矩陣論—特征值和特征向量

1、機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 數(shù)學科學學院數(shù)學科學學院 陳建華陳建華矩矩 陣陣 論論機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1.1 特征值和特征向量特征值和特征向量一、方陣的特征值和特征向量一、方陣的特征值和特征向量二、線性變換的特征值和特征向量二、線性變換的特征值和特征向量機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1、定義、定義假設假設 A 是是 n 階方陣，如果存在數(shù)階方陣，如果存在數(shù) 和非零向量和非零向量 X，使得，使得AX= X稱稱 是矩陣是矩陣 A 的一個特征值，的一個特征值， X 是是對應于對應于 的一個特征向量。的一個特征向量。一、方陣的特征值和特征向量一、方陣的特征值和特征向量機動

2、 目錄 上頁 下頁 返回 結束 AX = X非零非零向量向量特征向量特征向量對應對應 特征值特征值n階方陣階方陣對應于特征值對應于特征值 的特征向量不唯一。的特征向量不唯一。注：注：2、求法、求法AX = X( EA)X = 0| EA| = 0特征方程特征方程| EA| = a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann 特征多項式特征多項式 EA特征矩陣特征矩陣 特征值特征值特征向量特征向量 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (1) 為為A的特征值的特征值 | EA| = 0. (2) X為為A的對應于的對應于 的的特征向量特征

3、向量 ( EA)X = 0, X為非零向量為非零向量. 求特征值和特征向量的步驟：求特征值和特征向量的步驟：(1) 寫出寫出A的特征方程的特征方程| E A| 0;(2) 求出求出A的的n個特征值個特征值 1, 2 n;(3) 對每一特征值對每一特征值 i，求解對應的方程組，求解對應的方程組( iE A)X 0 方程組的非零解就是方程組的非零解就是 i的所有特征向量的所有特征向量.定理定理1例例1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 解解: A的特征多項式為的特征多項式為求矩陣求矩陣的特征值和特征向量的特征值和特征向量.所以所以A的特征值為的特征值為 1=2, 2= 3= 1.對于對于 1=2,

4、 解方程組解方程組(2EA)X = 0,110430102EA 3102410100EA 100010000,(),()221 110430102A 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 p1=(0, 0, 1)T.對應于對應于 1=2的特征向量為的特征向量為k1p1 (0 k1 R).得基礎解系得基礎解系對于對于 2= 3=1,解方程組解方程組 (EA)X= 0,210420101EA 101012000,得基礎解系得基礎解系p2=(1, 2, 1)T.對應于對應于 2= 3 =1的特征向量為的特征向量為k2p2 (0 k2 R).于是，于是，于是，于是，機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 3

5、、性質(zhì)、性質(zhì)（1） 2是是A2 的特征值的特征值;（2 2） -1是是A-1 的特征值；的特征值；（3）a+k 是是aE+kA 的特征值（的特征值（a, k為常數(shù)）。為常數(shù)）。且且 X 仍為仍為 A2 , A-1 , aE+kA 的分別對應于特征值的分別對應于特征值 2 , -1, a+k 的特征向量的特征向量。設設 是方陣是方陣A的的特征值，特征值，X為為A 的對應于的對應于性質(zhì)性質(zhì)1 的特征向量，則的特征向量，則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 特征值為特征值為 1=2, 2= 3= 1. 1+ 2+ 3= 4 1 2 3= 2a11+ a22+ a33= |A|.觀察例觀察例1 111

6、0430102A 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 設設A = (aij)n n的特征值為的特征值為 1, , n, 則則 (1) 1 + + n = a11+ann， (2) 1 2 n = |A|, 其中其中a11+ann 稱為稱為A 的跡，記作的跡，記作tr(A).性質(zhì)性質(zhì)2證明：證明：f( ) = a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann = - 1 - n .f( ) = n- (a11+ann ) n-1 +(-1)n|A|f( ) = n- ( 1+ n ) n-1 +(-1)n ( 1 n )比較上述兩式比較上述兩式 n-1n-1項的系數(shù)和常數(shù)項

7、，可得結論。項的系數(shù)和常數(shù)項，可得結論。機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 A 可逆可逆當且僅當當且僅當 1, , n全不為零全不為零.的確是方陣的一個的確是方陣的一個 特征特征 .推論推論由此可知由此可知,特征值可以刻畫方陣的可逆性特征值可以刻畫方陣的可逆性,（3）AT 特征值為特征值為 1, , n；（4）AH 特征值為特征值為12.n ， ，機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 設設 是方陣是方陣A的的特征值，特征值，X為為A 的對應于的對應于性質(zhì)性質(zhì)3 的特征向量，的特征向量，-1-110( )=+mmmmg xb xbxb x b則則 對應的特征向量。對應的特征向量。( )( )gg

8、AX 是是的的特特征征值值，是是P3,定理1.2例例2 2已知三階方陣已知三階方陣A有特征值有特征值1，2，3，求，求|E+2A|.例例3 3（1） m是是Am的特征值的特征值;（2 2）| |A|/|/ 是是A*的特征值；的特征值；設設 是方陣是方陣A的的特征值，特征值，X為為A 的對應于的對應于 的特征向量，證明：的特征向量，證明：機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 性質(zhì)性質(zhì)4設設 i是方陣是方陣A的的特征值，它特征值，它的代數(shù)重數(shù)是的代數(shù)重數(shù)是ni幾何維數(shù)是幾何維數(shù)是si，則，則1.iisn121212( )=( -) ( -)( -)(+= )tnnnAttfnnnn 其中：其中：Si

9、 是是A的屬于的屬于 i的線性無關的特征向量的個數(shù)的線性無關的特征向量的個數(shù),= - (- ).iisn RE A 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 如果如果 分別是分別是 A 的屬于互不相同的特征值的屬于互不相同的特征值12,kXXX的特征向量，則的特征向量，則 線性無關線性無關.12,k 證：對證：對k作數(shù)學歸納法作數(shù)學歸納法. .性質(zhì)性質(zhì)512,kXXX推論推論特征值特征值 的線性無關的特征向量，的線性無關的特征向量，i 1,2, ,ik 則向量則向量 線性無關線性無關. .11111,krkkr 是是 A 的不同特征值，而的不同特征值，而 是屬是屬于于12,k 12,iiiir機動

10、目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4 4對于對于n階方陣階方陣A,B, 證明：證明： ()= ().tr ABtr BA思考題對于對于n階方陣階方陣A,B, 等式等式 AB-BA=E 是否成立是否成立？二、線性變換的特征值和特征向量二、線性變換的特征值和特征向量設是數(shù)域設是數(shù)域P上線性空間上線性空間V的一個線性變換，的一個線性變換， 則稱則稱為為 的一個的一個特征值特征值，稱為的屬于特征值，稱為的屬于特征值0 0( ), 若對于若對于P中的一個數(shù)存在一個中的一個數(shù)存在一個V的非零向量的非零向量, 0, 使得使得的的特征向量特征向量. 0 幾何意義：特征向量經(jīng)線性變換后方向保持幾何意義：特征向量

11、經(jīng)線性變換后方向保持由此知，特征向量不是被特征值所唯一確定的，由此知，特征向量不是被特征值所唯一確定的， 00()( )()()kkkk 相同相同 或相反或相反0(0) 0(0). 0( )0,0. 時時 若若 是是 的屬于特征值的特征向量，則的屬于特征值的特征向量，則 0 也是也是 的屬于的特征向量的屬于的特征向量. (,0)kkP k 0 但是特征值卻是被特征向量所唯一確定的，即但是特征值卻是被特征向量所唯一確定的，即若且，則若且，則( )( ) . 設設 是是V的一組基，的一組基，12dim,nVn 線性變換在這組基下的矩陣為線性變換在這組基下的矩陣為A. 12,n 下的坐標記為下的坐標

12、記為 010,nxx 設是的特征值，它的一個特征向量在基設是的特征值，它的一個特征向量在基0 則則 在基下的坐標為在基下的坐標為( ) 010,nxAx 12,n 而而 的坐標是的坐標是0 0100,nxx 0010100,nnxxAxx 于是于是0( ) 又又0010()0.nxEAx 從而從而 0100,0,nxx 又又即即 是線性方程組是線性方程組 的解，的解，010nxx 0()0EA X 有非零解有非零解. 0()0EA X 所以它的系數(shù)行列式所以它的系數(shù)行列式 00.EA 以上分析說明：以上分析說明：若是的特征值，則若是的特征值，則00.EA 0 反之，若滿足反之，若滿足0P 00

13、,EA 則齊次線性方程組有非零解則齊次線性方程組有非零解. 0()0EA X 若是一個非零解，若是一個非零解，0()0EA X 01020(,)nxxx 特征向量特征向量.則向量就是的屬于的一個則向量就是的屬于的一個0110nnxx 0 設設 是一個文字，矩陣稱為是一個文字，矩陣稱為,n nAP EA 111212122212.( )nnnnnnAaaaaaaEAaaaf 稱為稱為A的的特征多項式特征多項式. A的的特征矩陣特征矩陣，它的行列式，它的行列式 （是數(shù)域（是數(shù)域P上的一個上的一個n次多項式）次多項式）( )Af 矩陣矩陣A的特征多項式的根有時也稱的特征多項式的根有時也稱為為A的特征

14、值的特征值, , 若矩陣若矩陣A是線性變換關于是線性變換關于V的一組基的矩陣的一組基的矩陣， 而是的一個特征值，則是特征多項式而是的一個特征值，則是特征多項式0 ( )Af 0 的根，即的根，即0()0.Af 的一個特征值的一個特征值.反之，若是反之，若是A的特征多項式的根，則就是的特征多項式的根，則就是0 0 （所以，特征值也稱（所以，特征值也稱特征根特征根.）而相應的線性方程組而相應的線性方程組 的非零解也就的非零解也就()0EA X 稱為稱為A的屬于這個特征值的特征向量的屬于這個特征值的特征向量. . i) 在在V中任取一組基中任取一組基 寫出寫出 在這組基下在這組基下 12,n 就是的

15、全部特征值就是的全部特征值. ii) 求求A的特征多項式的特征多項式 在在P上的全部根它們上的全部根它們EA 的矩陣的矩陣A .iii) 把所求得的特征值逐個代入方程組把所求得的特征值逐個代入方程組()0EA X 的全部線性無關的特征向量在基的全部線性無關的特征向量在基 下的坐標下的坐標.) 并求出它的一組基礎解系并求出它的一組基礎解系.(它們就是屬于這個特征值它們就是屬于這個特征值12,n 1,1,2,niijjjcir 則則就是屬于這個特征值就是屬于這個特征值 的全部線性的全部線性無關的特征向量無關的特征向量. 0 而而1122,rrkkk （其中，不全為零（其中，不全為零） 12,rk

16、kkP 就是的屬于就是的屬于 的全部特征向量的全部特征向量.0 111212122212(,),(,),(,)nnrrrnccccccccc如果特征值如果特征值 對應方程組的基礎解系為：對應方程組的基礎解系為：0 對皆有對皆有(0),V ( ).Kk () .nEkEk 所以，所以，V中任一非零向量皆為數(shù)乘變換中任一非零向量皆為數(shù)乘變換K的特征向量的特征向量.例例1 1.在線性空間在線性空間V中，數(shù)乘變換中，數(shù)乘變換K在任意一組基下在任意一組基下的矩陣都是數(shù)量矩陣的矩陣都是數(shù)量矩陣kE，它的特征多項式是，它的特征多項式是故數(shù)乘法變換故數(shù)乘法變換K的特征值只有數(shù)的特征值只有數(shù)k，且，且1 2 2

17、2 1 2 ,2 2 1A 解：解：A的特征多項式的特征多項式 122212221EA 2(1) (5) 例例2 2.設線性變換在基設線性變換在基 下的矩陣是下的矩陣是 123, 求特征值與特征向量求特征值與特征向量. 故的特征值為：（二重）故的特征值為：（二重） 121,5 把把 代入齊次方程組代入齊次方程組 得得 1 ()0,EA X 123123123222022202220 xxxxxxxxx 即即 1230 xxx 它的一個基礎解系為它的一個基礎解系為： (1,0, 1), (0,1, 1)因此，屬于因此，屬于 的兩個線性無關的特征向量為的兩個線性無關的特征向量為1 113223,

18、而屬于而屬于 的全部特征向量為的全部特征向量為1 1 12212,(,)kkk kP 不全為零不全為零 因此，屬于因此，屬于5的一個線性無關的特征向量為的一個線性無關的特征向量為 把把 代入齊次方程組代入齊次方程組 得得 5 ()0,EA X 解得它的一個基礎解系為：解得它的一個基礎解系為： (1,1,1)3123而屬于而屬于5的全部特征向量為的全部特征向量為3333,(,)kkPk 0 0 123123123422024202240 xxxxxxxxx ： 00V 再添上零向量所成的集合，即再添上零向量所成的集合，即000()( )( )() 設設 為為n維線性空間維線性空間V的線性變換的線性變換，為為0 的一個特征值，令的一個特征值，令 為的屬于的全部特征向量為的屬于的全部特征向量0V 0 則則 是是V的一個子空間的一個子空間, 稱之為的一個稱之為的一個特征子空間特征子空間. 0