力距 轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量1

1、4-3 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 本節(jié)內(nèi)容概要本節(jié)內(nèi)容概要 力矩力矩 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量及平行軸定理轉(zhuǎn)動慣量及平行軸定理 本節(jié)教學要求本節(jié)教學要求理解理解力矩和轉(zhuǎn)動慣量的概念，力矩和轉(zhuǎn)動慣量的概念，能夠計算能夠計算簡簡單幾何形狀剛體的轉(zhuǎn)動慣量。單幾何形狀剛體的轉(zhuǎn)動慣量。掌握掌握剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律，剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律，能求解能求解定軸轉(zhuǎn)動剛體和質(zhì)點聯(lián)動問題。定軸轉(zhuǎn)動剛體和質(zhì)點聯(lián)動問題。 Pz*OFdFrMzsinMFrd : 力臂力臂d 剛體繞剛體繞 O z 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) , 力力 作用在剛體上點作用在剛體上點 P , 且且

2、在轉(zhuǎn)動在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)平面內(nèi), 為由點為由點O 到力的到力的作用點作用點 P 的徑矢的徑矢 . FrFrM 對轉(zhuǎn)軸對轉(zhuǎn)軸 Z 的力矩的力矩 F 一一 力矩力矩 M 力矩力矩:描述力對剛體描述力對剛體的的轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動作用。作用。 問題：如果一個剛體所受問題：如果一個剛體所受合合外力為零，其外力為零，其合合外力矩外力矩是否是否也一定為零也一定為零？ 0,0iiMF0,0iiMFFFFFzOkFr討論討論FFFzFrkMzsin rFMzzFF 1）若力若力 不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，把力分解為平行和垂不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，把力分解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個分量直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個分量 F2）合力矩等于各分力矩的矢量和合力

3、矩等于各分力矩的矢量和321MMMM 其中其中 對轉(zhuǎn)軸的力矩為零，對轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故故 對轉(zhuǎn)軸的力矩對轉(zhuǎn)軸的力矩zFFzzzzMMMM321定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動3） 剛體內(nèi)剛體內(nèi)作用力作用力和和反作用力反作用力的力矩互相的力矩互相抵消抵消jiijMMjririjijfjifdOijMjiM4）力矩的單位：力矩的單位：牛頓牛頓米米，而不能用焦耳。，而不能用焦耳。Ormz二二 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律FtFnFtrFrFMsinmrmaFtt2iiiirmMM內(nèi)2）剛體剛體質(zhì)量元受質(zhì)量元受外力外力 ，內(nèi)力內(nèi)力iFifM 1）單個質(zhì)點單個質(zhì)點 與轉(zhuǎn)軸剛性連接與轉(zhuǎn)軸剛性連接m外外力矩力矩內(nèi)內(nèi)力矩力矩2mrM 2

4、tmrrFMOzimiriFif 剛體定軸轉(zhuǎn)動的剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度角加速度與它所受的與它所受的合外力矩合外力矩成成正比正比 ，與剛體的，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量成反比成反比 . 定軸轉(zhuǎn)動定律定軸轉(zhuǎn)動定律IM 2iiirmI轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量:2iiiirmMM內(nèi)iiiiiiirmMM2內(nèi)0iiM內(nèi)iiiiirmM)(2OzimiriFifmrIrmIiiid ,22三三 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 轉(zhuǎn)動慣量的物理轉(zhuǎn)動慣量的物理意義意義：轉(zhuǎn)動慣性的：轉(zhuǎn)動慣性的量度量度 .與轉(zhuǎn)動慣量有關的因素：與轉(zhuǎn)動慣量有關的因素：剛體的質(zhì)量剛體的質(zhì)量轉(zhuǎn)軸的位置轉(zhuǎn)軸的位置剛體的質(zhì)量分布剛體的質(zhì)量分布 由于剛體是一個特殊質(zhì)

5、點系，即各質(zhì)由于剛體是一個特殊質(zhì)點系，即各質(zhì)點之間無相對位移，對于給定的剛體其質(zhì)點之間無相對位移，對于給定的剛體其質(zhì)量分布不隨時間變化，故對于定軸轉(zhuǎn)動的量分布不隨時間變化，故對于定軸轉(zhuǎn)動的剛體而言。有結(jié)論：剛體而言。有結(jié)論： 剛體的轉(zhuǎn)動慣量是一個常數(shù)。剛體的轉(zhuǎn)動慣量是一個常數(shù)。( (2) ) 瞬時關系。瞬時關系。 ( (3) ) 轉(zhuǎn)動中轉(zhuǎn)動中 與平動中與平動中 地位相同。地位相同。maF IM ( (1) ) , 與與 方向相同。方向相同。 IM M說明說明IM 定軸轉(zhuǎn)動定律定軸轉(zhuǎn)動定律:v 質(zhì)量離散分布質(zhì)量離散分布22222112jjjjrmrmrmrmI I 的計算方法的計算方法 v 質(zhì)量

6、連續(xù)分布質(zhì)量連續(xù)分布VrSrlrmrrmIVsljjjdddd222222 對質(zhì)量線分布的剛體：對質(zhì)量線分布的剛體：質(zhì)量線密度：質(zhì)量線密度lmdd線分布線分布2 對質(zhì)量面分布的剛體：對質(zhì)量面分布的剛體：質(zhì)量面密度：質(zhì)量面密度Smdd面分布面分布2 對質(zhì)量體分布的剛體：對質(zhì)量體分布的剛體：質(zhì)量體密度：質(zhì)量體密度Vmdd體分布體分布注意：只有對于幾何形狀規(guī)則，質(zhì)量連續(xù)且注意：只有對于幾何形狀規(guī)則，質(zhì)量連續(xù)且分布均勻的剛體，才能利用積分計算剛體的轉(zhuǎn)分布均勻的剛體，才能利用積分計算剛體的轉(zhuǎn)動慣量。動慣量。：質(zhì)量元：質(zhì)量元md 質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量mrrmIjjjd22從

7、上面可以看出：化整為零，微分：化整為零，微分： 將剛體分為若干質(zhì)點組成的質(zhì)點系，對每個質(zhì) 點寫出描寫質(zhì)點運動的物理量及遵守的運動規(guī)律。積零為整，積分：積零為整，積分： 考慮剛體的整體行為時需對微分后的描寫質(zhì)點運動的物理量及遵守的運動規(guī)律在整體剛體上求和，即可得到描寫剛體運動的物理量及遵守的運動規(guī)律。對對AA 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量222422mamamaIAA370.8a0.6aaaaaAABB2m2mmm對對BB 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量22222)8 . 0(22)6 . 0(maamamIBB例例1iiirmI2lO O 解解 設棒的線密度為設棒的線密度為 ，取一距離轉(zhuǎn)軸，取一距離轉(zhuǎn)軸

8、 OO 為為 處的質(zhì)量元處的質(zhì)量元 rrmddlrrI02drd32/2/2121dlrrIll231mlrrrmrIddd22 例例2 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 、長為、長為 的均勻細長棒，求的均勻細長棒，求通過棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量通過棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量 .mlrd2l2lO O2121ml如轉(zhuǎn)軸過端點垂直于棒如轉(zhuǎn)軸過端點垂直于棒試比較大小試比較大小例例3 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 m, 長為長為 L 的的均質(zhì)空心圓柱體均質(zhì)空心圓柱體（即圓筒）（即圓筒）,其其內(nèi)、外半徑分別為內(nèi)、外半徑分別為 R1 和和 R2 。求對幾何軸。求對幾何軸 oz 的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量 .z orrd2dS解

9、：解：)(2122RRLm薄圓薄圓柱殼的體積柱殼的體積,d2drLrV薄圓薄圓柱殼的質(zhì)量柱殼的質(zhì)量Vmdd薄圓薄圓柱殼對柱殼對oz 的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量 dd2mrIzrrLrLrrd 2d 23221d 23RRzrrLI)(214142RRL因與因與L無關，所以該式也是無關，所以該式也是均質(zhì)圓環(huán)對均質(zhì)圓環(huán)對oz 的轉(zhuǎn)動慣量。的轉(zhuǎn)動慣量。)(212221RRmIz均質(zhì)圓筒對均質(zhì)圓筒對oz 的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量討論：討論：（1）若內(nèi)）若內(nèi)半徑半徑R1 =0，得，得均質(zhì)實心圓柱體對均質(zhì)實心圓柱體對oz 的轉(zhuǎn)動慣量：的轉(zhuǎn)動慣量：2221mRIz（2）若）若圓筒壁很薄圓筒壁很薄R1 R2 = R,

10、得得薄圓筒對薄圓筒對oz 的轉(zhuǎn)動慣量：的轉(zhuǎn)動慣量：)(212221RRmIz2mR均質(zhì)圓盤對均質(zhì)圓盤對oz 的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量均質(zhì)細圓環(huán)對均質(zhì)細圓環(huán)對oz 的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量2mdIIC四四 平行軸定理平行軸定理P 轉(zhuǎn)動慣量的大小取決于剛體的轉(zhuǎn)動慣量的大小取決于剛體的質(zhì)量、形狀及轉(zhuǎn)軸的位置質(zhì)量、形狀及轉(zhuǎn)軸的位置 . 質(zhì)量為質(zhì)量為 的剛體的剛體，如果對如果對其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為 ，則則對任一對任一與該軸平行與該軸平行，相距為相距為 d 的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量CImdCOm注意注意2221mRmRIP例：例：圓盤對圓盤對P 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量RmO例例4 右

11、圖所示剛體對經(jīng)過棒端右圖所示剛體對經(jīng)過棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量如且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量如何計算？何計算？(棒長為棒長為L、質(zhì)量為、質(zhì)量為mL ,圓盤半徑為圓盤半徑為R、質(zhì)量為、質(zhì)量為m0）2131LmIL）（其中221RmIoo2002dmII22221)(2131RLmRmLmIIIooLO解：直桿部分對解：直桿部分對O軸轉(zhuǎn)動慣量軸轉(zhuǎn)動慣量圓盤部分對圓盤部分對O軸轉(zhuǎn)動慣量軸轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量的單位：轉(zhuǎn)動慣量的單位：千克千克米米2 2（kgm2）五、轉(zhuǎn)動慣量的計算五、轉(zhuǎn)動慣量的計算對于單個質(zhì)點對于單個質(zhì)點 2mrI 質(zhì)點系質(zhì)點系 niiirmI12物體質(zhì)量連續(xù)分布，物體質(zhì)量連續(xù)分布，VrV

12、SrslrlmrjrjjmId2d2d2d22 轉(zhuǎn)動定律應用舉例 定軸定軸ORthmv0=0繩繩已知：已知： R =0.2 m， m =1 kg ， h =1.5 m，繩輪無相對滑動，繩輪無相對滑動，繩不可伸長，下落時間繩不可伸長，下落時間t t= =3s s求：輪對求：輪對o o軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量00例例分析：對于有平動和轉(zhuǎn)動物體組成的系統(tǒng)，應用隔分析：對于有平動和轉(zhuǎn)動物體組成的系統(tǒng)，應用隔離法：對質(zhì)點進行受力分析，應用牛頓第二定律；離法：對質(zhì)點進行受力分析，應用牛頓第二定律；對剛體，分析受力距，應用轉(zhuǎn)動定律。如果方程數(shù)對剛體，分析受力距，應用轉(zhuǎn)動定律。如果方程數(shù)目不夠，從角量和線量進

13、行分析，補足方程數(shù)。目不夠，從角量和線量進行分析，補足方程數(shù)。解：解：動力學關系動力學關系對輪：對輪：TRI (1), 對對：mmg T ma (2) 轉(zhuǎn)動定律應用舉例 定軸定軸ORthmv0=0繩繩mmgT = - T aTGRN已知：已知： R =0.2 m， m =1 kg ， h =1.5 m，繩輪無相對滑動，繩輪無相對滑動，繩不可伸長，下落時間繩不可伸長，下落時間t t= =3s s求：輪對求：輪對o o軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量00例例運動學關系：運動學關系： aR(3)hat 122(4)(1)(4)聯(lián)立解得：聯(lián)立解得：IgthmR ()2221 (.).9832151102114 222 kgm對對：m (2)maTmg對輪：對輪： (1) ITR 六六. 轉(zhuǎn)動定律的應用轉(zhuǎn)動定律的應用選擇選擇隔離體隔離體：平動物體、轉(zhuǎn)動物體。：平動物體、轉(zhuǎn)動物體。受力分析：對轉(zhuǎn)動物體分析力矩；對平動物體分析力。受力分析：對轉(zhuǎn)動物體分析力矩；對平動物體分析力。 繪繪出示力圖。出示力圖。畫出隔離體的畫出隔離體的加速度