第4章剛體轉(zhuǎn)動(dòng)

1、主講教師：喻秋山長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-272 一一 理解理解描寫(xiě)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度和描寫(xiě)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度和角加速度的物理意義，并掌握角量與線量角加速度的物理意義，并掌握角量與線量的關(guān)系的關(guān)系 二二 理解理解力矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量概念，掌握力矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量概念，掌握剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理 三三 理解理解角動(dòng)量概念，掌握角動(dòng)量定角動(dòng)量概念，掌握角動(dòng)量定律，并能處理一般質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)以及律，并能處理一般質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)以及剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情況下的角動(dòng)量守恒問(wèn)題剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情況下的角動(dòng)量守恒問(wèn)題. .4-0 4-0 教學(xué)基本要求教學(xué)基本要求

2、長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-273 能運(yùn)用以上規(guī)律分析和解決包括質(zhì)點(diǎn)能運(yùn)用以上規(guī)律分析和解決包括質(zhì)點(diǎn)和剛體的簡(jiǎn)單系統(tǒng)的力學(xué)問(wèn)題和剛體的簡(jiǎn)單系統(tǒng)的力學(xué)問(wèn)題 四四 理解理解剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能概剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能概念，能在有剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的問(wèn)題中正確念，能在有剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的問(wèn)題中正確地應(yīng)用機(jī)械能守恒定律地應(yīng)用機(jī)械能守恒定律4-0 4-0 教學(xué)基本要求教學(xué)基本要求長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2744-1 4-1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-275 剛體剛體：

3、在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體(理想模型理想模型) . （任意兩（任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的特殊質(zhì)點(diǎn)組質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的特殊質(zhì)點(diǎn)組）平平 動(dòng)動(dòng) 剛體任意兩點(diǎn)的連線保持方向不變。各點(diǎn)的 相同，可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)處理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體每點(diǎn)繞同一軸線作圓周運(yùn)動(dòng)，且轉(zhuǎn)軸空間位置及方向不變。平面運(yùn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng) 剛體質(zhì)心限制在一平面內(nèi)，轉(zhuǎn)軸可平動(dòng)，但始終垂直于該平面且通過(guò)質(zhì)心定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)定點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 剛體上各質(zhì)點(diǎn)都以某一定點(diǎn)為球心的各個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)。一般運(yùn)動(dòng)一般運(yùn)動(dòng) 復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)與平動(dòng)的混合。一一 剛體的平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教

4、程2022-5-272022-5-276 剛體平動(dòng)剛體平動(dòng) 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)平動(dòng)：平動(dòng)：剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都保持完全剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都保持完全相同相同特點(diǎn)：特點(diǎn)：各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一樣，如：一樣，如： 等等都相同都相同a、v剛體平動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律相同。剛體平動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律相同。長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-277轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)：分分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng)非定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的剛體的平面運(yùn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng) 長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-278剛體的一般運(yùn)動(dòng)剛體的一般運(yùn)動(dòng)可看作：可看作：隨質(zhì)心的平動(dòng)

5、隨質(zhì)心的平動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)+的合成的合成長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-279定軸轉(zhuǎn)動(dòng)參量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)參量剛體轉(zhuǎn)軸1. 角位置角位置轉(zhuǎn)動(dòng)平面（包含p并與轉(zhuǎn)軸垂直）(t)(t+t)參考方向剛體中任一點(diǎn)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程的運(yùn)動(dòng)方程2. 角位移角位移3. . 角速度角速度常量靜止勻角速變角速4. 角加速度角加速度變角加速常量 勻角加速勻角速用矢量表用矢量表示示 或或 時(shí)，它們時(shí)，它們與與 剛體的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)方向轉(zhuǎn)動(dòng)方向采用右螺采用右螺旋定則旋定則 長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2710定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體在某時(shí)刻t 的瞬時(shí)

6、角速度為 ，瞬時(shí)角加速度 ，剛體中一質(zhì)點(diǎn)P至轉(zhuǎn)軸的距離為r質(zhì)點(diǎn)P 的大小 瞬時(shí)線速度瞬時(shí)線速度瞬時(shí)切向加速度瞬時(shí)切向加速度瞬時(shí)法向加速度瞬時(shí)法向加速度這是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中這是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中線量線量與與角量角量的基本關(guān)系的基本關(guān)系長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2711質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)直線直線運(yùn)動(dòng)或剛體運(yùn)動(dòng)或剛體平動(dòng)平動(dòng)剛體的剛體的定軸定軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度位移位移角位移角位移勻速直線運(yùn)動(dòng)勻速直線運(yùn)動(dòng)勻角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)勻角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)勻變速直線運(yùn)動(dòng)勻變速直線運(yùn)動(dòng)勻變角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)勻變角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022

7、-5-2712 例例1在高速旋轉(zhuǎn)的微型電動(dòng)機(jī)里，有在高速旋轉(zhuǎn)的微型電動(dòng)機(jī)里，有一圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面并通過(guò)中心一圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面并通過(guò)中心的轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)開(kāi)始起動(dòng)時(shí)，角速度為零起的轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)開(kāi)始起動(dòng)時(shí)，角速度為零起動(dòng)后其轉(zhuǎn)速隨時(shí)間變化關(guān)系為：動(dòng)后其轉(zhuǎn)速隨時(shí)間變化關(guān)系為： 式中式中 求求：( (1) )t= =6 s時(shí)電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速時(shí)電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速( (2) )起動(dòng)后，起動(dòng)后，電動(dòng)電動(dòng)機(jī)在機(jī)在 t= =6 s時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)( (3) )角加速度角加速度隨時(shí)間變化的規(guī)律隨時(shí)間變化的規(guī)律)e1 (/tm，s0 . 2sr5401m長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-2

8、72022-5-2713( (2) ) 電動(dòng)機(jī)在電動(dòng)機(jī)在6 s內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)為內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)為解解 ( (1) ) 將 t=6 s 代入代入1sr513950m.)e1 (/tm( (3) ) 電動(dòng)機(jī)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為22/srade540eddttmtr1021. 23ttNtmd)e1 (d60/60長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2714長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2715質(zhì)質(zhì) 點(diǎn)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)定律或剛體平動(dòng)剛體平動(dòng)F = m a慣性質(zhì)量慣性質(zhì)量合合 外外 力力合加速度合加速度0, 0iiiiMFFF0, 0i

9、iiiMFFF力矩力矩長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2716 外力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面上對(duì)轉(zhuǎn)外力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面上對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩使剛體發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)軸的力矩使剛體發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)M = r F111力矩切向1F FrM叉乘右螺旋1M2MM = r F222M = r F sin j j222大小大小2r2=2F d2=2F1M2M合外力矩=M+d22F大小大小M=d11F=r22F r11F r1=1F M = r F sin j j111大小大小1d1=1Fj j1d1r1F1P1OF2r22F P2j j2d2切向方向方向長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2

10、717 例例1 有一大型水壩高有一大型水壩高110 m、長(zhǎng)、長(zhǎng)1 000 m ,水深水深100m，水面與大壩表面垂直，如圖所水面與大壩表面垂直，如圖所示示. 求作用在大壩上的力，以及這個(gè)力對(duì)通求作用在大壩上的力，以及這個(gè)力對(duì)通過(guò)大壩基點(diǎn)過(guò)大壩基點(diǎn) Q 且與且與 x 軸平行的力矩軸平行的力矩 .QyOxyOhxL變力情況下的力矩求解：變力情況下的力矩求解：長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2718 解解 設(shè)水深設(shè)水深h，壩長(zhǎng)，壩長(zhǎng)L，在壩面上取面積，在壩面上取面積元元 ，作用在此面積元上的力，作用在此面積元上的力yLAdd ypLApFdddyOhxyAdydQyO

11、xL長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2719)(0yhgpp令大氣壓為令大氣壓為 ，則，則 0pyLyhgpAPFd)(dd0hyLyhgpF00d)(代入數(shù)據(jù)，得代入數(shù)據(jù)，得N1091. 510FyOhxyAdyd2021gLhLhpL長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2720QyOyydFdhFyMdd 對(duì)通過(guò)點(diǎn)對(duì)通過(guò)點(diǎn)Q的軸的力矩的軸的力矩FdyLyhgpFd)(d0hyLyhgpyM00d)(3206121LhgLhp代入數(shù)據(jù)，得：代入數(shù)據(jù)，得：mN1014212 .M長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-27202

12、2-5-2721某質(zhì)元fi同時(shí)受內(nèi)力受外力FiFi+ f=aii其法向其法向 n 分量分量均均通過(guò)通過(guò)轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)軸，不產(chǎn)生不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)力矩。轉(zhuǎn)動(dòng)力矩。 其切向投影式為ij jFisin+if sinq qi =ai=ri nFiOrifiij jq qi瞬時(shí)瞬時(shí)角速度角速度角加速度角加速度瞬時(shí)瞬時(shí)等式兩邊乘以 ri 并對(duì)所有質(zhì)元及其所受力矩求和=內(nèi)力矩成對(duì)抵消內(nèi)力矩成對(duì)抵消= 0+riifsinq qiiFij jsinri合外力矩合外力矩 M ri得得M ri=長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2722M ri=與剛體性質(zhì)及質(zhì)量分布有與剛體性質(zhì)及質(zhì)量分布有關(guān)的物理量

13、，用關(guān)的物理量，用 表示表示稱為稱為 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律:即表明：表明：剛體所獲得的角加速度剛體所獲得的角加速度 的大小的大小與剛體受到的合外力矩與剛體受到的合外力矩 的大小成正比，的大小成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 成反比。成反比。 nFiOrifiij jq qi瞬時(shí)角速度角加速度瞬時(shí)長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2723M =J將剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律將剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)定律與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)定律F=am對(duì)比：對(duì)比： 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 是剛體是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度JJ 與剛體的與剛體的質(zhì)量質(zhì)量、形狀形狀、大小大小及及

14、質(zhì)量對(duì)轉(zhuǎn)軸的分布質(zhì)量對(duì)轉(zhuǎn)軸的分布情況有關(guān)情況有關(guān)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體用積分求質(zhì)量連續(xù)分布的剛體用積分求JJJ的單位為的單位為長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2724（2）質(zhì)量連續(xù)分布的剛體）質(zhì)量連續(xù)分布的剛體細(xì)棒細(xì)棒勻直細(xì)桿對(duì)中垂軸的勻直細(xì)桿對(duì)中垂軸的勻直細(xì)桿對(duì)端垂軸的勻直細(xì)桿對(duì)端垂軸的質(zhì)心新軸質(zhì)心軸平行移軸定理平行移軸定理對(duì)對(duì)新軸新軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量新軸新軸對(duì)心軸的平移量對(duì)心軸的平移量例如：例如：時(shí)時(shí)代入可得代入可得端長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2725勻質(zhì)薄圓盤對(duì)心垂軸的勻質(zhì)薄圓盤對(duì)心

15、垂軸的 取半徑為取半徑為 微寬為微寬為 的窄環(huán)帶的質(zhì)量為質(zhì)元的窄環(huán)帶的質(zhì)量為質(zhì)元長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2726勻質(zhì)矩形薄板勻質(zhì)矩形薄板轉(zhuǎn)軸通過(guò)中轉(zhuǎn)軸通過(guò)中心垂直板面心垂直板面J = (a + b ) 22m12勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)轉(zhuǎn)軸通過(guò)中轉(zhuǎn)軸通過(guò)中心垂直環(huán)面心垂直環(huán)面J = m R 2勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)轉(zhuǎn)軸沿著轉(zhuǎn)軸沿著環(huán)的直徑環(huán)的直徑2J =2m R勻質(zhì)厚圓筒勻質(zhì)厚圓筒轉(zhuǎn)軸沿幾何軸轉(zhuǎn)軸沿幾何軸J = (R1 + R2 ) 22m2勻質(zhì)圓柱體勻質(zhì)圓柱體轉(zhuǎn)軸通過(guò)中心轉(zhuǎn)軸通過(guò)中心垂直于幾何軸垂直于幾何軸mJ = R + 22m124L勻質(zhì)薄球殼勻質(zhì)薄球殼

16、轉(zhuǎn)軸通過(guò)球心轉(zhuǎn)軸通過(guò)球心2J =2m R3長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2727竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？ 飛輪的質(zhì)量為什么飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？大都分布于外輪緣？長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2728例例2： 有有A、B兩個(gè)半徑相同兩個(gè)半徑相同,質(zhì)量相同的細(xì)質(zhì)量相同的細(xì)圓環(huán)圓環(huán).A環(huán)的質(zhì)量均勻分布環(huán)的質(zhì)量均勻分布,B環(huán)的質(zhì)量不均勻分環(huán)的質(zhì)量不均勻分布布,設(shè)它們對(duì)過(guò)環(huán)心的中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為設(shè)它們對(duì)過(guò)環(huán)心的中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為IA和和I B,則有：則有：(A) IAIB.(B) IAIB.

17、(C) 無(wú)法確定哪個(gè)大無(wú)法確定哪個(gè)大.(D) IAIB.長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2729穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開(kāi)始繞鉸鏈桿將在重力作用下由靜止開(kāi)始繞鉸鏈O 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直線成動(dòng)試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直線成 角時(shí)角時(shí)的角加速度和角速度的角加速度和角速度q例例3一長(zhǎng)為一長(zhǎng)為 l 、質(zhì)量質(zhì)量為為 m 勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈其下端與一固定鉸鏈O相相接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng)接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng)由于由于此豎直放置的細(xì)桿處于非此豎直放置的細(xì)桿處于非m,lOmg長(zhǎng)江大

18、學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2730 解解 細(xì)桿受重力和細(xì)桿受重力和鉸鏈對(duì)細(xì)桿的約束力鉸鏈對(duì)細(xì)桿的約束力 作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得NFqJmglsin21式中式中231mlJ 得得qsin23lgNFm,lOmg長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2731ttdddddd由角加速度的定義由角加速度的定義對(duì)上式積分，利用初始條件，對(duì)上式積分，利用初始條件，ddNFm,lOmg)cos1 (3lg解得：解得：lgdsin23d有有長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2732 力力的時(shí)間累積效應(yīng)：的時(shí)間

19、累積效應(yīng)： 沖量、動(dòng)量、動(dòng)量定理沖量、動(dòng)量、動(dòng)量定理 力矩力矩的時(shí)間累積效應(yīng)：的時(shí)間累積效應(yīng)： 沖量矩、角動(dòng)量、角動(dòng)量定理沖量矩、角動(dòng)量、角動(dòng)量定理長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2733ipjp0, 0p一一 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律 vmp 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)JmrrvmL2質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)0, 0p長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2734定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量是無(wú)數(shù)質(zhì)點(diǎn)對(duì)公共轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量的疊加 所有質(zhì)點(diǎn)都以其垂軸距離為半徑作圓周運(yùn)動(dòng)任一質(zhì)元任一質(zhì)元（視為質(zhì)點(diǎn)）的質(zhì)量其角動(dòng)量角動(dòng)量大

20、小全部質(zhì)元全部質(zhì)元的總角動(dòng)量對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布質(zhì)量連續(xù)分布的剛體長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2735合外力矩合外力矩角動(dòng)量的時(shí)間變化率角動(dòng)量的時(shí)間變化率（微分形式）（微分形式）（積分形式）（積分形式）沖量矩沖量矩角動(dòng)量的增量角動(dòng)量的增量質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理（微分形式）（微分形式）（積分形式）（積分形式）長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2736（微分形式）（微分形式）（積分形式）（積分形式）是矢量式是矢量式與質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)對(duì)比與質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)對(duì)比長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2737由由剛體所受合外

21、力矩剛體所受合外力矩若若則則即即 當(dāng)剛體所受的合外力矩當(dāng)剛體所受的合外力矩 等于零時(shí)，等于零時(shí)，剛體的角動(dòng)量剛體的角動(dòng)量 保持不變保持不變長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2738萬(wàn)萬(wàn)向向支支架架受合外力矩為零受合外力矩為零回轉(zhuǎn)體質(zhì)量呈軸對(duì)稱分布；回轉(zhuǎn)體質(zhì)量呈軸對(duì)稱分布；軸摩擦及空氣阻力很小軸摩擦及空氣阻力很小角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒恒矢量恒矢量回轉(zhuǎn)儀定向原理回轉(zhuǎn)儀定向原理其中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量其中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為常量為常量若將回轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)軸指向任一方向若將回轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)軸指向任一方向使其以角速度使其以角速度 高速旋轉(zhuǎn)高速旋轉(zhuǎn)則轉(zhuǎn)軸將保持該方向不變則轉(zhuǎn)軸將保持該方向不變而不會(huì)受基座改向的影響而

22、不會(huì)受基座改向的影響基基 座座回轉(zhuǎn)體 （轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ）長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2739角動(dòng)量守恒的角動(dòng)量守恒的另一類現(xiàn)象另一類現(xiàn)象變小小則變大大，乘積保持不變保持不變，變大大則變小小。收臂收臂大小 用外力矩用外力矩啟動(dòng)轉(zhuǎn)盤后啟動(dòng)轉(zhuǎn)盤后撤除外力矩撤除外力矩張臂張臂大小長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2740直升飛機(jī)防止機(jī)身旋動(dòng)的措施直升飛機(jī)防止機(jī)身旋動(dòng)的措施用兩個(gè)對(duì)轉(zhuǎn)的頂漿（支奴干（支奴干 CH47)用用 尾尾 漿漿（美洲豹（美洲豹 SA300）（ 海豚海豚 ）長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2

23、741A A、B B兩輪共軸兩輪共軸A A以以 A A作慣性轉(zhuǎn)動(dòng)作慣性轉(zhuǎn)動(dòng) 以A、B為系統(tǒng)，忽略軸摩擦，脫離驅(qū)動(dòng)力矩后，系統(tǒng)受合外力矩為零，角動(dòng)量守恒。初態(tài)角動(dòng)量初態(tài)角動(dòng)量末態(tài)角動(dòng)量末態(tài)角動(dòng)量得兩輪嚙合后兩輪嚙合后一起作慣性轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度一起作慣性轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度 ABAB長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2742 滿足什么條件時(shí)，小球（視為質(zhì)點(diǎn)）擺至鉛垂位置與棒彈碰而小彈碰而小球恰好靜止球恰好靜止。直棒起擺角速度勻質(zhì)直棒與單擺勻質(zhì)直棒與單擺小球的質(zhì)量相等小球的質(zhì)量相等兩者共面共轉(zhuǎn)軸兩者共面共轉(zhuǎn)軸水平靜止釋放靜懸彈碰忽略摩擦聯(lián)立解得0.5771.861對(duì)擺球、直棒系統(tǒng)對(duì)

24、擺球、直棒系統(tǒng)小球下擺階段小球下擺階段從水平擺到彈碰即將開(kāi)始，從水平擺到彈碰即將開(kāi)始，由動(dòng)能定理得其中 球、棒相碰球、棒相碰瞬間瞬間在鉛垂位置，在鉛垂位置，系統(tǒng)受合外系統(tǒng)受合外力矩為零力矩為零，角動(dòng)量守恒。，角動(dòng)量守恒。剛要碰時(shí)系統(tǒng)角動(dòng)量剛要碰時(shí)系統(tǒng)角動(dòng)量剛碰過(guò)后系統(tǒng)角動(dòng)量剛碰過(guò)后系統(tǒng)角動(dòng)量球棒球棒彈碰階段彈碰階段彈碰過(guò)程能量守恒長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2743 例例 3 質(zhì)量很小長(zhǎng)度為質(zhì)量很小長(zhǎng)度為l 的均勻細(xì)桿的均勻細(xì)桿,可繞過(guò)其中心可繞過(guò)其中心 O并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng).當(dāng)細(xì)桿靜止于水平當(dāng)細(xì)桿靜止于水平位置

25、時(shí)位置時(shí), 有一只小蟲(chóng)以速率有一只小蟲(chóng)以速率 垂直落在距點(diǎn)垂直落在距點(diǎn)O為 l/4 處處, 并并背離點(diǎn)背離點(diǎn)O 向細(xì)桿的端點(diǎn)向細(xì)桿的端點(diǎn)A 爬行爬行.設(shè)小蟲(chóng)與細(xì)桿的質(zhì)量均為設(shè)小蟲(chóng)與細(xì)桿的質(zhì)量均為m.問(wèn)問(wèn):欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng), 小蟲(chóng)應(yīng)以多大速率小蟲(chóng)應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端點(diǎn)爬行向細(xì)桿端點(diǎn)爬行?0v220)4(1214lmmllmvl0712 v 解解 （1）小蟲(chóng)與細(xì)桿的碰撞視為小蟲(chóng)與細(xì)桿的碰撞視為完全非彈性碰撞完全非彈性碰撞，碰撞前后系統(tǒng)碰撞前后系統(tǒng)角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2744l0712 v（2）由角動(dòng)

26、量定理）由角動(dòng)量定理tJtJtLMddd)(dddtrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22q即即（3）考慮到）考慮到小蟲(chóng)爬行的速率為tq)712cos(247cos2dd00tltgtrvvvlg長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2745 例例 4 一雜技演員一雜技演員 M 由距水平蹺板高為由距水平蹺板高為 h 處自由下處自由下落到蹺板的一端落到蹺板的一端A,并把蹺板另一端的演員并把蹺板另一端的演員N 彈了起來(lái)彈了起來(lái).設(shè)設(shè)蹺板是勻質(zhì)的蹺板是勻質(zhì)的,長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為l,質(zhì)量為質(zhì)量為 ,蹺板可繞中部支撐點(diǎn)蹺板可繞中部支撐點(diǎn)C 在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)

27、動(dòng),演員的質(zhì)量均為演員的質(zhì)量均為m.假定演員假定演員M落在蹺落在蹺板上板上,與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞.問(wèn)演員問(wèn)演員N可彈起多可彈起多高高?ll/2CABMNh 解解 （1）碰撞前）碰撞前 M 落在落在 A點(diǎn)的速度點(diǎn)的速度21M)2( ghv （2） 碰撞后的瞬間碰撞后的瞬間, M、N具有相同的線速度具有相同的線速度2lu m長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2746 （3）把）把M、N和蹺板作和蹺板作為一個(gè)系統(tǒng)為一個(gè)系統(tǒng), 角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒21M)(2gh v2lu 22M21121222mllmlmuJlmvlmmghmmll

28、mlm)6()2(621222122Mv解得解得演員演員 N 以以 u 起起跳跳, 達(dá)到的高度達(dá)到的高度hmmmglguh2222)63(82ll/2CABMNh長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2747應(yīng)用：許多現(xiàn)象都應(yīng)用：許多現(xiàn)象都可以用角動(dòng)量守恒可以用角動(dòng)量守恒來(lái)說(shuō)明來(lái)說(shuō)明.花樣滑冰花樣滑冰跳水運(yùn)動(dòng)員跳水跳水運(yùn)動(dòng)員跳水點(diǎn)擊圖片播放點(diǎn)擊圖片播放長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2748力的空間累積力的空間累積效應(yīng)：效應(yīng)： 力的功、動(dòng)能、動(dòng)能定理力的功、動(dòng)能、動(dòng)能定理力矩的空間累積力矩的空間累積效應(yīng)：效應(yīng)： 力矩的功、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、動(dòng)能

29、定理力矩的功、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、動(dòng)能定理4-4 力矩做功 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2749qddddttrFsFrFWqddMW 21dqqqMW力矩的功：力矩的功：一力矩作功一力矩作功 orvFxtFrdqdrFWd比較比較長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2750qMtMtWPdddd二力矩的功率二力矩的功率比較比較v FP三轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能三轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能221iiikmEv22221)(21Jrmiii長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-275121222121d21qqqJJMW四剛體

30、繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理四剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理21dqqqMW2111ddddqqqJtJ剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理比較比較 21222121dvvmmrFW長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2752vo以子彈和沙袋為系統(tǒng)以子彈和沙袋為系統(tǒng)動(dòng)量守恒；動(dòng)量守恒；角動(dòng)量守恒；角動(dòng)量守恒；機(jī)械能機(jī)械能不不守恒守恒 .討討 論論子子彈彈擊擊入入沙沙袋袋細(xì)細(xì)繩繩質(zhì)質(zhì)量量不不計(jì)計(jì)長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2753子子彈彈擊擊入入桿桿ov以子彈和桿為系統(tǒng)以子彈和桿為系統(tǒng)機(jī)械能機(jī)械能不不守恒守恒角動(dòng)量守恒；角動(dòng)量守恒；動(dòng)

31、量動(dòng)量不不守恒；守恒；長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2754qvoompTR圓圓錐錐擺擺圓錐擺系統(tǒng)圓錐擺系統(tǒng)動(dòng)量動(dòng)量不不守恒；守恒；角動(dòng)量守恒；角動(dòng)量守恒；機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2755 例例1 一長(zhǎng)為一長(zhǎng)為 l , 質(zhì)量為質(zhì)量為m 的竿可繞支點(diǎn)的竿可繞支點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)一自由轉(zhuǎn)動(dòng)一質(zhì)量為質(zhì)量為m、速率為、速率為v 的子彈射的子彈射入竿內(nèi)距支點(diǎn)為入竿內(nèi)距支點(diǎn)為a 處，使竿的處，使竿的偏轉(zhuǎn)角為偏轉(zhuǎn)角為30o . 問(wèn)子彈的初速問(wèn)子彈的初速率為多少率為多少? ?解解子彈、竿組成一系統(tǒng)，應(yīng)用角動(dòng)量守恒子彈、竿組成一系統(tǒng)，應(yīng)用角動(dòng)量守恒，)31(22malmamvoamv302233mamlamv長(zhǎng)江大學(xué)物理教程長(zhǎng)江大學(xué)物理教程2022-5-272022-5-2756