勾股定理16種經(jīng)典證明方法

1、-【證法1】課本的證明做8個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個(gè)邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個(gè)正方形.從圖上可以看到，這兩個(gè)正方形的邊長都是a + b，所以面積相等. 即整理得.【證法2】鄒元治證明以a、b 為直角邊，以c為斜邊做四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于.把這四個(gè)直角三角形拼成如下圖形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上，B、F、C三點(diǎn)在一條直線上，C、G、D三點(diǎn)在一條直線上.RtHAE RtEBF, AHE = BEF.AEH + AHE = 90,AEH + BEF = 90.HEF = 18090= 90.

2、四邊形EFGH是一個(gè)邊長為c的正方形. 它的面積等于c2. RtGDH RtHAE, HGD = EHA.HGD + GHD = 90,EHA + GHD = 90.又GHE = 90,DHA = 90+ 90= 180.ABCD是一個(gè)邊長為a + b的正方形，它的面積等于. .【證法3】爽證明以a、b 為直角邊ba， 以c為斜邊作四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于. 把這四個(gè)直角三角形拼成如下圖形狀.RtDAH RtABE, HDA = EAB.HAD + HAD = 90，EAB + HAD = 90， ABCD是一個(gè)邊長為c的正方形，它的面積等于c2.EF = FG =GH

3、 =HE = ba ,HEF = 90.EFGH是一個(gè)邊長為ba的正方形，它的面積等于.【證法4】1876年美國總統(tǒng)Garfield證明以a、b 為直角邊，以c為斜邊作兩個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于. 把這兩個(gè)直角三角形拼成如下圖形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上.RtEAD RtCBE, ADE = BEC.AED + ADE = 90,AED + BEC = 90.DEC = 18090= 90.DEC是一個(gè)等腰直角三角形，它的面積等于.又DAE = 90, EBC = 90, ADBC.ABCD是一個(gè)直角梯形，它的面積等于.【證法5】梅文鼎證明做四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)

4、它們的兩條直角邊長分別為a、b ，斜邊長為c. 把它們拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形，使D、E、F在一條直線上. 過C作AC的延長線交DF于點(diǎn)P. D、E、F在一條直線上,且RtGEF RtEBD,EGF = BED，EGF + GEF = 90，BED + GEF = 90，BEG =18090= 90.又AB = BE = EG = GA = c，ABEG是一個(gè)邊長為c的正方形. ABC + CBE = 90.RtABC RtEBD,ABC = EBD.EBD + CBE = 90. 即CBD= 90.又BDE = 90，BCP = 90，BC = BD = a.BDPC是一個(gè)邊長為a的正方形.

5、同理，HPFG是一個(gè)邊長為b的正方形.設(shè)多邊形GHCBE的面積為S，則,.【證法6】項(xiàng)明達(dá)證明做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、bba ，斜邊長為c. 再做一個(gè)邊長為c的正方形. 把它們拼成如下圖的多邊形，使E、A、C三點(diǎn)在一條直線上.過點(diǎn)Q作QPBC，交AC于點(diǎn)P. 過點(diǎn)B作BMPQ，垂足為M；再過點(diǎn)F作FNPQ，垂足為N. BCA = 90，QPBC，MPC = 90，BMPQ，BMP = 90，BCPM是一個(gè)矩形，即MBC = 90.QBM + MBA = QBA = 90，ABC + MBA = MBC = 90，QBM = ABC，又BMP = 90，BCA =

6、90，BQ = BA = c，RtBMQ RtBCA.同理可證RtQNF RtAEF.從而將問題轉(zhuǎn)化為【證法4】梅文鼎證明.【證法7】歐幾里得證明做三個(gè)邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如下圖形狀，使H、C、B三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)BF、CD. 過C作CLDE，交AB于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)L. AF = AC，AB = AD，F(xiàn)AB = GAD，F(xiàn)AB GAD，F(xiàn)AB的面積等于，GAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半， 矩形ADLM的面積 =.同理可證，矩形MLEB的面積 =. 正方形ADEB的面積= 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積 ，即 .【證法8】利用相似三角形性質(zhì)證明如圖

7、，在RtABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點(diǎn)C作CDAB，垂足是D. 在ADC和ACB中，ADC = ACB = 90，CAD = BAC，ADC ACB.ADAC = AC AB，即.同理可證，CDB ACB，從而有.，即 .【證法9】作玫證明做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、bba，斜邊長為c. 再做一個(gè)邊長為c的正方形. 把它們拼成如下圖的多邊形. 過A作AFAC，AF交GT于F，AF交DT于R. 過B作BPAF，垂足為P. 過D作DE與CB的延長線垂直，垂足為E，DE交AF于H.BAD = 90，PAC = 90，DAH = BAC

8、.又DHA = 90，BCA = 90，AD = AB = c，RtDHA RtBCA.DH = BC = a，AH = AC = b.由作法可知， PBCA 是一個(gè)矩形，所以 RtAPB RtBCA. 即PB = CA = b，AP= a，從而PH = ba. RtDGT RtBCA ,RtDHA RtBCA.RtDGT RtDHA .DH = DG = a，GDT = HDA .又DGT = 90，DHF = 90，GDH = GDT + TDH = HDA+ TDH = 90，DGFH是一個(gè)邊長為a的正方形. GF = FH = a . TFAF，TF = GTGF = ba . TFP

9、B是一個(gè)直角梯形，上底TF=ba，下底BP= b，高FP=a +ba.用數(shù)字表示面積的編號(hào)如圖，則以c為邊長的正方形的面積為= ，= .把代入，得= = .【證法10】銳證明設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為a、bba，斜邊的長為c. 做三個(gè)邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如下圖形狀，使A、E、G三點(diǎn)在一條直線上. 用數(shù)字表示面積的編號(hào)如圖.TBE = ABH = 90，TBH = ABE.又BTH = BEA = 90，BT = BE = b，RtHBT RtABE.HT = AE = a.GH = GTHT = ba.又GHF + BHT = 90，DBC + BHT = TBH +

10、BHT = 90，GHF = DBC. DB = EBED = ba，HGF = BDC = 90，RtHGF RtBDC. 即.過Q作QMAG，垂足是M. 由BAQ = BEA = 90，可知ABE= QAM，而AB = AQ = c，所以RtABE RtQAM . 又RtHBT RtABE. 所以RtHBT RtQAM .即. 由RtABE RtQAM，又得QM = AE = a，AQM = BAE. AQM + FQM = 90，BAE + CAR = 90，AQM = BAE，F(xiàn)QM = CAR.又QMF = ARC = 90，QM = AR = a，RtQMF RtARC. 即.，又

11、，=，即 .【證法11】利用切割線定理證明在RtABC中，設(shè)直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c. 如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別于D、E，則BD = BE = BC = a. 因?yàn)锽CA = 90，點(diǎn)C在B上，所以AC是B 的切線. 由切割線定理，得= ，即，.【證法12】利用多列米定理證明在RtABC中，設(shè)直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c如圖.過點(diǎn)A作ADCB，過點(diǎn)B作BDCA，則ACBD為矩形，矩形ACBD接于一個(gè)圓. 根據(jù)多列米定理，圓接四邊形對角線的乘積等于兩對邊乘積之和，有， AB = DC = c，AD = BC = a，A

12、C = BD = b，即 ，.【證法13】作直角三角形的切圓證明在RtABC中，設(shè)直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c. 作RtABC的切圓O，切點(diǎn)分別為D、E、F如圖，設(shè)O的半徑為r. AE = AF，BF = BD，CD = CE，= = r + r = 2r,即，.，即 ，又 = = = = ， .【證法14】利用反證法證明如圖，在RtABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點(diǎn)C作CDAB，垂足是D. 假設(shè)，即假設(shè) ，則由=可知 ，或者 . 即 AD：ACAC：AB，或者 BD：BCBC：AB.在ADC和ACB中，A = A，假設(shè) AD：ACAC

13、：AB，則ADCACB.在CDB和ACB中，B = B，假設(shè)BD：BCBC：AB，則CDBACB.又ACB = 90，ADC90，CDB90.這與作法CDAB矛盾. 所以，的假設(shè)不能成立.【證法15】辛卜松證明設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為a、b，斜邊的長為c. 作邊長是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD劃分成上方左圖所示的幾個(gè)局部，則正方形ABCD的面積為 ；把正方形ABCD劃分成上方右圖所示的幾個(gè)局部，則正方形ABCD的面積為 =.,.【證法16】杰證明設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為a、bba，斜邊的長為c. 做兩個(gè)邊長分別為a、b的正方形ba，把它們拼成如下圖形狀，使E、H、M三點(diǎn)在一條直線上. 用數(shù)字表示面積的編號(hào)如圖.在EH = b上截取ED = a，連結(jié)DA、DC，則 AD = c.EM = EH + HM = b + a , ED = a，DM = EMED = a = b.又CMD = 90，CM = a，AED = 90， AE = b，RtAED RtDMC.EAD = MDC，DC = AD = c.ADE + ADC+ MDC =180，ADE + MDC = ADE + EAD = 90，ADC = 90. 作ABD