極射赤平投影CAD圖解

1、極射赤平投影CAD圖解一、序言 巖質(zhì)邊坡穩(wěn)定性分析方法有許多，但無論是平面滑動(dòng)的單一楔形斷面滑體、單滑塊和多滑塊分析法，還是楔體滑動(dòng)的仿平面分析法、楔體分割法、立體分析法、霍克分析法以及巖土工程勘察規(guī)范（GB5002194）推薦法等，在計(jì)算邊坡穩(wěn)定性系數(shù)時(shí)，需要知道滑體控制平面（包括結(jié)構(gòu)面和坡面、坡頂面）或直線（包括平面的法線）的地質(zhì)產(chǎn)狀，以及平面與平面、直線與直線、直線與平面間夾角等。其中平面和直線的產(chǎn)狀可以通過現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量獲取，除此之外的幾何參數(shù)，在沒有發(fā)明極射赤平投影之前，都是用計(jì)算法求得，不僅它們的計(jì)算公式復(fù)雜，而且計(jì)算過程繁瑣，也很容易出錯(cuò)。如果采用極射赤平投影求解邊坡穩(wěn)定性分析所需的幾

2、何參數(shù)，那就可以簡(jiǎn)化這些幾何參數(shù)的計(jì)算過程，而且一般情況下只需要在現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量出各個(gè)控制平面的地質(zhì)產(chǎn)狀即可。二、極射赤平投影的基本原理（一）投影要素 極射赤平投影（以下簡(jiǎn)稱赤平投影）以圓球作為投影工具，其進(jìn)行投影的各個(gè)組成部分稱為投影要素，包括： 1.投影球（也稱投射球）：以任意長(zhǎng)為半徑的球。 2.球面：投影球的表面稱為球面。 3.赤平面（也稱赤平投影面）：過投影球球心的水平面。 4.大圓：通過球心的平面與球面相交而成的圓，統(tǒng)稱為大圓（如圖一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圓的直徑相等，且都等于投影球的直徑。當(dāng)平面直立時(shí)，與球面相交成的大圓稱為直立大圓（如圖一（a）中PSFN）；當(dāng)平

3、面水平時(shí)，與球面相交成的大圓稱為赤平大圓或基圓（如圖一（a）中NESW）；當(dāng)平面傾斜時(shí)，與球面相交成的大圓稱為傾斜大圓（如圖一（a）中ASBN）。 5.小圓：不過球心的平面與球面相而成的圓，統(tǒng)稱為小圓（如圖一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。當(dāng)平面直立時(shí)，與球面相交成的小圓稱為直立小圓（如圖一（b）中DC）；當(dāng)平面水平時(shí)，與球面相交成的小圓稱為水平小圓（如圖一（b）中AB）；當(dāng)平面傾斜時(shí)，與球面相交成的小圓稱為傾斜小圓（如圖一（b）中FG或圖一（c）中PACB）。 6.極射點(diǎn)：投影球上兩極的發(fā)射點(diǎn)（如圖一），分上極射點(diǎn)（P）和下極射點(diǎn)（F）。由上極射點(diǎn)（P）把下半球的幾何要素投影到

4、赤平面上的投影稱為下半球投影；由下極射點(diǎn)（F）把上半球的幾何要素投影到赤平面上的投影稱為上半球設(shè)影。一般采用下半球投影。 7.極點(diǎn)：通過球心的直線與球面的交點(diǎn)稱為極點(diǎn)，一條直線有兩個(gè)極點(diǎn)。鉛直線交球面上、下兩個(gè)點(diǎn)（也就是極射點(diǎn)）；水平直線交基圓上兩點(diǎn)；傾斜直線交球面上兩點(diǎn)（如圖五中A、B）。（二）平面的赤平投影 平面與球面相交成大圓或小圓，我們把大圓或小圓上各點(diǎn)和上極射點(diǎn)（P）的連線與赤平面相交各點(diǎn)連線稱為相應(yīng)平面的赤平投影。 1.過球心平面的赤平投影隨平面的傾斜而變化：傾斜平面的赤平投影為大圓?。ㄈ鐖D二中的NBS）；直立平面的赤平投影是基圓的一條直徑（如圖一（a）中的NS）；水平面的赤平投影

5、就是基圓（如圖一中的NESW）。 2.不過球心平面的赤平投影也隨平面傾斜而變化：直立平面的赤平投影是基圓內(nèi)的一條圓?。ㄈ鐖D三KDH）；傾斜平面的赤平投影有以下三種情況：當(dāng)傾斜小圓在赤平面以下時(shí)，投影是一個(gè)圓，且全部在基圓之內(nèi)（如圖三FG）；當(dāng)傾斜小圓全部位于上半球時(shí)，投影也是一個(gè)圓，但全部在基圓之外；當(dāng)傾斜小圓一部分在上半球，另一部分在下半球時(shí)，赤平面以下部分的投影在基圓之內(nèi)，以上部分的投影在基圓之外。當(dāng)球面小圓通過上極射點(diǎn)時(shí)，其赤平投影為一條直線（如圖一（c）中PACB的投影為AB）；水平小圓的赤平投影在基圓內(nèi)（如圖四中AB），AB是一個(gè)與基圓同心的圓。（三）直線的赤平投影 直線AB的投影點(diǎn)

6、就是其極點(diǎn)A、B和極射點(diǎn)P的連線與赤平面的交點(diǎn)A、B。鉛直線的投影點(diǎn)位于基圓中心；過球心的水平直線的投影點(diǎn)就是基圓上兩個(gè)極點(diǎn)，兩點(diǎn)間距離等于基圓直徑；傾斜直線的投影點(diǎn)有兩個(gè)，一點(diǎn)在基圓內(nèi)，另一個(gè)在基圓外，兩點(diǎn)呈對(duì)蹼點(diǎn)，在赤平投影圖上兩點(diǎn)的角距相差180（如圖五）。（四）吳氏網(wǎng)及其CAD制作 目前廣泛使用的極射赤平投影有等角距投影網(wǎng)和等面積投影網(wǎng)。等角距投影網(wǎng)是由吳爾福發(fā)明的，簡(jiǎn)稱吳氏網(wǎng)；等面積投影網(wǎng)是由施密特發(fā)明的，簡(jiǎn)稱施氏網(wǎng)。兩者的主要區(qū)別在于：球面上大小相等的小圓在吳氏網(wǎng)上的投影仍然是圓，投影圓的直徑角距相等，但由于在赤平面上所處位置不同，投影圓的大小不等，其直徑隨著投影圓圓心與基圓圓心的

7、距離增大而增大。而在施氏網(wǎng)上的投影則呈四級(jí)曲線，不成圓，但四級(jí)曲線所構(gòu)成的圖形面積是相等的，且等于球面小圓面積的一半。使用吳氏網(wǎng)求解面、線間的角距關(guān)系時(shí)，旋轉(zhuǎn)操作顯示其優(yōu)越性，不僅作圖方便，而且較為精確。而使用施氏網(wǎng)時(shí)，可以作出面、線的極點(diǎn)圖或等密度圖，能夠真實(shí)反映球面上極點(diǎn)分布的疏密，有助于對(duì)面、線群進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，但其存在作圖麻煩等缺點(diǎn)。 1.吳氏網(wǎng)的結(jié)構(gòu)及成圖原理 吳氏網(wǎng)（圖六）由基圓、南北經(jīng)向大圓?。∟GS）、東西緯向小圓弧（ACB）等經(jīng)緯線組成。標(biāo)準(zhǔn)吳氏網(wǎng)的基圓直徑為20cm，經(jīng)、緯線間的角距為2。 (1)基圓，由指北方向（N）為0,順時(shí)針方向刻出360，這些刻度起著量度方位角的作用；

8、 (2)經(jīng)向大圓弧是由一系列通過球心，走向南北，分別向西和向東傾斜，傾角由0到90（角距間隔為2）的許多赤平投影大圓弧所組成。這些大圓弧與東西直徑線EW的交點(diǎn)到端點(diǎn)（E點(diǎn)和W點(diǎn)）的距離分別代表各平面的傾角。如圖六中GW表示的大圓弧NGS所代表的平面向西傾斜，傾角為30。 (3)緯向線是由一系列走向東西的直立平面的赤平投影小圓弧所組成。這些小圓弧離基圓的圓心O愈遠(yuǎn)，其所代表的球面小圓的半徑角距就愈小，反之離圓心O愈近，則半徑角距就愈大。相鄰緯向小圓弧間的角距也是2，它分割南北直徑線的距離，與經(jīng)向大圓弧分割東西徑線的距離是相等的。如圖六所示，EDSHWGNF，角距都為30。 2.吳氏網(wǎng)的CAD圖解

9、 繪制吳氏網(wǎng)，其實(shí)質(zhì)就是在赤平大圓上畫出經(jīng)向大圓弧和緯向小圓弧。那么這些大圓弧和小圓弧都是怎樣是繪制出來的呢？在沒有CAD制圖系統(tǒng)軟件以前，人們通過平面幾何關(guān)系利用圓規(guī)、直尺等原始工具繪制，其繪制過程很復(fù)雜。而在CAD制圖系統(tǒng)軟件下，繪制大圓弧和小圓弧是非常簡(jiǎn)的，下面就介紹它們的原理和繪制過程。 (1)繪制大圓弧的原理與步驟 要繪制大圓弧，應(yīng)至少知道大圓弧上的三個(gè)點(diǎn)N、S、B（如圖二所示），其中N、S點(diǎn)是每條大圓弧都必須經(jīng)過的，是已知點(diǎn)?，F(xiàn)在只要能確定經(jīng)向大圓弧與東西徑線EW的交點(diǎn)B，問題就迎刃而解。 計(jì)算OB長(zhǎng)度 根據(jù)傾斜平面的傾角、基圓的直徑，可按下式計(jì)算點(diǎn)O與點(diǎn)B之間的距離 （公式一）式

10、中 R基圓的半徑；大圓弧所代表平面的傾角（）。 以基圓的圓心為圓心，OB長(zhǎng)為半徑畫一個(gè)圓，該圓與基圓的東西徑向線EW交于B點(diǎn)。 過N、S、B三個(gè)點(diǎn)畫一個(gè)圓，并剪掉基圓外部分，大圓弧也就繪制完成。 (2)繪制小圓弧的原理與步驟 要繪制半徑角距為 的小圓弧，同樣也應(yīng)至少知道小圓弧上的三個(gè)點(diǎn)（如圖六所示的A、C、B三個(gè)點(diǎn)）。根據(jù)吳氏網(wǎng)的結(jié)構(gòu)與原理，可以通過CAD制圖確定A、C、B三個(gè)點(diǎn)的位置。 確定點(diǎn)C，首先用公式一計(jì)算點(diǎn)O與點(diǎn)C間距離，但其中 為小圓弧的半徑角距；然后以基圓的圓心為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫圓，該圓與基圓的南北徑向線NS交于C點(diǎn)。 以基圓的圓心為基點(diǎn)，將南北徑線ON分別逆時(shí)針和順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

11、角度 ，得兩條直線，分別與基圓交于A、B點(diǎn) 。 過A、C、B三個(gè)點(diǎn)畫一個(gè)圓，并剪掉基圓外部分，小圓弧也就繪制完成。三、赤平投影網(wǎng)CAD圖解的應(yīng)用 利用傳統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)吳氏網(wǎng)對(duì)平面、直線進(jìn)行投影時(shí)，一般步驟是：把透明紙（或透明膠片等）蒙在吳氏網(wǎng)上，畫基圓及“十”字網(wǎng)心，并用針固定于網(wǎng)心上，使透明紙能夠繞網(wǎng)心旋轉(zhuǎn)。然后在透明紙上標(biāo)出E、S、W、N，以正北（N）為0，順時(shí)針數(shù)到360。東西直徑EW確定傾角，一般是圓周為0，至圓心為90。這樣做具有以下缺點(diǎn)：一是較麻煩，二是當(dāng)旋轉(zhuǎn)透明紙時(shí)，容易從針孔處發(fā)生破裂而移位；三就是準(zhǔn)確性不高；四是效率低。如果用CAD制圖，則可避免上述不足，且使作圖更簡(jiǎn)化，用不著吳氏網(wǎng)

12、中的那么多的經(jīng)、緯線，只需要畫出基圓及其南北徑線和東西徑線。 1.平面赤平投影的CAD圖解（如圖七） 例1：一平面產(chǎn)狀12630，繪制其赤平投影圖。 (1)繪制一直徑為20cm的基圓，同時(shí)畫出鉛直和水平兩條直徑，并標(biāo)出E、S、W、N。后面的例子均需要這一步，畫法與之相同，所以不再重復(fù)。 (2)平面的傾向是126，則其走向?yàn)?6。將南北徑線繞基圓的圓心O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)36到達(dá)AB位置，與基圓交于A、B兩點(diǎn)，則AB就是平面的走向線。 (3)以基圓的圓心O為基點(diǎn)，將射線ON順時(shí)針旋轉(zhuǎn)126到達(dá)OD位置，與基圓相交于點(diǎn)D，則OD即為該平面的傾向線。 (4)用公式一計(jì)算線段OC長(zhǎng)度。以基圓的圓心O為圓心，O

13、C為半徑畫圓，交OD于C點(diǎn)。 (5)采用三點(diǎn)法，即過A、C、B三點(diǎn)畫圓，并切掉基圓外部分，所得大圓弧ACB即為該平面的赤平投影。 2.直線赤平投影的CAD圖解（如圖八） 例2：一直線產(chǎn)狀33040，繪制其赤平投影圖。 (1)將ON繞圓心O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)330后到達(dá)OA位置，與基圓交于點(diǎn)A，則OA即為該直線的傾伏向。 (2)用公式一計(jì)算OA值。以基圓的圓心O為圓心，OA為半徑畫圓，交OA于A點(diǎn)，則點(diǎn)A即為該直線的赤平投影。 3.平面法線赤平投影的CAD圖解（如圖九） 例3：一平面產(chǎn)狀為10540，繪制其法線的赤平投影。 (1)按例1所述方法，繪制產(chǎn)狀為10540平面的赤平投影大圓弧NBS。 (2)平

14、面法線的傾角與平面的傾角之和等于90，因此平面法線的傾角為50。用公式一計(jì)算OA。以基圓的圓心O為圓心，OA為半徑畫圓，交BO的延長(zhǎng)線于A點(diǎn)，則A點(diǎn)為該平面法線的赤面投影，也稱其為平面的極點(diǎn)。 由于平面法線傾向與平面傾向相反，相差180，平面法線的傾角與平面的傾角之和等于90，因此也可根據(jù)平面法線產(chǎn)狀與平面產(chǎn)狀間的這種關(guān)系，首先計(jì)算法線的產(chǎn)狀為28550，然后再按例2方法繪制法線的赤平投影。 4.相交兩條直線所構(gòu)成平面的產(chǎn)狀 例4：已知兩直線18020和9032.3相交，用赤平投影法求解這兩條直線所構(gòu)成平面的產(chǎn)狀（如圖十（a）、（b）。 (1)為很好地利用CAD制圖解決這個(gè)問題，引入兩條直線傾

15、角與平面傾角間的關(guān)系式： tan2sin2=tan21+tan2-2tan1tan2cos （公式二）式中兩條相交直線所構(gòu)成平面的傾角（）；1、2分別為兩條直線的傾伏角（）；兩條直線傾向夾角（）。用公式二計(jì)算兩條直線所構(gòu)成平面的傾角為=36.13。 (2)確定投影大圓弧的圓心O，點(diǎn)O應(yīng)在線段CF的垂直平分線上。要確定點(diǎn)O的位置，需要用下列公式計(jì)算平面的赤平投影大圓弧的半徑 。計(jì)算出赤平投影大圓弧的半徑 后，再以點(diǎn)C或者點(diǎn)F為圓心畫圓，與線段CF的垂直平分線相交于點(diǎn)O。（公式三）式中R赤平投影大圓弧的半徑;R基圓的半徑。 (3)確定平面的走向AB：以O(shè)為圓心，以 為半徑畫圓，與基圓相交于兩點(diǎn)A、

16、B，則AB即為所求平面的走向，為30。由此算出該平面的傾向?yàn)?20。因此所求平面產(chǎn)狀為12036。此外，兩條直線所構(gòu)所平面的傾向，也可由下式計(jì)算確定：（公式四）式中平面傾向與直線1傾向之差；其余符號(hào)意義同公式二。 5相交兩條直線的夾角及其角平分線 例5：用赤平投影法求解例4兩條直線的夾角及其角平分線（圖十（c）。 (1)按例4作法，確定兩條直線所構(gòu)成平面的赤平投影，即大圓弧AFCB，其產(chǎn)狀約為12036。 （2）量取大圓弧上C與F間的角距為54，即相交兩條直線的夾角為54。該圓弧CF段的角距平分點(diǎn)G（27）就是相交兩條直線夾角平分線的赤平投影，由此可以確定兩條相交直線夾角平分線的產(chǎn)狀為139.

17、6734.51。除上述作圖法外，還可用下式計(jì)算兩條相交直線的夾角：（公式五）式中兩條相交直線的夾角（）；其余符號(hào)的意義同前。 6.平面上一直線的傾伏和側(cè)伏（如圖十一） 例6：已知平面產(chǎn)狀180 （ 36），平面上一條直線AC的側(cè)伏向E、側(cè)伏角（ =44，是指該平面走向線與該直線所夾的銳角），用赤平投影法求解該直線的傾伏向和傾伏角。 （1）按例1做法，繪制平面的赤平投影大圓弧EDW。 （2）以EW為南北向徑線（假定），作半徑角距等于（ =44)的緯向小圓弧GDK（應(yīng)為兩條，另一條未畫出），與平面的赤平投影大圓弧EDW相交于C點(diǎn)。連接點(diǎn)O與點(diǎn)C，并延長(zhǎng)，與基圓相交于C點(diǎn)。 （3）點(diǎn)C即所求直線的赤

18、平投影。圖上量得線段OC的長(zhǎng)度，然后用公式一求得直線的傾伏角24.71。 （4）點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的角度為127.64，即為所求直線的傾伏向。因此該直線的產(chǎn)狀為127.6424.71。平面上一條直線的傾伏或側(cè)伏，可以相互換算，除采用上面的CAD制圖方法外，也可用下列公式計(jì)算：（公式六）（公式七）式中平面傾角（）；平面上直線的側(cè)伏角（）；直線的傾伏角（）；平面傾向與直線傾向之差（）。 7.兩個(gè)平面交線的產(chǎn)狀（如圖十二（a） 例7：已知兩個(gè)平面7040和29030，用赤平投影法求解這兩個(gè)平面交線產(chǎn)狀。 （1）按例1做法，分別繪制出兩個(gè)平面的赤面投影大圓弧APB和CPD，兩條大圓弧相交于P點(diǎn)，該點(diǎn)即為兩個(gè)平面

19、交線的赤平投影。 （2）連結(jié)OP，并量得OP的長(zhǎng)度。然后用公式一求得交線的傾伏角為=13.14；OP所在徑線方向即為交線的傾伏向，量得交線的傾伏向?yàn)?65.15。即兩個(gè)平面交線產(chǎn)狀為365.1513.14。 8兩個(gè)平面的夾角及其夾角的等分面（如圖十二（b） 例8：已知條件同例7，用赤平投影法求解兩個(gè)平面的夾角及其夾角的等分面。 （1）繪制兩個(gè)平面的公垂面，由于以點(diǎn)P為投影的直線就是公垂面的法線，因此公垂面的產(chǎn)狀為176.1576.86，按例1做法繪制公垂面的赤平投影大圓弧FIHG，與兩個(gè)已知平面的赤平投影大圓弧分別相交于點(diǎn)H、點(diǎn)I。這兩點(diǎn)所代表的直線產(chǎn)狀分為：直線H為96.2736.96；直線

20、I為259.4826.44。 （2）點(diǎn)H、點(diǎn)I所代表的兩條直線的夾角就是兩個(gè)平面的夾角，可根據(jù)兩條直線的產(chǎn)狀，由公式五計(jì)算求得，結(jié)果為114.66。也可先用公式六分別求出兩條直線在公垂面上的側(cè)伏角，分別為：直線H的側(cè)伏角為38.128；直線I的側(cè)伏角為27.209。 則兩條直線的夾角為180（38.12827.209）114.66。 （3）公垂面的投影大圓弧上點(diǎn)H、點(diǎn)I間弧段的中點(diǎn)K在兩個(gè)平面的等分面的投影大圓弧上，投影點(diǎn)K的直線產(chǎn)狀204.7475.11。點(diǎn)P也在等分面的投影大圓弧上，其產(chǎn)狀也已求得（例7）。已知投影大圓弧上的兩個(gè)點(diǎn)，就可按例4做法計(jì)算出等分平面的傾角和其赤平投影大圓弧的半徑

21、，并繪制出經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓弧QKM。該大圓弧對(duì)應(yīng)的平面即為已知兩個(gè)平面夾角的等分面，其產(chǎn)狀為267.7683.12。 9.一條直線與一個(gè)平面的夾角（如圖十三） 例9：一平面產(chǎn)狀12050，一直線產(chǎn)狀32020，用赤平投影法求解直線與平面的夾角。 （1）按例1做法繪制已知平面的赤平投影大圓弧ADB。 （2）按例2做法繪制已知直線的赤平投影，即投影點(diǎn)C。 （3）按例3做法繪制已知平面法線的投影極點(diǎn)P。 （4）按例4做法繪制經(jīng)過點(diǎn)C、P的大圓弧CPD，其所代表的平面與已知平面垂直，其產(chǎn)狀為244.0656.28。 用公式六分別求出直線C和直線P在平面CPD上的側(cè)伏角，直線C的側(cè)伏角為24.280，直

22、線P的側(cè)伏角為50.606，也就是平面法線與已知直線的夾角為50.60624.28026.33，因此已知直線與平面的夾角為90.0026.3363.67。四、用赤平投影求解邊坡穩(wěn)定問題 在巖質(zhì)邊坡穩(wěn)定性分析與計(jì)算中，赤平投影可用來初步判定邊坡穩(wěn)定性，求解邊坡穩(wěn)定性系數(shù)計(jì)算所需的幾何參數(shù)。 （一）邊坡穩(wěn)定性初步判別 圖十四所示的邊坡楔體，假定只有摩擦力抵抗滑動(dòng)，且兩個(gè)結(jié)構(gòu)面的摩擦角相同，且都等于，則楔體可能滑動(dòng)的條件是兩個(gè)結(jié)構(gòu)面交線的赤平投影，即它的投影點(diǎn)應(yīng)落在坡面大圓弧與摩擦圓所圍成的范圍內(nèi)（圖十四(b)中陰影部分），即（其中 為在正交交線視圖上的坡面傾角； 為結(jié)構(gòu)面交線傾角；為結(jié)構(gòu)面內(nèi)摩擦角）。據(jù)此可以迅速判別楔體