第4講 全微分及其應(yīng)用

1、西南財經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院全全 微微 分分一、增量定理二、全微分西南財經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院),(),(),(limlim00000000yxfxyxfyxxfxzxxxx ),(),(),(limlim00000000yxfyyxfyyxfyzyyyy 100),( yxfxzxx200),( yxfyzyy. 0lim, 0lim,201021 yx滿滿足足其其中中, ),(100 xxyxfzxx , ),(200yyyxfzyy 西南財經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點在點),(000yxP的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)有定義，并設(shè)有定義，并設(shè)),(00yyxxP 為這鄰域內(nèi)的任意一為這鄰域

2、內(nèi)的任意一點，則稱這兩點的函數(shù)值之差點，則稱這兩點的函數(shù)值之差 ),(),(0000yxfyyxxf 為函數(shù)在點為函數(shù)在點 P 對應(yīng)于自變量增量對應(yīng)于自變量增量yx ,的全增的全增量，記為量，記為z，即，即 ),(),(0000yxfyyxxfz 全增量的概念全增量的概念西南財經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院),(yxfz zxyO),(000yxP),(00yyxxP ),(00yxxA 1M2Mz1 z2 0MBC 西南財經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院定理定理 1 1（增量定理）（增量定理） 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 的一階偏導(dǎo)數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)在包含點在包含點),(000yxP的整個開區(qū)域的整個開區(qū)域 D 內(nèi)存在，并且

3、內(nèi)存在，并且),(yxfx和和),(yxfy在點在點),(000yxP處連續(xù)，那么函數(shù)處連續(xù)，那么函數(shù)),(yxfz 的的值 當(dāng) 從值 當(dāng) 從D內(nèi) 的 點內(nèi) 的 點),(000yxP移 動 到 另 外 一 點移 動 到 另 外 一 點),(00yyxxP 時的改變量時的改變量 ),(),(0000yxfyyxxfz 滿足等式滿足等式 yxyyxfxyxfzyx 210000),(),( 其中當(dāng)其中當(dāng)0, 0yx 時，時，0, 021 。 一、增量定理西南財經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院二、全微分定義定義：如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點在點),(000yxP的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)),(00yxfx和和),(00

4、yxfy存在，并且滿足存在，并且滿足 yxyyxfxyxfzyx 210000),(),( 其中當(dāng)其中當(dāng)0, 0yx 時，時，0, 021 。那么函數(shù)。那么函數(shù)),(yxf在點在點),(000yxP是是可微可微分的。如果分的。如果),(yxf在定義域中的每個在定義域中的每個點都是可微分的，就稱點都是可微分的，就稱),(yxf是是可微可微分的。稱分的。稱 yyxfxyxfyx ),(),(0000 是是),(yxf在點在點),(000yxP處的處的全微分全微分，記作，記作 yyxfxyxfdzyx ),(),(0000 。 西南財經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院在在上上述述定定義義中中，其其中中當(dāng)當(dāng)0, 0yx

5、時時，0, 021 ,于于是是，如如果果令令22)()(yx ，那那么么 0)0,0(),(21 yxyx 。 關(guān)于可微分的說明：關(guān)于可微分的說明：所所以以，yx 21 也也可可以以寫寫成成)( 。 西南財經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院一元函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)存在一元函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)存在 微分存在微分存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在 全微分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf在點在點)0 , 0(處有處有0)0 , 0()0 , 0( yxff西南財經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 如如果果考考慮慮點點),(1

6、yxP沿沿著著直直線線xy 趨趨近近于于)0 , 0(， 則則 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 說說明明它它不不能能隨隨著著0 而而趨趨于于 0,0 當(dāng)當(dāng) 時，時，),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 函函數(shù)數(shù)在在點點)0 , 0(處處不不可可微微.西南財經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院定定理理 2 2 如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)),(yxfx和和),(yxfy在在區(qū)區(qū)域域 D 上上連連續(xù)續(xù)，那那么么函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在 D 上上可可微微分分。 定定理理 3 3 如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在 ),(00yx點點可可微微分分，那那么

7、么函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在 ),(00yx點點連連續(xù)續(xù)。 西南財經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院習(xí)慣上，記全微分為習(xí)慣上，記全微分為.dyyzdxxzdz 全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù).dzzudyyudxxudu 通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況西南財經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院例例 1 1 計計算算函函數(shù)數(shù)xyez 在在點點)1 , 2(處處的的全全微微分分.解解,xyyexz ,xy

8、xeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分西南財經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院例例 2 2 求求函函數(shù)數(shù))2cos(yxyz ，當(dāng)當(dāng)4 x， y，4 dx， dy時時的的全全微微分分.解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(82西南財經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院例例 3 3 計計算算函函數(shù)數(shù)yzeyxu 2sin的的全全微微分分.解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 西南財經(jīng)

9、大學(xué)天府學(xué)院例例 4 4 試證函數(shù)試證函數(shù) )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf在在點點)0 , 0(連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，但偏導(dǎo)數(shù)在點連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，但偏導(dǎo)數(shù)在點)0 , 0(不連續(xù)，而不連續(xù)，而f在點在點)0 , 0(可微可微.思路：按有關(guān)定義討論；對于偏導(dǎo)數(shù)需分思路：按有關(guān)定義討論；對于偏導(dǎo)數(shù)需分 )0 , 0(),( yx，)0 , 0(),( yx討論討論. 西南財經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院證證當(dāng)當(dāng),0, 0時時yx則則22)0,0(),(1sinlimyxxyyx 0 ),0 , 0(f 故故函函數(shù)數(shù)在在點點)0 , 0(連連續(xù)續(xù), )0 ,

10、0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx同理同理. 0)0 , 0( yf, 0 xy.1sin22有有界界yx 西南財經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院當(dāng)當(dāng))0 , 0(),( yx時，時， ),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy 當(dāng)當(dāng)點點),(yxP沿沿直直線線xy 趨趨于于)0 , 0(時時,),(lim)0,0(),(yxfxxx,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.西南財經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院所所以以),(yxfx在在)0 , 0(不不連連續(xù)續(xù).同同理理可可證證),(yxfy在在)0 , 0(不不連連續(xù)續(xù).)0

11、 , 0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx )()(22yxo 故故),(yxf在在點點)0 , 0(可可微微. 0)0,0( df西南財經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)西南財經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院全微分在近似計算中的應(yīng)用全微分在近似計算中的應(yīng)用都較小時，有近似等式都較小時，有近似等式連續(xù)，且連續(xù)，且個偏導(dǎo)數(shù)個偏導(dǎo)數(shù)的兩的兩在點在點當(dāng)二元函數(shù)當(dāng)二元函數(shù)yxyxfyxfyxPyxfzyx ,),(),(),(),(.),(),(yyxfxyxfdzzyx 也可寫成也可寫成.),()

12、,(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 西南財經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院例例 5 5 計計算算02. 2)04. 1(的的近近似似值值.解解.),(yxyxf 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù).02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf由公式得由公式得02. 0004. 021)04. 1(02. 2 .08. 1 西南財經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院多元函數(shù)全微分的概念；多元函數(shù)全微分的概念；多元函數(shù)全微分的求法；多元函數(shù)全微分的求法；多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的

13、關(guān)系（注意：與一元函數(shù)有很大區(qū)別）（注意：與一元函數(shù)有很大區(qū)別）三、小結(jié)西南財經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院四、作業(yè)西南財經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院 函數(shù)函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx處可微的充分條件是處可微的充分條件是:（1）),(yxf在點在點),(00yx處連續(xù)；處連續(xù)；（2）),(yxfx 、),(yxfy 在點在點),(00yx的的 某鄰域存在；某鄰域存在；（3）yyxfxyxfzyx ),(),(， 當(dāng)當(dāng)0)()(22 yx時是無窮小量；時是無窮小量；（4）22)()(),(),(yxyyxfxyxfzyx , 當(dāng)當(dāng)0)()(22 yx時是無窮小量時是無窮小量.思考題思考題西南財經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院一、

14、一、 填空題填空題: :1 1、 設(shè)設(shè)xyez , ,則則 xz_； yz_； dz_._.2 2、 若若)ln(222zyxu , ,則則 du_._.3 3、 若函數(shù)若函數(shù)xyz , ,當(dāng)當(dāng)1, 2 yx, ,2 . 0, 1 . 0 yx時時, ,函數(shù)的全增量函數(shù)的全增量 z_;_;全微分全微分 dz_._.4 4、 若 函 數(shù)若 函 數(shù)yxxyz , , 則則xz對對的 偏 增 量的 偏 增 量 zx_;_; xzxx0lim _. _.練練 習(xí)習(xí) 題題西南財經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院二、二、 求函數(shù)求函數(shù))1ln(22yxz 當(dāng)當(dāng), 1 x 2 y時的全微分時的全微分. .三、三、 計算計算33

15、)97. 1()02. 1( 的近似值的近似值. .四、四、 設(shè)有一無蓋園柱形容器設(shè)有一無蓋園柱形容器, ,容器的壁與底的厚度均為容器的壁與底的厚度均為cm1 . 0，內(nèi)高為，內(nèi)高為cm20, ,內(nèi)半徑為內(nèi)半徑為cm4, ,求容器外殼體求容器外殼體積的近似值積的近似值. .五、五、 測得一塊三角形土地的兩邊邊長分別為測得一塊三角形土地的兩邊邊長分別為m1 . 063 和和m1 . 078 , ,這兩邊的夾角為這兩邊的夾角為0160 . .試求三角形面積試求三角形面積的近似值的近似值, ,并求其絕對誤差和相對誤差并求其絕對誤差和相對誤差. .六六、利利用用全全微微分分證證明明: :乘乘積積的的相相對對誤誤差差等等于于各各因因子子的的相相對對誤誤差差之之和和; ;商商的的相相對對誤誤差差等等于于被被除除數(shù)數(shù)及及除除數(shù)數(shù)的的相相對對誤誤差差之之和和. .西南財經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院七七、求求函函數(shù)數(shù) ),(yxf 0,00,1sin)(22222222yxyxyxyx 的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,并并研研究究在在點點)0 , 0(處處偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的連連續(xù)續(xù)性性及及 函函數(shù)數(shù)),(yxf的的可可微微性性. .西南財經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院一、一、1 1、)(1,1,2dyd