最小二乘法及其應(yīng)用

1、最小二乘法及其應(yīng)用1 引言最小二乘法在19世紀(jì)初發(fā)明后,很快得到歐洲一些國(guó)家的天文學(xué)家和測(cè)地學(xué)家的廣泛關(guān)注。據(jù)不完全統(tǒng)計(jì),自1805年至1864年的60年間,有關(guān)最小二乘法的研究論文達(dá)256篇,一些百科全書包括1837年出版的大不列顛百科全書第7版,亦收入有關(guān)方法的介紹。同時(shí),誤差的分布是“正態(tài)”的,也立刻得到天文學(xué)家的關(guān)注及大量經(jīng)驗(yàn)的支持。如貝塞爾( F. W. Bessel, 17841846)對(duì)幾百顆星球作了三組觀測(cè),并比較了按照正態(tài)規(guī)律在給定范圍內(nèi)的理論誤差值和實(shí)際值,對(duì)比表明它們非常接近一致。拉普拉斯在1810年也給出了正態(tài)規(guī)律的一個(gè)新的理論推導(dǎo)并寫入其分析概論中。正態(tài)分布作為一種統(tǒng)

2、計(jì)模型,在19世紀(jì)極為流行,一些學(xué)者甚至把19世紀(jì)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)稱為正態(tài)分布的統(tǒng)治時(shí)代。在其影響下,最小二乘法也脫出測(cè)量數(shù)據(jù)意義之外而發(fā)展成為一個(gè)包羅極大,應(yīng)用及其廣泛的統(tǒng)計(jì)模型。到20世紀(jì)正態(tài)小樣本理論充分發(fā)展后,高斯研究成果的影響更加顯著。最小二乘法不僅是19世紀(jì)最重要的統(tǒng)計(jì)方法,而且還可以稱為數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)之靈魂。相關(guān)回歸分析、方差分析和線性模型理論等數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的幾大分支都以最小二乘法為理論基礎(chǔ)。正如美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家斯蒂格勒( S. M. Stigler)所說(shuō),“最小二乘法之于數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)猶如微積分之于數(shù)學(xué)”。最小二乘法是參數(shù)回歸的最基本得方法所以研究最小二乘法原理及其應(yīng)用對(duì)于統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)有很重要的意

3、義。2. 最小二乘法所謂最小二乘法就是：選擇參數(shù),使得全部觀測(cè)的殘差平方和最小. 用數(shù)學(xué)公式表示為：為了說(shuō)明這個(gè)方法，先解釋一下最小二乘原理，以一元線性回歸方程為例. （一元線性回歸方程）由于總體回歸方程不能進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，我們只能對(duì)樣本回歸函數(shù)來(lái)估計(jì)即： 從上面的公式可以看出：殘差是的真實(shí)值與估計(jì)值之差，估計(jì)總體回歸函數(shù)最優(yōu)方法是，選擇的估計(jì)量，使得殘差盡可能的小.總之，最小二乘原理就是選擇樣本回歸函數(shù)使得所有Y的估計(jì)值與真實(shí)值差的平方和為最小，這種確定的方法叫做最小二乘法。最小二乘法是回歸分析中的最基本的方法?；貧w方程一般分為2類，線性回歸方程和非線性回歸方程。2.1 線性回歸最小二乘法最小

4、二乘法是由實(shí)驗(yàn)或調(diào)查的數(shù)據(jù)，建立線性型公式的一種常用方法. 在建立線性型公式中，雖然有很多種不同的方法來(lái)求樣本回歸函數(shù)（即真實(shí)總體回歸函數(shù)的估計(jì)值），但是在回歸分析中最廣泛應(yīng)用的方法是最小二乘法.如果變量有精確的線性關(guān)系比如說(shuō),那么即觀測(cè)值與回歸值是相等的.事實(shí)上現(xiàn)實(shí)世界中的諸多變量的關(guān)系未必都是如此，由于受諸多隨機(jī)因數(shù)的干擾使得物與物之間沒(méi)有那種很明確的對(duì)應(yīng)關(guān)系.比如說(shuō)人的身高和體重就是一個(gè)對(duì)應(yīng)，我們都知道長(zhǎng)的高的人不一定就重，同理長(zhǎng)的矮的人也不一定就輕.但身高和體重的確存在著一定的關(guān)系,而這種關(guān)系并非是所能確定的.那么我們要尋求身高和體重之間的關(guān)系就需要通過(guò)數(shù)學(xué)的方法.首先調(diào)查統(tǒng)計(jì)得出數(shù)據(jù)

5、;其次把數(shù)據(jù)描繪出來(lái)；然后擬合一條跟已有的圖象最接近的曲線,這樣就可以相對(duì)地將身高和體重之間的關(guān)系表示出來(lái).在處理類似的事情中常常用到最小二乘法.2.2 非線性回歸最小二乘法非線性回歸的種類很多，常用的有拋物線方程（）、指數(shù)方程（）等。設(shè)已知列表函數(shù)，并且我們想用一個(gè)通常的次多項(xiàng)式 （1）去近似它。問(wèn)題是應(yīng)該如何選擇 使能較好地近似列表函數(shù)。按最小二乘法，應(yīng)該選擇使得 （2）取最小。注意到S是非負(fù)的，且是的2次多項(xiàng)式，它必有最小值。求S 對(duì) 的偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，得到 進(jìn)一步，可以將它們寫成 引進(jìn)記號(hào)則上述方程組為 (3)它的系數(shù)行列式是由 的定義及行列式性質(zhì)，可以斷言 (4)此處符號(hào)W 表

6、Vandermonde行列式，而是對(duì)所有可能的 求和（每個(gè) 可以取值并且當(dāng)時(shí)。由（4）式及Vandermonde 行列式的性質(zhì)可知，當(dāng)互異時(shí)，從而，方程組(3)有唯一解 ,且它們使(2)取極小值如此，我們應(yīng)用最小二乘法找到了的近似多項(xiàng)式.在利用最小二乘法組成和式(2)時(shí)，所有點(diǎn)都起到了同樣的作用，但是有時(shí)依據(jù)某種理由認(rèn)為中的某些項(xiàng)的作用大些，而另外一些作用小些（例如，一些是由精度較高的儀器或操作上比較熟練的人員獲得的，自然應(yīng)該予以較大的信任），這在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為用和 （5）替代和(2)取最小值.，且,通常稱之為權(quán)；而(5)為加權(quán)和.用多項(xiàng)式去近似一個(gè)給定的列表函數(shù)（即給出的一組觀測(cè)值時(shí)。需要確定

7、的參數(shù)是;而可以看成是的線性函數(shù).但是有時(shí)在利用觀測(cè)或?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)去確定一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式時(shí)，往往要確定的函數(shù)和待定參數(shù)之間不具有線性形式的關(guān)系.這樣問(wèn)題就變得有些復(fù)雜.然而，常?？梢酝ㄟ^(guò)變量替換使其線性化.最小二乘法原理是用來(lái)求解線性方程組的,非線性方程經(jīng)線性化后方可應(yīng)用該原理. 通常在測(cè)量中遇到的問(wèn)題不一定都是線性問(wèn)題, 必須先把非線性問(wèn)題線性化, 然后求解. 例如：（i）有時(shí)，我們希望用如下類型的函數(shù)： (6)去近似一個(gè)由一組觀測(cè)數(shù)據(jù)（列表）所描繪的函數(shù)，其中p 和q 是待定的兩個(gè)參數(shù).顯然s已非p和q的線性函數(shù).怎樣線性化呢？為此，我們?cè)?6)式兩端取對(duì)數(shù)，得到記則 (6)式變成 .這是一個(gè)一次

8、多項(xiàng)式，它的系數(shù)和可以用最小二乘法求得.(ii) 我們經(jīng)常希望用函數(shù) (7)去近似一個(gè)以給定的列表函數(shù)，其中A、C是待定的參數(shù).這時(shí)，我們可以(7)的兩端取對(duì)數(shù)：記，則(1.7)式變成這樣仍可用最小二乘法定出（從而也就定出了A,C ），得到近似函數(shù) .下面列出幾種常用的線性處理方法，利用最小二乘法的原理對(duì)直線型、拋物線型和指數(shù)曲線型的方程的參數(shù)估計(jì)方法，介紹如下：（1）直線型直線方程的一般形式為令為最小值，分別為a和b求偏導(dǎo)數(shù)，并令導(dǎo)數(shù)等于0，得到聯(lián)立方程組。解方程組，即可得到參數(shù)的計(jì)算公式 。 （2）拋物線型拋物線方程的一般形式為 令為最小值，分別為 a、b、c求偏導(dǎo)數(shù),并令導(dǎo)數(shù)等于0,得到

9、聯(lián)立方程組解方程組,即可得到參數(shù)的計(jì)算公式。 （3)指數(shù)曲線型 指數(shù)曲線的一般形式為 取對(duì)數(shù)，將指數(shù)曲線轉(zhuǎn)化成對(duì)數(shù)直線形式 用最小二乘法估計(jì)參數(shù)a,b,可有如下方程組 解此方程組，可得參數(shù)的對(duì)數(shù)值，查其反對(duì)數(shù)，即可得參數(shù)值。3最小二乘法原理的應(yīng)用3.1最小二乘法原理在線性回歸中應(yīng)用例1.已知2009年3月到2010年4月居民收入與物價(jià)信心的滿意指數(shù)如下圖，求出當(dāng)期物價(jià)滿意指數(shù)x與時(shí)間t的曲線擬合。T123456X29.5028.2025.9021.7021.9013.80解：t=1 2 3 4 5 6;x=29.50 28.2025.90 21.70 21.90 13.80;plot(t,x,

10、o);polyfit(t,x,1)ans = -2.9029 33.6600則所得到的近似方程為y=-2.9029+33.6600x.3.2 最小二乘法原理在非線性回歸中的應(yīng)用例2 設(shè)已知函數(shù)f (x)的表列值為X0.20.50.70.851Y1.2211.6492.0142.3402.718試按最小二乘法構(gòu)造f (x)的二次近似多項(xiàng)式.解：下面用Matlab程序來(lái)求參數(shù)和.程序如下：x=0.20.50.70.851;y=1.2211.6492.0142.3402.718;plot(x,y,o);polyfit(x,y,2)ans =0.9248 0.7553 1.0346 即所求=0.924

11、8，=0.7553，=1.0346.所求的近似多項(xiàng)式為 .例3、在某冶煉過(guò)程中，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的含碳量與時(shí)間關(guān)系，試求含碳量y與時(shí)間t的擬合曲線。t05 10152025303540455055y01.272.162.863.443.874.154.374.514.584.024.64解：實(shí)驗(yàn)程序如下：t=0510152025303540455055;y=01.272.162.863.443.874.154.374.514.584.024.64;plot(t,y,o);p=polyfit(t,y,2)p = -0.0024 0.2037 0.2305綜上，y與t的擬合曲線是y=-0.0024+0

12、.2037t+0.0.2305。例2 設(shè)已知如下一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：t =2.2 2.7 3.5 4.1S =65 60 53 50試求一個(gè)型的函數(shù)去近似它.解: 計(jì)算以緊湊的形式表示如下：xy10.34240.11721.81290.620710.43140.18611.77820.767110.54410.29601.72430.938210.61280.37551.69901.041141.93070.97487.01443.3671由此得方程組解之得從而。4.小結(jié)應(yīng)用最小二乘法的幾個(gè)問(wèn)題：最小二乘法雖然在數(shù)據(jù)處理方面具有顯著的效果,但如果使用不當(dāng)會(huì)導(dǎo)致很大的誤差,甚至錯(cuò)誤的結(jié)果。因此,在應(yīng)用

13、時(shí)必須注意以下幾個(gè)問(wèn)題:(1) 慎重選擇擬合關(guān)系式。在實(shí)際問(wèn)題中,適當(dāng)選擇擬合關(guān)系式是一項(xiàng)十分謹(jǐn)慎的工作,它將直接影響計(jì)算的工作量和結(jié)論。(2) 自變量的選擇。在實(shí)際工作中,對(duì)一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)按不同的擬合形式,結(jié)果會(huì)不一樣。特別注意當(dāng)兩個(gè)變量都有一定誤差時(shí),應(yīng)當(dāng)使用雙變量最小二乘法進(jìn)行處理,否則可以使用單變量最小二乘法。(3) 加權(quán)最小二乘法。此法是應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)測(cè)量值 非等精度的情況下的擬合方法。它不同程度的消除誤差因素,結(jié)果更準(zhǔn)確可靠。設(shè)擬合函數(shù)為,當(dāng)x值取時(shí)y的實(shí)測(cè)值為,取。加權(quán)偏差平方和,式中為第i個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的權(quán)重因子。選取合適的權(quán)重因子可獲得高精度的擬合參數(shù)。（4）最小二乘原理在很多領(lǐng)域有著廣

14、泛應(yīng)用，利用MATLAB求解非常方便，但一定要組要問(wèn)題的類型，尤其是數(shù)據(jù)大且復(fù)雜時(shí)，來(lái)更好的突出Matlab計(jì)算出線性參數(shù)的最佳估計(jì)值，提高了效率和精度。（5）非線性參數(shù)的最小二乘法處理程序可歸結(jié)為：首先根據(jù)具體問(wèn)題將非線性問(wèn)題線性化，列出誤差方程；再按最小二乘法原理，利用求極值的方法將誤差方程轉(zhuǎn)化為正規(guī)方程；然后求解正規(guī)方程，得到待求的估計(jì)量；最后給出精度估計(jì)。上面例題利用程序求解組合測(cè)量問(wèn)題，用Matlab進(jìn)行曲線的擬合。致謝：長(zhǎng)江之濱，青山湖畔，是我美麗的校園。轉(zhuǎn)眼間，我已經(jīng)在美麗的湖師度過(guò)了四個(gè)年頭。四年，這是我人生中非常重要的四年，我有幸能夠接觸到這些不僅傳授我知識(shí)、學(xué)問(wèn)，而且從更高層次指導(dǎo)我的人生與價(jià)值追求的良師。他們使我堅(jiān)定了人生的方向，獲得了追求的動(dòng)力，留下了大學(xué)生活的美好回憶。在此，我真誠(chéng)地向我尊敬的老師們和母校表達(dá)我深深的謝意！ 這篇論文是在我的導(dǎo)師胡宏昌教授的多次指導(dǎo)下完成的。從論文的選題到結(jié)構(gòu)安排，從內(nèi)容到文字潤(rùn)飾，都凝聚了他大量的心血。在這篇論文的寫作過(guò)程中，胡老師不辭辛勞，不惜在百忙的工作學(xué)習(xí)中抽