高等流體力學(xué)講義課件_第 三 章 特殊方程

1、第第 三三 章章 特殊方程特殊方程3.1 開尓文定理開尓文定理 fpuutu)(GfGpuutu)(jjkjkjxGxpxuutu1歐拉方程歐拉方程理想流體,設(shè)質(zhì)量力有勢且為單值函數(shù),代入歐拉方程得3.1 開尓文定理開尓文定理 ( )C tu dr ( )( )( )()C tC tC tDDDuDdrDuu drdrudru duDtDtDtDtDtudDtrDdDtrdD)()(),(truu2( )( )()02C tC tuu dud( )( )iiC tC tDuDDudrdxDtDtDt沿物質(zhì)周線的速度環(huán)量的隨體導(dǎo)數(shù)沿物質(zhì)周線的速度環(huán)量的隨體導(dǎo)數(shù)設(shè)由確定的流體質(zhì)點(diǎn)組成的封閉物質(zhì)線C

2、(t),其位置和形狀隨流動而變化.上式推導(dǎo)中用到,因?yàn)?為單值函數(shù)，沿一條確定的流體質(zhì)點(diǎn)組成的物質(zhì)周線的速度環(huán)量的隨體導(dǎo)數(shù)等于該周線上沿一條確定的流體質(zhì)點(diǎn)組成的物質(zhì)周線的速度環(huán)量的隨體導(dǎo)數(shù)等于該周線上的加速度的環(huán)量的加速度的環(huán)量以上結(jié)論是純運(yùn)動學(xué)性質(zhì)的,因此對任何流體都成立3.1 開尓文定理開尓文定理)(p()()()()()()()drdxidyjdzkijkxyzdxdydzdxyzdrd( )( )pdpdpdpdrdrpppdpdrrpdp 正壓流體正壓流體設(shè)流體的密度僅是壓強(qiáng)的函數(shù)場論公式 式中d表示對空間的全微分因?yàn)閞是任選的，所以對正壓流體流場中任一點(diǎn)有 3.1 開尓文定理開尓文

3、定理( )C tDDudrDtDtDupGDt ( )C tDpGdrDt pdp ( )( )0C tC tDdpdpGdrdGDt ( )A tndA ( )0A tDndADt開尓文定理開尓文定理設(shè)理想流體,質(zhì)量力有勢且為單值函數(shù),設(shè)正壓流體設(shè)在封閉的物質(zhì)線C(t) 上張一曲面A(t),則由STOKES 定理,對于正壓對于正壓, ,體積力單值有勢的理想流體流動體積力單值有勢的理想流體流動, ,沿任意封閉的物質(zhì)周線上的速度環(huán)沿任意封閉的物質(zhì)周線上的速度環(huán)量和通過任一物質(zhì)面的渦通量在運(yùn)動過程中守恒量和通過任一物質(zhì)面的渦通量在運(yùn)動過程中守恒.3.1 開尓文定理開尓文定理開爾文定理成立的三個條件

4、：正壓正壓 , 理想理想 , 質(zhì)量力有勢質(zhì)量力有勢；放松其中任一條件,開爾文定理不成立。粘性，斜壓粘性，斜壓 與與 外力無勢外力無勢是引起速度環(huán)量和渦通量發(fā)生變化的三大因素. 討論討論13.1 開尓文定理開尓文定理渦量場的散度為0, , 由此得出在每一瞬時通過同一渦管中任意截面的渦通量處處相等, 即渦管強(qiáng)度在空間上守恒, 以上結(jié)論對任意流體都是正確的。當(dāng)滿足開爾文定理成立條件時, 渦管強(qiáng)度不但具有空間上的守恒性, 而且具有時間上的守恒性。( )( )C tA tu drndA( )( )0C tA tDDu drndADtDt0討論討論2取C(t)是渦管橫截面上并圍繞渦管一周的封閉物質(zhì)周線,則

5、在某一瞬時 ，式中A(t)是渦管截面,根據(jù)開爾文定理，渦管在隨流體運(yùn)動過程中通過其任一橫截面的渦通量渦管在隨流體運(yùn)動過程中通過其任一橫截面的渦通量, 即渦管強(qiáng)度即渦管強(qiáng)度, 不隨時不隨時間改變間改變. 在運(yùn)動過程中, 渦管會發(fā)生變形：當(dāng)渦管被拉伸時, 渦量增大, 渦管被壓縮時, 渦量減小, 以保持通過橫截面的總的渦通量不變。3.1 開尓文定理開尓文定理渦旋不生不滅渦旋不生不滅 若流體理想若流體理想,正壓正壓,且外力有勢且外力有勢,如果初如果初始時刻在某部分流體內(nèi)無旋始時刻在某部分流體內(nèi)無旋,則以前或以后任一時刻則以前或以后任一時刻這部分流體皆無旋這部分流體皆無旋;反之反之,若初始時刻該部分流體

6、有旋若初始時刻該部分流體有旋,則以前或以后的任何時刻這部分流體皆為有旋則以前或以后的任何時刻這部分流體皆為有旋。討論討論3(1) 均勻來流定常不脫體繞流； (2)物體從靜止?fàn)顟B(tài)開始運(yùn)動。滿足理想，正壓，質(zhì)量力有勢：第1種情況下, 流體質(zhì)點(diǎn)來自無窮遠(yuǎn)處，無窮遠(yuǎn)處無旋, 所以整個流場無旋；第2種情況下, 初始時刻, 靜止?fàn)顟B(tài)的流體無旋, 所以任何時刻流體無旋。理想不可壓縮流體在重力場作用下的流動3.2 伯努利方程伯努利方程 1.1.沿流線或渦線成立的伯努利方程沿流線或渦線成立的伯努利方程 設(shè)理想流體理想流體， ()uuupft )()2()(uuuuuu()()2uu upuuft 以上方程稱蘭姆

7、方程蘭姆方程。 設(shè)外力有勢，外力有勢， ；正壓流體；正壓流體， ；定常流動定常流動， Gf)(dpp0tu()()2uu upuuft ()()2u udpuuG 12dpu uGu 上式兩邊同時點(diǎn)乘 ，u2220 0 222dpudpudlGdGdpuGC上式稱伯努利方程，或伯努利積分。C 稱伯努利常數(shù)，C 沿同一條流線或渦線為常數(shù)。當(dāng)無窮遠(yuǎn)均勻來流繞流物體時，C對每一根流線都相同，此時伯努利方程三項(xiàng)和在全流場為常數(shù)。dldl平行于 或2 勢流伯努力方程勢流伯努力方程 設(shè)理想流體，正壓，外力有勢，可推得，2udpu uGut 再設(shè)勢流, 0u)()(tttu02dpGt ( )2dpGf t

8、t 上式稱勢流伯努利方程，也稱柯西拉格朗日積分。f (t) 是時間的函數(shù)，在同一瞬時，在全流場它是同一個常數(shù)。2dpGC 上式中C在全流場為常數(shù),且不隨時間變化。請注意伯努利積分中的C只是沿同一條流線或渦線為常數(shù)如果流動是定常的，則3從能量方程出發(fā)推導(dǎo)的伯努利方程從能量方程出發(fā)推導(dǎo)的伯努利方程 DupGDt 設(shè)理想流體、外力有勢，由歐拉方程DuuupuGDt 考慮到G是外力場勢能，它只是空間位置的函數(shù)，不隨時間改變，DtDGGu()2D u uDGupDtDt 對理想流體且無熱傳導(dǎo)時以焓表示的能量方程可寫為， DhDpDtDt()2Du uDpDGhupDtDtDt 1()2Du uphGDt

9、t 上兩式相加,從能量方程出發(fā)推導(dǎo)的伯努利方程從能量方程出發(fā)推導(dǎo)的伯努利方程 設(shè)定常流定常流， ()02Du uhGDt 上式表示一個流體質(zhì)點(diǎn)在它的運(yùn)動軌跡的所有點(diǎn)上總能量保持不變，CGuuh2CGuupe2在定常流條件下，流場跡線和流線合二為一，因此，上式也可認(rèn)為總能量沿同一條流線保持不變，在滿足理想流體，無熱傳導(dǎo)，外力有勢，定常流條件在滿足理想流體，無熱傳導(dǎo)，外力有勢，定常流條件下，單位質(zhì)量流體的總能量沿同一條流線保持不變。下，單位質(zhì)量流體的總能量沿同一條流線保持不變。當(dāng)流體內(nèi)部處處無粘性無熱傳導(dǎo)時，可認(rèn)為流動是等熵的，所以上述定理也可敘述為當(dāng)流動為等熵，當(dāng)流動為等熵，定常且外力有勢時，總

10、能量沿流線不變定常且外力有勢時，總能量沿流線不變。1pphe1()021pu uG 伯努利方程的特殊形式伯努利方程的特殊形式完全氣體，可壓縮等熵流完全氣體，可壓縮等熵流伯努利方程可化為1ppppVchc TRTRcppcc不可壓縮流體不可壓縮流體0DtDdqpddqde)1(0dq0deGkggfgzG 1()2pu ugzC 熱力學(xué)第一定律 ,無熱傳導(dǎo)條件下 ,即流體質(zhì)點(diǎn)內(nèi)能不變。設(shè)外力只有重力，當(dāng)Z軸垂直向上時于是伯努利方程的特殊形式伯努利方程的特殊形式3.3 3.3 克羅柯方程克羅柯方程 熱力學(xué)關(guān)系式熱力學(xué)關(guān)系式熱力學(xué)第一定理, )1()1(pdTdspddqdepeh)1()(pdTd

11、spddhdhTdsdphsTp克羅柯方程克羅柯方程對理想流體有蘭姆方程成立，fpuuutu)2(設(shè)定常流動，且忽略質(zhì)量力的作用， )2(uupu以熱力學(xué)量 s 和 h 來置換蘭姆方程中的 p 和， 0hsTu克羅柯方程反映了定常流中總能和熵的變化與渦量之間的相容關(guān)系。請注意克羅柯方程成立的條件：理想流體，定常流動，質(zhì)量力作用可略去不計(jì)理想流體，定常流動，質(zhì)量力作用可略去不計(jì)。20uuhh式中 ,為滯止焓。hsTp均能流動均能流動在理想流體、絕熱定常流動條件下，忽略質(zhì)量力作用時，由伯努利方程知滯止焓沿流線不變，0.hconst（沿流線）在無窮遠(yuǎn)均勻來流條件下，及其他一些條件下，滯止焓沿每一條流

12、線相同，滯止焓在流場中處處為常數(shù)，是為均能流動?？肆_柯方程簡化為 uTs 可以看出：1）無旋流動必是均熵的，即在流場 s = 常數(shù)；2）非均熵流動必是有旋流動；3) 均熵流動不一定是無旋的,此時可能 0, 0, /uu CGuuh2u對于平面流動和軸對稱流動， ，此時 垂直于流線，由 ， 也應(yīng)垂直于流線。 可寫成標(biāo)量形式，uu uTs s uTs 0)(dndsTU式中，U， 分別是速度和渦量的模，n 表示垂直于流線的法向坐標(biāo)。此時如= 0 ，則 ,s為常數(shù)；如s 為常數(shù)，則 ,于是 = 0 。即如流動無旋，則必是均熵的；如流動均熵，則必是無旋的。如流動無旋，則必是均熵的；如流動均熵，則必是無

13、旋的。0dnds0dnds克羅柯方程把流場的渦量和流體的熵聯(lián)系起來，它在空氣動力學(xué)中占有重要地位。飛行器在靜止空氣中運(yùn)動，當(dāng)物體飛行速度小于某個臨界流速時，整個流場中物理量是連續(xù)分布的。而當(dāng)物體飛行速度超過臨界速度后，流場中就可能出現(xiàn)間斷面，通過這些間斷面物理量有突躍變化。對于亞臨界流動的情況，如果流體是理想的，流場是正壓的且質(zhì)量力有勢，則根據(jù)開爾文定理，在物體運(yùn)動過程中，周圍流場始終是無旋的。因?yàn)樵谖矬w開始運(yùn)動的初始時刻流場是靜止的，從而是無旋的。在超臨界流動情況下，流場中出現(xiàn)了間斷面。在間斷面上，開爾文定理不再適用，而克羅柯定理卻可以回答流場是否有旋的問題。物體在原靜止空氣中作超音速運(yùn)動時

14、，頭部激波前的流場是是均勻的，而在該區(qū)域h0為常數(shù).在絕熱運(yùn)動的假設(shè)下，完全氣體質(zhì)點(diǎn)通過間斷面時，h0保持不變。根據(jù)伯努利方程在間斷面后的每一條流線上，h0仍將保持不變。因此在整個流場中，h0等于同一常數(shù) ,h0 = 0 ,為均能流動。在絕熱運(yùn)動假設(shè)下，完全氣體質(zhì)點(diǎn)通過激波時，熵s有突躍，且此突躍量與激波面與來流的夾角有關(guān)。由此可知，在曲面激波的后面，流場不再是均熵的,從而流動必是有旋的。但激波強(qiáng)度不大時，則激波后的流場中的渦量也是不大的。3.4 3.4 渦量方程渦量方程uuuuu)2()(21()() 2upu uuut 2()()()() 2uu upuut 渦量方程渦量方程設(shè) = const.，= const.，并考慮到恒等式則N-S方程可寫為對上式兩邊取旋