對坐標(biāo)曲線積分

1、第二節(jié)第二節(jié)一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念 與性質(zhì)與性質(zhì)二、二、 對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法 對坐標(biāo)的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分 第二類曲線積分第二類曲線積分 一、一、 對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)1. 引例引例: 變力沿曲線所作的功變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用在在 xOy 平面內(nèi)從點(diǎn)平面內(nèi)從點(diǎn) A 沿光滑曲線弧沿光滑曲線弧 L 移動到點(diǎn)移動到點(diǎn) B, 求移求移cosABFW “分割分割” “近似代替近似代替”“求和求和” “取極限取極限”變力沿直線所作的功變力沿直線所作的功解決辦法解決辦

2、法:動過程中變力所作的功動過程中變力所作的功W.ABF ABF),(, ),(),(yxQyxPyxFABLxyO1kMkMABxy1) “分割分割”.2) “近似代替近似代替”L把把L分成分成 n 個(gè)小弧段個(gè)小弧段,有向小弧段有向小弧段kkMM1),(kkyx近似代替近似代替, ),(kk則有則有kkkkyQxP),(),(kk所做的功為所做的功為,kWF 沿沿kkMM1kkkkMMFW1),(k),(kkFnkkWW1則則用有向線段用有向線段 kkMM1kkMM1上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)在在kykxO),(, ),(),(yxQyxPyxF3) “求和求和”4) “取極限取極限”nkW1kkk

3、kkkyQxP),(),(nkW10limkkkkkky)Q(x)P,(其中其中 為為 n 個(gè)小弧段的個(gè)小弧段的 最大長度最大長度)1kMkMABxyL),(kkFkykxO2. 定義定義. 設(shè)設(shè) L 為為xOy 平面內(nèi)從平面內(nèi)從 A 到到B 的一條的一條有向光滑有向光滑弧弧,若對若對 L 的任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn)的任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn), 都存在都存在,在有向曲線弧在有向曲線弧 L 上上對坐標(biāo)的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10lim則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)或或第二類曲線積分第二類曲線積分. 其中其中

4、, ),(yxPL 稱為稱為積分弧段積分弧段 或或 積分曲線積分曲線 .稱為稱為被積函數(shù)被積函數(shù) , 在在L 上定義了一個(gè)向量函數(shù)上定義了一個(gè)向量函數(shù)極限極限),(, ),(),(yxQyxPyxF記作記作),(yxF),(yxQLxyxPd),(,),(lim10nkkkkxPLyyxQd),(,),(lim10nkkkkyQ若若 L為空間曲線弧為空間曲線弧 , 記記稱為稱為對對 x 的曲線積分的曲線積分;稱為稱為對對 y 的曲線積分的曲線積分.若記若記, 對坐標(biāo)的曲線積分也可寫作對坐標(biāo)的曲線積分也可寫作)d,(ddyxs LLyyxQxyxPsFd),(d),(d),(, ),(, ),(

5、),(zyxRzyxQzyxPzyxFd( , , )d( , , )d( , , )dLLFsP x y zxQ x y zyR x y zz)d,d,(ddzyxs 類似地類似地, 3. 性質(zhì)性質(zhì)(1) 若若 L 可分成可分成 k 條有向光滑曲線弧條有向光滑曲線弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(kiLiyyxQxyxP1d),(d),(2) 用用L 表示表示 L 的反向弧的反向弧 , 則則LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(則則 定積分是第二類曲線積分的特例定積分是第二類曲線積分的特例.說明說明: : 對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的對

6、坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向方向 !二、對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法二、對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法定理定理:),(, ),(yxQyxP設(shè)在有向光滑弧在有向光滑弧 L 上有定義上有定義且且L 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為)()(tytx,:t則曲線積分則曲線積分LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ連續(xù)連續(xù),存在存在, 且有且有特別是特別是, 如果如果 L 的方程為的方程為,:),(baxxy則則xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(對空間光滑曲線弧對空間光滑曲線弧 :類似有類似有zzyxRyzyxQxzyxPd)

7、,(d),(d),()(t)(t)(t)(, )(),(tttR)(, )(),(tttP,:)()()(ttztytx)(, )(),(tttQyxO例例1. 計(jì)算計(jì)算其中其中 L 為為,:, 0aaxyBAaa(1) 半徑為半徑為 a 圓心在原點(diǎn)的圓心在原點(diǎn)的 上半圓周上半圓周, 方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向;(2) 從點(diǎn)從點(diǎn) A ( a , 0 )沿沿 x 軸到點(diǎn)軸到點(diǎn) B ( a , 0 ). 解解: (1) 取取L的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2ttadsin2203332a(2) 取取 L 的方程為的方程為xyLd2ta202si

8、nttad)sin(132334aaaxd00則則則則23202(1 cos)dcosatt練習(xí)練習(xí)1. 計(jì)算計(jì)算,dLxyx其中其中L 為沿拋物線為沿拋物線xy 2解法解法1 取取 x 為參數(shù)為參數(shù), 則則OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023xxyyyyxyxLd)(d2112xyxy 解法解法2 取取 y 為參數(shù)為參數(shù), 則則11:,:2yyxL54d2114yy從點(diǎn)從點(diǎn)xxxd10的一段的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到Oyx)1 , 1(B)1, 1( A例例2. 解：解：()()Lxy dxy

9、x dy2123334)2(dyyyy2221()2()yyyyydy例例2. 解：解：()()Lxy dxyx dy2111)410(dyy21(32) 3(32)yyyydy 例例2. 解：解：21LLL1:1xL21: y 2:2yL41: x ()()Lxy dxyx dy2411(1)(2)ydyxdx14練習(xí)練習(xí)2. 計(jì)算計(jì)算,dd22yxxyxL其中其中L為為(1) 拋物線拋物線 ; 10:,:2xxyL(2) 拋物線拋物線 ;10:,:2yyxL(3) 有向折線有向折線 .:ABOAL解解: (1) 原式原式22xxxx d4103(2) 原式原式y(tǒng)yy222yy d5104(

10、3) 原式原式y(tǒng)xxyxOAdd22 01)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(xxxd )2210(yyd )4yxxyxABdd2210dy11yxO. 0, 01 , 2222閉路默認(rèn)正向）閉路默認(rèn)正向）的邊界，逆時(shí)針方向（的邊界，逆時(shí)針方向（，：及及求求 yxyxLdyxdxyLL解解例例3)1( Ldxy2dxyLLL2)(321 dxyL21 ,dx0010 1:222 yxL1L3LxyO1 , 0, 0:1 xyL0212(1),3x dx 22Ly dx22:1,0,1L yxx32Ly dx02100,y d. 32 2 dxyLdyxdyxyLL20:21

11、2)( dyxyyxL21 ,0,1:22 dyxxL20:3 0)1(0210 dyy.32 1:222 yxL1L3LxyO3:0,0,1L xy. )0 , 0 , 0( )1 , 2 , 3( ,3 223AOOALydzxdyzydxxL的的有有向向線線段段到到是是從從計(jì)計(jì)算算 解解練習(xí)練習(xí)的方向向量的方向向量 Ldttttdtttdt)2()3()2()2(3)3()3(32301 原原式式 OA ),1 ,2,3(: L tztytx 23.1 , 0 t.487 zyzx23即即.1 , 0 z1. 定義定義kkkknkyQxP),(),(limkk10LyyxQxyxPd),(d),(2. 性質(zhì)性質(zhì)(1) L