流體力學讀書筆記

1、高等流體力學讀書筆記 論文題目: 特征線法讀書筆記 姓 名: 楊 志 偉 學 號: 113108000839 專 業(yè):兵器發(fā)射理論與技術指導教師: 周 建 偉 日 期: 2013年12月 1 特征線法1.1 理論的引出在考慮了兩對面管壁都外折使得兩束膨脹波相交，以及膨脹波束在自由邊界上反射等問題時，單有繞外鈍角流動的公式就不夠使用了，需要一種使用于解復雜問題的方法，這就是特征線法。在概況性上說，特征線法確實比繞外鈍角的解法進了一步，只要是兩個自變數(shù)的雙曲線型偏微分方程都能用。定常超聲速流（包括平面及軸對稱的無旋和有旋流）與一維費定常流（不論亞聲速還是超聲速）的運動方程都是雙曲型的。這幾種流動能

2、在數(shù)學上歸在一起，正是反映了在物理上這幾種流動都是以波的形式進行變化這樣一個事實。定常亞聲速流場上，流動的變化不是以波的形式進行的，任何擾動都沒有界線可言，擾動遍及全場，變化都是連續(xù)的，任何流動參數(shù)（速度、密度和壓強等）不僅本身連續(xù)，而且它對空間坐標的導數(shù)也都連續(xù)。與此相反，在定常超聲速流場上，擾動都是有界的，像激波在流場中是以突躍面的形式存在的，流動參數(shù)本身在突躍面上有突躍的變化，稱為強突躍；另一種擾動也是有界的，例如膨脹波（或微弱壓縮），界線是馬赫波，流動參數(shù)本身在波上是連續(xù)的，但它的導數(shù)在波上可以不連續(xù)。如圖1所以，定常超聲速氣流流過外鈍角，在第一道膨脹波的上游，各流動參數(shù)都是均一的，對

3、的導數(shù)到處都是零，但一到上便開始變化了，雖然流動參數(shù)本身在還是連續(xù)的，但無變化的直勻流區(qū)突然在這條線上有變化的扇形膨脹地帶相接，諸流動參數(shù)的導數(shù)在上必是突然從零變?yōu)槟骋欢ㄖ?。在最后一道波上，導?shù)從一定值躍變?yōu)榱恪Ｔ谥虚g各道波上，流動參數(shù)的導數(shù)取了特殊的突躍值零。圖1 外鈍角繞流流動參數(shù)的導數(shù)在其上發(fā)生突躍的線（或面）稱為弱突躍線（或面），以區(qū)別與流動參數(shù)本身發(fā)生突躍的強突躍面（如激波）。馬赫線（膨脹波或微弱壓縮波）就是弱突躍線。當然，突躍之中可以包括突躍值為零（即不發(fā)生突躍）的情況。這樣就可以把繞外鈍角流動的扇形地帶中的每一道膨脹波都包括在內(nèi)，都是弱突躍線。 上述幾種流動的運動方程都是雙曲型二

4、階偏微分方程。解雙曲型二階偏微分方程時，存在有一類特殊的曲線，即函數(shù)的二階導數(shù)在這種曲線上所以不連續(xù)，因而知道了因數(shù)在這種曲線一側的數(shù)值時，不可能靠級數(shù)展開去推得函數(shù)在曲線另一側的數(shù)值來。雙曲型二階偏微分方程所獨有的這種函數(shù)導數(shù)可以不連續(xù)的曲線，在數(shù)學上稱為特征線。流場上的弱突躍線就是數(shù)學上的特征線。根據(jù)數(shù)學上的特征線理論，用數(shù)值解法解決定常超聲速流動的問題，就是氣體動力學中的所謂特征線法。特征線理論除了定義特征線、并根據(jù)定義找出特征線方程之外，還確定；沿特征線上的各參數(shù)的變化之間必須遵守一定的關系，這是特征線所具有的另一方面的性質。所以說，特征線有兩種性質：一是跨過這種曲線，函數(shù)(例如位函數(shù)

5、)的二階導數(shù)可以不連續(xù)；二是沿著這種曲線，函數(shù)的一階導數(shù)(例如流速)的變化之間又必須遵守一定的規(guī)律。就是說，既有突躍的一面、又有規(guī)律性的一面。在做計算時，要同時利用這兩種性質，尤其是利用沿特征線的規(guī)律性。這個規(guī)律性在繞外鈍角流動的問題中已經(jīng)用過了，那就是氣流折角與流速有一一對應的關系。不過，這個關系在繞外鈍角流動的問題里，沒有從數(shù)學上強調(diào)它是沿特征線的關系，表面上看來反而像是跨特征線似的。原因是，在那個簡單問題上，沒有全面討論流場，只是畫了要用的馬赫線。事實上，與流線成角的馬赫線還有另一族存在，如圖2上的線。后面可以證明，在這個具體問題上，所謂沿特征線的變化關系正是沿那一族馬赫線的變化關系。圖

6、2 外鈍角繞流的馬赫線本節(jié)先把定常平面超聲速流和軸對稱超聲速流的運動方程列一下，以說明數(shù)學上的共同點，然后導出這些方程列的特征線來。接下去詳細講解特征線法在乎面無旋定常超聲速流問題上的應用及解題法。后面再講超聲流流過圓錐體的稻確解及軸對稱特征線法。1.2 兩個自變數(shù)的運動方程平面不可壓位流的運動方程是而在平面定常無旋可壓流的條件下，此式府寫為如下形式通乘以，并引用符號，則上式化為 （1-1）定常無旋軸對稱流的運動方程直接寫為 （1-2） 這兩個方程是同一類型的，都是具有兩個獨立變數(shù)的二階非線性偏微分方程。它們有時也稱為擬線性方程，因為對最高階導數(shù)而言是線性的。此二式可寫成一個共同的形式 （1-

7、3）一般說來，式中的系數(shù)，是，的函數(shù)。這樣一個二階偏微分方程，究竟屬于哪種類型，要看判別式大于、等于、還是小于零。現(xiàn)在式（1-1）中的式（1-2）中的在超聲速流()中，這兩個判別式都大于零，所以式（1-1）與（1-2）都是雙曲型的方程?，F(xiàn)在總概括成式（1-3）來研究，目的是要得到解決實際問題的具體辦法。不過，并不能單純從數(shù)學角度來研究式（1-3）的解法，而是要與氣體流動的物理情況密切結合起來。函數(shù)就是速度位，就是分速，就是分速。也常把和組成的平面稱為“速度面”。1.3 哥西問題及特征線方程在一定的邊界條件下直接積分式（1-3）是很困難的，所以就希望用數(shù)值解的辦法求出需要的答案。以平面流動來說，

8、假設知道了待求函數(shù)在某一條曲線上的函數(shù)值，如果能夠設法求出函數(shù)在該曲線附近的數(shù)值，就能把全流場上的解答一步步地找出來，這在數(shù)學上叫做哥西問題。哥西問題的數(shù)學提法是這樣：給定函數(shù)的偏微分方程，并在平面上沿某一條曲線給定該函數(shù)的數(shù)值，問能否推出曲線附近的函數(shù)值。在所討論的問題中，未知函數(shù)是。此處限于討論介質屬性(各流動參數(shù))是連續(xù)的流場。這樣，和(諸分速)就是和的連續(xù)函數(shù)。如果從曲線出發(fā)，往附近任意走一小步，和的改變量應為 （1-4） （1-5）因此，如果能夠以曲線為基地逐步向外開拓，位函數(shù)除了應該滿足式（1-3）之外，還應滿足式（1-4）及式（1-5）。而要做到這一點，各個二階偏導數(shù)的數(shù)值必須是

9、能夠確定的。難道說有不確定的情況嗎？有的，下面就談這個問題。從幾何上想一下，微分方程式（1-3）的每一個解可以看作是，空間中的一個三維曲面，叫做積分曲面，而且每個解都定義了一個滿足式（1-3）的函數(shù)。在積分曲面上可以畫出很多條不同的空間曲線，每一條曲線在平面上都有一定的投影。在指定點處，從這些被投影的曲線向外每走一小步，就可按式（1-4）與式（1-5）確定出相應的與值。注意，積分曲面上的任意一點處，式（1-3）都是能滿足的。此外，式（1-4）及式（1-5）是適用于位于該曲面上的任何曲線的無限小微段所對應的改變量。因此，位函數(shù)的二階導數(shù)應同時滿足下列三式 （1-6） （1-7）這一組方程可以看作

10、是，及的線性代數(shù)方程，解得 （1-8）以及的形式與是類似的，分母行列式都一樣，只是分子行列式有所不同罷了。由式（1-8）可以看出，如果分母行列式等于零，那么，諸二階偏導數(shù)就不能確定，也就無法根據(jù)給定曲線上的函數(shù)值來推算在曲線附近的函數(shù)值。這樣一類具有特殊性質的曲線，它們雖然是積分曲面上的線條，但是及的導數(shù)在這些線上可以不連續(xù)，這類曲線，如果存在的話，稱為解的特征曲線（或簡稱為特征線），特征線在平面上的投影，稱為物理面特征線。注意到及就是和，位函數(shù)的二階導數(shù)不連續(xù)就意味著速度的導數(shù)不連續(xù)，因而所有流動參數(shù)的導數(shù)也都不連續(xù)。這正符合在本節(jié)開頭處說的弱突躍的定義。所以特征線的物理意義很清楚，就是弱突

11、躍線。令式（1-8）的分母等于零，即得特征線在物理平面上的投影的微分方程，是 （1-9）由此，得 （1-10）式（1-10）就是物理面特征線的微分方程，它規(guī)定廠物理特征線斜率的變化規(guī)律。該式只有當時才有意義?？梢?，只有雙曲型的偏微分方程才具有特征線。橢圓型方程，由于而不存在特征線。再看，該式中有正負號、表示在同一點可以有兩個斜率，也就是說在平面上有兩族特征線存在。負號定為第族特征線，正號定為第族特征線。而在式（1-10）中的3個系數(shù)，是與與有關系的。為了作出物理面特征線，就必須確定及沿著特征線是怎樣變化的。1.4 函數(shù)的導數(shù)沿特征線的變化在特征線上，既然分母行列式等于零，那么，在用式（1-3）

12、、式（1-6）及式（1-7）求的3個二階偏導數(shù)時，分子行列式也必須為零，否則會出現(xiàn)無限大的答案；而在物理問題里，參數(shù)總是有限值。分子行列式為零便規(guī)定了與的變化之間有一定的關系。以求這個二階偏導數(shù)約分子行列式來說（和也一樣），它是式（1-8）的分子，即 （1-11）由此解得 （1-12）把式（1-10）代入式（1-12），得導數(shù)沿特征線的變化規(guī)律（也稱為“相容性條件”）為 （1-13）式（1-13）給定了平面上的特征線斜率與，之間的關系。因，故又把式（1-13）稱為速度面上的特征線方程。與物理面特征線相類似，速度面特征線也有兩族，第族取負號，第族取正號。為了明確起見，常把物理面和速度面上的兩族特

13、征線方程分別寫為 （1-14a） （1-14b） （1-15a） （1-15b）需要強調(diào)一下，式（1-10）雖然是根據(jù)函數(shù)的導數(shù)發(fā)生突躍的條件導出來的，然而決不是說在每一個具體的流動問題里都必定發(fā)生弱突躍，只是說凡發(fā)生弱突躍必在特征線上罷了。同理，式（1-13）也只是規(guī)定了沿特征線的變化規(guī)律，并沒有說沿每一條特征線都必須有變化，只是說沿著特征線如果有變化，其變化規(guī)律必是式（1-13）。在具體問題中究競在四條特征線上發(fā)生弱突躍，究競沿哪條特征線侖變化，那是由具體的邊界條件所規(guī)定的。在繞外鈍角流動的例子中，第族特征線是發(fā)生弱突躍的線，但沿著第族特征線沒有變化；第族特征線是參數(shù)沿之起變化的線，但不是

14、發(fā)生弱突躍的線。1.5 利用特征線關系式作數(shù)值解可以利用式（1-14）及（1-15），根據(jù)給定的導數(shù)值進行數(shù)值解去求其他點的導數(shù)值。因為位函數(shù)的導數(shù)就是流速，正是所要求的參數(shù)。具體求解的時候，耍把式（1-14）及式（1-15）中的微分用差分代替，并根據(jù)上游的已知數(shù)據(jù)結合邊界條件一步步作下去。參看圖3，假定有十分靠近的、且不在同一條特征線上的兩點，并知道了這兩點上的一切流動參數(shù)。這時用式（1-14）可以算出過，兩點的特征線方向來。實際存在的特征線一般是曲線，但當，十分靠近時，過的第族特征線與過的第族特征線的交點也不會離，太遠，做初步近似，可以用宜線段代替曲線。這樣只要根據(jù)算出來的斜率值，并從和分

15、別作兩直線段，便得一個交點，這個新點的幾何倫置很容易確定，即 （1-16） （1-17）和分別是過點的第族特征線斜率與過點的第族特征線斜率。解此二代數(shù)方程，得坐標。導數(shù)值和可用式（1-17）求出。因至是沿第族特征線變化的，故按式（1-15b）得 （1-18）同理，因至是按第族特征線變化的，故按式（1-15a）有關系式 （1-19）腳注1，2，11分別表示，點的數(shù)值。聯(lián)解式（1-18）及式（1-19），即得點的及之值。圖3 特征線網(wǎng)示意圖若需要精確一些的話，可在求出初步近似的及值之后，把點的，值算出來，然后用，與的平均，值再重列式（1-18）及式（1-19），解出更精確一步的及值來。如果原給的不

16、止，兩點，還有，一系列不在同一條特征線上的點，則重復上述步驟，可得，等新點。再以，為新的起點，即又可求出，等點來。這樣就可以根據(jù)給定的情況算出下游一定區(qū)域中的流動情況或反推出上游一定區(qū)域中的流動情況來。如果已知數(shù)據(jù)的點正好給在一條特征線上，就無法推算新的點。這時需要附加其他條件一起進行計算，這在后面再講。2 平面無旋流的特征線法2.1 物理面與速度面上的特征線方程參看式（1-1），平面定常無旋流的， ， 把這些值代人式（1-14a）及式（1-14b），得物理面上兩族特征線方程為 （1-20）式（1-20）表示的是特征線和軸之間夾角的正切關系式。如果算一下特征線與速度矢量之間的夾角的正切，即可證

17、明特征線就是馬赫線。因為特征線與軸之間的夾角是，速度矢量與軸之間的夾角是，二者之差的正切是 （1-21）該式說明特征線與速度矢量之間的夾角為馬赫角，所以特征線就是馬赫線。下方符號是第族特征線，相應地，在式（1-20）中取下方符號；上方符號是第二族。參看圖4，順著正的指向看過去，第族特征線向左伸，第族則向右伸。圖4 特征線與流線的關系如記與軸之間的夾角為，則把式（1-20）作適當變換或直接按圖4寫下物理特征線方程 （1-22）再把，代人式（1-15a）及式（1-15b），得速度面特征線方程（即位函數(shù)的導數(shù)沿特征線的變化關系）（1-23）若用合速及角度來表示上式，形式會簡潔得多。換算如下 ，微分得

18、合并此2式，得將此式與式（1-23）聯(lián)立消去，最后得在均能流場中，是常數(shù)，將上式分子分母通除以后得 （1-24）此式又稱為“相容性條件”。式巾的正號是沿第族特征線變化的關系式，相應地在式（1-23）中取下方符號。上方符號則是第族。該式規(guī)定：沿特征線，如有變化，必有相應的變化；當然也可以不變?？傊?，兩族物理面特征線及速度面特征線方程是 （1-25） （1-26）2.2 平面無旋流的特征線網(wǎng)圖注意式（1-24），該式中不包含物理面上的坐標（即無項）。因此，可以直接積分。因為也是的函數(shù)數(shù)因此，可以直接積分，以求人人省一條曲線在“方程，并在，一對應131313131313131313131313131

19、313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313，代入式（1-24），得正負號的上下次序換了一下，把第族特征線的符號寫在上面了。積分得（1-27）若規(guī)定時，氣流方向，則。2.3 四種邊值問題圖5 第一邊值問題第一邊值問題：已知定常超聲速流場上某一條普通曲線上所有各點的坐標及值和值，求以線及過，兩點的兩條特征線和所圍區(qū)

20、域內(nèi)的流動情況。注意給定的只是曲線，特征線和是未知的，等問題解完了才能確定下來。解法是這樣的：參看圖5，在物理面的給定曲線上選取一系列的點， ，間距一艇說來應很小，具體取決于所需的精確度。各點的坐標及和值皆已知，具體執(zhí)行計算時采用如下步驟。引用記號將特征線方程和相容件條件式（1-25）和(7N)改寫成以下形式 沿 沿 沿 沿此處，表示第族特征線，表示第族特征線。在圖5止，假設，等是第族特征線；，等是第族特征線。因此，從和點出發(fā)求點時，可得下列方程式中，和是指與點的和的平均值；而和則是指與點的和的平均值。由此解得 （1-28a） （1-28b） （1-28c） （1-28d）其中的，計算過程要作迭代。開始時，為了求平均值，需要估計處的流動參數(shù)和，然后按式（1-28）算出點處的參數(shù)。得到新值和以后，即可計算新的平均值，。按此步驟作迭代，直到點處的第次的值與第次的值之差小于一個規(guī)定值（例如)，就認為迭代收斂了。更多的細節(jié)不在此討論了。然后從起，每兩個鄰點決定一個新點的位置及流動參數(shù)。例如和決定。的幾何位置由過的