微分方程復(fù)習(xí)

1、第四章 微分方程4.1 方程分類與解法4.1.1 一階，可分離變量方程l 一階變量分離方程l 齊次方程令，4.1.2 一階線性非齊次方程齊次方程通解 標(biāo)準(zhǔn)形 通解伯努利方程令得4.1.3 特殊二階方程 降階法l 微分方程接連積分n次，便得到微分方程的含有n個(gè)任意常數(shù)的通解。l 令 則l 令 則l 首次積分方法若則稱為方程0的首次積分。這樣就把原方程降了一階。特別地，二階的就變成一階方程了。4.1.4 二階（高階）線性常系數(shù)方程1線性方程解的結(jié)構(gòu)理論定理1（疊加原理） 設(shè)是齊次方程的解，則它們的線性組合 也是齊次方程的解，其中是任意常數(shù)。定理2 設(shè)是非齊次方程的一個(gè)解， 是對(duì)應(yīng)的齊次方程的解，則

2、也是非齊次方程的解，其中是任意常數(shù)。定理3 （二階齊次線性微分方程通解的結(jié)構(gòu)） 設(shè)和是方程（3）的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)特解，則 （是任意常數(shù)）是方程（3）的通解。對(duì)于二階非齊次線性微分方程（4）有如下的定理。定理4（二階非齊次線性微分方程通解的結(jié)構(gòu)） 設(shè)是方程（4）的一個(gè)特解，和是方程（4）對(duì)應(yīng)的齊次線性方程（3）的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解，則(5)是方程（4）的通解。2齊次方程 特征方程 綜上所述，求二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解的步驟如下：第一步 寫出微分方程的特征方程第二步 求出特征方程的兩個(gè)根。第三步 根據(jù)特征方程兩個(gè)根的不同情形，按照下列表格寫出微分方程（3）的通解特征方程的兩個(gè)根微分方程的通解兩個(gè)

3、不相等的實(shí)根兩個(gè)相等的實(shí)根一對(duì)共軛復(fù)根對(duì)于高階常系數(shù)齊次線性微分方程可以根據(jù)下表給出的特征方程的根寫出對(duì)應(yīng)齊次線性微分方程的解如下：特征方程的根微分方程通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)單實(shí)根一對(duì)單復(fù)根k重實(shí)根k重復(fù)根給出一項(xiàng)給出兩項(xiàng)給出k項(xiàng)：項(xiàng)給出2k項(xiàng)： 3非齊次方程 其通解是其中是對(duì)應(yīng)齊次方程的解，是非齊次方程的解。特解 k是特征根的重復(fù)次數(shù)， 特解k是特征根的重復(fù)次數(shù)。4歐拉方程 令 或 ，則，若引入微分算子符號(hào)，則上述結(jié)果可簡(jiǎn)記為，一般地 4.2 解法選例4.2.1 基本題目類例1 解 首先觀察此類方程：一階，可分離變量，代入初值故例2 解 首先觀察此類方程：一階，線性非齊次方程。例3 令，則，例4 解

4、 例5 解 觀察：一階，齊次方程令 代入方程消去 得整理 積分將代入得代入初值 整理。例6 解 （1）令代入方程或 （舍不符合初值）積分即代初值代初值解 （2） 代初值，代初值例7 填空a 方程 通解為（）b 方程 的通解為（）c 方程 的通解為（）d 方程 的通解為（4.2.2 綜合題目類例8 設(shè)于上可導(dǎo)，且其反函數(shù)為，若，求。解 對(duì)求導(dǎo) ，即 ，故，即。例9 于上可導(dǎo)。 且滿足（1）求（2）證明當(dāng)時(shí)。解 求導(dǎo) 則 代初值 得 又故即。例10 有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，且滿足 ，求。解 （注意到,）代入初值 ，積分，代初值 得，則例11 已知是方程的一個(gè)特解，求方程通解。解 設(shè)也是方程的解，代入方程有

5、整理取，則。故是方程通解例12 求解歐拉方程（1）；（2）。解 （1） 令 則 特征方程為 則。（2） 令 則特征方程：不是特征根，故設(shè)特解代入方程 ，則方程通解 。例13 求解方程 解 此方程是全微分方程。因?yàn)槠湓瘮?shù)（勢(shì)函數(shù)）即方程為 或解 則即 是方程的解。例14 已知 是二階線性齊次方程的解，試建立此方程解 線性無(wú)關(guān)，則是方程的通解（1）又（2）（3）聯(lián)立（1）（3）求，代入（2）整理得例15 設(shè)，是的兩個(gè)解，求值。解 是解，則是特征根，是解，則是特征根，且是二重根。特征方程為 即 ，比較原特征方程 得。也可以將代入方程得；將代入方程得，從而，。例16 已知 的三個(gè)特解為試求 特解。解

6、 非齊次方程的任兩個(gè)特解之差是齊次方程特解，故是齊次方程的解，且線性無(wú)關(guān)，故是非齊次方程通解。代入初值，則從而特解為。4.3 微分方程應(yīng)用問(wèn)題解題總的步驟（1） 分析題意建立方程（2） 依題意寫出初始條件（3） 識(shí)別方程類型解方程4.3.1 幾何問(wèn)題例1 設(shè)曲線過(guò)點(diǎn)，曲線上任一點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn)，若（是原點(diǎn)），求的方程。解 1. 列方程 切線方程為令的（OT）|PT|，由 整理得 2結(jié)合初值條件得初值問(wèn)題3方程是齊次方程 令 代入方程消去 得整理 積分將代入得代入初值 整理。例2 設(shè)函數(shù)二階可導(dǎo)，且，。過(guò)曲線上任一點(diǎn)作切線及軸的垂線，上述兩條直線與軸所圍成的三角形的面積記為，區(qū)間上以為曲邊的曲

7、邊梯形的面積記為，且，求曲線。解 在點(diǎn)處的切線方程為它與軸的交點(diǎn)為，由知，于是又，由得由此知，上式兩端對(duì)求導(dǎo)并化簡(jiǎn)得令 ，則方程變形為由，即，故有解得代入初始條件得，即于是代入初始條件，得 故所求曲線為。例3 位于坐標(biāo)原點(diǎn)的我艦向位于點(diǎn)處的敵艦發(fā)射制導(dǎo)魚(yú)雷，設(shè)魚(yú)雷永遠(yuǎn)對(duì)準(zhǔn)敵艦，已知敵艦航速為。在直線上行駛，魚(yú)雷速度為。求魚(yú)雷航跡曲線。又?jǐn)撑炐旭偠噙h(yuǎn)時(shí)被魚(yú)雷擊中？解 如圖，設(shè)時(shí)刻魚(yú)雷行至點(diǎn)，敵艦至T點(diǎn)，則。以下求|AT|。過(guò)點(diǎn)P的切線方程為，令，（AT）故得方程：求導(dǎo)整理得解方程：將代入 即平方：代入初值 故 當(dāng)，擊中。小結(jié)：用幾何關(guān)系建立方程4.3.2 物理問(wèn)題例4 物理問(wèn)題從船上向海中沉放某

8、種探測(cè)儀器，按探測(cè)要求，需確定儀器的下沉深度（從海平面算起）與下沉速度之間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)儀器在重力作用下，從海平面由靜止開(kāi)始鉛直下沉，在下沉過(guò)程中還受到阻力和浮力的作用。設(shè)儀器的質(zhì)量為m，體積為B，海水比重為，儀器所受的阻力與下沉速度成正比，比例系數(shù)為，試建立與所滿足的微分方程，并求出函數(shù)關(guān)系式。解 取沉放點(diǎn)為原點(diǎn)，軸正向鉛直向下，則由牛頓第二定律得依題意，代入上式消去，得分離變量得積分后得由初始條件定出故所求函數(shù)關(guān)系式為4.3.3 微元分析法例5 設(shè)一半徑為6cm，高為25cm的圓柱體容器充滿水，其底部有一0.2（cm）的小孔，那么水就以的速度從小孔流出。（h為自由水面到柱底的高度），求水流規(guī)律（h（t）？）解 設(shè)時(shí)刻，自由水面高度為，再經(jīng)dt時(shí)段水位下降位dh則，則記 解得，令 t213秒例6 設(shè)一車間容積為10000M?？諝庵泻校ㄒ匀莘e記計(jì)算）?，F(xiàn)將含有的新鮮空氣以1000的速度輸入車間，同時(shí)以的流量抽出混合氣體。問(wèn)10分鐘后，車間內(nèi)的濃度降到多少？解：設(shè)t時(shí)刻，車間內(nèi)含M，經(jīng)dt時(shí)段改變量為dx，則輸入輸出10dt整理得解得 此時(shí)濃度為4.3.4 “翻譯”！例7 一半球形雪堆其溶化速度與半球表面積成正比，比例系數(shù),假設(shè)溶化過(guò)程中，雪堆始終保持半球體狀。已知半徑的雪堆開(kāi)始溶化3小時(shí)，其體積是原來(lái)的，問(wèn)全部溶化需多少時(shí)間？解 時(shí)段 令（全部溶化）。例8 人口問(wèn)題、細(xì)菌繁殖