球面曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用

1、球面曲線的性質(zhì)與應(yīng)用劉濱赫摘 要 本文是在前人工作的基礎(chǔ)上，對前人條件的總結(jié)，歸納，改進，研究了球面曲線的充要條件，又給出了球面曲線的性質(zhì)，進而又對一類特殊的球面曲線（球面曲線為閉曲線）進行了討論并對球面曲線的應(yīng)用做了一些簡單的介紹.關(guān)鍵詞 球面曲線 充要條件 閉曲線1引言球面曲線的充要條件，一直為人們所關(guān)注.1963年Y C Wong 給出了一個充要條件，1971年S Breuer and D Gottlieb又給出一個充要條件.1972年Y Wong對1971年的文獻的結(jié)果作了改進.1975年ishop又給出一個充要條件.然而這個充要條件不便于用來檢驗給定曲線是否為球面曲線.那么對于尋找一

2、種容易判斷的方法是有必要地.在對球面曲線充要條件研究的基礎(chǔ)上，原來空間曲線的一些性質(zhì)如曲率，撓率等在這種特殊的空間曲線上又有什么其他的結(jié)論？我們有必要給出. 2.球面曲線的充要條件及性質(zhì)曲率與撓率是描述曲線特征重要的兩個量，而且容易求得，對于以前的那些充要條件，容易理解但不便于應(yīng)用，那么接下來我們就通過曲線的曲率與撓率來給出曲線為球面曲線的條件及其推論并討論球面曲線的性質(zhì). 2.1球面曲線的充要條件引理2.1.1 設(shè)為中心在原點半徑為R的球面上的C的弧長參數(shù)表示.選取C的單位切向量，單位半徑向量，.稱(s)；(S)；為曲線在S處的相對平行框架4.用“”表示對弧長參數(shù)s的導(dǎo)數(shù)，用(s)，表示曲線

3、C的曲率和撓率，則有證：因為 ，倆邊求導(dǎo)得到.t=0，令，則(，)為右旋的相互正交的三個單位向量.因為，令則，=，即得 （2.1.1）下面的定理中設(shè)=(S)，0為弧長參數(shù)表示的類正則曲線. 定理2.1.1 (s)為球面曲線的充要條件是存在常數(shù)R使得或者且滿足這條件的曲線在半徑為R的球面上. 證：必要性 若X(S)為球面曲線，可設(shè)球心在原點，半徑為R，設(shè)(s)為(s)的單位向量，令，則由引理得到 積分得 (2.1.2)由（2.1.1），（2.1.2）式得到由（2.1.1）式得故得 充分性 若 ，首先有(s)存在.使得()，則上式無意義.上邊倆邊對s求導(dǎo)，得到=0即令f(s)=則f.；=-令 (s

4、)=(s)+則故(s)為常向量，且=故(s)在以C為中心半徑為R的球面上 定理2.1.2 (s)為球面曲線的充要條件是存在常數(shù)A，B，使得A且滿足這條件的曲線在半徑為的球面上.證：必要性 若(s)為球面曲線，可設(shè)球心在原點半徑為R，選取相對平行標架，由引理得到 (2.1.3) (2.1.4) 積分(2.1.4)式得R (2.1.5)因為，可設(shè)，(s),(s),(s)，(s)為(s)在s處的Frenet標架，倆邊求導(dǎo)得到-比較倆邊系數(shù)，得 (2.1.6) (2.1.7)積分（2.1.7）式，得到 (2.1.8)由（2.1.6）式得 =(2.1.8)式代入（2.1.6）式得 (2.1.9)由（2.

5、1.3）式得 (2.1.10)由（2.1.5）和（2.1.6）消去 得 （2.1.11）即其中 A=B=又（2.1.8）和（2.1.10）得 充分性 若存在常數(shù)A，B，使得A上式對任意，記求導(dǎo)，得到A即（）令 f(s)=則f. (2.1.12) =- (2.1.13)令(s)=(s)+應(yīng)用（2.1.12），（2.1.13），得到故C(S)為常向量，為常數(shù)，(s)在以C(s)為中心半徑為=的球面上. 定理2.1.3 =(s)為球面曲線的充要條件是存在常數(shù)R，使得-R (2.1.14)且滿足這條件的曲線在半徑為R的球面上.證：必要性 若X(S)為球面曲線，可設(shè)球心在原點半徑為R，選取相對平行標架設(shè)

6、(s),(s),(s)，(s)為(s)在s處的Frenet標架.由引理知則由引理得到比較倆邊系數(shù)得到-R 充分性 若-R則-R倆邊求導(dǎo)，得到-R令f(s)=則 f.令則，故(s)為常向量，+=，即X(S)在以C為中心半徑為R的球面上由定理2.1.3容易得到.推論 2.1.1 =(s)為球面曲線的充要條件是存在常數(shù)R，使得 R (2.1.15)且滿足這條件的曲線在半徑為R的球面上.證：在定理2.1.3的證明中，令，并注意可由f.和R=得到R=推論2.1.2 X=X(S)為球面曲線的充要條件是存在常數(shù)A，B，使得 （2.1.16）且滿足這條件的曲線在半徑為的球面上.證：將（2.1.14）展開且令-

7、R推論 2.1.3 X=X(S)為球面曲線的充要條件是存在常數(shù)R，使得 R (2.1.17)且滿足這條件的曲線在半徑為R的球面上.證：在（2.1.16）中，令即得（2.1.17）2.2.球面曲線的性質(zhì) 性質(zhì) 2.2.1 類曲線=(s)為球面曲線則其曲率(s)和撓率滿足（A）其中A，B為常數(shù)，且滿足上式的曲線位于半徑為的球面上.證明：設(shè)曲線=(s)位于半徑為a(>0)的球面上，球心向徑為(常向量)，則= (2.2.1)設(shè)沿曲線的Frenet標架為（）將（2.2.1）倆端對s求導(dǎo)，得（）=0這說明（）與 正交，因此（）與 共面.若設(shè)順著 的正向看時，到的有向角為，則有此倆端對s求導(dǎo)，并利用F

8、renet公式，整理得(-a()+a()=由于是線性無關(guān)的，故有（1- a），()=0 （2.2.2）由（2.2.2）的第一式可見再由（2.2.2）的第二式有=0積分得 (2.2.3)其中為常數(shù).將（2.2.3）代入（2.2.2）的第一式，得 a(S)即a(-(s)=1令A(yù)=a則有（A）且(球面半徑)3 球面曲線為封閉曲線的條件和性質(zhì)上面我們對球面曲線進行了討論，那么球面曲線加上什么條件變?yōu)榉忾]曲線呢？該類曲線又有什么性質(zhì)呢，接下來我們一起來探討3.1 球面曲線為封閉曲線的條件 準備工作 考慮平面曲線)在球極投影逆映射下的像：=（），其中s，分別代表弧長參數(shù)，為切線方向角函數(shù)，單位球心為即.熟

9、知有 (3.1.1)將此式對s求導(dǎo)并取模長，經(jīng)直接計算可知 = (3.1.2)記為球面曲線所對應(yīng)的函數(shù)使曲率且撓率，則已知 (3.1.3)引理 3.1.1 =-證明 由3.3.1）（3.3.2）可得(x，y)=()=代入（3.1.3）易得=-=注 引理 3.1.2取球面內(nèi)法向，則的測地曲率證明 由公式易得球面曲線封閉的條件設(shè)：（-）是單位球面上的一條曲線，其曲率和撓率都是弧長周期函數(shù)，為正數(shù)，由3可知，所對應(yīng)的函數(shù)周期函數(shù)，其中=，注意到引理1.2，亦為周期函數(shù)，若 封閉，以為封閉周期，則任取一點為北極向南極切平面作球極投影所得平面曲線一定是封閉的，且適當選取弧長起點后有確定的方向函數(shù)和封閉周

10、期L，其中s為的弧長參數(shù).由平面閉曲線切線的旋轉(zhuǎn)指標定理和平面曲線基本定理易知，的封閉條件等價于 (3.1.4)其中為的切線的旋轉(zhuǎn)指標，記滿足（1）式的非常值光滑函數(shù)的全體為，則是以L為封閉周期（未必是最小周期）的平面閉曲線的方向角函數(shù)族.注意到和分別是和內(nèi)在確定的量，且反之在剛性運動等意義下和分別唯一確定和，由引理3.1.1易得下述結(jié)論.定理 3.1.1 設(shè)單位球面上具有弧長參數(shù)的曲線所對應(yīng)的函數(shù)為，則封閉的充要條件是存在使（i）=(ii)=-注 若球面不是單位的 ，則有類似結(jié)果.為簡明起見，以后也總考慮單位球面曲線.3.2 球面閉曲線的性質(zhì)預(yù)備知識定義 一條空間閉曲線（C）: =(s)，0

11、稱為曲線（C）的總撓率（或全撓率）.一般地，空間閉曲線的總撓率的取值范圍是：-設(shè)（C）是半徑為R上的球面曲線，將（C）相似映射到單位球面（s）上，像曲線為（）.設(shè)（）：引理 3.2.1 (c)=證()=，(c)=由于 (3.2.1)故(c)=引理3.2.2 證 ，(s)=注意到，利用（3.2.1）式即得(s)=推論3.2.1 （c）與（）有相同的總撓率.證 由于相似映射是保形映射，所以倆球面上第一基本形式成比例，比例系數(shù)為R，因而曲線（c）的弧長=RS，d，所以有引理 3.2.3 單位球面上的曲線（），若，則 ，其中. （3.2.2）證 設(shè)（）：，由于從而有=0上式倆段求導(dǎo)，注意到，=，有即1

12、+=0 (=1)再對上式求導(dǎo)，得+利用弗雷內(nèi)公式，化簡后得-若令由于.=-，因而有 +但是，單位球面上曲線的法曲率并由+= ，得其中因此，有，.定理3.2.1 球面上正規(guī)閉曲線的總撓率等于零證 ：將球面曲線（c）作相似變換，變換到單位球面（s）上.象曲線記為（）.由引理3.2.2推論知，=設(shè)在整個閉曲線（）上，則恒為正或恒為負，此時=-由于=因而 (L)=(0).設(shè) 在閉曲線（）上一些點處，這時假定在0上有有限個這樣的點，例如0=各點因而在開區(qū)間（）里不變號.若在閉區(qū)間則該區(qū)間對應(yīng)（）上的是一段測地線，即大圓弧，因而是一段平面曲線，故，有若在開區(qū)間（）上總大于零或小于零，則值固定，此時=-=0

13、把各小區(qū)間上積分相加，得（）的總撓率定理3.2.1得證定理3.2.2 對于球面上任意閉曲線，有其中是曲線的撓率，是曲線的曲率.證：設(shè)有半徑為R上的球面閉曲線（c），作相似映射，映射到單位球面（S）上，得閉曲線（）.按引理3.2.1、3.2.2，有，又，(C)上曲線的弧長 d=Rds，故Rds=R再由引理3.2.3， 所以=-命=-=-=0(l)=(0)=0定理3.2.2得證4球面曲線的應(yīng)用 在我們生活的地球上,地球表面十分接近于一個球面.因此,在實際生活中,球面上的幾何(簡稱球面幾何)知識有著廣泛的應(yīng)用.例如,大地(天體)測量、航空、衛(wèi)星定位和鏡面成像等方面都需要利用球面幾何知識.在理論上,球

14、面幾何是一個與歐氏幾何不同的幾何模型,是一個重要的非歐幾何的數(shù)學(xué)模型.球面幾何在幾何學(xué)的理論研究方面,具有特殊的重要作用.本講重點講述球面幾何的一些基本知識,包括球面對稱性與疊合公理、極與赤道、球面三角形的內(nèi)角和以及球面三角形的正、余弦定理等.通過比較球面幾何與歐氏平面幾何的差異和聯(lián)系,感受自然界中存在著豐富多彩的數(shù)學(xué)模型.下一講重點介紹球面幾何在理論與實際中的應(yīng)用,例如運用球面幾何定理證明歐拉公式及正多面體的分類,球面幾何理論在航空導(dǎo)航中的應(yīng)用以及球面反射和鏡面成像等.5 結(jié)束語 幾何學(xué)是由于人類生活的需要在人類的社會實踐中產(chǎn)生的，因此它所研究的對象，也不外是與人類生活有關(guān)的現(xiàn)實世界的各種物

15、體，他們的物理性質(zhì)和化學(xué)性質(zhì)千差萬別，但它們都無例外的有一種共同的性質(zhì)，那就是它們的形狀，大小和相互位置關(guān)系，幾何學(xué)就是研究現(xiàn)實世界物體的這種幾何性質(zhì)的科學(xué).球面上的曲線屬于歐氏幾何的范疇，比較具體并且容易理解，單獨的曲線和球面我們都有了系統(tǒng)和深入的研究，但是對于球面上的曲線知識體系還是不成系統(tǒng)的，鑒于這一點，本文從一般的空間曲線出發(fā)進而研究曲線在球面上的充要條件并討論了球面曲線的性質(zhì)，接著給出了一種特殊的球面曲線即球面上的閉曲線，相應(yīng)的又對它進行了在球面上的條件即性質(zhì)的研究.本文依照傳統(tǒng)幾何學(xué)中對幾何對象研究的方法，旨在對球面上曲線的知識做系統(tǒng)的整理，為初學(xué)者的學(xué)習(xí)做一個鋪墊，也為今后進一步

16、研究球面曲線作出一點貢獻.本文仍有許多不足之處，希望能夠批評指正.參考文獻1楊正清.球面曲線的充要條件.華南師范大學(xué)學(xué)報，1990年第1期.2王幼寧.劉繼志.球面閉曲線和Jacobi定理.數(shù)學(xué)學(xué)報，第40卷 第2期.3姜樹民.球面曲線一個充要條件的初等證明.松遼學(xué)刊（自然科學(xué)版），1989年第2期.4梅向明.黃敬之. 微分幾何.高等教育出版社，2008年5月第四版.5韋煜.球面上閉曲線某些性質(zhì)的討論.黔南民族師專學(xué)報.第19卷 第3 期.致 謝我在寫畢業(yè)論文期間，孟令江老師傾注了極大的心血悉心指導(dǎo)，在這里我首先對孟令江老師敬以衷心的感謝，感謝他的關(guān)心、指導(dǎo)和教誨孟令江老師淵博的學(xué)識、敏銳的思維、民主而嚴謹?shù)淖黠L(fēng)，使我受益匪淺，終生難忘！在整個論文寫作過程中，孟令江老師總是耐心地給我講解與論文內(nèi)容相關(guān)的專業(yè)知識，細心地對論文進行修改孟令江老師追求真理、獻身科學(xué)、嚴于律己、寬以待人的崇高品質(zhì)將永遠激勵我認真學(xué)習(xí)、努力工作！感謝與孟令江老師同一辦公室的樊麗麗、楊景飛、李艷老師的關(guān)心和幫助感謝我的學(xué)友和朋友們對我的關(guān)心和幫助!Some Properties of spherical Curve Kong Fanxin Directed by Lecturer Fan LiliAbstract T