第3章 離散信號的時(shí)域和Z域分析

1、第三章離散信號的時(shí)域和z域分析3.1離散信號的時(shí)域分析3.2離散信號的z域分析3.1離散信號的時(shí)域分析 離散時(shí)間信號的定義是僅在規(guī)定的離散時(shí)間點(diǎn)上有定義，而在其他時(shí)間內(nèi)無定義。在工程上將間隔相等的離散信號稱為離散時(shí)間序列，簡稱序列，表示為f(n) 或x(n)。離散時(shí)間序列的表示方法 解析形式：用函數(shù)式來表示 序列集合形式 箭頭標(biāo)記出n=0的位置1( )2( 1)(,)nf nn 1( ),2, 2,2, 2,2, 2,f n 圖形形式：用信號的波形來表示 一、一、 序列的運(yùn)算序列的運(yùn)算 與連續(xù)信號處理類似，在離散信號處理中，也需要對離散信號進(jìn)行運(yùn)算。 一、一、 序列的運(yùn)算序列的運(yùn)算 1 序列的

2、移位序列的移位 如圖1所示的序列x(n)，其移位序列w(n)為 )()(mnxnw當(dāng)m為正時(shí)，則x(n-m)是指序列x(n)逐項(xiàng)依次右移m位而給出的一個(gè)新序列; 當(dāng)m為負(fù)時(shí)，x(n-m)是指依次左移m位。n87654320112354w(n) x(n2)5 4x(5)x(4)x(3)3 2 1 0123 456nx(4)x(5) x(6)x(3)x(2)x(1)x(0)x(n)x(2)x(1) 2 序列的翻褶序列的翻褶 如果序列為x(n), 則x(-n)是以n=0的縱軸為對稱軸將序列x(n)加以翻褶。圖 3 序列的翻褶(a) x(n)序列； (b) x(-n)序列 nnx(n)654 32 1

3、0123 45x( n)5 4321 012345 6(a)(b) 3 序列的和序列的和 兩序列的和是指同序號n的序列值逐項(xiàng)對應(yīng)相加而構(gòu)成的一個(gè)新序列。 和序列z(n)可表示為 )()()(nynxnz離散信號的相加 4 序列的乘積序列的乘積 兩序列相乘是指同序號n的序列值逐項(xiàng)對應(yīng)相乘。 乘積序列f(n)可表示為 )()()(nynxnf離散信號的相乘 5 序列的標(biāo)乘序列的標(biāo)乘 序列x(n)的標(biāo)乘是指x(n)的每個(gè)序列值乘以常數(shù)c。標(biāo)乘序列f(n)可表示為 )()(ncxnf例：例：序列的序列的標(biāo)乘標(biāo)乘12,1( )0,1nnx nn 12,14 ( )0,1nnx nn 6 6、離散信號的差

4、分：、離散信號的差分： 相鄰兩個(gè)序列值的變化率就是這兩個(gè)序列之差，故為差分運(yùn)算。 一階向前差分： 一階向后差分：)() 1()(kfkfkf) 1()()(kfkfkf如果對差分運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行差分，可得到高階差分運(yùn)算，如二階，三階差分。結(jié)論：結(jié)論：x(n)=x(n-1) )() 1(2)2()() 1()()(2nxnxnxnxnxnxnx)2() 1(2)() 1()()()(2nxnxnxnxnxnxnx 7 累加累加設(shè)某序列為x(n)，則x(n)的累加序列y(n)定義為 nkkxny)()(它表示y(n)在某一個(gè)n0上的值y(n0)等于在這一個(gè)n0上的x(n0)值與n0以前所有n上的x(n

5、)之和。 舉例：求下圖的)(),(),(kykfkf二、二、 基本離散序列基本離散序列 1 單位脈沖序列單位脈沖序列(n) 0001)(nnn 這個(gè)序列只在n=0 處有一個(gè)單位值1，其余點(diǎn)上皆為0， 因此也稱為“單位采樣序列”。單位采樣序列如圖2所示。圖 2 (n)序列 1(n)453 2 1012345n 這是最常用、最重要的一種序列，它在離散時(shí)間系統(tǒng)中的作用，很類似于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中的單位沖激函數(shù)(t)。 注意：注意：(t) 與與(n) 的區(qū)別的區(qū)別 任意序列可以利用單位脈沖序列及帶時(shí)移單位脈沖序列的線性加權(quán)和表示，如圖所示離散序列可以表示為( )3 (1)( )2 (1)2 (2)f nn

6、nnn性質(zhì)：它也具有抽樣性性質(zhì)：它也具有抽樣性，即( ) ( )(0) ( )( ) ()( ) ()( ) ()() ()f nnfnf nnmf mnmf nnmfmnm2 單位階躍序列單位階躍序列u(n) 0001)(nnnu 這個(gè)序列在 時(shí)取值為1， 時(shí)取值為0， 因此稱為“單位階躍序列”。單位階躍序列如圖3所示。0n 0n 圖 3 u(n)序列 54321012345nu(n)16 它很類似于連續(xù)時(shí)間信號與系統(tǒng)中的單位階躍函數(shù)u(t)，它也具有截取特性，即可將一個(gè)雙邊序列截成一個(gè)單邊序列。 注意：注意： u(t)與u(n)的區(qū)別( )0( ) ( )00f nnf n u nn(n)

7、和u(n)間的關(guān)系為 ) 1()()(nunun這就是u(n)的后向差分。 而 nkknu)()(這里就用到了累加的概念。 3矩形序列矩形序列RN(n) nNnnRN其他0101)(矩形序列RN(n)如圖6所示。 圖 6 RN(n)序列 nRN(n)110123NN1RN(n)和(n)、u(n)的關(guān)系為: )()()(NnununRN)1() 1()()()(10NnnnmnnRNmN4實(shí)指數(shù)序列實(shí)指數(shù)序列)()(nuanxn式中，a為實(shí)數(shù)。當(dāng)|a|1時(shí)，序列是發(fā)散的。a為負(fù)數(shù)時(shí)，序列是擺動(dòng)的，如圖7所示。 實(shí)指數(shù)序列是指序列值隨序號變化剛好按指數(shù)規(guī)律變化的離散時(shí)間信號，常用的實(shí)指數(shù)序列為單邊

8、實(shí)指數(shù)序列，圖 7 指數(shù)序列(a) 0a1; (c) -1a0 5正弦序列正弦序列x(n)=A sin(n0+)式中: A為幅度; 為起始相位; 0為數(shù)字域的頻率，它反映了序列變化的速率。 現(xiàn)在討論上述正弦序列的周期性。 由于 )sin()(0nAnx則 )sin()sin()(000nNANnANnx若N0=2k, 當(dāng)k為正整數(shù)時(shí)，則 )()(Nnxnx 這時(shí)的正弦序列就是周期性序列，其周期滿足N=2k/0（N，k必須為整數(shù)）?？煞謳追N情況討論如下。 （1） 當(dāng)2/0為正整數(shù)時(shí)，周期為2/0。 （2） 當(dāng)2/0不是整數(shù)，而是一個(gè)有理數(shù)時(shí)（有理數(shù)可表示成分?jǐn)?shù)），則 kN0202NkkNk式中，

9、k, N為互素的整數(shù)，則為最小正整數(shù)，序列的周期為N。 （3）當(dāng)2/0是無理數(shù)時(shí)，則任何k皆不能使N取正整數(shù)。 這時(shí)，正弦序列不是周期性的。 這和連續(xù)信號是不一樣的這和連續(xù)信號是不一樣的。 3( )2cos(7)4x nn3( )2cos(7)4x nn ( )5sin(3)4x nn 6 復(fù)指數(shù)序列復(fù)指數(shù)序列 序列值為復(fù)數(shù)的序列稱為復(fù)序列。 復(fù)指數(shù)序列的每個(gè)值具有實(shí)部和虛部兩部分。 復(fù)指數(shù)序列是最常用的一種復(fù)序列： njAenx)(0)(或或 njAenx0)(式中，0是復(fù)正弦的數(shù)字域頻率。 對第一種表示，序列的實(shí)部、虛部分別為 0()00cos()sin()jnnneenjAen注意：注意

10、：復(fù)指數(shù)序列是否為周期序列，其判別方法復(fù)指數(shù)序列是否為周期序列，其判別方法與正弦序列的方法相同。與正弦序列的方法相同。 8、卷積和運(yùn)算（線性卷積） 卷積和與連續(xù)信號的卷積非常類似，它也是一種重要的數(shù)學(xué)工具。 卷積和也稱為或離散卷積離散卷積。1)定義、表達(dá)式定義、表達(dá)式設(shè)兩序列x(n)、 h(n)，則其卷積和定義為：2)求和區(qū)間的討論：求和區(qū)間的討論：(1) 為因果信號(2) 為因果信號(3) 同為因果信號1( )f n2( )f n12( )( )f nf n、12120( )( )( )()kf nfnf k fnk1212( )( )( )()nkf nfnf k fnk12120( )(

11、 )( )()nkf nfnf k fnk舉例：無限長的序列，設(shè)12( )( )3nf nu n2( )( )fnu n求12( )( )( )f nf nfn 3) 卷積的圖解機(jī)理卷積的圖解機(jī)理 （1）翻褶：先在啞變量坐標(biāo)m上作出x(m)和h(m)， 將h(m)以m=0 的垂直軸為對稱軸翻褶成h(-m)。 （2）移位：將h(-m)移位n，即得h(n-m)。當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)， 右移n位; 當(dāng)n為負(fù)整數(shù)時(shí)，左移n位。 （3）相乘：再將h(n-m)和x(m)的相同m值的對應(yīng)點(diǎn)值相乘。 （4）相加：把以上所有對應(yīng)點(diǎn)的乘積累加起來， 即得y(n)值。 依上法，取n各值，即可得全部y(n)值。 1001(

12、 )( ) ()1nnnn mnmmmmay nx m z nmaaaa1001( )( ) ()1nnnn mnmmmmay nx m z nmaaaaaaaaaanynnmmmnmn1)(144040aaaaaanynnmmmnmn1)(144040410660( )nnmkmnky naa47101066001nnnkkkkaaaaaa4）卷積的性質(zhì)）卷積的性質(zhì)(1)代數(shù)定律：交換律、分配律、結(jié)合律1221( )( )( )( )f nfnfnf n1231213( ) ( )( )( )( )( )( )f nfnf nf nfnf nf n123123( )( )( )( )( )(

13、 )f nfnf nf nfnf n(2)與取樣序列的卷積(3)卷積的時(shí)移性質(zhì)( )( )( )f nnf n( )()()f nnmf nm12( )( )( )f nf nfn1212()()( )( )()f nmf nmfnf nfnm12()()()f nmNf nmfnN(4)序列與 的卷積 ( )u n( )( )( )nif nu nf i 5）卷積和的計(jì)算(1)圖解法-與連續(xù)信號卷積機(jī)理類似(2)豎乘法-有限長序列 具體方法：具體方法：將兩個(gè)序列排成兩行，按普通的乘法運(yùn)算進(jìn)行相乘，但中間結(jié)果不進(jìn)位，最后將同一列的中間結(jié)果進(jìn)行相加得到卷積和序列 序列號的確定：序列號的確定：相乘

14、的2個(gè)序列值的序號之和等于卷積和的序列號 (3)定義求法(4)利用Z變換求法1( )1,3,2,40f nn2( )2,1,30f nn12( )( )( )f nf nfn 例：，求 ， 結(jié)論：結(jié)論： 若設(shè)兩個(gè)序列的長度分別為若設(shè)兩個(gè)序列的長度分別為N和和M，則卷積和后的序列長度為則卷積和后的序列長度為(N+M-1) 1( )4,3,2,1,70f nn2( )5,2,3,60f nn12( )( )( )f nf nfn 練習(xí)：求 常見信號的卷積：常見信號的卷積：111( )* ( )(1) ( )1( )* ( )( )1( )*( )( )( )*( )(1)( )nnnnnnnnnu

15、 nu nnu naa u nu nu naaba u nb u nu naba u na u nna u n3.2 離散信號的z域分析 Z變換是與連續(xù)系統(tǒng)的拉普拉斯變換相對應(yīng)的一種變換域分析方法，它對于分析線性分析線性時(shí)不變離散系統(tǒng)是時(shí)不變離散系統(tǒng)是一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具。Z變換和拉普拉斯變換之間存在密切的關(guān)系，它們的性質(zhì)也有相似之處，同時(shí)兩者之間也存在著一些重要的差異。抽樣信號抽樣信號單邊拉氏變換單邊拉氏變換0)()()(nsnTtnTxtx00000( )() ()()()()stsnstnsnTnXsx nTtnT edtx nTtnT edtx nT e1、Z變換的定義變換的定義一、z

16、變換的定義及收斂域令令 , 其中其中 z 為一個(gè)復(fù)變量為一個(gè)復(fù)變量則則歸一化歸一化 T=1sTez 0)()(nnznTxzX0)()(nnznxzX單邊Z變換結(jié)論：結(jié)論：0)()(nnznxzX單邊單邊Z變換變換雙邊雙邊Z變換變換nnznxzX)()(注意：工程常用的是單邊注意：工程常用的是單邊z變換，以后沒有特別指變換，以后沒有特別指明，都指的是單邊明，都指的是單邊z變換。變換。8.3 z變換的收斂域變換的收斂域2z變換的收斂域變換的收斂域收斂的所有收斂的所有z 值之值之集合集合為收斂域。為收斂域。對于任意給定的序列對于任意給定的序列x(n) ，能使，能使( )( )nnX zx n z

17、( ) ROC).nnx n z 即滿足的區(qū)域（1）收斂域的定義）收斂域的定義 對于實(shí)際中常見的實(shí)指數(shù)信號 ，其收斂點(diǎn)和發(fā)散點(diǎn)都在無窮遠(yuǎn)處，可簡化為 求出收斂域。 n, ( )0nx n z 時(shí)2）收斂域的求法）收斂域的求法( ) nnx n z na)()(nuanxn11001( )()1nnnnnzX za zazazza1 n, ( )01nnnx n za zazza 時(shí)例：不同不同x(n)的的z變換，由于收斂域不同，可能變換，由于收斂域不同，可能對應(yīng)于相同的對應(yīng)于相同的z 變換，故在確定變換，故在確定 z 變換時(shí)，變換時(shí)，必須指明收斂域。必須指明收斂域。一般而言不同形式的序列其收斂

18、域形式不一般而言不同形式的序列其收斂域形式不同，下面分別討論幾種序列的收斂域。同，下面分別討論幾種序列的收斂域。3）幾類序列的收斂域）幾類序列的收斂域（1）有限序列：在有限區(qū)間內(nèi)，有非零的有限）有限序列：在有限區(qū)間內(nèi)，有非零的有限值的序列值的序列2121)()(nnnznxzXnnnn由于是有限項(xiàng)求和，故收斂域?yàn)槌擞捎谑怯邢揄?xiàng)求和，故收斂域?yàn)槌?和和 的的整個(gè)整個(gè) 平面。平面。z)(nx思考：收斂域何時(shí)不包含思考：收斂域何時(shí)不包含0，何時(shí)不包含，何時(shí)不包含 ？Re zIm zj（2）因果序列：只在）因果序列：只在 區(qū)間內(nèi)，有非零的區(qū)間內(nèi)，有非零的有限值的序列有限值的序列0n )(nx0(

19、)( )nnX zx n z1xRz 收斂半徑圓外為收斂域1xRRezImzj（3）左邊序列：只在）左邊序列：只在 區(qū)間內(nèi)，有非零區(qū)間內(nèi)，有非零的有限值的序列的有限值的序列1n )(nx1( )( )nnX zx n z2xRz 收斂半徑圓內(nèi)為收斂域，2xRImzjRez（4）雙邊序列：只在）雙邊序列：只在 區(qū)間內(nèi)，區(qū)間內(nèi)， 有非零的有限值的序列有非零的有限值的序列n)(nxnznxzXnn)()(01)()()(nnnnznxznxzX圓內(nèi)收斂圓外收斂12xxRR12xxRR有環(huán)狀收斂域沒有收斂域12xxRRImzjRez注意注意: 對于常用的指數(shù)序列對于常用的指數(shù)序列 收斂半徑為收斂半徑為

20、naxRa)(31)() 1 (nunxn31311131)(101zzzzzXnn311xR31ImzjRez例：求以下序列的z變換及其收斂域。解：11313xRz因果序列) 1(31)()2(nunxn反因果序列313111)3(13131)(101111zzzzzzzXmmmmnmnn21313xRz2xR31ImzjRez解：nnx31)()3(雙邊序列)(3(31133131)(3138101zzzzzzzzzXnnnnnImzj331 zRez解：二、二、 常用基本序列的單邊常用基本序列的單邊z變換變換1指數(shù)序列azznuan)(1)nza unza 2單位階躍序列1)(zznu(

21、1)1zunz3單位沖激序列 1)()(nnznzF即：即：1)(n表3-1 常用離散序列的z變換對三、三、 單邊單邊z z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì)1、線性、線性1 12 21122( )( )( )( )ax na x naX za X z則，該性質(zhì)是Z域分析的基礎(chǔ)，其收斂域至少是兩個(gè)的交集。11x ( )( ),nXz22x ( )( ),nXz1)()( )()( )mmzx nmzX zx nmz X z雙邊 變換2、位移性、位移性)()()()(:)21mkkmzkxzXznumnxz變換單邊10)()()()(mkkmzkxzXznumnx對于任意正整數(shù)對于任意正整數(shù)m，nO)(nx4

22、nO)2( nx4nO)2( nx411 211 211 2 原序列不變，只影響在時(shí)間軸上的位置。原序列不變，只影響在時(shí)間軸上的位置。處收斂域：只會影響zz, 0 )()()()(zXzmnxZzzXnxZznxm 變換為變換為的的，則其右移位后，則其右移位后變換為變換為的雙邊的雙邊若序列若序列1）雙邊）雙邊z變換的位移性質(zhì)變換的位移性質(zhì) )()(zXzmnxZzm 變換為：變換為：同理，左移位后的同理，左移位后的2）單邊）單邊z變換的位移性質(zhì)變換的位移性質(zhì)nO nunx)(4n)()2(nunx 4n)()2(nunx 411 O 11 O 11 .,的的長長度度有有所所增增減減較較nunx

23、numnxnumnx 若若x(n)為雙邊序列，其為雙邊序列，其單單邊邊z變換為變換為 )()(nunxZ例：求序列 的Z變換( )( )()111111NNNNNZ RnZ u nZ u nNzzzzzzzzzzzz解：()( + )n mn m、例：求矩形序列的Z變換()( + )mmn mzn mz3 3、z z域尺度變換（序列指數(shù)加權(quán)）域尺度變換（序列指數(shù)加權(quán)） 若 ，則：)()(zFnf)()()(azFnfaazFnfann4 4、時(shí)間翻轉(zhuǎn)性質(zhì)、時(shí)間翻轉(zhuǎn)性質(zhì)若 ，則： )()(zFnf1(- )( )fnFz例：求例：求 的的Z變換。變換。（ ）na1a 5 5、 Z Z域微分（序列

24、線性加權(quán)）域微分（序列線性加權(quán)）若 ，則： )()(zFnf)()(zFdzdznnf解：解： 。變換變換的的求求zXznunan)( azazznuaZn ,)( )()(dd)(22azzaazzazzzazzznunaZn az 6、卷積定理、卷積定理1212( )( )( )( )f nfnF zF z11( )( ),f nF z如22( )( ),fnF z則。求求，)()()(,)()(),()(nhnxnynubnhnuanxnn azazzzX )( bzbzzzH )()()()()(2bzazzzHzXzY 解：解： bzbzazazbazY1)( )()(1)(nubb

25、nuaabanynn )(111nubabann 7、初值、終值定理、初值、終值定理 x(n)是因果序列，且是因果序列，且z變換為變換為X(z)(lim)0(zXxz)() 1(lim)(lim1zXznxzn終值存在的條件 (1) X(z)的極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)，收斂半徑小于的極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)，收斂半徑小于1，有終值，有終值;例：例： ，終值為，終值為01),( anuan(2)若極點(diǎn)位于單位圓上，只能位于若極點(diǎn)位于單位圓上，只能位于 ，并且是一，并且是一 階極點(diǎn)階極點(diǎn). 1 z注意：注意：和系統(tǒng)和系統(tǒng)穩(wěn)定性穩(wěn)定性條件區(qū)別，系統(tǒng)穩(wěn)定性條件條件區(qū)別，系統(tǒng)穩(wěn)定性條件 只有只有第一條第一條。例：例：u

26、(n)，終值為，終值為1終值存在的條件四、四、 Z變換的逆變換變換的逆變換逆逆Z變換的方法變換的方法 （1）冪級數(shù)展開法）冪級數(shù)展開法 （2）部分分式法）部分分式法1、冪級數(shù)展開法冪級數(shù)展開法(長除法）長除法）如果如果z變換變換X(z)能表示成冪級數(shù)的形式，能表示成冪級數(shù)的形式， 則可以直則可以直接看出序列接看出序列x(n)是是 的系數(shù)的系數(shù) nnznxzX)()(因果序列的逆因果序列的逆z變換變換 2100)2()1()0()()(zxzxzxznxzXnn反因果序列的逆反因果序列的逆z變換變換 3211 )3()2()1()()(zxzxzxznxzXnn 的的升升冪冪排排列列以以將將zzX X zz將以 的降冪排列系數(shù)x x( (n n) )的求法：的求法：用長除法因果序列：因果序列： 分子分母按照Z的降冪排列，然后用分子除以分母；反因果序列：反因果序列： 分子分母按照Z的升冪排列，然后用分子除以分母；例 11, 2, 3, 4,nnx 1211222 zzzzzzzzXz221zz 4324 3 2 zzzz322 zzz 322zz 432242zzz 432 3zz 543363zzz 5434zz 654484zzz 65