(biāo)因變形而有的改變可以忽略不計，即內(nèi)各點的位置坐標(biāo)因變形而有的改變可以忽略不計，即初始位初始位置與瞬時位置坐標(biāo)可以不加區(qū)別置與瞬時位置坐標(biāo)可以不加區(qū)別；（；（b b）此處，還可以略去物體）此處，還可以略去物體內(nèi)各點的位移梯度分量的影響，內(nèi)各點的位移梯度分量的影響，用對時間的偏導(dǎo)數(shù)代替全導(dǎo)數(shù)用對時間的偏導(dǎo)數(shù)代替

52、全導(dǎo)數(shù)。應(yīng)變率分量用符號表示為：應(yīng)變率分量用符號表示為：zxyzxyzyx,則有：則有：txutuxxuttVxxx)()(類推得（書中類推得（書中2-342-34）式，與應(yīng)變張量相似，可得）式，與應(yīng)變張量相似，可得應(yīng)變率張量應(yīng)變率張量。2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析65 在塑性力學(xué)中經(jīng)常使用應(yīng)變增量的概念。實驗證明，在塑性力學(xué)中經(jīng)常使用應(yīng)變增量的概念。實驗證明，靜靜力學(xué)中塑性變形規(guī)律和時間因素是沒有關(guān)系的，此處力學(xué)中塑性變形規(guī)律和時間因素是沒有關(guān)系的，此處dtdt并不并不代表時間，因此，用應(yīng)變增量來代替應(yīng)變率往往更能表示塑代表時間，因此，用應(yīng)變增量來代替應(yīng)變率往

53、往更能表示塑性靜力學(xué)應(yīng)變不受時間參數(shù)影響的特點性靜力學(xué)應(yīng)變不受時間參數(shù)影響的特點。 即：通常使用的不即：通常使用的不是應(yīng)變率張量，而是在是應(yīng)變率張量，而是在時間步長時間步長 或或dtdt 內(nèi)的應(yīng)內(nèi)的應(yīng)變增量。變增量。t應(yīng)變增量應(yīng)變增量： d6 6、應(yīng)變增量、應(yīng)變增量2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析66 有了應(yīng)變增量的概念，則可描述應(yīng)變成比例變化或不成有了應(yīng)變增量的概念，則可描述應(yīng)變成比例變化或不成比例變化時的規(guī)律。比例變化時的規(guī)律。7 7、應(yīng)變強(qiáng)度增量、應(yīng)變強(qiáng)度增量 在比例變形的條件下，在比例變形的條件下， 在應(yīng)變空間是一條直線，在應(yīng)變空間是一條直線，而當(dāng)各應(yīng)變分量

54、的變化不成而當(dāng)各應(yīng)變分量的變化不成比例時，在三個坐標(biāo)軸互成比例時，在三個坐標(biāo)軸互成120角的坐標(biāo)中，角的坐標(biāo)中， 將是將是一條折線或曲線，如圖一條折線或曲線，如圖217（書（書P63）。）。ii2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析67 如果變形過程是兩條折線組成的，則這一情況表示兩個比如果變形過程是兩條折線組成的，則這一情況表示兩個比例變形的過程。例變形的過程。 當(dāng)變形由曲線表示時，則可認(rèn)為變形過程的總應(yīng)變強(qiáng)度等當(dāng)變形由曲線表示時，則可認(rèn)為變形過程的總應(yīng)變強(qiáng)度等于曲線的總長度，即應(yīng)變強(qiáng)度于曲線的總長度，即應(yīng)變強(qiáng)度 不僅與初始應(yīng)變狀態(tài)和最終不僅與初始應(yīng)變狀態(tài)和最終應(yīng)變狀態(tài)

55、有關(guān)，而且還與應(yīng)變歷史即變形過程有關(guān)。應(yīng)變狀態(tài)有關(guān)，而且還與應(yīng)變歷史即變形過程有關(guān)。 i 由圖由圖217可見，應(yīng)變強(qiáng)度增量可見，應(yīng)變強(qiáng)度增量 與應(yīng)變增量分量與應(yīng)變增量分量 ， 和和 有關(guān)。有關(guān)。id1d2d3d213232221)()()(32dddddddi（243）（書：）（書：236） 注：注： 的表達(dá)式中，只有簡單加載條件下才有的表達(dá)式中，只有簡單加載條件下才有 idiid2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析68 此式即為此式即為應(yīng)變強(qiáng)度增量應(yīng)變強(qiáng)度增量的表達(dá)式，的表達(dá)式，它是各應(yīng)變分量增量的它是各應(yīng)變分量增量的函數(shù)函數(shù)。 在塑性力學(xué)中，當(dāng)在塑性力學(xué)中，當(dāng)應(yīng)變較

56、大應(yīng)變較大時，需采用另外一種表示應(yīng)變時，需采用另外一種表示應(yīng)變的方法的方法。 8、工程應(yīng)變、工程應(yīng)變 有一截面為有一截面為 而長度為而長度為 的受拉構(gòu)件，在某一時刻其長的受拉構(gòu)件，在某一時刻其長度達(dá)到度達(dá)到 而截面積為而截面積為 ，且桿件伸長量為，且桿件伸長量為 ，則應(yīng)變增量及，則應(yīng)變增量及應(yīng)變的表達(dá)方法如下：應(yīng)變的表達(dá)方法如下： 0A0llAdl工程應(yīng)變工程應(yīng)變：假設(shè)兩質(zhì)點相距：假設(shè)兩質(zhì)點相距 ，變形后為，變形后為 ，則有工程應(yīng)，則有工程應(yīng)變表達(dá)式（變表達(dá)式（244）：）： 0ll2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析691000lllll（244） 10ll 對數(shù)應(yīng)變

57、：設(shè)某瞬時的應(yīng)變增量為對數(shù)應(yīng)變：設(shè)某瞬時的應(yīng)變增量為 ，積分后得，積分后得到對數(shù)應(yīng)變的表達(dá)式（到對數(shù)應(yīng)變的表達(dá)式（245）：）： ldld0*ln0llldlll（245）（書：）（書：237） )1ln(ln0*ll（246）（書：）（書：238） 顯然有對數(shù)應(yīng)變和工程應(yīng)變之間的關(guān)系為：顯然有對數(shù)應(yīng)變和工程應(yīng)變之間的關(guān)系為：2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析70截面收縮率截面收縮率 ： 0001AAAAA（247） 10AA其中其中A0為初始時截面面積，為初始時截面面積，A為某一時刻的截面面積。為某一時刻的截面面積。 若材料為不可壓縮，則有：若材料為不可壓縮，則有：

58、 llAA00（ ） )1ln(e1 或或 （248） )1ln(*e1不同應(yīng)變指數(shù)之間的關(guān)系不同應(yīng)變指數(shù)之間的關(guān)系見書中表見書中表2-2（P65）2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析71增例3：給定一點的應(yīng)變張量ij00200. 0000785. 00000785. 000100. 000000100. 0ij計算：（a）主應(yīng)變 、 和 ； （b）最大剪應(yīng)變 ； （c）八面體應(yīng)變 和 。001max32解：（a）計算應(yīng)變不變量，求主應(yīng)變。0)00200. 0()00100. 0()00100. 0(1 I2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析72

59、62221062. 3)00100. 0()00200. 0()00100. 0()000785. 0()00200. 0()00100. 0( I931062. 200200. 0000785. 00000785. 000100. 000000100. 0 I特征方程變?yōu)?1062. 21062. 3963或00119. 000100. 000219. 0321，求得三個主應(yīng)變?yōu)?(321按0)1062. 200100. 0)(10(6232022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析73校核：用 、 和 的值代入三個不變量的表達(dá)式，以校核所得結(jié)果。12303211I61332

60、2121062. 3I932131062. 2I（b）計算最大剪應(yīng)變 。max00338. 000119. 000219. 031max（c）八面體應(yīng)變 和 。00031)(3113210I2022-5-25周書敬周書敬第二章第二章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析7400311. 0)1026. 3(30322)3(322)()()(3221621212212132320II增例4：一點的應(yīng)變狀態(tài)由給定的應(yīng)變張量 表示ij001. 0000001. 0004. 00004. 0005. 0ij確定：（a）應(yīng)變偏量張量 ； （b）應(yīng)變偏量不變量 和 ； （c）單位體積的體積變化（膨脹） 。ije3J2J202