高數(shù)A第二章課件(安徽科技大學(xué))

1、三、微分運(yùn)算法則三、微分運(yùn)算法則四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié)一、微分的概念一、微分的概念 函數(shù)的微分函數(shù)的微分 第二章第二章 二、微分的幾何意義二、微分的幾何意義 一、微分的概念一、微分的概念引例引例: : 正方形金屬薄片受熱后面積的改變量正方形金屬薄片受熱后面積的改變量. .20 xA 0 x0 x,00 xxx 變到變到設(shè)邊長由設(shè)邊長由,20 xA 因?yàn)檎叫蚊娣e因?yàn)檎叫蚊娣e2020)(xxxA 所所以以.)(220 xxx )1()2( ; , 的主要部分的主要部分且為且為的線性函數(shù)的線性函數(shù)Ax . , 很小時(shí)可忽略很小時(shí)可忽略當(dāng)當(dāng)?shù)母唠A無窮小的高

2、階無窮小xx )1()2(x x 2)( x xx 0 xx 0再例如再例如, ,.,03yxxxy 求函數(shù)的改變量求函數(shù)的改變量時(shí)時(shí)為為處的改變量處的改變量在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x .320 xxy 則則),()2(xox 的高階無窮小的高階無窮小是是既容易計(jì)算又是較好的近似值既容易計(jì)算又是較好的近似值問題問題: :這個(gè)線性函數(shù)這個(gè)線性函數(shù)( (改變量的主要部分改變量的主要部分) )是否所有是否所有函數(shù)的改變量都有函數(shù)的改變量都有? ?它是什么它是什么? ?如何求如何求? ?1. 微分微分(differ

3、ential)的定義的定義.d ),(dd, )( , )(, , )( )()( , , )(000000000 xAyxfyxxxfyxAxxfyxAxoxAyxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或記作記作的微分的微分相應(yīng)于自變量增量相應(yīng)于自變量增量在點(diǎn)在點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)并且稱并且稱是可微的是可微的在點(diǎn)在點(diǎn)那么稱函數(shù)那么稱函數(shù)無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù)是與是與其中其中可表示為可表示為如果如果在這區(qū)間內(nèi)在這區(qū)間內(nèi)及及在某區(qū)間內(nèi)有定義在某區(qū)間內(nèi)有定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù).d的線性主部的線性主部叫做函數(shù)增量叫做函數(shù)增量微分微分yy ( (微分的實(shí)質(zhì)微分的實(shí)質(zhì)) )2. 由微分的定義知由微分的定義知:;d)1

4、(的線性函數(shù)的線性函數(shù)是自變量的改變量是自變量的改變量xy ;)(d)2(高階無窮小高階無窮小是比是比 xxoyy ;d,0)3(是是等等價(jià)價(jià)無無窮窮小小與與時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)yyA yyd 因?yàn)橐驗(yàn)閤Axo )(1).0(1x;)(,)4(0有關(guān)有關(guān)和和但與但與無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù)是與是與xxfxA ).(d,)5(線線性性主主部部很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)yyx ).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)數(shù)數(shù)可微的充要條件是函可微的充要條件是函在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)定理定理證證(1) 必要性必要性 , )( 0可微可微在點(diǎn)在點(diǎn)因?yàn)橐驗(yàn)閤xf ),( xoxAy 所以所以,)( xxoAxy

5、 于是于是xxoAxyxx )(limlim00則則.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)即函數(shù)即函數(shù)3. 可微的條件可微的條件(2) 充分性充分性)()(0 xxxfy 從而從而,)(0 xfxy即即 , )( 0可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)楹瘮?shù)xxf ),(lim00 xfxyx 所以所以)0(0 x 由由),()(0 xoxxfy .)(, )(00Axfxxf 且且可微可微在點(diǎn)在點(diǎn)所以函數(shù)所以函數(shù) ( ).dyfxx 故故 可導(dǎo)可導(dǎo)可微可微( ).Afx函數(shù)在任意點(diǎn)處的微分，稱為函數(shù)的微分，函數(shù)在任意點(diǎn)處的微分，稱為函數(shù)的微分，記作記作dy，即，即例例1解解.02.

6、 0, 23時(shí)的微分時(shí)的微分當(dāng)當(dāng)求函數(shù)求函數(shù) xxxy xxy )(d3 因?yàn)橐驗(yàn)?32xx 02. 02202. 023d xxxxxxy 所以所以.24. 0 .d,d,xxxxx 即即記作記作稱為自變量的微分稱為自變量的微分的增量的增量通常把自變量通常把自變量.)(d dxxfy 所以所以).(ddxfxy .dd微商微商導(dǎo)數(shù)也叫導(dǎo)數(shù)也叫該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之商等于之商等于與自變量的微分與自變量的微分即函數(shù)的微分即函數(shù)的微分xy二、微分的幾何意義二、微分的幾何意義)(xfy 0 xMNTydy)( xo ）xyo x 幾何意義幾何意義:(:(如圖如圖) ).d,對應(yīng)的增量對應(yīng)的增量就

7、是切線縱坐標(biāo)就是切線縱坐標(biāo)坐標(biāo)增量時(shí)坐標(biāo)增量時(shí)是曲線的縱是曲線的縱當(dāng)當(dāng)yy xx0 P . , , MNMPMx可近似代替曲線段可近似代替曲線段切線段切線段的附近的附近在點(diǎn)在點(diǎn)很小時(shí)很小時(shí)當(dāng)當(dāng) 三、微分運(yùn)算法則三、微分運(yùn)算法則,d)(d xxfy 微微分分表表達(dá)達(dá)式式微分的求法微分的求法: :1. 1. 基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式 ( (對照表對照表) )先計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)再乘以自變量的微分先計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)再乘以自變量的微分. .xxxCxxCd)(d0)(d)(0)( 11 式式公公分分微微式式公公數(shù)數(shù)導(dǎo)導(dǎo)xaxxxxaaaxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxaxxaaa

8、xxxxxxxxxxxxxxaxxxxaxxxxdln1)(logdde)e (ddln)(ddcotcsc)(cscddtansec)(secddcsc)(cotddsec)(tanddsin)(cosddcos)(sindln1)(loge)e (ln)(cotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin 2222 式式公公分分微微式式公公數(shù)數(shù)導(dǎo)導(dǎo)xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxd11)cotarc(dd11)(arctandd11)(arccosdd11)(arcsindd1)(lnd11)cotarc(11)(

9、arctan11)(arccos11)(arcsin1)(ln 22222222 式式公公分分微微式式公公數(shù)數(shù)導(dǎo)導(dǎo)2. 函數(shù)和、差、積、商的微分法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則)0(ddd)0(dd)(d)(d)d()(dd)(d)(22 vvvuuvvuvvvuvuvuvuuvuvvuvuuvuCCuuCCuvuvuvuvu的微分法則的微分法則函數(shù)和、差、積、商函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則的求導(dǎo)法則函數(shù)和、差、積、商函數(shù)和、差、積、商3. 復(fù)合函數(shù)的微分法則復(fù)合函數(shù)的微分法則 . )(, )( )(有如下求導(dǎo)和微分法則有如下求導(dǎo)和微分法則則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)都可導(dǎo)都可導(dǎo)和和設(shè)設(shè)xgfyxgu

10、ufy xxgufxyyxuuyxyxgufxyxd)()(dddddddd )()(dd 或或則則法法分分微微則則法法導(dǎo)導(dǎo)求求 ;d)(d, )1(xxfyx 是自變量時(shí)是自變量時(shí)若若則則微函數(shù)微函數(shù)的可的可即是另一變量即是另一變量是中間變量時(shí)是中間變量時(shí)若若),( , )2(txtx ),()(xfxfy 有有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)ttxfyd)()(d xttdd)( .d)(xxf 結(jié)論結(jié)論:的微分形式總是的微分形式總是函數(shù)函數(shù)是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量無論無論 )(, xfyx 微分形式的不變性微分形式的不變性xxfyd)(d 4. 微分形式不變性微分形式不變性例例2解法

11、解法1.d),eln(2yxyx求求設(shè)設(shè) .dee21d 22xxxyxx 所以所以利用先求導(dǎo)數(shù)再求微分的方法利用先求導(dǎo)數(shù)再求微分的方法,e 2xxy 因?yàn)橐驗(yàn)?e21xx 解法解法2利用微分形式不變性利用微分形式不變性)edln(d2xxy )ed(e122xxxx )d(ede1222xxxxx .dee2122xxxxx 例例3解解.d,cose31yxyx求求設(shè)設(shè) )e (dcosd31xxy xxxxxxd)sin(ed)e3(cos3131 .d)sincos3(e31xxxx 根據(jù)積的微分法則根據(jù)積的微分法則)(cosde31xx )31(decos31xxx xxxd)sin(

12、e31 例例4解解 .d, )(yxyxyyy求求確定確定由由設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在所給方程兩端分別求微分在所給方程兩端分別求微分)d(d yxy 因?yàn)橐驗(yàn)?d(eln xy , )lnd(elnxyxy ,ddlnd xxyyxxyy所以所以整理得整理得xxxxyxyyyd)ln1(d .d)ln1(2xxyxy .d , 0)cos(sin yyxxy求求已知已知 利用微分形式不變性利用微分形式不變性, 有有, 0)d(cos()sin(d yxxyxxyyxdcosdsin )sin(yx , 0)d(d yx.d dxy )sin(cosyxxy xyxsin)sin( 例例5解解例例6 在

13、下列括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立在下列括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:xxd) d() 1 (tt dcos) d()2(221xtsin1說明說明: 上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.CC注意注意: 數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性多值性.例如例如)(22 44)(22)(4sin22)sin(k2224四、四、 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用)()(0 xoxxfy當(dāng)當(dāng)x很小時(shí)很小時(shí),)()(00 xfxxfyxxf)(0 xxfxfxxf)()()(000 xxx0令使用原則使用原則:;)(, )() 100好

14、算xfxf.)20靠近與xx)()()(000 xxxfxfxf得近似等式得近似等式:特別當(dāng)特別當(dāng)xx,00很小時(shí)很小時(shí),xffxf)0()0()(常用近似公式常用近似公式:x1)1 () 1 (x很小)x(xxxx1xsin)2(xe)3(xtan)4( )1ln()5(x證明證明: 令令)1 ()(xxf得得, 1)0(f)0(f,很小時(shí)當(dāng) xxx1)1 (180dx29sin的近似值的近似值 .解：解：設(shè)設(shè),sin)(xxf取取300 x,629x則則1802918029sin6sin6cos2123)0175. 0(485. 0)180(例例7 求求29sin4848. 029sin內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 微分概念微分概念 微分的定義及幾何意義微分的定義及幾何意義 可導(dǎo)可導(dǎo)可微可微2. 微分運(yùn)算法則微分運(yùn)算法則微分形式不變性微分形