復數(shù)的加減法運算及其幾何意義

1、預備知識預備知識 一、復數(shù)的幾何意義一、復數(shù)的幾何意義 （1 1）復數(shù)）復數(shù)z=a+biz=a+bi與復平面內(nèi)點與復平面內(nèi)點Z(a,b)Z(a,b)一一對應；一一對應； （2 2）復數(shù)）復數(shù)z=a+biz=a+bi與平面向量與平面向量 一一對應；一一對應；（其中（其中O O是原點，是原點，Z Z是復數(shù)是復數(shù)z z所對應的點）所對應的點）OZ二、平面向量的加減法二、平面向量的加減法平行四邊形法則、三角形法則平行四邊形法則、三角形法則復數(shù)的加法法則復數(shù)的加法法則規(guī)定：規(guī)定：(a+bi)+(c+di(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i)=(a+c)+(b+d)i1 1、(1+2i)+

2、(-2+3i)=(1+2i)+(-2+3i)=口算：口算：2 2、(-2+3i)+(1+2i)=(-2+3i)+(1+2i)=3 3、(-2+3i)+(1+2i)+(3+4i)(-2+3i)+(1+2i)+(3+4i)= =4 4、(-2+3i)+(1+2i)+(3+4i)(-2+3i)+(1+2i)+(3+4i)= =-1+5i-1+5i(-1+5i)+(3+4i)= 2+9i(-2+3i)+(4+6i) = 2+9i（1 1）兩個復數(shù)的和仍是一個復數(shù)。）兩個復數(shù)的和仍是一個復數(shù)。（2 2）復數(shù)的加法法則滿足交換律、結(jié)合律。）復數(shù)的加法法則滿足交換律、結(jié)合律。說明：說明：探究：復數(shù)加法的幾何

3、意義探究：復數(shù)加法的幾何意義復數(shù)可以用向量表示，如果與這些復數(shù)對應復數(shù)可以用向量表示，如果與這些復數(shù)對應的向量不共線，那么這些復數(shù)的加法就可以的向量不共線，那么這些復數(shù)的加法就可以按照向量的平行四邊形法則來進行。按照向量的平行四邊形法則來進行。Z1(a,b)Z2(c,d)ZOyxOZ =(a,b)+(c,d)1OZ 2OZ =(a+c,b+d)對應復數(shù)對應復數(shù)(a+c)+(b+d)i復數(shù)的減法復數(shù)的減法法則：法則：（a+bia+bi）- -（c+dic+di）= =（a-ca-c）+ +（b-db-d）i i注：兩個復數(shù)的差是仍為復數(shù)。注：兩個復數(shù)的差是仍為復數(shù)?？谒悖嚎谒悖?1+2i) -

4、-(- -2+3i) = 3 - i探究：類比復數(shù)加法的幾何意義，看看探究：類比復數(shù)加法的幾何意義，看看復數(shù)減法的幾何意義是什么復數(shù)減法的幾何意義是什么. .Z1(a,b)Z2(c,d)OyxZz1-z2兩個復數(shù)相加（減）就是分別把實部、虛部對兩個復數(shù)相加（減）就是分別把實部、虛部對應相加（減），得到一個新的復數(shù)，即應相加（減），得到一個新的復數(shù)，即(a+bi) (a+bi) (c+di (c+di) = (a) = (ac) + (bc) + (bd)id)i總結(jié)總結(jié)例題講解例題講解例例1 1： 計算（計算（5 - 6i5 - 6i）+ +（-2 - i-2 - i）- -（3 + 4i3

5、+ 4i）例例2 2：設(shè)：設(shè) z z1 1 = -2 + 5i = -2 + 5i ，z z2 2 = 3 + 2i= 3 + 2i， 計算計算21zz （5 2 - 35 2 - 3）+ +（-6 1 - 4-6 1 - 4）i = -11ii = -11i（-2 + 5i-2 + 5i）- -（3 - 2i3 - 2i）= =-5 + 7i-5 + 7i3.3.互為共軛復數(shù)的兩個復數(shù)之和一定為實數(shù)互為共軛復數(shù)的兩個復數(shù)之和一定為實數(shù)4.互為共軛復數(shù)的兩個復數(shù)之互為共軛復數(shù)的兩個復數(shù)之差一定為虛數(shù)差一定為虛數(shù)2.2.實數(shù)與實數(shù)相加為實數(shù)，實數(shù)與實數(shù)相加為實數(shù)， 虛數(shù)與虛數(shù)相加為虛數(shù)虛數(shù)與虛數(shù)

6、相加為虛數(shù)判斷正誤：錯誤的請舉出反例判斷正誤：錯誤的請舉出反例1.實數(shù)與虛數(shù)相加一定為虛數(shù)實數(shù)與虛數(shù)相加一定為虛數(shù)正確正確錯誤錯誤正確正確錯誤錯誤復平面內(nèi)點復平面內(nèi)點A A、B B分別對應復數(shù)分別對應復數(shù) z zA A= =2-3i 2-3i 和和 z zB B= =-3+2i -3+2i ，則向量，則向量 對應的復數(shù)是對應的復數(shù)是BA5 - 5i一講一練一講一練1：OAOB BA 另解：其對應復數(shù)另解：其對應復數(shù) 5-5i=(2-3i)-(-3+2i)5-5i=(2-3i)-(-3+2i)分析：分析：)5, 5()2 , 3()3, 2( 一講一練一講一練1：1-7i1-7iz zB B -

7、 z- zA A復平面內(nèi)點復平面內(nèi)點A A、B B分別對應復數(shù)分別對應復數(shù) z zA A=2=2+5i +5i 和和 z zB B= =3-2i 3-2i ，則向量，則向量 對應的復數(shù)是對應的復數(shù)是AB復平面內(nèi)點復平面內(nèi)點A A、B B分別對應復數(shù)分別對應復數(shù) z zA A 和和 z zB B ，則向量則向量 對應的復數(shù)是對應的復數(shù)是AB結(jié)論結(jié)論1：復平面內(nèi)點復平面內(nèi)點A A、B B對應的復數(shù)分別為對應的復數(shù)分別為 z zA A=3+2i =3+2i 和和 z zB B= -2+4i= -2+4i，則，則A A、B B間的距離是間的距離是292)5(|25| )23()42( |22 iii一

8、講一練一講一練2：29)4 , 2(),2 , 3( BA29)42()23(|22 AB分析：分析：|ABzz | AB另解：另解：復平面內(nèi)點復平面內(nèi)點A A、B B對應的復數(shù)分別為對應的復數(shù)分別為 z zA A=6+i =6+i 和和 z zB B= 2-2i= 2-2i，則，則A A、B B間的距離是間的距離是一講一練一講一練2：5 5結(jié)論結(jié)論2：復平面內(nèi)點復平面內(nèi)點A A、B B對應的復數(shù)分別為對應的復數(shù)分別為 z zA A、z zB B，則則A A、B B間的距離是間的距離是|BAzz 1.1.根據(jù)復數(shù)的幾何意義根據(jù)復數(shù)的幾何意義, ,滿足條件滿足條件 的復數(shù)的復數(shù)z z在復平面上對

9、應的點的軌跡是在復平面上對應的點的軌跡是1| )1(| iz2. 2. 滿足條件滿足條件 的復數(shù)的復數(shù)z z在復在復平面上對應平面上對應的點的點的軌跡是的軌跡是2| )32(| iz一講一練一講一練3：以（以（1 1，1 1）為圓心，半徑為）為圓心，半徑為1 1的圓周的圓周以（以（2 2，3 3）為圓心，半徑為）為圓心，半徑為2 2的圓周的圓周思考：你能歸納推導出一個更一般的結(jié)論嗎？思考：你能歸納推導出一個更一般的結(jié)論嗎？以（以（a a，b b）為圓心，半徑為）為圓心，半徑為r r的圓周的圓周滿足條件滿足條件 的復的復數(shù)數(shù)z z在復平面上對應在復平面上對應的點的點的軌跡是的軌跡是)0(| )(

10、| rrbiaz結(jié)論結(jié)論3：思考：復數(shù)思考：復數(shù)z z滿足條件滿足條件 ，則，則的最大值是的最大值是3|iz|2|iz 4小結(jié)小結(jié) 類比思想：類比思想：（代數(shù)角度）與實數(shù)之間的類比：復數(shù)的加減（代數(shù)角度）與實數(shù)之間的類比：復數(shù)的加減運算遵循實數(shù)運算的運算律和運算順序；運算遵循實數(shù)運算的運算律和運算順序；（幾何意義）與向量的概念、運算之間的類比。（幾何意義）與向量的概念、運算之間的類比。 數(shù)形結(jié)合：利用復數(shù)的幾何意義解決距離、數(shù)形結(jié)合：利用復數(shù)的幾何意義解決距離、軌跡等的問題。軌跡等的問題。性質(zhì)性質(zhì)平面向量平面向量復數(shù)復數(shù)模模大小的比較大小的比較不能比較大小不能比較大小模可以比較大小?？梢员容^大小幾何意義幾何意義與坐標平面與坐標平面的點一一對應的點一一對應加法運算加法運算減法運算減法運算22ba模為b)的向量(a, d)bc,(ad)(c,b)(a, d)