曲線與方程中的和、差、積、商

1、曲線與方程中的和、差、積、商摘要 和、差、積、商本來(lái)是代數(shù)中的數(shù)語(yǔ)，但是，在幾何中也有用武之地，并且有不俗的表現(xiàn)，它把代數(shù)中的有關(guān)知識(shí)與幾何中的有關(guān)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，使人有耳目一新的感受.關(guān)鍵詞 解析幾何，和，差，積，商，距離，斜率解析幾何是以坐標(biāo)為核心的幾何學(xué)，是用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.它以坐標(biāo)法為基礎(chǔ)，在坐標(biāo)平面上，以坐標(biāo)表示點(diǎn)，用方程表示曲線（包括直線），通過(guò)研究方程的特征，間接地來(lái)研究曲線的性質(zhì).因此，它主要有兩方面作用：一，以代數(shù)為方法解決幾何問(wèn)題，也就是幾何問(wèn)題的代數(shù)化；二，給代數(shù)問(wèn)題以一種幾何解釋，即代數(shù)關(guān)系的幾何意義.距離、斜率是解析幾何中的兩個(gè)基本概念，在坐標(biāo)平面

2、內(nèi)，一條線段的長(zhǎng)度或其所在直線的斜率與其上的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)，所以，兩點(diǎn)間的距離或經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)直線的斜率是這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的函數(shù).和、差、積、商，本來(lái)是代數(shù)中的基本運(yùn)算，但是它在解析幾何中也有不俗的表現(xiàn)，下面請(qǐng)看：一、與距離有關(guān)1、平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離的和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)、叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.解析：以兩定點(diǎn)、所在直線為軸，的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的焦距為，則，常數(shù)，所以由條件有，即，化簡(jiǎn)得，其中(如圖1).2、平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之差等于常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)、叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩

3、焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.解析：以兩定點(diǎn)、所在直線為軸，的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)為雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距為，則，常數(shù)，所以由條件有，即，化簡(jiǎn)得，其中(如圖2) .3、平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離的乘積等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫卡西尼卵形線.這兩個(gè)定點(diǎn)、叫做卡西尼卵形線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做卡西尼卵形線的焦距.解析：以兩定點(diǎn)、所在直線為軸，的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)為卡西尼卵形線上任意一點(diǎn)，兩定點(diǎn)、間的距離為，常數(shù)為，則，所以，即，化簡(jiǎn)得(如圖3) .特別地，當(dāng)時(shí)，得到貝努利雙紐線(如圖4) . 當(dāng)時(shí)，得到?jīng)]有自交點(diǎn)的兩個(gè)卵形線.4、平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之

4、比等于常數(shù)（不等于1）的點(diǎn)的軌跡叫圓（也稱阿波羅尼斯圓）.這個(gè)圓，是以兩已知點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的定比為常數(shù)（不等于1）的內(nèi)外分點(diǎn)作為直徑的兩端點(diǎn)的圓.解析：以兩定點(diǎn)、所在直線為軸，的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)為阿波羅尼斯圓上任意一點(diǎn)，兩定點(diǎn)、間的距離為，常數(shù)為，則，所以由條件有，即化簡(jiǎn)得(如圖5) .也就是說(shuō)，是以的外角平分線及的平分線與、所在直線的交點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓.特別地，當(dāng)時(shí)，軌跡為兩定點(diǎn)所在線段的中垂線.二、與斜率有關(guān)1、平面內(nèi)與兩定點(diǎn)連線斜率之和為定值（不等于零）的點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一部分.解析：以兩定點(diǎn)、所在直線為軸，的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)

5、，兩定點(diǎn)、間的距離為，定值為，則，所以，即，化簡(jiǎn)得，所以，滿足條件的點(diǎn)的軌跡方程為.2、平面內(nèi)與兩定點(diǎn)連線斜率之差為定值（不等于零）的點(diǎn)的軌跡是拋物線的一部分.解析：以兩定點(diǎn)、所在直線為軸，的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，兩定點(diǎn)、間的距離為，定值為，則，所以，即，化簡(jiǎn)得，所以，滿足條件的點(diǎn)的軌跡方程為.3、平面內(nèi)與兩定點(diǎn)連線斜率之積為定值（不等于零）的點(diǎn)的軌跡是圓或橢圓或雙曲線的一部分.解析：以兩定點(diǎn)、所在直線為軸，的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，兩定點(diǎn)、間的距離為，定值為，則，所以，即，化簡(jiǎn)得，所以，滿足條件的點(diǎn)的軌跡方程為.當(dāng)定值時(shí)，軌跡

6、為圓的一部分；當(dāng)定值時(shí)，軌跡為橢圓的一部分；當(dāng)定值時(shí)，軌跡為雙曲線的一部分.特別地，當(dāng)定值取，取時(shí)，橢圓方程為；當(dāng)定值取，取時(shí)，雙曲線方程為.4、平面內(nèi)與兩定點(diǎn)連線斜率之商為定值的點(diǎn)的軌跡是直線的一部分.解析：以兩定點(diǎn)、所在直線為軸，的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，兩定點(diǎn)、間的距離為，定值為，則，所以，即，化簡(jiǎn)得，所以，滿足條件的點(diǎn)的軌跡方程為.三、應(yīng)用1、2011北京 曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)和的距離的積等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，給出下列三個(gè)結(jié)論： 曲線C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)； 曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱； 若點(diǎn)在曲線C上，則的面積不大于.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是_.解：利用結(jié)論易知

7、：曲線C為卡西尼卵形線（如圖），所以，設(shè)點(diǎn)為曲線C上任一點(diǎn)，則，化簡(jiǎn)得，經(jīng)驗(yàn)證是錯(cuò)誤的，是正確的；又，所以正確.因此，本命題中只有、是正確的.2、2008江蘇 滿足條件的三角形的面積的最大值為 .解：設(shè)BC，則AC ，根據(jù)面積公式得=，根據(jù)余弦定理得，代入上式得=，由三角形三邊關(guān)系有解得，故當(dāng)時(shí)，取得最大值.利用結(jié)論：由圖易知，點(diǎn)的軌跡為阿波羅尼斯圓，當(dāng)點(diǎn)到直徑所在直線的距離為圓的半徑時(shí)，取得最大值，所以，三角形的面積的最大值=. 3、2010山東 如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為，一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)

8、. （）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； （）設(shè)直線、的斜率分別為、，證明：. 解：（）略解：由題意易得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（）一般解法：設(shè)，則由（）知，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，因此，即.利用結(jié)論知：.4、2011江西 是雙曲線上一點(diǎn)，、分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，直線、的斜率之積為，求雙曲線的離心率解：一般解法：因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以有，由題意有可得.利用結(jié)論知：，即，又，所以.5、2010北京 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是動(dòng)點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于.求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.解：因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為 由題意得，化簡(jiǎn)得 .故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.6、2011湖北 平面內(nèi)與兩定點(diǎn)，連線的斜率之積等于非零常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，加上、兩點(diǎn)所成的曲線可以是圓、橢圓或雙曲線，求曲線的方程，并討論的形狀與值得關(guān)系.解：利用結(jié)論，當(dāng)時(shí)，由條件易得 ，由題意，曲線的方程為. 當(dāng)時(shí)，曲線的方程為，曲線它表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓； 當(dāng)時(shí)，曲線它表示圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓； 當(dāng)時(shí)，曲線的方程為，曲線它表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓； 當(dāng)時(shí)，曲線它表