第10講 相貫線

1、畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖2. 2. 平面與圓錐相交平面與圓錐相交 =90=90 90900 0 過錐頂過錐頂兩相交直線兩相交直線圓圓橢圓橢圓拋物線拋物線雙曲線雙曲線上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖解題步驟解題步驟例例9 已知圓錐與正垂面已知圓錐與正垂面P相交，求截交線的投影。相交，求截交線的投影。1 1 分析分析 截交線的水平投影和截交線的水平投影和側(cè)面投影均為橢圓

2、；側(cè)面投影均為橢圓；2 2 求出截交線上的特殊點(diǎn)；求出截交線上的特殊點(diǎn)；3 3 求出一般點(diǎn)；求出一般點(diǎn)；4 4 光滑且順次地連接各點(diǎn)，作光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見性；出截交線，并且判別可見性；5 5 整理輪廓線。整理輪廓線。上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖例例10 求正平面與圓錐的截交線。求正平面與圓錐的截交線。解題步驟解題步驟1 1 分析分析 截交線的水平投影截交線的水平投影和側(cè)面投影已知，正面投影和側(cè)面投影已知，正面投影為雙曲線并反映實(shí)形；

3、為雙曲線并反映實(shí)形；2 2 求出截交線上的特殊點(diǎn)求出截交線上的特殊點(diǎn)、；3 3 求出一般點(diǎn)求出一般點(diǎn) ；4 4 光滑且順次地連接各點(diǎn)，光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見作出截交線，并且判別可見性；性；5 5 整理輪廓線。整理輪廓線。11 1 2 (3 )4 (5 )4 5 2 3 2453上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖例例11 求帶缺口圓錐的水平投影和側(cè)面投影。求帶缺口圓錐的水平投影和側(cè)面投影。111”2(3)2”3”235(6)5”6”65444”

4、上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖例例12 已知正垂面所截切球的正面投影已知正垂面所截切球的正面投影,求其余兩面投影。求其余兩面投影。上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖例例13 求帶凹槽半球的水平投影和側(cè)面投影。求帶凹槽半球的水平投影和側(cè)面投影。上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何

5、 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖分析并想象出圓球穿孔后的投影。分析并想象出圓球穿孔后的投影。上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖4. 平面與組合回轉(zhuǎn)體相交平面與組合回轉(zhuǎn)體相交 首先分析復(fù)合回轉(zhuǎn)體由哪些基本回轉(zhuǎn)體組成的以首先分析復(fù)合回轉(zhuǎn)體由哪些基本回轉(zhuǎn)體組成的以及它們的連接關(guān)系，及它們的連接關(guān)系，然后然后分別求出這些基本回轉(zhuǎn)體的分別求出這些基本回轉(zhuǎn)體的截交線，并依次將其連接。截交線，并依次將其連接。上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返

6、回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖4.4 4.4 兩曲面立體相交兩曲面立體相交4.4.1 4.4.1 相貫線的性質(zhì)相貫線的性質(zhì)4.4.2 4.4.2 相貫線的作圖方法相貫線的作圖方法4.4.3 4.4.3 相貫線的特殊情況相貫線的特殊情況4.4.4 4.4.4 組合相貫線組合相貫線上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖4.4.1 4.4.1 相貫線的性質(zhì)相貫線的性質(zhì) 立體與立

7、體相交在兩個(gè)立體表面產(chǎn)生的交線稱為相立體與立體相交在兩個(gè)立體表面產(chǎn)生的交線稱為相貫線。貫線。 相貫線是兩曲面立體表面的相貫線是兩曲面立體表面的共有線共有線，相貫線上的點(diǎn)，相貫線上的點(diǎn)是兩曲面立體表面的是兩曲面立體表面的共有點(diǎn)共有點(diǎn)。 不同的立體以及不同的相貫位置、相貫線的形狀不不同的立體以及不同的相貫位置、相貫線的形狀不同。兩回轉(zhuǎn)體相貫，相貫線一般是同。兩回轉(zhuǎn)體相貫，相貫線一般是封閉的空間曲線封閉的空間曲線, , 特特殊情況下為平面曲線或直線。殊情況下為平面曲線或直線。上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程

8、程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖相貫線性質(zhì)圖例相貫線性質(zhì)圖例上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖4.4.2 4.4.2 相貫線的作圖方法相貫線的作圖方法1.1.表面取點(diǎn)法表面取點(diǎn)法 當(dāng)相貫的兩立體表面的某一投影具有積聚性時(shí)，相當(dāng)相貫的兩立體表面的某一投影具有積聚性時(shí)，相貫線的一個(gè)投影必積聚在這個(gè)投影上，相貫線的其余投貫線的一個(gè)投影必積聚在這個(gè)投影上，相貫線的其余投影可按著曲面立體表面取點(diǎn)的方法求出影可按著曲面立體表面取點(diǎn)的方法求出, ,這種求作相貫這種求作相貫線

9、的方法稱為線的方法稱為表面取點(diǎn)法表面取點(diǎn)法。上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖例例1 已知兩圓柱的三面投影已知兩圓柱的三面投影,求作其相貫線的投影。求作其相貫線的投影。yyyydedeacbabcdebac分分 析析求特殊點(diǎn)求特殊點(diǎn)求一般點(diǎn)求一般點(diǎn)判別可見性判別可見性完成相貫線完成相貫線上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖 首先分析兩曲面立

10、體的幾何形狀、相對(duì)大小和首先分析兩曲面立體的幾何形狀、相對(duì)大小和相對(duì)位置，進(jìn)一步分析相貫線是空間曲線，還是處相對(duì)位置，進(jìn)一步分析相貫線是空間曲線，還是處于特殊情況（平面曲線或直線）。于特殊情況（平面曲線或直線）。 分析兩曲面立體對(duì)投影面的相對(duì)位置，兩曲面分析兩曲面立體對(duì)投影面的相對(duì)位置，兩曲面立體的投影是否有積聚性，哪個(gè)投影有積聚性。立體的投影是否有積聚性，哪個(gè)投影有積聚性。 根據(jù)兩立體的相對(duì)位置分析相貫線的對(duì)稱情況根據(jù)兩立體的相對(duì)位置分析相貫線的對(duì)稱情況 分析相貫線哪個(gè)分析相貫線哪個(gè) 投影是已知的，哪個(gè)投影是要投影是已知的，哪個(gè)投影是要求作的。求作的。分分 析析上一頁上一頁下一頁下一頁返回目

11、錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖求特殊點(diǎn)求特殊點(diǎn) 確定相貫線投影范圍和變化趨勢(shì)的點(diǎn)稱為確定相貫線投影范圍和變化趨勢(shì)的點(diǎn)稱為特殊點(diǎn)特殊點(diǎn) 包括：包括： 相貫線極限位置點(diǎn)相貫線極限位置點(diǎn) 最左、最右、最前、最后、最左、最右、最前、最后、 最高、最低各點(diǎn)；最高、最低各點(diǎn)； 曲面立體轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)曲面立體轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn) 兩曲面立體上下、左兩曲面立體上下、左右、前后轉(zhuǎn)向輪廓線上的各個(gè)點(diǎn)。右、前后轉(zhuǎn)向輪廓線上的各個(gè)點(diǎn)。 上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾

12、何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖求相貫線的一般步驟求相貫線的一般步驟（1）分析）分析 首先分析兩曲面立體的幾何形狀、相對(duì)大小首先分析兩曲面立體的幾何形狀、相對(duì)大小和相對(duì)位置，然后分析相貫線是空間曲線，還是處于特殊情和相對(duì)位置，然后分析相貫線是空間曲線，還是處于特殊情況分析兩曲面立體對(duì)投影面的相對(duì)位置，兩曲面立體的投影況分析兩曲面立體對(duì)投影面的相對(duì)位置，兩曲面立體的投影是否有積聚性。分析相貫線哪個(gè)投影已知的，哪個(gè)投影是要是否有積聚性。分析相貫線哪個(gè)投影已知的，哪個(gè)投影是要求作的。求作的。（2）求特殊點(diǎn)）求特殊點(diǎn) 相貫線上的特殊點(diǎn)包括極限位置點(diǎn)、輪

13、相貫線上的特殊點(diǎn)包括極限位置點(diǎn)、輪廓轉(zhuǎn)向點(diǎn)、曲線特征點(diǎn)和結(jié)合點(diǎn)四種。廓轉(zhuǎn)向點(diǎn)、曲線特征點(diǎn)和結(jié)合點(diǎn)四種。（3）求一般點(diǎn)）求一般點(diǎn) 根據(jù)需要求出若干個(gè)一般點(diǎn)。根據(jù)需要求出若干個(gè)一般點(diǎn)。 （4）判別可見性）判別可見性 當(dāng)相貫線上的點(diǎn)同時(shí)處于兩立體表面當(dāng)相貫線上的點(diǎn)同時(shí)處于兩立體表面的可見部分時(shí)這些點(diǎn)才可見，否則不可見。的可見部分時(shí)這些點(diǎn)才可見，否則不可見。 （5）完成相貫線）完成相貫線 順次光滑連接各點(diǎn)，作出相貫線。補(bǔ)順次光滑連接各點(diǎn)，作出相貫線。補(bǔ)全可見與不可見部分的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓線，并擦除被切割全可見與不可見部分的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓線，并擦除被切割掉的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓線。掉的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓線。

14、上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖圓柱表面交線的三種情況圓柱表面交線的三種情況 兩外表面相交兩外表面相交外表面與內(nèi)表面相交外表面與內(nèi)表面相交兩內(nèi)表面相交兩內(nèi)表面相交上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖兩正交圓柱兩正交圓柱相貫線相貫線的的變化趨勢(shì)（一）變化趨勢(shì)（一）上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾

15、幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖兩正交圓柱兩正交圓柱相貫線相貫線的的變化趨勢(shì)（二）變化趨勢(shì)（二）上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖例例2 求軸線交叉垂直圓柱相貫線的投影。求軸線交叉垂直圓柱相貫線的投影。 a“(b“)abc“cabcddde“(f “)efefghyyg“(h“)gh上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程

16、程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖2. 2. 輔助平面法輔助平面法 假想用一個(gè)平面在相貫兩立體的相貫區(qū)域內(nèi)去截切相假想用一個(gè)平面在相貫兩立體的相貫區(qū)域內(nèi)去截切相貫的兩立體，分別在兩立體表面上產(chǎn)生截交線，兩截交線貫的兩立體，分別在兩立體表面上產(chǎn)生截交線，兩截交線交點(diǎn)就是兩立體表面與輔助平面三者的交點(diǎn)就是兩立體表面與輔助平面三者的共有點(diǎn)共有點(diǎn)，即相貫線，即相貫線上的點(diǎn)。這個(gè)假想的平面是上的點(diǎn)。這個(gè)假想的平面是輔助平面輔助平面。作出一系列的輔助。作出一系列的輔助平面，求出相貫線上一系列點(diǎn)的投影，依次光滑連接，即平面，求出相貫線上一系列點(diǎn)的投影，依次光滑連接，即得相貫線的投影。得相貫線的投影。 上一頁上

17、一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖 (1) (1)所選輔助平面與兩曲面立體表面的輔助截交線的所選輔助平面與兩曲面立體表面的輔助截交線的投影應(yīng)是簡(jiǎn)單易畫的投影應(yīng)是簡(jiǎn)單易畫的直線直線或或圓圓。常選用特殊位置平面作。常選用特殊位置平面作為輔助面。為輔助面。 (2)(2)輔助平面應(yīng)位于兩曲面立體的共有區(qū)域內(nèi)，否則輔助平面應(yīng)位于兩曲面立體的共有區(qū)域內(nèi)，否則得不到共有點(diǎn)。得不到共有點(diǎn)。選擇輔助平面的原則：選擇輔助平面的原則：上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法

18、法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖yyPW2PV24yy4 PV1PW13PV3PW351112 22453 35 例例3 求圓柱與圓錐正交時(shí)相貫線的投影。求圓柱與圓錐正交時(shí)相貫線的投影。上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖例例4 求水平圓柱與半球的相貫線的投影。求水平圓柱與半球的相貫線的投影。aa”abb”QVQWcPVPWefe(f)RVRWgg(h)bhd上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄

19、畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖例例5 求鉛垂圓臺(tái)與半球的相貫線的投影。求鉛垂圓臺(tái)與半球的相貫線的投影。PV2yy55343543112122yy4 PH1PV3PV4上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖4.4.3 4.4.3 相貫線的特殊情況相貫線的特殊情況 相貫線一般是封閉的空間曲線相貫線一般是封閉的空間曲線, 特殊情況下為特殊情況下為平面曲線或直線。平面曲線或直線。上一頁

20、上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖（1 1）兩個(gè)回轉(zhuǎn)體具有公共軸線時(shí)，其表面的相貫線為垂直軸線的圓）兩個(gè)回轉(zhuǎn)體具有公共軸線時(shí)，其表面的相貫線為垂直軸線的圓上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖（2 2）外切于同一球面的圓錐、圓柱相交時(shí)，其相貫線為兩條平面曲線）外切于同一球面的圓錐、圓柱相交時(shí)，其相貫線為兩條平面曲線橢圓橢圓上一頁上一頁下一頁下一頁返

21、回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖 （3 3）兩圓錐共錐頂）兩圓錐共錐頂相貫線為相貫線為相交兩直線相交兩直線 （4 4）兩圓柱軸線平）兩圓柱軸線平行相貫線為行相貫線為平行兩直線平行兩直線上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖4.4.4 4.4.4 組合相貫線組合相貫線 三個(gè)或三個(gè)以上的立體相交在一起，稱為組合相三個(gè)或三個(gè)以上的立體相交在一起，稱為組合相貫。這時(shí)相貫線由若干條相貫線組合而成。貫。這時(shí)相貫線由若干條相貫線組合而成。 處理組合